UNIVERSITE DES SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LILLE U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées Département de Mécanique Opérateurs différentiels d un champ scalaire ou vectoriel 1 Gradient d une champ scalaire 1.1 Définition M. Baudoin Le gradient est un opérateur différentiel agissant sur un champ scalaire f = fm) qui à chaque point de l espace M associe un scalaire. Le résultat obtenu est un champ vectoriel. M dl M O Soit dl, le déplacemenent infinitésimal entre deux points M et M et tels que OM = OM dl et dfm) la variation du champ scalaire f entre M et M, alors l opérateur gradient est tel que : dfm) = grad fm). dl= fm). dl 1) Remarque : l opérateur gradient est l analogue de la dérivée d une fonction d une seule variable mais pour une fonction dépendant des 3 coordonnées de l espace. Par exemple pour une fonction dépendant d une seule variable gt), on écrirait : dgt) = g t)dt 1.2 Expression dans les différents systèmes de coordonnées Coordonnées cartésiennes : Dans le système de coordonnées cartésiennes, un point M est défini par 3 longueurs x, y, z correspondant aux 3 projections sur les 3 vecteurs de base : x, y et z : et le déplacement infinitésimal dl est tel que : M = Mx, y, z) dl= dx x dy y dz z 1
M dx x z x dy y M dl y dz z Etant donné que la fonction f dépend des 3 coordonnées d espace f = fx, y, z), la différentielle df s écrit en fonction des dérivées partielles : dfx, y, z) = f dx dy x y dz En partant de la définition équation 1), et en notant G x, G y et G z, les 3 composantes du vecteur gradient : grad f) = G x, G y, G z ), on obtient : f dx dy x y dz = G xdx G y dy G z dz soit en identifiant G y, G y et G z : f grad f) = x, f y, f ) Coordonnées cylindriques Dans le système de coordonnées cartésiennes, un point M est défini par 2 longueurs r, z et un angle θ : et le déplacement infinitésimal dl est tel que : M = Mr, θ, z) dl= dr u r rdθ u θ dz u z où u r, u θ et u z désignent les 3 vecteurs de base en coordonnées cylindriques M' dl M dr u r dz u z rdθu θ 2
Etant donné que la fonction f dépend des 3 coordonnées d espace f = fr, θ, z), la différentielle df s écrit en fonction des dérivées partielles : dfr, θ, z) = f dr dθ θ dz En partant de la définition équation 1), et en notant G r, G θ et G z, les 3 composantes du vecteur gradient : grad f) = G r, G θ, G z ), on obtient : f soit en identifiant G r, G θ et G z : Coordonnées sphériques dr dθ θ dz = G rdr G θ rdθ G z dz f grad f) =, 1 f r θ, f ) Dans le système de coordonnées cartésiennes, un point M est défini par 1 longueurs r, et deux angles θ et ϕ : M = Mr, θ, ϕ) et le déplacement infinitésimal dl est tel que : dl= dr u r rdθ u θ r sin θdϕ u ϕ où u r, u θ et u ϕ désignent les 3 vecteurs de base en coordonnées sphériques Etant donné que la fonction f dépend des 3 coordonnées d espace f = fr, θ, z), la différentielle df s écrit en fonction des dérivées partielles : dfr, θ, ϕ) = f dr dθ θ ϕ dϕ En partant de la définition équation 1), et en notant G r, G θ et G ϕ, les 3 composantes du vecteur gradient : grad f) = G r, G θ, G ϕ ), on obtient : f dr dθ θ ϕ dϕ = G rdr G θ rdθ r sin θg ϕ dϕ soit en identifiant G r, G θ et G ϕ : f grad f) =, 1 ) f r θ, 1 f r sin θ ϕ 1.3 Physiquement Considérons par exemple un champ de température T variant dans l espace. La direction et le sens du vecteur gradient donnent la direction et le sens de variation du champ de température et sa norme donne l intensité de cette variation. 3
gradt) T2 Surfaces Isotempérature T1 T0<T1<T2 T0 2 Divergence 2.1 Notion de flux Avant de définir l opérateur de divergence, il faut introduire la notion de flux d un champ vectoriel B M) associant un vecteur à chaque point de l espace M) à travers une surface S de normale n. Ce flux φ est par définition l intégrale sur la surface S du produit scalaire du champ vectoriel B avec la normale n φ = B. n ds S 2.2 Définition La divergence est un opérateur différentiel agissant sur un champ vectoriel BM). Le résultat est un champ scalaire. Soit dv un volume infinitésimal et dφ le flux à travers la surface élémentaire entourant ce volume infinitésimal, alors par définition l opérateur divergence est tel que : dφm) = div BM))dV 2) 2.3 Expression dans les différents systèmes de coordonnées Coordonnées cartésiennes n=z Bx,y,zdz) Bx,ydy,z) n=x z M = x,y,z) x y n=y Bxdx,y,z) 4
En coordonnées cartésiennes, on a : B dφ = x dx, y, z). x B x, y, z). x] dydz B x, y dy, z). y B x, y, z). y ] dxdz B x, y, z dz). z B x, y, z). ] z dxdy dφ = B x x dx, y, z) B x x, y, z)] dydz B y x, y dy, z) B y x, y, z)] dxdz B z x, y, z dz) B z x, y, z)] dxdy et donc : dφ = B x x dxdydz B y y dxdydz B z y dxdydz Enfin comme dv = dxdydz, on déduit de la formule 2) : Coordonnées cylindriques B ) div = B x x B y y B z Br, θd θ, z) n=u Mr,,z) θ θ Br, θ, zdz) n=u z Brdr, θ,z) n=u r En coordonnées cylindriques, on a : dφ = Br dr, θ, z). ur r dr)dθdz Br, θ, z). u r rdθdz] Br, θ dθ, z). uθ drdz Br, θ, z). u θ drdz] Br, θ, z dz). uz rdrdθ Br, θ, z). u z rdrdθ] soit : dφ = r dr)b r r dr, θ, z) rb r r, θ, z)] dθdz B θ r, θ dθ, z) B θ r, θ, z)] drdz B z r, θ, z dz) B z r, θ, z)] rdrdθ 5
et donc : dφ = B r drdθdz B θ θ drdθdz B z rdrdθdz Enfin comme dv = rdrdθdz, on déduit de la formule 2) : Coordonnées sphériques En coordonnées sphériques, on a : B ) div = 1 B r 1 B θ r r θ B z dφ = Br dr, θ, ϕ). ur r dr) 2 sinθ)dθdϕ Br, θ, ϕ). u r r 2 sinθ)dθdϕ] Br, θ dθ, ϕ). uθ rdr sinθ dθ)dϕ Br, θ, ϕ). u θ rdr sinθ)dϕ] Br, θ, ϕ ϕ). uϕ rdrdθ Br, θ, ϕ). u ϕ rdrdθ] soit : dφ = r dr) 2 B r r dr, θ, z) r 2 B r r, θ, z) ] sinθ)dθdϕ sinθ dθ)b θ r, θ dθ, z) sinθ)b θ r, θ dθ, z)] rdrdϕ B ϕ r, θ, ϕ ϕ) B ϕ r, θ, ϕ)] rdrdθ et donc : dφ = 2 B r sinθ)drdθdϕ sinθ)b θ rdrdθdϕ B ϕ θ ϕ rdrdθdϕ Enfin comme dv = r 2 sinθ)drdθdϕ, on déduit de la formule 2) : B ) div = 1 2 B r r 2 3 Opérateur laplacien scalaire 3.1 Définition 1 sinθ)b θ r sinθ) θ 1 B ϕ r sinθ) ϕ L opérateur laplacien scalaire est un opérateur agissant sur un champ scalaire f = fm) qui à chaque point de l espace associe un scalaire. Le résultat obtenu est un champ scalaire noté fm) tel que : fm) = div gradfm)) 6
3.2 Expression dans les différents systèmes de coordonnées L expression dans les différents systèmes de coordonnées s obtient très simplement en appliquant successivement les opérateur gradient et divergence. On obtient donc tout simplement : Dans le système de coordonnées cartésiennes : Dans le système de coordonnées cylindriques : fx, y, z) = 2 f x 2 2 f y 2 2 f 2 fr, θ, z) = 1 r Dans le système de coordonnées sphériques : fr, θ, ϕ) = 1 r 2 r 2 f ) r f ) 1 2 f r 2 θ 2 f 2 1 r 2 sinθ) θ sinθ) f ) θ 1 2 f r 2 sin 2 θ) ϕ 2 7