EXERCICE 4 Candidats ayant suivi l enseignement de spécialité EXERCICE 3 Pour les candidats ayant suivi l enseignement de spécialité Pour tout couple d entiers relatifs non nuls (a, b), on note pgcd(a, b) le plus grand diviseur commun de a et b. Le plan est muni d un repère (O, i, j ). 1. Exemple. Soit Δ 1 la droite d équation y = 5 4 x 2 3. a. Montrer que si (x, y) est un couple d entiers relatifs alors l entier 15x 12y est divisible par 3. b. Existe-t-il au moins un point de la droite Δ 1 dont les coordonnées sont deux entiers relatifs? Justifier. Généralisation On considère désormais une droite Δ d équation (E): y = m x p où m, n, p et q sont des entiers relatifs n q non nuls tels que pgcd(m, n) = pgcd(p, q) = 1. Ainsi les coefficients de l équation (E) sont des fractions irréductibles et on dit que Δ est une droite rationnelle. Le but de cet exercice est de déterminer une condition nécessaire et suffisante sur m, n, p et q pour qu une droite rationnelle Δ comporte au moins un point dont les coordonnées sont deux entiers relatifs. 2. On suppose ici que la droite Δ comporte un point de coordonnées (x 0, y 0 ) où x 0 et y 0 sont des entiers relatifs. a. En remarquant que le nombre ny 0 mx 0 est un entier relatif, démontrer que q divise le produit np. b. En déduire que q divise n. 3. Réciproquement, on suppose que q divise n, et on souhaite trouver un couple (x 0, y 0 ) d entiers relatifs tels que y = m n x 0 p q. a. On pose n = qr, où r est un entier relatif non nul. Démontrer qu on peut trouver deux entiers relatifs u et v tels que qru mv = 1. b. en déduire qu il existe un couple (x 0, y 0 ) d entiers relatifs tels que y 0 = m n x 0 p q. 4. Soit Δ la droite d équation y = 3 8 x 7 4. Cette droite possède-t-elle un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs? Justifier. Bac S Métropole - 2016 1
5. On donne l algorithme suivant : Variables : M, N, P, Q : entiers relatifs non nuls, tels que pgcd(m, N) = pgcd(p, Q) = 1 X : entier naturel Entrées : Saisir les valeurs de M, N, P, Q Traitement et sorties : Si Q divise N alors X prend la valeur 0 Tant que ( M N X P Q n est pas entier) et ( M N X P Q n est pas entier) faire X prend la valeur X + 1 Fin tant que Si M X + P est entier alors N Q Sinon Afficher X, M N X + P Q Sinon Fin Si Fin Si Afficher X, M N X + P Q Afficher «Pas de solution» a. Justifier que cet algorithme se termine pour toute entrée de M, N, P, Q, entiers relatifs non nuls tels que pgcd(m, N) = pgcd(p, Q) = 1. b. Que permet-il d obtenir? Bac S Métropole - 2016 2
CORRECTION EXERCICE 3 Pour les candidats ayant suivi l enseignement de spécialité 1. Exemple. Soit Δ 1 la droite d équation y = 5 4 x 2 3. a. Montrer que si (x, y) est un couple d entiers relatifs alors l entier 15x 12y est divisible par 3. Soit (x, y) est un couple d entiers relatifs, alors 5x 4y Z donc 3(5x 4y) = 15x 12y est divisible par 3. 1. b. Existe-t-il au moins un point de la droite Δ 1 dont les coordonnées sont deux entiers relatifs? Justifier. Soit M(x, y) Δ 1 y = 5 x 2 15x 12y = 8. Or 15x 12y est divisible par 3 d après la question 4 3 1. On sait que 8 n est pas divisible par 3, on en déduit qu il n existe pas de point de Δ 1 dont les coordonnées sont deux entiers relatifs. Généralisation On considère désormais une droite Δ d équation (E): y = m x p où m, n, p et q sont des entiers relatifs n q non nuls tels que pgcd(m, n) = pgcd(p, q) = 1. 2. On suppose ici que la droite Δ comporte un point de coordonnées (x 0, y 0 ) où x 0 et y 0 sont des entiers relatifs. a. En remarquant que le nombre ny 0 mx 0 est un entier relatif, démontrer que q divise le produit np. On sait que x 0 et y 0 sont des entiers relatifs donc ny 0 mx 0 est un entier relatif. De plus y 0 = m n x 0 p q car la point de coordonnées (x 0, y 0 ) appartient à Δ. Ainsi ny 0 = mx 0 np et donc mx q 0 ny 0 = np d où q q(mx 0 ny 0 ) = np or ny 0 mx 0 Z donc q divise np Bac S Métropole - 2016 3
2. b. En déduire que q divise n. D après la question 2.a. q divise np or pgcd(p, q) = 1 donc d après le théorème de Gauss q divise n. 3. Réciproquement, on suppose que q divise n, et on souhaite trouver un couple (x 0, y 0 ) d entiers relatifs tels que y = m n x 0 p q. a. On pose n = qr, où r est un entier relatif non nul. Démontrer qu on peut trouver deux entiers relatifs u et v tels que qru mv = 1. On sait par hypothèse que pgcd(m, n) = 1 donc d après le théorème de Bézout, il existe deux entiers relatifs (u, v) tels que nu mv = 1 Or n = qr donc qru mv = 1. Conclusion : On peut trouver deux entiers relatifs u et v tels que qru mv = 1 3. b. En déduire qu il existe un couple (x 0, y 0 ) d entiers relatifs tels que y 0 = m n x 0 p q. On sait d après 3.a. qu on peut trouver deux entiers relatifs (u, v) tels que nu mv = 1 ce qui nous donne nupr mvpr = pr ny 0 mx 0 = pr en posant y 0 = upr et x 0 = vpr Or ny 0 mx 0 = pr y 0 = m x n 0 + pr y n 0 = m x n 0 + p car n = qr. q Conclusion : Il existe bien un couple d entiers relatifs (x 0, y 0 ) tel que y 0 = m x n 0 + p. q 4. Soit Δ la droite d équation y = 3 x 7. Cette droite possède-t-elle un point dont les coordonnées sont 8 4 des entiers relatifs? Justifier. On a Δ: y = 3 x 7 donc m = 3, n = 8, p = 7 et q = 4. 8 4 Dans cet exemple pgcd(m, n) = pgcd(3,8) = 1. De plus pgcd(p, q) = pgcd(7,4) = 1. D autre part q divise n donc d après 3. : il existe un point de Δ dont les coordonnées sont des entiers relatifs. Bac S Métropole - 2016 4
5. a. Justifier que cet algorithme se termine pour toute entrée de M, N, P, Q, entiers relatifs non nuls tels que pgcd(m, N) = pgcd(p, Q) = 1. Si Q ne divise pas N alors l algorithme affiche «Pas de solution» et il s arrête. Si Q divise N alors il existe (x 0, y 0 ) Z 2 tel que y 0 = M N x 0 P Q d après 3. Ainsi il existe un entier relatif x 0 tel que M x N 0 P soit un entier. Dans l algorithme X commence à 0 et augmente de 1 en 1, ainsi X et X Q vont décrire Z, donc à un moment X (ou X) correspondra à x 0, donc dans ce cas : ( M N X P Q n est pas entier) sera faux ou ( M N X P Q n est pas entier) sera faux donc : (( M N X P Q n est pas entier) et ( M N X P Q n est pas entier)) sera faux La boucle Tant que va donc s arrêter à ce moment. Conclusion : Dans tous les cas, l algorithme se termine. 5. b. Que permet-il d obtenir? L algorithme affiche «Pas de solution» lorsque la droite d équation Y = M X P n admet pas de point à N Q coordonnées entiers relatifs. Dans le cas contraire, l algorithme affiche les coordonnées (X, Y) d un point à coordonnées entières qui appartient à cette droite. Bac S Métropole - 2016 5