5ème Chapitre 2 Inégalité triangulaire Droites remarquables d'un triangle Initiation à la démonstration I_ Inégalité triangulaire Construction de triangles A. Propriété de l'inégalité triangulaire Dans un triangle non aplati, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. Exemple Dans le triangle ABC on a: AB < AC + BC AC < AB + BC BC < AB + AC Dans la vie courante, on dit que le plus court chemin pour aller d'un point à un autre est la ligne droite. Contre-exemple Essayons de construire un triangle EFG tel que EF = 4 cm, EG = 2 cm et FG = 1 cm. On ne parvient pas à construire le triangle EFG. Comparons la longueur du plus grand côté avec la somme des longueurs des deux autres côtés. EF = 4 cm et EG + GF = 3 cm. On constate que EF > EG + GF L'inégalité triangulaire n'est pas vérifiée, le triangle n'est pas constructible. Cas de l'égalité Propriété: Si un point P appartient à un segment [GH], alors GH = GP + PH. Propriété réciproque: Si trois points G, P et H sont tels que GH = GP + PH, alors le point P appartient au segment [GH]. B. Construction d'un triangle Méthode de construction d'une figure: Pour construire une figure, on commence par faire un croquis à main levée sur lequel on porte les informations que l'on connaît. On réfléchit alors à l'ordre dans lequel on va construire chaque élément de la figure et aux instruments que l'on va utiliser.
Dans tous les cas qui suivent, on peut construire un triangle avec les instruments de géométrie: 1. On connaît la longueur des 3 côtés et ces longueurs vérifient l'inégalité triangulaire. Construisons le triangle ABC tel que: AB = 4 cm, BC = 2 cm et AC = 3 cm. 2. On connaît la longueur de 2 côtés et la mesure de l'angle compris entre ces côtés. Construisons le triangle EFG tel que: EF = 4,5 cm, EG = 2,5 cm et FEG = 40. 3. On connaît la longueur d'un côté et la mesure des 2 angles dont les sommets sont les extrémités de ce côté. Construisons le triangle IJK tel que: IJ = 4 cm, JIK = 35 et IJK = 60. II_ Droites remarquables d'un triangle A. Médiatrices Définition de la médiatrice d'un segment La médiatrice d'un segment est la droite passant par le milieu du segment perpendiculairement. Propriétés caractéristiques de la médiatrice d'un segment Si un point appartient à la médiatrice d'un segment alors, il est équidistant des extrémités du segment. Si un point est équidistant des extrémités d'un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment. La droite (d) est la médiatrice du segment [AB]. E est un point de la médiatrice de [AB] donc: EA = EB. P est un point tel que PA = PB donc: P appartient à la médiatrice de [AB].
Propriété de concours des médiatrices d'un triangle Les médiatrices des trois côtés d'un triangle se coupent en un même point; on dit qu'elles sont concourantes. Le point de concours des trois médiatrices du triangle est le centre du cercle qui passe par les trois sommets du triangle; ce cercle est appelé cercle circonscrit au triangle. Les médiatrices du triangle EFG sont concourantes en O. O est le centre du cercle C circonscrit au triangle EFG. B. Médianes Définition de la médiane d'un triangle Dans un triangle, la médiane issue d'un sommet est la droite passant par ce sommet et le milieu du côté opposé. I est le milieu du segment [AB]. La droite (CI) est la médiane du triangle ABC issue de C. C. Hauteurs Définition de la hauteur d'un triangle Dans un triangle, la hauteur issue d'un sommet est la droite passant par ce sommet et perpendiculaire au côté opposé. (KH) (ML). La droite (KH) est la hauteur du triangle KLM issue de K. (TH) (SU). La droite (TH) est la hauteur du triangle STU issue de T.
III_ Initiation à la démonstration En mathématiques, tout ce que l'on affirme doit être prouvé. Pour cela, on utilise des démonstrations. Une démonstration peut se faire en plusieurs étapes, chaque étape étant divisée en trois points: Les données On ne peut utiliser que des données qui ont été fournies par l'énoncé ou qui ont été prouvées précédemment. On écrit uniquement les données nécessaires à l'utilisation de la propriété ou de la définition qui suit. L'utilisation d'une propriété ou d'une définition Si on a les données nécessaires, alors on obtient la conclusion. La conclusion La conclusion correspond à ce que l'on voulait prouver ou à une étape de ce que l'on voulait prouver. Remarques: Une affirmation peut être vérifiée sur quelques exemples tout en étant fausse en général. «Tous les êtres vivants ont des ailes.» Trouver un exemple mettant en faute une affirmation prouve que l'affirmation est fausse. «Les hommes n'ont pas d'ailes.» donc l'affirmation «Tous les êtres vivants ont des ailes.» est fausse. Un dessin ne constitue pas une preuve. Un dessin n'est qu'une représentation d'une réalité. Cette représentation peut être imprécise ou inexacte. Nous pouvons également avoir une vision erronnée de cette représentation. Sur le dessin ci-dessous, les droites ne semblent pas parallèles alors qu'elles le sont. En conclusion, on doit se méfier des idées toutes faites et des idées reçues. On ne peut donc être sûr de ce que l'on affirme qu'à partir du moment qu'on l'a démontré. Le site http://ophtasurf.free.fr/illusion.htm sur les illusions d'optiques montre de multiples exemples où la réalité n'est pas ce qu'elle nous semble être.
IV_ Exercice type EFG est un triangle rectangle en E. I est le milieu du segment [EF]. M est un point équidistant de E et de F. 1. Prouvons que la droite (MI) est la médiatrice du segment [EF]. 2. Prouvons que les droites (MI) et (EF) sont perpendiculaires. 3. Prouvons que les droites (EG) et (EF) sont perpendiculaires. 4. Prouvons que les droites (MI) et (EG) sont parallèles. Rédaction type
1. I est le milieu de [EF] donc IE = IF. ME = MF. Utilisons la propriété: Si un point est équidistant des extrémités d'un segment alors, il appartient à la médiatrice de ce segment. I appartient à la médiatrice du segment [EF]. M appartient à la médiatrice du segment [EF]. Donc la droite (MI) est la médiatrice du segment [EF]. 2. La droite (MI) est la médiatrice du segment [EF]. Utilisons la définition de la médiatrice d'un segment: La médiatrice d'un segment est la droite passant par le milieu du segment perpendiculairement. (MI) (EF). 3. Le triangle EFG est rectangle en E. Utilisons la définition d'un triangle rectangle. (EG) (EF). 4. (MI) (EF). (EG) (EF). Utilisons la propriété: Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles. (MI) // (EG).