I - Églité de quotients Boîte à outils : frctions A - Simplifction de quotient Si on multiplie ou si on divise le numérteur et le dénominteur d'un quotient pr un même nombre non nul lors on obtient un quotient égl. Exemple 1 : Pour simplifer le quotient 140. 140 = 140 On détermine le signe du quotient. Pour tous nombres, b et k où b et k sont non nuls : k b k = b et k b k = b. 140 = 2 7 10 7 2 140 = 10 On cherche les fcteurs communs à et 140. On simplife le quotient. Exemple 2 : Pour déterminer le nombre mnqunt dns l'églité 1,2 18. 1,2 donc 1,2 18 =, 18 Pour psser de à 18, on multiplie pr. Ainsi, pour trouver le nombre mnqunt, on multiplie 1,2 pr, ce qui donne,. B - Réduction de quotients u même dénominteur Exemple 1 : Pour Réduire les quotients 2 9 et 5 u même dénominteur. 12 Multiple de 9 : 9, 18, 27,, 45, 54,... Multiple de 12 : 12, 24,, 48, 0,... Un multiple commun de 9 et 12 est. C'est ussi le plus petit. 2 9 = 2 4 9 4 = 8 et 5 12 = 5 12 = 15 On cherche un multiple commun non nul ux dénominteurs (le plus petit possible). O n d é t e r m i n e l e s é c r i t u r e s f r c t i o n n i r e s y n t p o u r dénominteur. Exemple 2 : Compre les quotients 2 7 et 8.
Un multiple commun de 7 et 8 e s t 7 8 = 5, donc 2 8 7 8 = 1 5 et 7 8 7 = 21 5. Or 1 5 21 5 donc 2 7 8. C - Produit en croix Propriétés Si deux nombres en écriture frctionnire sont égux lors leurs produits en croix sont égux. Réciproquement, si les produits en croix de deux nombres en écriture frctionnire sont égux lors ces deux nombres sont égux. Pour tous nombres, b, c et d où b et d sont non nuls : b = c équivut à d = b c. d Remrque : En prticulier, pour démontrer que deux nombres en écriture frctionnire ne sont ps égux, il suft de démontrer que leurs produits en croix ne sont ps égux. Exemple 1 : Les nombres 2,1 4,1 et sont-ils égux? Justife.,5,9 2,1,9 = 14,49 et,5 4,1 = 14,5 14,49 14,5 On clcule les produits en croix. On les compre. donc 2,1,5 4,1,9 L e s produits en croix ne sont ps égux donc les nombres ne sont ps égux. Exemple 2 : Détermine le nombre mnqunt dns l'églité 1,2 7. 1,2 7 =? donc 8,4 =? On écrit l'églité des produits en croix.? = 8,4 = 1,4 On trouve le nombre mnqunt. II - Addition ou soustrction Pour dditionner (ou soustrire) des nombres en écriture frctionnire y n t l e même dénominteur, on dditionne (ou on soustrit) les numérteurs et on grde le dénominteur commun. Pour tous nombres, b et c où b est non nul : b c b = c b. Remrque : Si les nombres en écriture frctionnire n'ont ps le même dénominteur, il fut les réduire u même dénominteur.
Exemple : Clcule l'expression A = 1 1 0 11 12. Multiples de 0 : 0 ; 0 ; 90 ; 120... Multiples de 12 : 12 ; 24 ; ; 48 ; 0... A = 1 0 1 0 1 2 0 2 11 5 12 5 A = 0 0 2 0 55 0 2 55 = 0 0 On cherche le plus petit multiple commun non nul à 0 et 12. On détermine le signe de chque quotient et on réduit les quotients u même dénominteur 0. On dditionne les numérteurs et on grde le dénominteur. A = 21 0 = 7 20 = 7 20 On simplife si possible. III - Multipliction P o u r multiplier des nombres en écriture frctionnire, on multiplie les numérteurs entre eux et les dénominteurs entre eux. Pour tous nombres, b, c et d où b et d sont non nuls : b c d = c b d. Remrque : Si b = 1, l formule devient c d = c d. Exemple : Clcule l'expression B = 5 9 80. Donne le résultt sous forme simplifée. B = 5 9 80 On détermine le signe du résultt. B = 7 5 1 11 2 5 8 On cherche des fcteurs communs. B = 7 1 11 2 8 B = 91 17 On simplife. On clcule. IV - Division de deux quotients A - Inverse d'un nombre non nul Défnition Deux nombres sont inverses l'un de l'utre si leur produit est égl à 1. Propriétés
Tout nombre x non nul dmet un inverse (noté x 1 ) qui est le nombre 1 x. Tout nombre en écriture frctionnire b ( 0 et b 0) dmet un inverse qui est le nombre b. Remrques : Un nombre et son inverse ont toujours le même signe. En efet, leur produit 1 est positif et seul le produit de deux nombres de même signe est positif. Zéro est le seul nombre qui n'dmet ps d'inverse. En efet, tout nombre multiplié pr 0 donne 0 et ne donner jmis 1. Exemple : Quels sont les inverses des nombres et 7? L'inverse de est 1 = 1. L'inverse de 7 est 7 1 = 1 7 = 7 = 7. B - Diviser des quotients Diviser pr un nombre non nul revient à multiplier pr l'inverse de ce nombre. Pour tous nombres, b, c et d où b, c et d sont non nuls : b c d = b d c ou b = c b d c. d Exemple 1 : Clcule C = 8 7 5. C = + 8 7 5 On détermine le signe du résultt. C = 8 7 5 C = 8 7 5 C = 24 5 On multiplie pr l'inverse du deuxième quotient. On multiplie les frctions. On clcule. Exemple 2 : Clcule D = 2 21 48 5 et donne le résultt en le simplifnt le plus possible.
D = 2 21 48 5 D = 2 21 5 48 D = D = 10 9 8 2 2 7 5 7 2 8 On détermine le signe du résultt. On multiplie pr l'inverse du deuxième quotient. On cherche des fcteurs communs. On clcule sns oublier de simplifer vnt! Exemple : Quelle est l nture du nombre E défni pr E = 1 2 1 2? E = 2 2 = 5 1 E peut s'écrire ussi E = 1 2 1 2. On commence donc pr clculer les prenthèses. E = 5 1 E = 5 1 On multiplie pr l'inverse du deuxième quotient. On cherche des fcteurs communs. E = 5 donc E est un nombre entier.