EXERCICE 4 (6 points ) Commun à tous les candidats Première partie L espace est rapporté à un repère orthonormal (O, i, j, k ) On considère : les points A(0; 0; 3), B(2; 0; 4), C( 1; 1; 2) et D(1; 4; 0) ; les plans (P 1 ) : 7x + 4y 3z + 9 = 0 et (P 2 ) : x 2y = 0 ; les droites ( 1 ) et ( 2 ) définies par leurs systèmes d équations paramétriques respectifs : x = 1 + t y = 8 + 2t z = 10 + t, t R et x = 7 + 2t y = 8 + 4t z = 8 t, t R Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la question choisie Aucune justification n est demandée Une réponse exacte rapporte 0, point ; une réponse inexacte enlève 0, 2 point ; l absence de réponse est comptée 0 point Si le total est négatif, la note est ramenée à 0 1 Le plan (P 1 ) est : 2 La droite ( 1 ) contient : 3 Position relative de (P 1 ) et de ( 1 ) : 4 Position relative de ( 1 ) et de ( 2 ) : 3 L intersection de (P 1 ) et de (P 2 ) est une droite dont une représentation paramétrique est : a) b) c) d) le plan (ABC) le plan (BCD) le plan (ACD) le plan (ABD) le point A le point B le point C le point D ( 1 ) est strictement parallèle à (P 1 ) ( 1 ) est strictement parallèle à ( 2 ) x = t y = 2 + 1 2 t z = 3t ( 1 ) est incluse dans (P 1 ) confondues x = 2t y = t z = 3 + 6t ( 1 ) coupe (P 1 ) ( 1 ) est orthogonale à (P 1 ) sécantes x = t y = 1 2t z = t non coplanaires x = 1 + t y = 2 + t z = 3t Seconde partie L espace est rapporté à un repère orthonormal (O, i ; j, k ) On considère la droite (D) passant par A(0; 0; 3) et dont un vecteur directeur est u (1; 0; 1) et la droite (D ) passant par B(2; 0; 4) et dont un vecteur directeur est v (0; 1; 1) L objectif est de démontrer qu il existe une droite unique perpendiculaire à la fois à (D) et à (D ), de la déterminer et de dégager une propriété de cette droite
1 On considère un point M appartenant à (D) et un point M appartenant à (D ) définis par AM = a u et BM = b v, où a et b sont des nombres réels Exprimer les coordonnées de M, de M, puis du vecteur MM en fonction de a et b 2 Démontrer que la droite (MM { ) est perpendiculaire à (D) et à (D ) si, et seulement si, le couple 2a + b = 1 (a; b) est solution du système : a + 2b = 1 3 Résoudre ce système En déduire les coordonnées des deux uniques points M et M, que nous noterons ici H et H, tels que la droite (HH ) soit bien perpendiculaire commune à (D) et à (D ) Montrer que HH = 3 unités de longueur 4 On considère un point M quelconque de la droite (D) et un point M quelconque de la droite (D ) a) En utilisant les coordonnées obtenues à la question 1, démontrer que : MM 2 = (a + b) 2 + (a 1) 2 + (b + 1) 2 + 3 b) En déduire que la distance MM est minimale lorsque M est en H et M est en H 6
EXERCICE 4 Première partie Réponses 1 Réponse c) 2 Réponse d) 3 Réponse b) 4 Réponse c) Réponse b) Explications 1 7x A + 4y A 3z A + 9 = 3 3 + 9 = 0 et donc A (P 1 ) 7x B + 4y B 3z B + 9 = 7 2 3 4 + 9 = 11 0 et donc B / (P 1 ) 7x C + 4y C 3z C + 9 = 7 ( 1) + 4 1 3 2 + 9 = 0 et donc C (P 1 ) 7x D + 4y D 3z D + 9 = 7 1 + 4 ( 4) + 9 = 0 et donc D (P 1 ) Enfin, les coordonnées du vecteur AC sont ( 1, 1, 1) et les coordonnées du vecteur AD sont (1, 4, 3) Les coordonnées des vecteurs AC et AD ne sont pas proportionnelles et donc les points A, C et D ne sont pas alignés Les points A, C et D définissent donc un unique plan : le plan (P 1 ) 2 Soit M(x, y, z) un point de l espace x = 1 + t M ( 1 ) t R/ y = 8 + 2t z = 10 + t Etudions alors l appartenance du point A à la droite ( 1 ) Pour t R, 1 + t = x A 8 + 2t = y A 10 + t = z A 1 + t = 0 8 + 2t = 0 10 + t = 3 Ce système d inconnue t n a pas de solution et donc A / ( 1 ) De même 1 + t = x B 8 + 2t = y B 10 + t = z B 1 + 8 + 2t = 0 10 + Ce système d inconnue t n a pas de solution et donc B / ( 1 ) 1 + t = x C 8 + 2t = y C 10 + t = z C 1 + t = 1 8 + 2t = 1 10 + Ce système d inconnue t n a pas de solution et donc C / ( 1 ) t = 1 t = 13 t = 3 t = 14 t = 0 t = 9 2 t = 12 http ://wwwmaths-francefr 7 c Jean-Louis Rouget, 2007 Tous droits réservés
1 + t = x D 8 + 2t = y D 10 + t = z D 1 + t = 1 8 + 2t = 4 10 + t = 0 Ce système d inconnue t admet la solution et donc D ( 1 ) 3 Un vecteur directeur de ( 1 ) est u 1 (1, 2, ) et un vecteur normal à (P 1 ) est n 1 (7, 4, 3) On a u 1 n 1 = 1 7 + 2 4 + ( 3) = 0, et donc la droite ( 1 ) est parallèle au plan (P 1 ) Ainsi, a) ou b) est vrai et c) et d) sont faux Soit alors M( 1 + t, 8 + 2t, 10 + t), t R, un point quelconque de ( 1 ) Etudions l appartenance de M à (P 1 ) 7( 1 + t) + 4( 8 + 2t) 3( 10 + t) + 9 = 0 Donc, tout point de ( 1 ) appartient à (P 1 ) ou encore ( 1 ) (P 1 ) 4 Un vecteur directeur de ( 2 ) est u 2 (2, 4, 1) Les coordonnées de u 1 et u 2 ne sont pas proportionnelles et donc u 1 et u 2 ne sont pas colinéaires On en déduit que ( 1 ) et ( 2 ) ne sont pas parallèles et sont donc soit sécantes soit non coplanaires Etudions alors l intersection de ( 1 ) et ( 2 ) Soit M( 1 + t, 8 + 2t, 10 + t), t R, un point de ( 1 ) 7 + 2t = 1 + t t = 18 t M ( 2 ) il existe t R tel que 8 + 4t = 8 + 2t il existe t R tel que 7 + 2(18 t) = 1 + t 8 t = 10 + t 8 + 4(18 t) = 8 + 2t t = 18 t il existe t 4 { R tel que 11 il existe t t R tel que = 18 t t = 88 22 Ce système d inconnue t et de paramètre t a une solution quand Les droites donc sécantes en le point de coordonnées ( 1 + 4, 8 + 2 4, 10 + 4) ou encore (3, 0, 10) Un vecteur normal à (P 1 ) est n 1 (7, 4, 3) et un vecteur normal à (P 2 ) est n 2 (1, 2, 0) n 1 et n 2 ne sont pas colinéaires et donc (P 1 ) et (P 2 ) sont sécants en une droite ( ) Soit u (a, b, c) 0 un vecteur directeur de ( ) { u n 1 = 0 u n 2 = 0 { 7a + 4b 3c = 0 a 2b = 0 { a = 2b 7(2b) + 4b 3c = 0 { a = 2b c = 6b Le vecteur u (2, 1, 6) est donc un vecteur directeur de ( ) ce qui montre déjà que les réponses c) et d) sont fausses Ensuite, la droite de la proposition a) passe par le point de coordonnées (0, 2, 0) Or, 0 0 2 ( 2) = 4 0 Ce point n est donc pas dans (P 2 ) et la réponse a) est fausse Enfin, la droite de la proposition b) passe par le point A(0, 0, 3) De plus, 7 0 + 4 0 3 3 + 9 = 0 et 0 0 2 0 = 0 Le point A appartient donc à (P 1 ) et à (P 2 ) et la réponse b) est vraie Deuxième partie 1 Les coordonnées de M sont (x A + ax u, y A + ay u, z A + az u ) ou encore M(a, 0, 3 a) De même, les coordonnées de M sont (x B + bx v, y B + by v, z B + bz v ) ou encore M (2, b, 4 + b) http ://wwwmaths-francefr 8 c Jean-Louis Rouget, 2007 Tous droits réservés
Enfin, les coordonnées de MM sont (x M x M, y M y M, z M z M ) ou encore MM (2 a, b, a + b + 1) 2 { (MM ) (D) (MM ) (D ) 3 Soient a et b deux réels { MM { u = 0 1 (2 a) 1 (a + b + 1) = 0 MM v = 0 1 b + 1 (a + b + 1) = 0 { 2a + b = 1 a + 2b = 1 { 2a + b = 1 a + 2b = 1 { b = 1 2a a + 2(1 2a) = 1 { a = 1 b = 1 Ainsi, il existe un et un seul couple de points (M, M ) tel que M (D), M (D ), (MM ) (D) et (MM ) (D ) Ces points sont notés H et H et sont obtenus quand a = 1 et b = 1 : H(1, 0, 2) et H (2, 1, 3) Enfin, HH = (x H x H ) 2 + (y H y H ) 2 + (z H z H ) 2 = (2 1) 2 + ( 1 0) 2 + (3 2) 2 = 1 + 1 + 1 = 3 4 a) On a MM (2 a, b, a + b + 1) Donc, HH = 3 MM 2 = (2 a) 2 + b 2 + (a + b + 1) 2 = 4 4a + a 2 + b 2 + (a + b) 2 + 2(a + b) + 1 = (a + b) 2 + a 2 2a + b 2 + 2b + = (a + b) 2 + (a 1) 2 1 + (b + 1) 2 1 + = (a + b) 2 + (a 1) 2 + (b + 1) 2 + 3 Pour tout point M de (D) et tout point M de (D ), MM 2 = (a + b) 2 + (a 1) 2 + (b + 1) 2 + 3 b) L expression précédente est minimum quand a = 1 et b = 1 car dans ce cas, les trois carrés sont nuls ou encore la distance MM est minimale lorsque M = H et M = H http ://wwwmaths-francefr 9 c Jean-Louis Rouget, 2007 Tous droits réservés