Nombres de Bell et somme de factorielles

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux 6 2004, 7 Nombres de Bell et somme de factorielles par Daniel BARSKY et Bénali BENZAGHOU Résumé. Dj. Kurepa a conjecturé que pour tout nombre premier impair, p, la somme n! n est pas divisible par p. Cette somme est reliée aux nombres de Bell qui apparaissent en combinatoire énumérative. Nous donnons une expression du n-ième nombre de Bell modulo p comme la trace de la puissance n-ième d un élément fixe dans l extension d Artin-Schreier de degré p du corps premier à p éléments. Cette expression permet de démontrer la conjecture de Kurepa en la ramenant à un problème d algèbre linéaire. Abstract. Dj. Kurepa has conjectured that for any odd prime number p, the sum n! is not divisible by p. This sum is related to the Bell numbers that occur in enumerative combinatorics. We give a formula for the n-th Bell number modulo p as the trace of the n-th power of a fixed element in the Artin-Schreier extension of degree p of the field with p elements. This formula allows us to prove the Kurepa s conjecture by reducing it to a linear algebra problem.. Introduction. Dj. Kurepa a conjecturé dans [7] que si p est un nombre premier impair, la somme κ p = n! n est pas divisible par p, par exemple κ 2 = 2, κ 3 mod 3, κ 5 4 mod 5, κ 7 6 mod 7,..., κ 53 3 mod 53,... A. Gertsch a remarqué dans sa thèse, [4], que les nombres de Bell qui apparaissent en combinatoire énumérative sont liés aux κ p mod p. En effet si l on note P n le n-ième nombre de Bell alors par définition n P n = Sn, k où Sn, k est le nombre de Stirling de deuxième espèce, cf. [3]. Or k= Sp, k p k! mod pz, k p Manuscrit reçu le 2 avril 2002.

2 Daniel Barsky, Bénali Benzaghou et donc P κ p. Nous utilisons cette remarque et les résultats que nous avons sur les nombres de Bell modulo p pour démontrer cette conjecture... Notations. Le n-ième nombre de Bell, P n, compte le nombre de partitions d un ensemble à n-éléments en sous-ensembles non-vides. Leurs premières valeurs sont : P 0 =, P =, P 2 = 2, P 3 = 5, P 4 = 5, P 5 = 52,..., P 5 = 382 958 545 Nous notons respectivement N = {, 2,...} les entiers naturels, Z les entiers relatifs, Q les nombres rationnels. Soit p un nombre premier, que nous supposerons impair sauf indication contraire. Nous notons F p Z/pZ le corps premier à p éléments, F p une clôture algébrique de F p. Nous confondrons les éléments de F p avec leurs antécédents dans Z par la surjection canonique de Z sur F p..2. Résultats. Le résultat principal est la preuve de la conjecture de Kurepa au théorème 3. Nous montrons au théorème que la fonction génératrice des nombres de Bell, F x = n 0 P n x n, est congrue modulo pz[[x]] à la série de Taylor en zéro de la fraction rationnelle : F p x = xn n + x... p x x x p. Remarque. Ce résultat se généralise aisément, on peut montrer que la série génératrice des nombres de Bell est congrue modulo p h Z[[x]] à une fraction rationnelle F p,h x. On en déduit des congruences modulo p h Z pour les nombres de Bell en utilisant un peu d analyse p-adique. Ce point de vue est développé dans [2]. On pose F p x = n 0 P n,p x n, on a donc P n,p P n mod pz. La fraction rationnelle F p x possède un développement en série de Laurent à l infini noté P n,p x n. On constate que P,p n! mod pz. n 0 Soit une racine dans F p du polynôme x p +x et soit F p = F p []. On montre au théorème 2 que, si = + 2p + + p p p 2, on a pour n Z P n,p Tr Fp/Fp TrFp/F p c +n mod pz Ch. Radoux, [9], avait déjà vu que l extension d Artin-Schreier F p [] joue un rôle important dans l arithmétique des nombres de Bell.

donc Nombres de Bell et somme de factorielles 3 Nous en déduisons en particulier que P,p Tr Fp/F p TrFp/F p 2, P,p 0 mod pz Tr Fp/F p 2 = 0. On décompose cp sur la F p -base normale de F p, constituée par les éléments + i 0 i p. On pose cp = + i, F p. On montre au lemme 9 que les satisfont un système de p équations linéaires que nous ne savons pas résoudre explicitement en toute généralité. Par contre on montre que l on a toujours λ = 0, cf. relations 6, et que κ p = 0 équivaut à λ = 0, cf. lemme 0. Pour montrer la conjecture de Kurepa nous raisonnons par l absurde. Nous montrons au théorème 3 que, pour p premier impair, l hypothèse κ p 0 mod p implique que = 0 pour 0 i p, autrement dit que cp = 0, ce qui est absurde car l équation x p x n a pas x = 0 comme racine. Nous remercions A. Robert pour avoir attiré notre attention sur ce problème. Nous remercions A. Junod et S. Zerroukhat de nous avoir signalé des erreurs graves dans les versions antérieures..3. Rappels sur les nombres de Bell. Nous rappelons tout d abord la définition des nombres de Bell. Pour toutes les questions de combinatoire notre référence est Comtet, cf. [3]. Définition. Le n-ième nombre de Bell, P n, est le nombre de partitions d un ensemble à n éléments en sous-ensembles non-vides. Lemme. Les nombres de Bell sont caractérisés par la relation de récurrence suivante : n n P 0 = et P n+ = P k si n 0. k Leur fonction génératrice ordinaire est : F x = n 0 P n x n = n 0 k=0 x n x... nx Démonstration : Pour la démonstration voir [3]. Les nombres de Bell ont de nombreuses autres caractérisations, cf. par exemple [2].

4 Daniel Barsky, Bénali Benzaghou 2. Nombres de Bell modulo p. Nous notons P n,p la réduction modulo pz du n-ième nombre de Bell que nous confondrons avec l image de P n dans F p. Nous utiliserons dans toute la suite la définition classique suivante : Définition 2. Soient Gx, Hx deux fractions rationnelles de Qx, on suppose que Gx et Hx sont développables formellement au voisinage de zéro en séries de Taylor à coefficients entiers relatifs : Gx = n 0 g n x n Z[[x]], Hx = n 0 h n x n Z[[x]]. On dira que Gx est congrue à Hx modulo pz[[x]] si leurs séries de Taylor en zéro le sont, autrement dit : Gx Hx mod pz[[x]] n 0 g n x n n 0 h n x n mod pz[[x]]. Avec cette définition on a : Théorème. Soit p un nombre premier et soit F p x = xn n + x... p x x x p alors la fonction génératrice des nombres de Bell est congrue modulo pz[[x]] à F p x. Démonstration : La preuve est élémentaire. On a : P n x n = x n x... nx n 0 n 0 donc P n x n = n 0 = j 0 On remarque que = j 0 x jp+n x... jp + nx x n jp + x... jp + nx x jp x... jpx x jp x... jpx. x p j mod pz[[x]] x... px

et que Nombres de Bell et somme de factorielles 5 x n jp + x... jp + nx x n x... nx De là il vient immédiatement : P n,p x n n 0 x n x... nx j 0 x p x... px mod pz[[x]]. j mod pz[[x]], et en sommant la série géométrique en j, il vient finalement : P n,p x n xn n + x... p x x... p x x p mod pz[[x]] n 0 où par convention dans la somme xn n + x... p x le terme correspondant à n = p vaut x, on applique la convention classique : un produit vide vaut. Corollaire. La série de Taylor en zéro de la fraction rationnelle F p x est congrue modulo pz[[x]] à p 2 2 F p x P n,px n + P,p P 0,p x x x p mod pz[[x]] Démonstration : On a montré au théorème que P n,p x n xn n + x... p x x x p mod pz[[x]] n 0 multiplions les deux membres par x x p et identifions, il vient : p 2 P n,p x n + P,p P 0,p x x n n + x... p x mod pz[[x]]. On en déduit immédiatement que p 2 F p x n,px n + P,p P 0,p x x x p mod pz[[x]] Nous allons étudier les zéros dans F p du dénominateur D p x de la fraction rationnelle F p x.

6 Daniel Barsky, Bénali Benzaghou Lemme 2. Soit D p x = x x p. Notons i, i p, les racines de D p x dans F p, elles vérifient p i = i +. i j dans F p si i j. F p = F p i est une extension d Artin-Schreier de degré p de F p, dont le groupe de Galois GalF p /F p, isomorphe à Z/pZ, +, a pour générateur le Frobenius σ p : x x p. Démonstration : Le polynôme x p x = x p D p, x est à racines simples car d dx D p,x = px + p xx p 2. Il est irréductible sur F p, cf. [8]. On a p i i = 0. On vérifie que, dans F p, si est une racine de x p x, alors + aussi car : + p + = p + + + = p = 0 donc dans F p les racines de D p, sont, +,..., + p. Le polynôme x p x est de type Artin-Schreier et on sait que ces polynômes engendrent des extensions séparables de F p, dont le groupe de Galois GalF p /F p, isomorphe à Z/pZ, +, est engendré par le Frobenius σ p : x x p, cf. [8]. Nous allons donner une expression des nombres de Bell modulo p au théorème comme la trace de certaines puissances de. Pour les propriétés des corps finis notre référence est [8]. Dans le lemme suivant nous donnons quelques propriétés élémentaires des racines du polynôme x p x dans F p. Lemme 3. Soit une racine du polynôme x p x dans F p. Les autres racines dans F p de ce polynôme sont + i pour i p. On a : Posons : t p = pp p = +p+ +p, Tr Fp/F p i = 0 pour 0 i p 2, Tr Fp/F p = Tr Fp/F p =. = pp t p p = +2p+ +pp 2, Notons encore, σ p : x x p, le Frobenius absolu de F p. Avec ces notations on a dans F p : 3 ps = σp s = + s, tp = n 4 = σp s = cp 5 +... + s.

Nombres de Bell et somme de factorielles 7 Démonstration : On a vu que le polynôme x p x engendre une extension d Artin-Schreier, F p = F p [] de F p. Un générateur de GalF p /F p est le Frobenius absolu, σ p, qui à a F p associe σ p a = a p. On a bien évidemment dans F p : σ i p = pi = + i pour i Z, et + i p + i = 0 Tr Fp/Fp = Tr Fp/Fp =... = Tr Fp/Fp p 2 = 0 Tr Fp/Fp = Tr Fp/Fp + = Tr Fp/Fp et il est évident que T r Fp/Fp = car le polynôme réciproque de x p x est x p + x. La norme de sur F p est par définition : N Fp/F p = +p+ +p = tp cette norme vaut car le polynôme minimal de est x p x. Donc l application N F p n n est périodique de période divisant t p, par conséquent cp = p p t p =. Un calcul élémentaire montre que = pp t p p = +2p+ +pp 2 N. Considérons l élément cp de F p, alors : σ p = p = p p p tp = cp+pp t p = cp pp = cp. On montre alors facilement par récurrence que : σ s p = +... + s. Remarque. La relation cp = montre que est une racine - ième de dans F p, les racines p -ièmes de sont exactement les n cp pour n p. Lemme 4. Soit une racine dans F p du polynôme x p x et soit F p x = µ x p =+ la décomposition de F p x en éléments simples dans F p x. On a : 6 µ = c Tr Fp/F p = = P 0,p +... + P,p + P,p P 0,p.

8 Daniel Barsky, Bénali Benzaghou Démonstration : On a dans F p : µ = n n +... p p. Donc : µ = n +... p = +... + n avec la convention que pour n = 0 le terme correspondant dans la dernière somme vaut. D après la relation 5 on a µ = c cp{ + + + + + +... + p 2 } = c σp i = c Tr Fp/Fp. On a aussi d après le corollaire : µ = P 0,p + P,p p 2 + + P p 2,p + P,p P 0,p. Définition 3. La fraction rationnelle F p x F p x possède un développement de Laurent au voisinage de l infini que l on note : 7 F p x = P n,p x n. n En effet on a F p x = xn xn +... xp x x p = x xn +... x p x x p x il est clair que l on peut développer cette dernière expression en série de Laurent. Théorème 2. On a dans F p, pour n Z 8 P n,p = Tr Fp/F p TrFp/F p c +n. Démonstration : On tire du lemme 4 que dans F p on a pour n Z : P n,p = µ n. p =+ Le lemme 4 permet d écrire l expression précédente sous la forme P n,p = Tr Fp/Fp c +n. p =+

Nombres de Bell et somme de factorielles 9 Or les racines du polynôme x p x dans F p se déduisent de l une d entre elle par l action des puissances successives du Frobenius. On en déduit que dans F p on a : d où la formule 8. P n,p = Tr Fp/F p TrFp/F p c +n, 3. Preuve de la conjecture de Kurepa. Posons pour tout nombre premier κ p = n!. Nous sommes maintenant en mesure de démontrer la conjecture de Dj. Kurepa, cf. [7] : κ p n est pas divisible par p si p > 2. Lemme 5. Avec les notations précédentes on a dans F p : P,p = P,p P 0,p, et P,p = n! = κ p Démonstration : On a vu au corollaire que dans F p, F p x = P 0,p + P,p x + + P p 2,p x p 2 + P,p P 0,p x x x p d où la première expression de P,p comparer avec l introduction. Pour la deuxième expression, soit F p x = xn n + x... p x x x p, d après la définition 3 cette fraction rationnelle possède un développement en série de Laurent noté : F x = P n,p. On a donar identification : xn n 9 P,p = p n n + n + 2... p En remplaçant n par p p n dans l expression précédente il vient P,p = p n+ p p n + p p n + 2... 2 et en réduisant modulo p il vient d où le résultat. P,p n! mod p

0 Daniel Barsky, Bénali Benzaghou Lemme 6. Les éléments de F p, + i 0 i p, forment une F p-base α i normale de F p. Si Z F p et si Z = + i, α i F p, alors Z α i = Tr Fp/Fp + i et Tr Fp/Fp Z = Démonstration : On remarque tout d abord que par définition les + i, 0 i, sont les racines dans F p du polynôme D p x = x p +x et donc 0 Tr Fp/F p + i = Par ailleurs on a 2 Tr Fp/Fp = Tr + i Fp/Fp + i 2 2 0 i<j Si p 3 le coefficient de x p 2 dans D p x est nul donc : 0 i<j + i + j = 0 α i + i + j = ce qui entraîne Tr Fp/Fp + i 2 =. Si p = 2 on a 2 = + et donc Tr F p/f p + i 2 = dans F 2. Par ailleurs on a Tr Fp/Fp + i = + j Tr i j Fp/Fp Tr + j Fp/Fp, si 0 i < j p + i = Tr Fp/Fp + i 2, si 0 i = j p. Finalement on a montré que : Tr Fp/F p + i = + j { 0 si 0 i < j p si 0 i = j p.

Nombres de Bell et somme de factorielles Autrement dit les, 0 i p, forment une base auto-duale + i pour la forme bilinéaire non dégénérée sur F p, x, y = Tr Fp/Fp xy cf. [8]. On tire immédiatement de la relation Z α i = Tr Fp/Fp + i On peut remarquer de manière alternative que dans F p : + i = + i = + i + + i + 2... + i + p. Autrement dit les, 0 i p, sont au coefficient près les + i valeurs en des polynômes d interpolation de Lagrange sur les points 0,,... p, ce qui suffit à montrer qu ils forment une F p -base de F p. On tire immédiatement de la relation 0 que si Z F p avec Z = α i + i, α i F p alors Tr Fp/Fp Z = α i. Remarque. Tous les calculs qui suivent sont faits dans F p. Lemme 7. On a l équivalence i ii i: la constante de Kurepa, κ p = 0! +! + + p!, est première à p ii: Tr Fp/Fp 0 cp Démonstration : On a vu au lemme 5 que κp 0 mod p P,p 0 mod p et au théorème 2 que P,p = Tr Fp/F p TrFp/F p 2. Or Tr Fp/F p 0 dans Fp, par exemple parce que P 0,p =, on peut en fait calculer sa valeur en fonction de p. On a donc nécessairement κ p = 0 Tr Fp/F p cp 2 = 0. Or d après le lemme 3 on a cp 2 = pcp = σ p, et il est évident que Tr Fp/F p cp 2 = Tr Fp/F p σp = Tr Fp/F p. Nous allons calculer les composantes, 0 i p, de cp sur la F p -base de F p, + i, 0 i p sous l hypothèse κ p = 0. Nous allons montrer que sous cette hypothèse les coefficients sont tous nuls ce qui

2 Daniel Barsky, Bénali Benzaghou contredit évidemment cp 2 0, puisque 0 en tant que racine du polynôme x p x. Lemme 8. On pose cp = + i où F p. On a 2 = Tr Fp/F p + i. Démonstration : D après le lemme 6, = Tr Fp/F p + i. Lemme 9. Si p > 2, les composantes de cp sur la F p -base + i vérifient les relations 3 4 i λ 0 = λ λ 0 λ = λ 0 λ 0 2 λ 2 2 = λ., λ 0 i i =. λ 0 p λ p = λ p 2 en particulier si p > 2 on a toujours λ = 0 Si p = 2 on a c 2 = et donc c 2 =. Démonstration : On a en effet, d après le lemme 3, la relation c = pcp que l on va exprimer dans la F p -base de F p, + i 0 i p. On a d une part d après le lemme 3 5 pcp = On a d autre part + i +. c = + i = λ 0 2 + + i. Or on a vu au lemme 3 que Tr Fp/Fp =, et donc : = + i = = + i

par conséquent autrement dit Nombres de Bell et somme de factorielles 3 = 2 + 2 = + i = 2 + i + i i + i. i + i Or si p > 2 on a i = 0 dans F p et si p = 2 on a i =, donc finalement 2 = + i si p > 2 + i si p = 2. + De cette relation on tire immédiatement que si p > 2 6 c = λ i i λ 0 + λ0 i λ i i + i. La rapprochement des relations 5 et 6 donne si p > 2 + i + = λ i i λ 0 + λ0 i λ i i + i. et en identifiant les coefficients de + i dans les deux membres on obtient les relations annoncées. La relation λ 0 λ = λ 0 implique λ = 0. Le cas p = 2 se traite directement. Lemme 0. Avec les notations du lemme 8 on a κ p = 0 λ = 0 Démonstration : Par définition on a cp = on a = Tr Fp/F p + i, en particulier λ = Tr Fp/F p et donc λ = κ p d après le lemme 7.. D après le lemme 8 + i Théorème 3. Pour p premier impair la constante de Kurepa, κ p = 0! +! + + p!, est première à p pour p = 2 κ 2 = 2.

4 Daniel Barsky, Bénali Benzaghou Démonstration : On vérifie directement que κ 2 = 0!+! = 2. On supposera donc dans toute la suite de la démonstration que p > 2. On garde les notations du lemme 9. On pose donc cp = + i, F p. On raisonne par l absurde en supposant que pour p > 2 on a κ p 0 mod p. D après le lemme 0 on a alors λ = 0. En tenant compte de la relation λ = 0, le lemme 9 donne alors la relation 7 i λ 0 = 0. Posons X 0 = λ 0, et X i = λ 0, pour i p. i Avec ces nouvelles inconnues le système 3 et 4 devient sous les hypothèses p > 2 et κ p = 0, λ = 0 : 8 9 X i = X 0 X = X 0 X 2 = X + X 0 X 3 = 2X 2 + X 0. X i = i X i + X 0. X = p 2X p 2 + X 0. La relation 8 provient de la relation 7 et de la remarque suivante : si p > 2 alors i = 0 et donc i λ λ 0 0 = λ 0. i Les relations 9 proviennent des relations 4 par un simple changement de variable. Remarque. L hypothèse κ p = 0 n est pas utilisée pour les relations 9 par contre elle l est pour la relation 8

20 Nombres de Bell et somme de factorielles 5 On tire facilement par récurrence des relations 9 que pour p > 2 : X = X 0 X 2 = X 0 X 3 = X 0 2 + 2 X 4 = X 0 3 + 3 2 3 2 {.X i = X 0 } i 3 k=0 k i 2i 3... i 2 k { X i = X 0 } i 2 k=0 k i i 2... i k {.X = X 0 } p 3 k=0 k p 2... p 2 k. En effet faisons l hypothèse de récurrence : Pour 2 i p on a i 2 } X i = X 0 { k i i 2... i k. k=0 On vérifie directement que pour i = 2 on a bien X 2 = X 0 = 0. Les relations 9 donnent en tenant compte de l hypothèse de récurrence : i 2 } X i+ = i X 0 { k i i 2... i k + X 0 k=0 i 2 } = X 0 { i + k i i i 2... i k k=0 i } = X 0 { k i i... i k. k=0 Les relations 20 sont démontrées. Avec la convention habituelle qu un produit vide vaut, il vient si d i 2 : k i i 2... i k = i 2 = k=0 d k i i 2... i k = k= i 2 k= + k= k i i 2... i k = k i i 2... i k.

6 Daniel Barsky, Bénali Benzaghou Ajoutons membre à membre les relations 20 il vient : { X i = X 0 p 2 k= { p 2 = X 0 k= } k i i 2... i k k } i i 2... i k. Or, toujours avec la convention qu un produit vide vaut, on a : p i... i k = = 0!, si k = 0 i p 2 i p k! = k! = k!, si k p 2. k k k + p Comme = k+ dans F p, on a : k + { p 2 } p X i = X 0 k k! = X 0 k! = X 0 κ p. k + k= On vient donc de montrer que : 2 p > 2 et κ p = 0 = X i = 0 et donc en comparant la relation 2 avec la relation 8 il vient : 22 p > 2 et κ p = 0 = X 0 = 0. Or X 0 = λ 0, reportons la valeur λ 0 = 0 dans les relations 4 il vient immédiatemment en utilisant la relation λ = 0 donnée au lemme 9 : 23 p > 2 et κ p = 0 = 0 = λ 0 = λ = λ 2 = = λ p 2 = λ. On a donc montré que : 24 p > 2 et κ p = 0 = cp = 0 ce qui est absurde car 0 puisqu il est racine de x p x = 0. La démonstration de la conjecture de Kurepa est complète. Bibliographie [] D. Barsky, Analyse p-adique et nombres de Bell. C. R. Acad Sc. Paris série A, 282 976, 257 259 & Groupe d Étude d Analyse Ultramétrique. Y. Amice, Ph. Robba, 3-ième année, 975/76, exposé n. [2] D. Barsky & B. Benzaghou, Congruences pour les nombres de Bell, préprint, 992. [3] L. Comtet, Analyse Combinatoire. PUF, Collection Sup le mathématicien, Paris, 970. k=0

Nombres de Bell et somme de factorielles 7 [4] A. Gertsch Hamadene, Congruences pour quelques suites classiques de nombres ; sommes de factorielles et calcul ombral. Thèse présentée à la faculté des sciences pour obtenir le grade de docteur ès sciences, Université de Neuchâtel, février 999. [5] A. Gertsch & A. Robert, Some congruences concerning the Bell numbers. Bulletin of the Belgian Mathematical Society Simon Stevin vol. 3 996, 467 475. [6] A. Junod, A Generalized Trace Formula for Bell Numbers. A paraître dans Expositiones Mathematicae. [7] Dj. Kurepa, On the left factorial function!n. Math. Balkanica vol. 97, 47 53. [8] R. Lidl & H. Niederreiter, Introduction to finite fields and their applications. Revision of the 986 first edition. Cambridge University Press, Cambridge, 994. [9] Ch. Radoux, Nombres de Bell modulo p premier et extensions de degré p de F p. C. R. Acad. Sc. Paris, série A, 28, séance du 24 novembre 975, 879 882. [0] A. Robert, A course in p-adic Analysis. G.T.M. 98, Springer-Verlag, 2000. Daniel Barsky Université Paris 3 Institut Galilée LAGA, URA CNRS n 742 Av J.-B. Clément F-93430 VILLETANEUSE, France E-mail : barsky@math.univ-paris3.fr Bénali Benzaghou USTHB Faculté de Mathématiques El Alia BP 32 Bab Ezzouar 6 ALGER, Algérie E-mail : benrect@wissal.dz