Equation fonctionnelle pour les fonctions exponentielles

1 Université Claude Bernard Lyon I CAPES de Mathématiques : Oral Année 27 28 Equation fonctionnelle pour les fonctions exponentielles Introduction On s intéresse à l équation fonctionnelle (E) x, y R, f(x + y) = f(x)f(y), où f : R R est une fonction à déterminer. Les premières propriétés sont vraiment élémentaires et ne dépendent pas du point de vue choisi. Un point-clé fort intéressant : étendre la régularité de la solution voir 1 c). On montre typiquement que la continuité en un point entraîne la continuité partout, et que la continuité partout entraîne la dérivabilité, qui donne le caractère C facilement. On voit Les leçons que nous avons vues cette année étaient tirées de la même source, et faisaient la part belle à x x α. De fait, pour α entier, c est une fonction facile à définir et qui satisfait (E) ; pour α rationnel, on peut étendre ; la difficulté de la leçon consiste à passer à α réel quelconque, ce qui demande un peu d analyse. Dans les leçons qu on a vues, la dérivabilité et l équation différentielle semblaient un peu anecdotique, je trouve ça dommage. Pour ma part, j ai compris fonctions exponentielles comme les fonctions de la forme x exp(ax). J attire votre attention sur la définition de l exponentielle dans les programmes de terminale, comme l unique solution de (C 1 ), où pour a réel on note (C a ) le problème de Cauchy suivant : { y (C) = ay y() = 1 Aussi, il est impératif de faire, d une façon ou d une autre, le lien entre l équation fonctionnelle (E) et l équation différentielle y = y. Je propose de faire ce lien a priori, avant de construire les solutions de l une ou l autre équation. Qu on ne se voile pas la face : la partie difficile pour résoudre une ou l autre équation, c est de construire une solution (voir 3 a) et 4 c)). En revanche, l existence étant acquise, il est facile d en déduire l unicité (f(1) ou f () étant fixe). Pour (E), des arguments de suites de Cauchy fonctionnent. Pour (C), retenez qu il est inutile d invoquer les mânes Cauchy et Lipschitz, le théorème des accroissements finis suffit. Résumé de la leçon en une phrase (dommage de rater morphisme!) Tout morphisme de R vers R (ou C ) continu en un point est une fonction exponentielle. 1 Propriétés élémentaires d une solution de (E) a) Annulation, valeur en zéro Lemme Soit f : R R une fonction solution de (E). Alors, si f n est pas partout nulle, elle est partout non nulle et même strictement positive, et f() = 1. Démonstration. Supposons que f s annule en y R. Alors, pour tout x R, on a : f(x) = f(x y +y) = f(x y)f(y) =. De plus, f() = f(+) = f() 2, si bien que f() vaut ou 1. On en déduit que f est partout nulle ou partout non nulle. Pour le signe de f, on peut constater que pour tout x, on a : f(x) = f(x/2) 2 ou invoquer le théorème des valeurs intermédiaires pour exclure que f prenne une valeur négative ou nulle. Remarque. Si f est une solution de (E) non nulle, 1/f est bien définie et c est une autre solution.

2 b) Extension de l additivité Lemme Soit f une solution de (E), x R et r Q. Alors f(rx) = f(x) r. Remarque. Pour a R +, on définit successivement a n pour n N par récurrence a = 1 et a n+1 = a a n ; pour n N par a n = 1/a n ; pour n = 1/q où q N comme l unique solution de x q = a (variations de x x q ) ; pour n = p/q où p Z et q N comme a p/q = (a p ) 1/q (attention! il faut alors vérifier que si p/q = p /q, on a bien a p/q = a p /q...). Piège! On montre que pour r, s Q, on a bien : a r+s = a r a s. Démonstration. Left to the reader. Remarque. On obtient ainsi, pour x, y R et r, s Q : f(rx + sy) = f(x) r f(y) s. Un coup de logarithme là-dessus permet de voir que ln f est une application linéaire, lorsqu on considère R comme un espace vectoriel sur Q. c) Extension de la régularité Lemme Soit f : R R une fonction solution de (E). Sont équivalentes : (i) f est continue en un point ; (ii) f est continue sur R ; (iii) f est dérivable sur R. Démonstration. Supposons f continue en un point x R et soit x, h R. On a : 1 f(x + h) = f(x x + x h) = f(x x ) f(x + h). Lorsque h tend vers, f(x + h) a pour limite f(x ) et f(x x ) est une constante, d où l on peut déduire que f est continue en x. Supposons que f soit continue sur R et pas partout nulle (sinon c est évident que f est dérivable). Par le théorème des valeurs intermédiaires, f est partout strictement positive. On suppose savoir qu une fonction continue admet une primitive, on obtient en intégrant (E) que pour x quelconque : f(x) 1 f(y) dy = 1 f(x)f(y) dy = 1 f(x + y) dy = x+1 x f(u) du. L expression de droite est une fonction dérivable de x, différence de la primitive de f entre deux valeurs (qui sont fonctions dérivables de x...). De plus, l intégrale du membre de gauche est strictement positive, donc non nulle. Par suite, f est dérivable. Enfin, il est clair que si f est dérivable, elle est continue en au moins un point... d) Extension de la régularité (version hard) On donne une condition apparemment plus faible pour que f soit dérivable partout, tirée de la première épreuve du CAPES 21. Lemme Soit f : R R une fonction solution de (E). Sont équivalentes : (i) f est bornée sur un intervalle de longueur non nulle ; (i) f est continue à droite en un point ; (iii) f est dérivable sur R. Démonstration. Supposons f majorée par C sur [a, b], où a < b. On montre d abord qu il existe m et M réels strictement positifs tels que pour tout x [, b a] on ait : 1 L idée consiste à remplacer ce qui se passe en x en quelque chose qui se passe en x.

3 m < f(x) < M. Pour cela, fixons x [, b a]. Comme x + a [a, b], on a : f(x) = f(x + a)/f(a) C/f(a) = M. Comme b x [a, b], on a : f(x) = f(b)/f(b x) f(b)/c = m. A présent, soit ε >. Comme les suites (m 1/n ) n 1 et (M 1/n ) n 1 tendent 2 vers 1, il existe n N tel que 1 ε m 1/n et M 1/n 1 + ε. Pour x [, (b a)/n], on a nx [, b a], si bien que m f(x) M, donc : 1 ε m 1/n f(x) M 1/n 1 + ε, et enfin : f(x) 1 ε. Ceci prouve que f est continue à droite en : lim h > f(h) =. A présent, on constate que pour tout h >, on a : f( h) = 1/f(h). Par suite, lorsque h tend vers par valeurs supérieures, f( h) tend vers 1/f() = 1, donc f est continue à gauche en. C est fini. Remarque vaguement culturelle 3. On peut en fait montrer que si f est seulement mesurable et solution de (E), alors f est dérivable partout. Ce n est pas une stricte généralisation de ce qu on vient de montrer, car certaines fonctions mesurables ne sont bornées sur aucun intervalle de longueur non nulle. 2 Résolution de (E) avec le logarithme a) Linéarisation du problème Supposons connaître la fonction ln (construite par exemple comme primitive de x 1/x sur R +, d où l on déduit qu elle transforme les produits en sommes), et sa fonction réciproque exp. Soit f une solution de (E) continue et pas partout nulle. Comme on l a déjà remarqué, f est partout strictement positive (valeurs intermédiaires). Par suite, g = ln f a un sens et satisfait la condition (i) du lemme suivant : Lemme Soit g : R R une fonction. Sont équivalentes : (i) g est additive : x, y R, g(x + y) = g(x) + g(y) ; (ii) g est Q-linéaire : x, y R, r, s Q, g(rx + sy) = rg(x) + sg(y). Si de plus, g est continue, il est encore équivalent de dire : (iii) x R, g(x) = g(1) x. Démonstration. On a déjà laissé au lecteur le soin de montrer que (i) (ii). La réciproque (ii) (i) est triviale. Montrons que (ii) (iii). Pour r Q, on a : g(r) = rg(1). Prenons alors x R et fixons une suite (r n ) n N de rationnels qui converge vers x (par exemple, r n = 1 n x /1 n, troncature de l écriture décimale après n chiffres). Par continuité de g, on a : g(x) = lim g(r n) = lim r n g(1) = xg(1). n + n + Enfin, il est clair que (iii) (i) On conclut le paragraphe en revenant à f : pour tout x R, f(x) = exp(g(1) x). Remarque. Ce qu on vient de montrer ici, c est qu une application Q-linéaire (sur le Q-espace vectoriel R) et continue est automatiquement R-linéaire. 2 Voir a). 3 Comprendre : inutile...

4 b) Construction de solutions pathologiques Abandonnons l hypothèse de continuité de f, et construisons des solutions désagréablement non-continues. On reprend à (lin Q ). Pour construire g, il suffit de choisir 4 une base (x i ) i I du Q-espace vectoriel 5 R, une famille quelconque de réels (y i ) i I. Il existe alors une unique application linéaire g telle que pour tout i I, g(x i ) = y i. Soit α R. Il est équivalent de dire que pour tout x, g(x) = αx et de dire que pour tout i, y i = αx i. En effet, si les fonctions linéaires g et x αx coïncident sur la base (x i ), elles sont égales, et la réciproque est triviale. De plus, d après le paragraphe a), g est continue si et seulement s il existe α tel que g(x) = αx. Par conséquent, la fonction g est continue si et seulement si tous les y i /x i sont égaux autant dire que ça n arrive pas souvent... Enfin, étant donné une application additive g : R R non continue, on construit une solution de (E) en posant f = exp g ; elle n est pas continue (pourquoi?). 3 Résolution de (E) a mano (comme la pelote basque!) Dans cette version, on se refuse à utiliser le logarithme. On part du constat suivant : r Q, f(r) = f(1) r. La démarche est la suivante : on prolonge Q R, r f(1) r (c est la partie difficile), puis on montre que f coïncide avec ce prolongement (facile par densité de Q!). a) Construction des fonctions puissances Lemme Soit a >. (i) La suite (a 1/k ) k 1 converge vers 1. (ii) Si (t n ) n est une suite de rationnels qui est de Cauchy, la suite (a tn ) n est de Cauchy. (iii) Soit x R et (r n ) n et (s n ) n deux suites de rationnels qui tendent vers x. Alors les limites de (a rn ) n et de (a sn ) n sont égales. Démonstration. (i) Quitte à écrire a 1/k = 1/(1/a) 1/k et à remplacer a par 1/a, on peut supposer a 1. Pour r Q, r > on a a r 1, donc on a, pour k 1 : a 1/k 1 = a 1 a (k 1)/k + a (k 2)/k + + a 2/k + a 1/k + 1 a 1 k. (ii) La suite étant de Cauchy, elle est bornée entre deux rationnels m et M. Pour p, q N, on écrit : a tp a tq = a tp tq 1 a tq. D une part, en vertu de (i), on peut rendre a tp tq 1 aussi petit que l on veut en prenant p et q assez grands ; d autre part, a tq reste borné entre les deux constantes a m et a M. Par suite, on peut rendre a tp a tq aussi petit que l on veut : c est fini. (ii) Pour n N, posons t 2n = r n et t 2n+1 = s n : cette suite converge vers x, donc elle est de Cauchy, donc (a tn ) a une limite, qui est aussi celle de (a rn ) et de (a sn ), qui sont nécessairement égales. Ce lemme donne un sens à la définition suivante : Définition. Soit a >. Pour x R, choisissons une suite (r n ) de rationnels qui converge vers x. La suite (a rn ) est de Cauchy, et sa limite ne dépend que de x, et pas du choix de la suite (r n ). On la note a x. On définit ainsi une fonction appelée exponentielle de base a. (Noter que si on prend x Q et r n = x pour tout n, on voit que a rn coïncide avec a x pour tout n : pas de conflit de notation.) Lemme Soit a >. La fonction e a : R R, x a x est continue et satisfait (E). 4 Nous croyons en l axiome du choix! 5 Rappelons que R est de dimension infinie sur Q, i.e. I est infini, et même non dénombrable.

5 Démonstration. Pour montrer la continuité de e a en un réel x, il suffit de montrer que pour toute suite de réels (h n ) tendant vers, on a : lim n + e a (x + h n ) = e a (x). Soit donc x et (h n ). Fixons n N. Par construction de e a (x + h n ), on peut choisir un rationnel u n tel que (x + h n ) u n 1/n et e a (x + h n ) e a (u n ) 1/n. La première inégalité montre que (u n ) est une suite de rationnels qui tend vers x, donc e a (u n ) tend vers e a (x). Mais alors, la deuxième inégalité montre que la suite (e a (x + h n )) tend aussi vers e a (x), ce qui montre la continuité de e a. La relation a x+y = a x a y est vraie pour tout x, y Q ; par continuité de (x, y) a x+y a x a y, elle est vraie pour tout x, y R. b) Résolution de (E) parmi les fonctions continues Proposition Soit a >. La fonction e a : x a x est l unique solution continue de (E) telle que f(1) = a. Démonstration. On a vu que e a convenait. De plus, on a vu en 1 que les fonctions e a et f coïncident sur Q : comme elles sont continues et que Q est dense dans R, elles sont égales. 4 Equation fonctionnelle et équation différentielle a) Préliminaire : non annulation des solutions de (C) Lemme Soit f une fonction dérivable, égale à sa dérivée et non nulle en zéro. Alors f ne s annule jamais. Démonstration. Pour x R, on pose h(x) = f(x)f( x). Alors h est dérivable et : x R, h (x) = f (x)f( x) f ( x)f(x) = f(x)f( x) f( x)f(x) =. D après le théorème des accroissements finis, h est constante, 6 et non nulle en, donc f ne s annule jamais. C est l occasion de montrer qu on n a besoin de presque rien pour démontrer l unicité d une solution du problème de Cauchy pour une équation linéaire à coefficient constant. Pour cela, on va appliquer la méthode de variation de la constante, ce qui demande que la fonction derrière la constante ne s annule pas. Lemme Soit α R. Il existe au plus une fonction f dérivable, pas partout nulle, telle que f = αf et f() = 1. Démonstration. C est clair si α = par le théorème des accroissements finis. Supposons α, et soit f 1 et f 2 deux telles fonctions. On montre comme ci-dessus que f 1 ne s annule jamais. On considère alors q = f 2 /f 1 : on constate que q =, donc q est constante égale à q() = 1. C est fini. Devinette. Comment montrer l unicité d une fonction telle que f = f et f() = sans supposer l existence d une fonction telle que e = e et e() = 1? 6 Pour tous réels a < b, il existe c ]a, b[ tel que h(b) h(a) = (b a)h (c) =.

6 b) Equivalence entre (E) et (C) Proposition Soit f : R R dérivable non partout nulle. Sont équivalentes : (i) x, y R, f(x + y) = f(x)f(y) ; (ii) f = f () f et f() = 1. Démonstration. Supposons (i). Fixons x et dérivons l équation fonctionnelle par rapport à y : pour tout x, y R, on a : f (x + y) = f(x)f (y). Pour y =, on obtient l équation différentielle cherchée. Inversement, supposons (ii) et fixons y R. On a prouvé ci-dessus que f ne s annule jamais, ce qui autorise à poser q(x) = f(x + y)/f(x) pour x R. La fonction q est dérivable, et x R, q (x) = f (x + y)f(x) f(x + y)f (x) f(x) 2 = f ()f(x + y)f(x) f(x + y)f ()f(x) f(x) 2. Ainsi, q est partout nulle, donc q est constante, et vaut f(y) en x =. Une variante (de rédaction!) pour prouver que (ii) (i) consiste à utiliser le dernier lemme de a) : y étant fixé, les fonctions F 1 : x f(x + y) et F 2 : y f(x)f(y) sont toutes deux solutions de F = F () F, F () = f(y), donc elles sont égales. c) Construction d une solution de y = y On n a que l embarras du choix pour construire une solution de l équation différentielle y = y. Voici quelques démarches possibles : (la plus concise?) on considère la série entière n xn /n! : on vérifie que son rayon de convergence est infini, on peut la dériver terme à terme et constater qu elle répond à la question ; (la plus classique? plus maintenant...) on considère la primitive de x 1/x qui s annule en (définie sur R + ), et on examine sa fonction réciproque ; (la plus pesante?) on fait comme en 3 ; (la plus lourde?) on invoque le théorème de Cauchy-Lipschitz ; (la plus hype?) on résout l équation différentielle par la méthode d Euler, explicite et implicite, ce qui donne lieu aux suites de terme général (1 + x/n) n et (1 x/n) n, qu on peut étudier de façon élémentaire (voir la première épreuve du CAPES 24). d) Conclusion Proposition Étant donné α R, il existe une unique fonction f dérivable sur R satisfaisant (E) telle que f () = α. L unicité a été prouvée ci-dessus. Ayant choisi une construction de l exponentielle, on obtient une solution au problème en posant, pour x R : f(x) = exp(αx). Lien entre exp(αx) et a x Supposons connaître 7 les variations de l exponentielle. Elle établit une bijection de R sur R +, donc l égalité a = exp α permet de définir α en fonction de a et inversement. Ainsi, pour caractériser une solution continue non nulle f de (E) ou (C), on peut se donner arbitrairement f () R ou f(1) R + : elles sont liées par la relation f(1) = exp f (). 7 Partons de exp = exp et exp() = 1. On a vu que exp = exp est partout >, donc exp est croissante. Par le théorème des accroissements finis, pour T >, on a : exp(t ) 1 T, donc lim + exp = +. Comme exp( T ) = 1/ exp(t ), il vient lim exp =.

7 5 Extension aux fonctions R C L intérêt de la construction de la solution de (E) en passant par l équation différentielle, c est qu elle se prolonge au cas des fonctions de R dans C. D un côté, force est de constater que définir a x, pour a C et x R, ce n est guère possible. En effet, même pour x Q, on ne sait pas définir a x de façon univoque ; pas question, dans ces conditions, de prolonger! En revanche, pas de problème pour parler de exp(αx), même si α est complexe, en partant de la série entière. Proposition Soit f : R C une fonction continue en un point satisfaisant (E). Alors, il existe α C tel que pour tout x R, on ait : f(x) = exp(αx). Démonstration. On montre comme pour une fonction à valeurs réelles que f est continue sur R. Pour la dérivabilité, on peut intégrer, mais il faut s assurer que l intégrale en facteur de f(x) n est pas nulle 8. Par continuité de f, il existe θ > tel que pour y [, θ], on ait : Re f(y) 1/2. Par suite, θ θ θ Re f(y) dy = Re f(y) dy On obtient alors, pour tout x R : dy 2 θ >, donc 2 θ f(y) dy. θ x+θ f(x) f(y) dy = f(y) dy, x ce qui permet d en déduire que f est dérivable. Posons α = f () et q(x) = f(x)e αx. On dérive q, on constate que q =, on en déduit que q est constante (théorème des accroissements finis appliqué à Re q et Im q), et on conclut. 8 Noter que pour α = 2π i, on a : 1 f(y) dy =...