CHAPITRE 1. Quelques rappels

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CHAPITRE 1 Quelques rappels 1. Théorie des ensembles 1.1. Introduction. La théorie des ensembles joue un rôle important en calcul différentiel. On a qu à penser au domaine d une fonction qui est en réalité un ensemble. Sans entrer dans tous les détails, introduisons les ensembles et les opérations entre eux. Définition 1.1. Un ensemble est une collection d objets appelés éléments ayant ou non une relation entre eux. NOTATION Habituellement, on identifie les ensembles par une lettre majuscule et les éléments d un ensemble par une minuscule. Par exemple, un élément a est dans l ensemble A. Cette phrase peut être écrit en mathématique comme suit : a A, où le symbole signifie élément de. Exemple 1.1. Les ensembles A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2,maison} et C = {3, 4}. Ici, 1 A, maison B, mais 1 / C, c est-à-dire que l élément 1 n appartient pas à l ensemble C. On remarque que pour rassembler les éléments d un ensemble, on les met entre accolades {}. Cependant si le nombre d éléments d un ensemble est trop grand, cette notation est très peu utile. La façon de faire est présentée dans le prochain exemple. Exemple 1.2. Soit l ensemble G, l ensemble des garçons d une classe et F l ensemble des filles de cette classe. On les écrit comme suit : G = {x x est un garçon de la classe} et F = {x x est une fille de la classe}. NOTATION La barre verticale,, signifie tel que. Ainsi, l ensemble G se lit comme suit : "G est l ensemble des x tel que x est un garçon de la classe." 3

4 1. QUELQUES RAPPELS Définition 1.2. On dit que deux ensembles sont égaux si tous les éléments du premier sont dans le deuxième et vice-versa. Définition 1.3. Soit un ensemble E. On dit qu un ensemble S est un sous-ensemble de E si tous les éléments de S sont dans l ensemble E. NOTATION À ce moment, on écrit S E. Exemple 1.3. Soit les ensembles A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2,maison} et C = {3, 4}. On a que C A, mais B A car maison / A. 1.2. Diagramme de Venn. Le diagramme de Venn est une manière visuelle de représenter les ensembles. Afin d illustrer cette méthode, revenons à l exemple précédent. Exemple 1.4. Soit les ensembles A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2,maison} et C = {3, 4}. Le diagramme de Venn de ces ensembles est Sur cette B maison 1 2 4 3 C A Fig. 1. Diagramme de Venn. figure, on voit bien que l ensemble C est inclu dans l ensemble A. Ce diagramme sera très utile pour étudier les opérations sur les ensembles que l on abordera dans la prochaine section. Définition 1.4. L ensemble vide, noté ou {}, est l ensemble qui ne contient aucun élément. Il est à noter que l ensemble vide est un sous-ensemble de tous les ensembles. NOTATION A, ensembles A. Le symbole est un quantificateur universel et signifie "pour tout".

1. THÉORIE DES ENSEMBLES 5 1.3. Opérations sur les ensembles. Tout comme pour les nombres, il existe des opérations entre les ensembles. Le résultat de ces opérations est un ensemble. Définition 1.5. Soit A et B, deux ensembles. L union ou réunion de A et B est l ensemble formé de tous les éléments qui se retrouvent dans A et/ou B. On note cette opération A B. En mathématique, on écrit A B := {x x A et/ou x B}. Exemple 1.5. Si A = {1, 2, 3} et B = {3, 4, 5}, alors C = A B = {1, 2, 3, 4, 5}. L union de deux ensembles se visualise avec le diagramme de Venn. La partie ombragée de la figure 2 montre la réunion des ensembles A et B. Une autre opération importante est l intersection de deux ensembles. 000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 111 0000000 1111100000 A B Fig. 2. Diagramme de Venn pour l union de A et B. Définition 1.6. Soit A et B, deux ensembles. L intersection de A et B est l ensemble formé de tous les éléments qui se retrouvent à la fois dans A et dans B. On note cette opération A B. En mathématique, on écrit A B := {x x A et x B}. Exemple 1.6. Si A = {1, 2, 3} et B = {3, 4, 5}, alors C = A B = {3}. La partie ombragée de la figure 3 montre l intersection entre l ensemble A et l ensemble B. La dernière opération de cette section est la différence entre deux ensembles. Définition 1.7. Soit A et B, deux ensembles. La différence, notée A B ou A \B, est l ensemble des éléments qui sont dans A, mais qui ne sont pas d en B. En mathématique, on écrit A B := {x x A et x / B}.

6 1. QUELQUES RAPPELS A B Fig. 3. Diagramme de Venn pour l intersection de A et B. Exemple 1.7. Si A = {1, 2, 3} et B = {3, 4, 5}, alors A B = {1, 2} et B A = {4, 5}. Il est à noter que A B B A. On dit alors que cette opération n est pas commutative. Par contre, l intersection et la réunion le sont, c est-à-dire 4. A B = B A et A B = B A. L ensemble résultant de la différence A B est illustré à la figure 000000 111111 000000 111111 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 000000 111111 0011 A Fig. 4. Diagramme de Venn pour A B. B 1.4. L ensemble universel ou référenciel. L étude des ensembles est souvent reliée à certaines situations de la vie. À ce moment, les valeurs possibles pour les éléments d un ensemble sont soumises à des contraintes qui forment ce que l on nomme l ensemble universel ou référentiel. On note cet ensemble U. Pour bien comprendre ceci, regardons un exemple. Exemple 1.8. Un jeu de dés à six faces consiste à lancer simultanément deux dés. On gagne si on obtient deux chiffres identiques. Trouvez l ensemble référentiel et l ensemble des possibilités gagnantes. Ici, l ensemble U est constitué de tous les couples (x, y) où x et y sont des nombres de 1 à 6 obtenus respectivement par le premier et deuxième dé. Ainsi, on peut écrire U = {(x, y) x {1, 2, 3, 4, 5, 6} et y {1, 2, 3, 4, 5, 6}}.

1. THÉORIE DES ENSEMBLES 7 Pour ce qui est de l ensemble des possibilités gagnantes G, on a G = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6,6)}. Il est à noter que G U. Définition 1.8. Soit un ensemble A dans un ensemble universel U. On appelle complément de A, l ensemble de tous les éléments de U qui ne sont pas dans A. On note cet ensemble A ou A c. En mathématique, cet ensemble est décrit par A := {x x U et x / A}. Exemple 1.9. Soit U = {1, 2, 3, 4,..., 9, 10} et A = {2, 4, 6, 8}. Alors, A = {1, 3, 5, 7, 9, 10}. A est représenté à la figure 5. U A A Fig. 5. Diagramme de Venn pour A. 1.5. Les ensembles de nombres réels. Dans cette section, regardons cinq ensembles très importants en mathématiques et dans la vie quotidienne. Ces ensembles ont tous la particularité d être infinis, c est-à-dire qu ils contiennent un nombre infini d éléments. Ceci n était pas le cas des ensembles qu on a vu jusqu ici. Le premier ensemble est celui des nombres dits naturels. Définition 1.9. L ensemble des nombres naturels, noté Æ, est l ensemble suivant : Æ := {0, 1, 2, 3, 4,...}. NOTATION Lorsque l on A := B, le := signifie que l ensemble B est la définition de l ensemble A. Ainsi, Æ est par définition l ensemble {0, 1, 2, 3, 4,...}. Il ne faut pas confondre := avec = qui signifie seulement égalité entre les deux ensembles.

8 1. QUELQUES RAPPELS Il est à noter que dans certains livres 0 n est pas dans l ensemble Æ. Le deuxième ensemble est celui des nombres entiers. Définition 1.10. L ensemble des nombres entiers est l ensemble := {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,...}. On peut facilement remarquer que l ensemble des nombres naturels est un sous-ensemble des nombres entiers, Æ. Le prochain ensemble est l ensemble de toutes les fractions. C est l ensemble des nombres rationnels. Définition 1.11. L ensemble des nombres rationnels, É est l ensemble de tous les nombres de la forme p où p est un nombre entier et q q, un nombre naturel sauf 0. En mathématique, on écrit µ p É := q p, q Æ/{0}. Malgré ces trois ensembles, on ne peut pas décrire la vie réelle. Par exemple, le nombre π, qui est nécessaire dans l étude des cercles, n est dans aucun des ensembles. Pourtant, il s agit bel et bien d un nombre de la vie puisqu il est le rapport entre la circonférence et le diamètre d un cercle. Il faut donc ajouter un ensemble qui est l ensemble des nombres irrationnels, c est-à-dire les nombres qui ne s écrivent pas comme une fraction. On note cet ensemble É. Définition 1.12. L ensemble des nombres réels, Ê est l ensemble de tous les nombres de la vie. En réalité, Ê est l union de É et de É, Ê := É É. La relation entre ces ensembles est donnée grâce au diagramme de Venn à la figure 6. On remarque que Æ É Ê. Ê 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 0000 0000 1111 1111 1111 Æ 01 É 01 01 01 01 É Fig. 6. Diagramme de Venn des ensembles de nombres réels.

2. MANIPULATIONS ALGÉBRIQUES DE POLYNÔMES 9 Exemple 1.10. Regardons dans quels ensembles sont les nombres suivants : 1.3 : ce nombre est un nombre rationnel, car 1.3 = 13/10. Ainsi, 1.3 É. 2 : ce nombre est irrationnel. Dans un cours plus avancé, on peut le montrer. Il est très rare qu une racine soit rationnelle. 1. 2 est un nombre avec un développement décimal infini, mais il est tout de même rationnel, car 1. 2 = 11/9. 2. Manipulations algébriques de polynômes Dans ce cours que calcul, la simplification d une expression algébrique constitue environ 70% des points d un problème. Il faut donc connaître sur le bout de ses doigts les propriétés des exposants, les opérations sur des polynômes ainsi que la factorisation. 2.1. Les lois des exposants. Voici les propriétés des exposants qui sont essentielles de savoir : 1) a n a m = a m+n 5) a n a n = b b n 2) (ab) n = a n b n 6) (a n ) m = a m n 3) 4) 1 a = n a n 7) a n m = m a n = m a n a n a = m an m 8) a 0 = 1 Exemple 1.11. a) 3x 2 3 = 2 3 x 2 3 = 8x 6 b) 4x 3 2 = ( 4) 2 x 3 2 = 16x 6 c) 3(2x) 3 ( y 3 ) = 3(8x 3 )( y 3 ) = 24x 3 y 3 2.2. Opérations sur les polynômes. Tout comme pour les nombres réels, on peut additionner, soustraire, multiplier et diviser les polynômes. Nous prendrons pour acquis que cette théorie est maîtrisée. Ici, nous parlerons de la distributivité lorsque l on multiplie un polynôme par un polynôme. Afin de l expliquer, utilisons un exemple. Exemple 1.12. Effectuer la multiplication suivante : (3x + y)(4x 6y).

10 1. QUELQUES RAPPELS Pour effectuer cette multiplication, on doit multiplier chacun des termes du facteur de gauche avec les termes du facteur de droite. Par la suite, on les additionnent. Ainsi, (3x + y)(4x 6y) = 12x 2 18xy + 4xy 6y 2 = 12x 2 14xy 6y 2 Voici quelques exemples : Exemple 1.13. a) x y(x 2 + z) = x yx 2 yz b) (x y)(x 2 + z) = xx 2 + xz yx 2 yz = x 3 + xz x 2 y yz 2.3. Factorisation. La factorisation consiste en mettre en facteurs une expression algébrique, c est-à-dire à faire l opération inverse de la distributivité. Par exemple, si l on vous demande de factoriser 12x 2 14xy 6y 2, la réponse est (3x + y)(4x 6y). Le processus pour arriver à cette réponse est cependant un peu plus complexe que la distributivité. Nous verrons quelques méthodes utiles. 2.3.1. Reconnaissance de formes connues. Certaines formes d expression algébriques reviennent souvent. On les appelle identités. Voici les principales 1) A 2 B 2 = (A B)(A + B) Différence de carrés 2) (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 3) (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 4) (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 5) (A B) 3 = A 3 3A 2 B + 3AB 2 B 3 6) A 3 + B 3 = (A + B)(A 2 AB + B 2 ) Somme de cubes 7) A 3 B 3 = (A B)(A 2 + AB + B 2 ) Différence de cubes Exemple 1.14. Factoriser les expressions suivantes : a) 27y 3 + x 3 b) x 3 y 6 c) x 2 4y 8 En regardant chacune de ces expressions, on remarque que l on peut faire appel à certaines identités.

2. MANIPULATIONS ALGÉBRIQUES DE POLYNÔMES 11 a) 27y 3 + x 3 est une somme de cubes. Ainsi, 27y 3 + x 3 = (3y) 3 + x 3 = (3y + x)(9y 2 3xy + x 2 ) b) x 3 y 6 est une différence de cubes. Ainsi, x 3 y 6 = x 3 y 2 3 = (x y 2 )(x 2 + xy 2 + y 4 ) c) x 2 4y 8 est une différence de carrés. x 2 4y 8 = x 2 2y 4 2 = (x 2y 4 )(x + 2y 4 ) 2.3.2. Mise en évidence simple. Pour faire une mise en évidence simple, on trouve le monôme qui est en commun à chacun des termes du polynôme. Par la suite, on place ce monôme en avant de la parenthèse qui contient le quotient de chaque terme du polynôme par le monôme. Exemple 1.15. Factoriser 3x 2 y + 6xy 2 z 9x 4 y 3 z 2. On remarque que chaque coefficient est un multiple de 3 et que chaque terme possède au moins un x et un y. Ainsi, on mettra 3xy en évidence. 3x 2 y + 6xy 2 z 9x 4 y 3 z 2 = 3xy(x + 2yz 3x 3 y 2 z 2 ) Exemple 1.16. Factoriser ax + ay. Ici, a est un facteur commun dans chacun des termes. Ainsi, ax + ay = a(x + y). 2.3.3. Mise en évidence double. La mise en évidence double consiste à faire deux mises en évidence simple de suite. Exemple 1.17. Factoriser ax + ay + bx + by. On remarque qu il est impossible de trouver un facteur commun à chacun des termes. Par contre, a est un facteur commun aux deux premiers termes et b l est aux deux derniers. Ainsi, ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y). On a également que (x + y) est un facteur commun aux deux termes. Mettons-le en évidence. a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)

12 1. QUELQUES RAPPELS C est la mise en évidence double. Exemple 1.18. Factoriser x 2 + x + xy + y. On a x 2 + x + xy + y = x 2 + x + (xy + y) = x(x + 1) + y(x + 1) = (x + 1)(x + y) 2.3.4. Trinôme ax 2 +bx+c. Pour factoriser un trinôme de la forme ax 2 +bx+c, il faut utiliser une technique qui se nomme somme-produit. Cette technique demande de chercher deux nombres m et n tels que m + n = b et mn = ac. Par la suite, il ne reste plus à écrire b comme m + n et à effectuer une mise en évidence double. Exemple 1.19. Factoriser 3x 2 10x 8. On cherche deux nombres n et m tels que m + n = 10 mn = 24 n = 12 et m = 2 satisfont ces conditions. Ainsi, 3x 2 10x 8 = 3x 2 12x + 2x 8 = 3x(x 4) + 2(x 4) = (x 4)(3x + 2) 3. Fractions algébriques Définition 1.13. Soit P(x) et Q(x) deux polynômes. On appelle fraction algébrique l expression P(x) Q(x). Exemple 1.20. Les expressions suivantes sont des fractions algébriques : a) x + 1 x 2 1 b) 3x2 10x 8. x 4

3. FRACTIONS ALGÉBRIQUES 13 3.1. Simplification de fractions algébriques. Tout comme les fractions de nombres réels, on peut simplifier les fractions algébriques. Pour ce faire, on factorise le numérateur et le dénominateur puis on élimine les facteurs communs. Exemple 1.21. Simplifier 3x 2 10x 8. x 4 On a vu dans la section précédente que 3x 2 10x 8 = (x 4)(3x+2). Ainsi, 3x 2 10x 8 x 4 (x 4)(3x + 2) = (x 4) = (x 4)(3x + 2) (x 4) = 3x + 2 Il faut cependant faire attention avec ce que nous venons de faire. Le prochain exemple motive la mise en garde. Exemple 1.22. Simplifier À première vue, 6x 3x. 6x 3x = 2. Si l on ne se tient qu au terme de droite, la fraction vaut 2 peu importe la valeur de la variable x, c est-à-dire pour x Ê. Ce n est cependant pas le cas de l expression à gauche qui n est pas défini en x = 0, car il y aurait division par 0. Ainsi, la véritable réponse est 6x = 2 si x 0. 3x Il faut donc faire attention lorsque l on simplifie des termes d une expression, car il a une perte d information ce qui peut entraîner certaines absurdités comme le montre le prochain exemple.

14 1. QUELQUES RAPPELS Exemple 1.23. a = b hypothèse de départ a 2 = ab en multipliant les deux côtés par a. a 2 b 2 = ab b 2 en soustrayant b 2 de chaque côté. (a + b)(a b) = b(a b) différence de carrés à gauche et mise en évidence à droite (a + b) (a b) = b (a b) en divisant les deux côtés par a b. a + b = b Maintenant, si l on pose a = 1, on a aussi b = 1 par l hypothèse de départ. En reportant ces valeurs de a et b dans la dernière équation, on obtient 2 = 1. Ceci est vraiment une absurdité. Elle provient du fait que l on a divisé par 0 au moment de la division par a b, car a = b. Il faut donc être très vigilant avec la simplification. Afin d éviter les erreurs, il suffit qu à chaque simplification, on s assure de ne pas simplifier par 0. Exemple 1.24. Simplifier 3x 2 10x 8. x 4 On a vu dans la section précédente que 3x 2 10x 8 = (x 4)(3x+2). Ainsi, 3x 2 10x 8 x 4 (x 4)(3x + 2) = (x 4) = (x 4)(3x + 2) (x 4) = 3x + 2 Si x 4 3.2. Multiplication et division de fractions algébriques. La multiplication et la division se fait exactement comme pour les fractions de nombres. Soit P, Q, R et S des polynômes. Alors, P Q R S = PR QS P Q R S = PS QR Par la suite, il suffit de simplifier les expressions, mais toujours en faisant attention à ce que les dénominateurs ne soient pas nuls. Exemple 1.25. Simplifier x 4 27x 3x 2 18x + 27 7x 2x 6.

3. FRACTIONS ALGÉBRIQUES 15 Débutons par déterminer les différentes restrictions. Tout d abord, les dénominateurs ne doivent pas être nuls. Ainsi, 3x 2 18x + 27 0 2x 6 0 De plus, on ne peut pas diviser par 0, d où la condition 7x 2x 6 0. Étudions chacune de ces conditions. 3x 2 18x + 27 0 3(x 2 6x + 9) 0 3(x 3) 2 0 x 3 Les deux autres conditions nécessitent que x 3 et x 0. On peut maintenant simplifier la division. x 4 27x 3x 2 18x + 27 7x 2x 6 = x 4 27x 3x 2 18x + 27 2x 6 7x = x(x3 27) 3(x 3) 2x 6 2 7x = x(x 3)(x2 + 3x + 9)(2x 6) 3(x 3) 2 7x = 2(x2 + 3x + 9) 21 3.3. Addition et soustraction de fractions algébriques. Pour additionner ou soustraire des fractions algébriques, il faut suivre les étapes suivantes : Étape 1: Factoriser les dénominateurs. Étape 2: Déterminer le plus petit dénominateur commun, c està-dire prendre tous les facteurs des dénominateurs sans répétition. Étape 3: Mettre les fractions sur ce plus petit dénominateur commun. Étape 4: Additionner ou soustraire les numérateurs. Étape 5: Simplification de la fraction.

16 1. QUELQUES RAPPELS Exemple 1.26. On veut simplifier x + 4 2x 2 + 5x + 2 + 3 4x 2 + x 14. Étape 1: On factorise les dénominateurs x + 4 (2x + 1)(x + 2) + 3 (4x 7)(x + 2). Étape 2: On cherche le dénominateur commun. On prend tous les facteurs des dénominateurs sans répétition. Ainsi, ce dénominateur est (2x + 1)(x + 2)(4x 7). Étape 3: On multiplie donc chaque fraction par ce qui manque comme suit : x + 4 (2x + 1)(x + 2) 4x 7 4x 7 + 3 (4x 7)(x + 2) 2x + 1 2x + 1. Étape 4 et 5: On peut maintenant additionner les fractions et simplifier. (x + 4)(4x 7) + 3(2x + 1) (2x + 1)(x + 2)(4x 7) 4.1. Les équations. = 4x 2 + 15x 25 (2x + 1)(x + 2)(4x 7). 4. Équations et inéquations Définition 1.14. Une équation est une relation qui unit deux expressions par un signe d égalité. Exemple 1.27. Voici quelques exemples d équations : 1 + 2 = 3, x 2 + 2x + 1 = 0, xy 2 + 7x cosx = e x. Définition 1.15. L ensemble solution d une équation contenant des variables est l ensembles des valeurs de ces variables qui rendent l équation vraie. Exemple 1.28. Déterminer l ensemble solution de l équation 3x + 9 = 0. Pour trouver l ensemble solution, il suffit d isoler la variable. Ainsi, ES = { 3}. 3x + 9 = 0 3x = 9 x = 3

4. ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS 17 Exemple 1.29. Trouver l ES de x 2 1 x + 1 = 0. Encore une fois, il suffit d isoler x. x 2 1 x + 1 = 0 x 2 1 = 0 En multipliant par x + 1x 2 = 1 x = ± 1 x = ±1 Par contre, nous devons rejeter x = 1, car il annule le dénominateur au départ. Ainsi, ES = {1}. Pour le prochain exemple, nous aurons besoin du principe du produit. Théorème 1.1 (Principe du produit nul). Soit A et B deux expressions telles que Alors, soit A = 0 ou soit B = 0. A B = 0. Ce principe est très simple, mais encore plus utile. Exemple 1.30. Trouver l ensemble solution de l équation 2x 2 + 2x 4 = 0. Tout d abord, factorisons le membre de gauche à l aide de la méthode somme-produit. Nous obtenons que 2x 2 + 2x 4 = 0 2(x + 2)(x 1) = 0 Ainsi, soit x + 2 = 0 ou x 1 = 0. D où, 4.2. Les inéquations. ES = { 2, 1}. Définition 1.16. Une inéquation est une relation qui unit deux expressions par un signe d inégalité. Exemple 1.31. Voici quelques exemples d inéquations : 1 + 2 3, x 2 + 2x + 1 0, xy 2 + 7x cosx < e x.

18 1. QUELQUES RAPPELS Définition 1.17. L ensemble solution d une inéquation contenant des variables est l ensembles des valeurs de ces variables qui rendent l inéquation vraie. Habituellement, l ensemble solution d une inéquation est donnée sous forme d intervalle. Expliquons cette notion d intervalle. Plus tôt dans ce chapitre, nous avons discuté des nombres réels. Cet ensemble peut se représenté à l aide d une droite dite droite réelle. Il arrive parfois que l on doit travailler sur une sous-ensemble de Ê. 3 2 1 0 1 2 3 Fig. 7. Droite réelle À ce moment, on appelle cette portion de la droite réelle, un intervalle. Il existe plusieurs types d intervalles. La table 1 montre quelques exemples d intervalle ainsi que la façon mathématique de les écrire.

4. ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS 19 Nom Représentation graphique Écriture Ouvert 3 2 1 0 1 2 3 I =] 1, 2[ Fermé 3 2 1 0 1 2 3 I = [ 1,2] 3 2 1 0 1 2 3 I = [ 1,2[ Infini 3 2 1 0 1 2 3 I = [ 1, [ Troué 3 2 1 0 1 2 3 I = [ 1, [\{2} 3 2 1 0 1 2 3 I =], 1] [1, [ Tab. 1. Exemples d intervalles Nous sommes maintenant en mesure de résoudre des inéquations. Exemple 1.32. Trouver l ensemble solution de l inéquation 3x 9 > 0. Il suffit encore une fois d isoler la variable. 3x 9 > 0 3x > 9 x > 3 Ainsi, ES =]3, [. Graphiquement, ES est

20 1. QUELQUES RAPPELS 1 0 1 2 3 4 5 important important important important important Si l on multiplie ou si l on divise par un nombre négatif lorsque l on isole une variable, il faut le signe de le sens de l inégalité. Exemple 1.33. Trouver l ensemble solution de l inéquation Isolons x. 3x 1 > 0 3x > 1 3x 1 > 0. x < 1 3 car division par 3. Ainsi, ES], 1 3 [. Le prochain exemple est un peu plus complexe. Exemple 1.34. Trouver l ensemble solution de x 2 1 > 0. La façon de procéder est d utiliser un tableau de signes. Ce dernier est simple d utilisation. Tout d abord, on doit mettre tous les termes du même côté de l inéquation question d avoir 0 de l autre. Ici, c est déjà le cas. Par la suite, on factorise l expression et on trouve les valeurs de x qui annule l expression. Ainsi, On résout par la suite, l équation x 2 1 > 0 (x 1)(x + 1) > 0. (x 1)(x + 1) = 0. La solution est donc x = ±1. On place ces valeurs dans un tableau de signes. x 1 1 (x 1) 0 + (x + 1) 0 + + + (x 1)(x + 1) + 0 0 +

5. LA VALEUR ABSOLUE 21 Ainsi, x 2 1 est positif si x ], 1[ ]1, [. 5. La valeur absolue Définition 1.18. La valeur absolue de x est donnée par x si x < 0, x := x si x 0. Exemple 1.35. 4 = 4 4 = 4 π = π La résolution d équation contenant une valeur absolue nécessite un peu de réflexion. Pour bien comprendre, la manière de procéder, étudions un exemple. Exemple 1.36. Trouver l ensemble solution de l équation x = 4. Dans l exemple précédent, on a vu que 4 = 4 et 4 = 4. Ainsi, il y a deux possibilités pour x. D où, ES = { 4, 4}. Pour résoudre une telle équation, il suffit donc d isoler la valeur absolue. Par la suite, soit que l expression à l intérieur de la valeur absolue vaut l autre côté ou l autre côté multiplié par 1. Exemple 1.37. Trouver l ensemble solution de 2x 2 + 8 = 16. 2x 2 + 8 = 16 2x 2 = 8 Ainsi, ES = { 3, 5}. 2x 2 = 8 OU 2x 2 = 8 x = 5 OU x = 3 La résolution d inéquation contenant une valeur absolue est cependant un peu plus complexe. Pour bien comprendre, étudions deux exemples simples. Exemple 1.38. On veut résoudre x < 6. Il est facile de voir que x doit être plus petit que 6. C est notre première condition et elle s écrit x < 6. Par contre, ce n est pas tout, il y a une deuxième condition. Il

22 1. QUELQUES RAPPELS faut également que x > 6 sinon, le nombre en valeur absolue ne sera pas plus petit que 6. Ainsi, on a deux conditions à respecter pour x : x > 6 et x < 6. Lorsqu il y a un et, on prend l intersection des deux conditions. D où, ES =] 6, 6[. Exemple 1.39. Trouvons l ensemble solution de l inéquation x > 6. Ici, soit que x est plus grand que 6, i.e. x ]6, [ ou que x est plus petit que 6, i.e. x ], 6[. Le ou signifie union des deux conditions. Ainsi, ES =], 6[ ]6, [. Voici le théorème qui nous servira pour la suite des choses. Théorème 1.2. Soit un nombre c. Deux cas : si x < c, alors x > c ET x < c, si x > c, alors x < c OU x > c. Exemple 1.40. Trouvez l ensemble solution de l inéquation 2 3x 4 3 < 1. La première étape consiste à isoler la valeur absolue. Ainsi, on a 3x 4 < 2. Puisque la valeur absolue est plus petite, on a 3x 4 < 2 3x 4 < 2 ET 3x 4 > 2 3x < 6 ET 3x > 2 x < 2 ET x > 2 3 3 2 1 0 1 2 3 D où, ES = ç 2 3, 2ä. Exemple 1.41. Trouvons l ensemble solution de l inéquation 2 x+ 4 + 4 < 2. On isole la valeur absolue : 2 x + 4 + 4 < 2 2 x + 4 < 2 x + 4 > 1

5. LA VALEUR ABSOLUE 23 Maintenant, on a x + 4 > 1 x + 4 > 1 OU x + 4 < 1 x > 3 OU x < 5 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 Ainsi, ES =], 5[ ] 3, [.