Limites s Soit f une fonction définie sur un intervalle I et 0 un point de I ou une etrémité de I.. Limite réelle en un point Soit l un nombre réel. On dit que f admet l pour limite en 0 si f() est aussi proche que l on veut de l dès que est suffisamment proche de 0. On peut traduire ceci mathématiquement par ** ǫ > 0, α > 0 tel que ( I et 0 < α) f() l < ǫ On peut démontrer qu il y a unicité de la limite en un point : on parle alors de LA limite l de f en 0. On note l = lim f() ou f() l et on dit que f() tend vers l quand tend vers 0. 0 Eemple** Soit f la fonction définie sur R par f() = 4 et 0 =. Alors quand se rapproche de, f() se rapproche de 3(= f()). Preuve avec la définition : pour cela il faut évaluer la distance entre f() et 3 i.e. f() 3. Or f() 3 = 4 3 = 4 4 = 4. Soit ǫ > 0. Alors f() 3 < ε dès que < ε 4 donc α = ǫ/4 convient et f() 3..2 Limite infinie en un point On dit que f tend vers + (resp. ) en 0 si f() est aussi grand (resp. petit) que l on veut dès que est suffisamment proche de 0. On peut traduire ceci mathématiquement par ** A R (resp. B R), α > 0 tel que ( I et 0 < α) f() A (resp.f() B) L unicité de la limite s étend à ce cas et on note lim f() = + ou encore f() (resp. lim f() = ou encore f() ). 0 Eemple lim 0 ln( ) =..3 Limite à l infini 0 +. Soit l un nombre réel. On dit que f tend vers l en + si f est aussi proche que l on veut de l dès que est suffisamment grand. On note cette limite lim f() = l. + 2. On dit que f tend vers + en + si f est aussi grand que l on veut dès que est suffisamment grand. On note cette limite lim f() = +. + De même pour les limites finies ou infinies de f en. (eercice) Eemple : lim ln( ) = +..4 Limite à gauche et à droite. Lorsqu onconsidèrelalimitequandtendvers 0 souslacontrainte < 0 (c est-à-dires approche de 0 par la gauche), on parle de limite à gauche de f en 0 et on la note lim f() ( ou lim f()). 0 < 0
2. On définit de même la limite à droite de f en 0, lorsque s approche de 0 par la droite c est-à-dire sous la contrainte > 0 : on la note lim f() ( ou lim f()) 0 > + 0 Eemple On considère la fonction f définie sur R\{ } par f() = +. Alors lim f() = et lim f() = +. < > Soit f une fonction non définie en 0. Alors f admet une limite en 0 ssi ( f admet une limite à gauche et à droite en 0 ET lim f() = lim f() ) 0 0 < > Et dans ce cas, lim f() = lim < 0 f() = lim < 0 f(). Retour eemple : la fonction f n admet donc pas de limite en. 2 Eistence et opérations sur les limites 2. Cas des fonctions monotones** Comme pour les suites, si les fonctions sont monotones et bornées, elles admettent des limites au bornes de l intervalle de définition. Soit f une fonction définie sur ]a; b[.. Si f est croissante et majorée sur ]a;b[ alors f admet une limite en b 2. Si f est croissante et minorée sur ]a;b[ alors f admet une limite en a + 3. Si f est décroissante et majorée sur ]a;b[ alors f admet une limite en a + 4. Si f est décroissante et minorée sur ]a;b[ alors f admet une limite en b 2.2 Passage à la limite dans les inégalités Théorème Soient f,g deu fonctions définies sur I sauf peut-être en 0 et possédant une limite en 0.. Si I\{ 0 }, f() g() alors lim f() lim g(). 2. En particulier, si I\{ 0 } f() 0 alors lim f() 0. On dit que l opération de passage à la limite est compatible avec les inégalités larges. Attention : ces résultats ne s étendent pas au inégalités strictes. Contre-eemple : ]0,+ ], <, mais pourtant lim + =. Théorème Théorème d encadrement ou théorème des gendarmes Soient f,g,h trois fonctions définies sur I sauf peut-être en 0. Supposons que l on ait I\{ 0 } g() f() h() avec lim g() = lim h() = l. Alors f possède une limite en 0 et lim f() = l 2.3 Règles de calcul Dans les tableau ci-dessous, la notation F.I. (forme indéterminée ) signifie qu aucun théorème ne nous permet de conclure en général; nous verrons par la suite des méthodes pour lever ces indéterminations. 2
Somme lim (f()+g()) l + lim g() F.I. l l+l + + F.I. + + lim f() Comment interpréter ce tableau? Prenons la case 3 e ligne et 3 e colonne : Si on suppose que f admet une limite l en 0 et g une limite l en 0, ALORS la fonction f +g ADMET une limite en 0 qui est l+l. Donc ce tableau donne l eistence de la limite ainsi que la valeur de la limite sauf dans les cas de F.I. Produit lim (f() g()) 0 l 0 lim g() 0 0 0 F.I. l 0 0 l l F.I. lim f() Silalimiteest,ilfautencorepréciserlesigne: + ou? Il suffit de se rappeler la règle : le signe d un produit est le produit des signes. Inverse Quotient lim f() l 0 l = 0 l = 0 l = 0 + + lim 0 pas de limite + 0 f() l En remarquant que f() g() = f(), il suffit d utiliser les deu tableau précédents : en particulier, g() si lim g() = 0 et non 0 + ou 0, il n y aura pas de limite SAUF si lim f() = 0 (il y a alors une forme indéterminée). lim (f()/g()) 0 + ou 0 0 F.I. 0 0 l 0 l/l 0 F.I. lim f() l 0 lim g() Silalimiteest,ilfautencorepréciserlesigne! Composée Si lim f() = X 0 et lim X X 0 g(x) = l alors lim g(f()) = l. Conclusion : il y a 4 types de forme indéterminées, 0, et 0 0. 3
3 Limites classiques à connaître Croissances comparées α > 0, α e = α e 0 et ln() + α 0. + Remarque Par passage à l inverse, (les limites précédentes sont des 0 + ) on obtient immédiatement : e α > 0, α + et α + ln() +. + Cette proposition nous permet également d en déduire : α > 0, α ln() 0. > 0 Démonstration Posons y =. Alors y + et 0 α ln() = ( > y )α ln( y ) = yα( ln(y)) = ln(y) y α 0 y + Cette preuve est à connaître car la méthode de démonstration est générale. En effet, dans un calcul de limites, pour se ramener à l un des cas précédents et conclure à l aide des croissances comparées, il faudra en général effectuer un changement de variable. Application : Déterminer la limite de 3 e au voisinage de. F.I. 0 Posons y =. Alors y + et 3 e = ( y) 3 e y = ( )[y 3 e y ] 0 d après le résultat y + précédent (croissances comparées en + ). On obtient plus généralement : n N, n e 0 (croissances comparées en ). Eemple : Déterminer la limite e3 en 0 et en +. 52 En 0, il n y a pas de forme indéterminée et e3 5 2 +. 0 e3 En +, posons y = 3 +. Alors + 5 2 = ey 5(y/3) 2 = e y 5 3 2 (y) 2 = 32 e y 5 y 2 +. y + Limites usuelles (tau d accroissements) : ln(+), e 0, 0 + 0 2 4 Formes indéterminées. Formes indéterminées du type Pour lever une telle indétermination, en règle générale, on met en facteur un terme qui tend vers l infini (souvent, ce sera le terme prépondérant). Eemple : Limite de f() = 2 en +. On est en présence d une FI +. Or f() = 2 ( ); comme, on obtient (règle sur le produit) f(). + + Ou, au lieu de factoriser par le terme prépondérant, on peut ne factoriser que par : alors f() = ( +). Comme + et ( +), par produit, lim f() =. + + + Cas particuliers : il peut être intéressant de se ramener à une forme indéterminée (a) cas du ln : on utilise la formule ln(a) ln(b) = ln( a b ). Eemple : ln() ln(2) = ln( 2 ) = ln( 2 ) + ln(2) 4
(b) cas de : on utilise la quantité conjuguée. Eemple : déterminer la limite en + de 2 + : FI de type +. Quantité conjuguée : 2 + = ( 2 + )( 2 ++) ( 2 ++ D où 2 + = (2 +) ( 2 ) ( 2 ++) = ( 2 ++) 0. + Et finalement, la droite y = est asymptote à la fonction 2 + au voisinage de +. : commencer par simplifier puis 2. Formes indéterminées du type (a) Si le numérateur ou le dénominateur est une somme, mettre en facteur le terme prépondérant au numérateur et au dénominateur et simplifier. Eemple : limite de f() = 2 + 3 +2 Or f() = 2 ( / 2 +) 3 (+2/ 2 ) = ( /2 +) (+2/ 2 ) en +. On est en présence d une F.I. +. 0. + (b) Si on est en présence d eponentielle (ou du ln), et des puissances de, se ramener au théorème des croissances comparées. (Il sera parfois nécessaire de commencer par factoriser comme au (a) ). Eemple : Limite de Or e + = e + en. e (+e ) = e +e = (e ) +e 0 = 0 car + e + 0 3. Formes indéterminées du type 0 : commencer par simplifier puis 0 (a) Si le numérateur ou le dénominateur est une somme, mettre en facteur le terme prépondérant au numérateur et au dénominateur et simplifier. Eemple : Limite de f() = +2 + 3 en 0+. On est en présence d une FI 0 0. Or f() = (+) (+ 5/2 ) = (+) (+ 5/2 ) 0 + 0. (b) Repérer si, à l aide d une astuce ou d un changement de variable, on peut se ramener au limites usuelles précédentes qui sont toutes les 3 des F.I. du type 0 0. Eemple : Limite de e en 0 (F.I. 0 0 ). Or e = e 0 =. 4. Formes indéterminées du type 0 Souvent, si l epression mêle de l eponentielle (ou du ln) et des puissances de, on peut se ramener au théorème des croissances comparées. Eemple : Limite de (2 2 +)e en +. Or (2 2 +)e = 2( 2 e )+e 2 0+0 = 0 car + 2 e 0. + Sinon, transformer l écriture pour se ramener à une F.I. de type 0 0 ou Eemple : Limite de ln(+ ) en +. Or ln(+ ) = ln(+ ) (F.I. 0 0 ) = ln(+u) u u 0 avec u = + 0. 5 Application à l étude des branches infinies 5. Borne réelle de l ensemble de définition Soit f une fonction définie sur I sauf en 0 et soit C sa courbe représentative. 5
. Limite réelle en une borne réelle : prolongement par continuité. Lorsque f admet une limite réelle en 0, on peut prolonger f par continuité en 0 : donc le point 0 est un fau problème. Eemple : f() = définie sur ]0,/2]. Que se passe-t-il en 0? ln() On sait que f() 0 donc f est prolongeable par continuité en 0 avec la valeur 0. 0 2. Limite infinie en une borne réelle : asymptote verticale. Lorsque f() tend vers l infini quand tend vers 0 (ou + 0 ), C admet une asymptote verticale d équation = 0. Eemple : f() = 3 en 3. _0 5.2 Borne infinie de l ensemble de définition e étape : calculer lim f si cette limite est un réel l, alors C admet une asymptote horizontale d équation y = l au voisinage de l infini considéré. Eemple : f() = l l si cette limite est infinie, il faut poursuivre l étude pour préciser le type de branche infinie : 2 e étape : calculer lim f() si cette limite est nulle, on dit que C admet une branche parabolique de direction l ae des abscisses au voisinage de l infini considéré. Eemple : la fonction ln si cette limite est infinie, on dit que C admet une branche parabolique de direction l ae des ordonnées au voisinage de l infini considéré. Eemple : la fonction ep 6
si cette limite est un réel a non nul, on dit que C admet une direction asymptotique d équation y = a. Il est alors nécéssaire d en préciser le type : 3 e étape : calculer lim [f() a] si cette limite est un réel b, on dit que C admet une asymptote oblique d équation y = a + b. Eemple : f() = 2++3/ y=f() y=a+b Si f() (a+b) > 0 (resp < 0), C est au-dessus (resp. au-dessous) de son asymptote. sicettelimiteestinfinie,c admetunebrancheparaboliquededirectionladroited équationy = a. Remarques :. Dans le cas où les limites considérées n eistent pas, l étude est hors-programme : donc refaites vos calculs pour trouver vos erreurs! 2. N oubliez pas la méthode vue en terminale, qui est un raccourci dans le cas où la question vous donne la réponse. Eemple : Soit la fonction f() = 2++ 3. Montrer que la droite y = 2+ est asymptote à la courbe de f au voisinage de +. Il est bien sûr inutile de faire les trois étapes décrites précédemment! Il vous suffit de montrer que f() (2+) = 3 0 pour conclure. + (ce qui permet de retrouver les deu premières étapes : en effet si f se comporte comme 2+, f() alors lim f = + et lim + + = 2. ) 7