Chaitre SIMIIUDE E DIMENSIONNEMEN Il y a encre une grande décuverte à faire en littérature : ce serait de ayer les écrivains seln la uantité de livres u ils s engageraient à ne as écrire. hmas CRYE.1. PROBÈMIQUE es éuatins générales établies au chaitre 1 divent ermettre, en thérie, de résudre tus les rblèmes de transferts relatifs aux fluides newtniens. En ratiue ceendant, il y a une uasi-imssibilité à résudre cmlètement ces éuatins à chaue instant et en tut int de l éculement, sauf dans uelues cas articuliers. Il est dnc indisensable de rcéder à une simlificatin, en établissant une méthde de travail lus ératinnelle, et en élabrant des mdèles schématisés ui cnstituent ceendant une descritin aussi fidèle ue ssible de la réalité bservable. On urra ainsi établir des lis hénménlgiues d un usage beaucu lus cmmde. Dans ce but, et vu la multilicité des aramètres ui interviennent dans l ensemble des éuatins de bilans, il eut araître judicieux de les agglmérer sus frme de gruements adimensinnels, ur faciliter l interrétatin et la cmaraisn des résultats exérimentaux. Pur ce faire, la méthde la lus naturelle cnsiste à imlanter des grandeurs sans dimensin dans les éuatins. vec les démarches classiues cmme l analyse dimensinnelle u l analyse d échelle, la significatin hysiue des nmbres sans dimensin ne ressrt as tujurs clairement, et certains d entre eux snt intrduits d une façn uelue eu arbitraire. Nus cherchns dans ce chaitre à mntrer l intérêt ue résente l élabratin d une méthde systématiue. cet égard, l util ue cnstitue l éuatin générale de bilan manifeste ici sa fécndité. Partant de l éuatin lcale ur une grandeur C, n l écrit sus frme adimensinnelle, en faisant en srte ue le cefficient du terme de transrt ar la matière sit égal à 1. araissent alrs des «critères de similitude», gruements sans dimensin assciés chacun à un terme de surce, et tels ue deux exériences différentes dnnernt des résultats semblables si les critères de similitude nt la même valeur dans l une et dans l autre. a significatin hysiue et la fnctin de ces aramètres snt alrs nettement maruées. Par exemle, dans ce frmalisme, le nmbre de Reynlds aaraît cmme un critère de similitude relatif aux cntraintes visueuses dans le bilan de uantité de muvement, alrs ue l interrétatin traditinnelle le dnne ur un «rart entre les frces d inertie et les frces
de viscsité», ce ui est lus u mins cnvaincant (cmment dnc exliuer ce u est une «frce d inertie» dans un éculement nn accéléré?). On dit bien suligner le fait ue si tus les critères de similitude snt, ar essence, des nmbres sans dimensin, tus les nmbres sans dimensin ne snt as des critères de similitude. Nus verrns ue armi les nmbres sans dimensin d usage curant, certains juent effectivement ce rôle (nmbres de Reynlds, de Stantn ) ; d autres se résentent cmme des termes de culage entre des surces de même nature, mais ne relevant as des mêmes bilans (nmbre de Prandtl ) ; d autres enfin ne snt ue des aramètres adimensinnés (nmbre de Nusselt ). Il est à nter aussi ue la méthde s aliue à tutes les éuatins de bilans, y cmris les éuatins intégrales, et eut générer de nuveaux critères de similitude ui ne sernt tributaires d aucun chix arbitraire. Dans la dernière artie, nus attirns l attentin sur les avantages de la similitude, mais aussi sur ses limites, et nus mettns le lecteur en garde cntre les risues d un emli tr systématiue, u mal maîtrisé, des nmbres sans dimensin. Pur cmmencer, un retur à l exérience va ermettre de discerner les éléments essentiels à une telle démarche, ce ui nus cnduira à une méthdlgie basée sur la ntin de similitude ; lus tard, l analyse des dnnées exérimentales abutira à la mise en lace de deux mdèles descritifs : le mdèle de cuche limite et le mdèle statistiue de la turbulence... PREMIERS PPORS DE EXPÉRIENCE..1. Exérience de Reynlds (1883)..1.1. DESCRIPION exérience sur lauelle nus allns nus auyer aartient, cmme celle de Cuette ( 1.1.3), à cette catégrie de réalisatins ui, tut en étant très simles dans leur rincie, ssèdent une grande richesse heuristiue et édaggiue. De lus, histriuement, il s agit sans dute de la remière véritable exérience de visualisatin. Elle cnsiste à bserver l éculement d un liuide dans un tube transarent dnt la ari intérieure est eu rugueuse. e tube est alimenté ar un réservir à niveau cnstant (fig..1) et il cmrte une vanne R à sn extrémité. Pur visualiser la structure de l éculement, n y intrduit un clrant liuide au myen d une iette fine lacée à l entrée du tube, aussi rigureusement ue ssible dans l axe de celui-ci. alimentatin en clrant est également réalisée au myen d un réservir à niveau cnstant, un etit rbinet R ermettant d ajuster la vitesse du clrant à celle du fluide...1.. OBSERION u déart, la vanne R est fermée ; l exérience cnsiste à l uvrir rgressivement, ar étaes, et dnc à augmenter as à as la vitesse du liuide dans le tube. e cmrtement du clrant met alrs clairement en évidence tris hases dans l asect de l éculement.
FIG..1. Exérience de Reynlds. Phase 1. u début, ur les vitesses faibles, le filet clré issu de la iette est arfaitement rectiligne jusu à la srtie du tube. On n bserve aucun mélange entre le clrant et le liuide (fig..). Phase. artir d une certaine valeur de la vitesse, le filet clré se met à nduler et s éaissit rgressivement vers l aval de l éculement. rsu n augmente encre la vitesse, les ndulatins s amlifient et il aaraît en aval une zne de mélange ù le clrant se diserse ttalement dans l éculement. Cette zne de mélange se délace vers l amnt en même tems ue crît. FIG... Régimes d éculement dans une canalisatin. Phase 3. a zne de mélange atteint l entrée du tube. Dès sn éjectin, le clrant est entièrement dilué dans le liuide, ce ui imliue un brassage cmlet des articules fluides dans le tube.
es tris tyes d éculements mis en évidence ar l exérience snt resectivement ualifiés de laminaire (hase 1) et turbulent (hases et 3). Pur des raisns ui sernt justifiées lus lin, n aelle turbulent «lisse» le régime crresndant à la hase, et turbulent «rugueux» celui ui crresnd à la hase 3. De lus, Reynlds a mntré, en utilisant différents liuides et différents diamètres de tubes, ue la transitin laminaire turbulent (hase 1 hase ) ne déend as séarément des aramètres, u µ (viscsité dynamiue du liuide), u ρ (masse vlumiue) u D (diamètre du tube), mais uniuement du gruement ρd/µ, ui est un nmbre sans dimensin. Il fut cnvenu ar la suite d aeler nmbre de Reynlds ce gruement ue nus nterns désrmais Re. ρ D Re µ a valeur critiue Re c du nmbre de Reynlds ui caractérise la transitin laminaire turbulent eut varier légèrement avec certaines cnditins exérimentales (gémétrie de l entrée du tube ar exemle), mais elle n est jamais inférieure à, sa valeur la lus curante étant visine de.... Exérience de la laue lane On eut se demander si certains asects des bservatins récédentes ne snt as liés au caractère articulier de la gémétrie cylindriue u à la nature du fluide (l exérience est lus difficile à mettre en euvre avec un gaz). Une série d bservatins cmlémentaires réalisées en gémétrie lane mntre u il n en est rien. Une laue lane de surface lisse est lngée dans un éculement de fluide (gaz u liuide) dnt la vitesse U est unifrme ; elle est dissée arallèlement à la directin de U, et sn brd d attaue est biseauté ur éviter des hénmènes arasites (fig..3). FIG..3. Régimes d éculement sur une laue lane En un int chisi à rximité de la laue et du brd d attaue, n fait arriver un filet de clrant (liuide u gaz seln la nature de l éculement rincial), à la même vitesse U. Cmme dans l exérience de Reynlds, n bserve le cmrtement du clrant et l n cnstate l aaritin de hénmènes analgues :
e filet clré est d abrd rectiligne et bien individualisé, ce ui crresnd, d arès la définitin du aragrahe récédent, à une zne d éculement laminaire. rrivé à une certaine distance du brd d attaue, le filet cmmence à nduler en s éaississant, uis se dilue dans le fluide ; n recnnaît ici une zne d éculement turbulent. Dans le cas résent, il n est dnc as nécessaire de faire varier la vitesse ur bserver les différentes structures d éculement uisue celles-ci cexistent le lng de la laue lane. En réitérant l exérience ur différentes vitesses et différentes viscsités de fluides, n cnstate en utre ue la transitin laminaire turbulent est caractérisée ar une valeur critiue du gruement ρu x/µ, l abscisse x étant mesurée le lng de la ari à artir du brd d attaue. a arenté de ce terme sans dimensin avec le aramètre ρd /µ de l exérience récédente cnduisit à l aeler également nmbre de Reynlds. On a dnc ici : Re ρu µ x Si x c est l abscisse de transitin, la valeur critiue de Re, sit Re xc ρu x c /µ, est de l rdre de 1 5...3. Exlitatin des exériences insi u il a déjà été annncé au début de ce chaitre, les exériences ue l n vient de décrire nt l intérêt d être simles à interréter et de suggérer à la fis des mdèles ur les éculements laminaires et turbulents, et une méthde générale de travail...3.1. NYSE QUIIE E MODÉISION éculement laminaire se caractérise ar une uasi absence de mélange entre le fluide et le clrant. Il se rduit bien un mélange dû à la diffusin mléculaire, mais celui-ci est très lent. ut se asse dnc en fait cmme si les articules fluides suivaient des trajets ui ne s entrecrisent jamais. utes les articules issues d un même int frment une srte de «filet fluide» analgue à un rail ui ne cmrterait as d aiguillages. Pur des cnditins aux limites statinnaires, les aramètres de l éculement (,,, etc.) snt des cnstantes. artir de ces aarences, n eut dessiner un remier mdèle ù le fluide en éculement serait cnstitué de lames minces (d ù le terme de laminaire) ui glisseraient les unes sur les autres, en exerçant sur leur surface de cntact un effrt de frttement τ ij dû à la viscsité. Cet asect a déjà été évué à rs de l éculement de Cuette ( 1.1.3.). D autre art, dans le secnd tye d éculement, ualifié de turbulent, il se rduit endant le délacement un mélange rgressif entre le fluide et le clrant, uis un brassage général. Ceci exige un enchevêtrement des trajectires suivies ar les articules fluides, et indiue l aaritin lcale de muvements instatinnaires tridimensinnels ui ne snt as induits directement ar les cnditins aux limites uisu ils se manifestent même lrsue celles-ci snt statinnaires. On ne eut dnc lus arler ici de filets fluides u de lames fluides. a ntin de trajectire garde évidemment un sens hysiue mais erd tut intérêt ératinnel.
Cette interrétatin cnduit tut naturellement à un mdèle d éculement turbulent dans leuel un muvement chatiue, d aarence aléatire, se suerserait à un muvement d ensemble cnsidéré cmme muvement myen, c est-à-dire ur le remier à un mdèle statistiue. Ce muvement, d asect irrégulier (du mins à remière vue) cnstitue le hénmène de la turbulence. a descritin des éculements turbulents fera l bjet du chaitre 3...3.. UNE MÉHODE DE RI : SIMIIUDE Penchns-nus maintenant sur le dernier enseignement des exériences récédentes. Celle-ci mettent en jeu uatre aramètres ue l n eut mdifier : la vitesse du fluide ( u U ), une lngueur (diamètre D du tube u lngueur de la laue), la masse vlumiue ρ et la viscsité dynamiue µ du fluide. Mais n bserve ue le critère de transitin laminaire turbulent fait intervenir un seul aramètre adimensinnel Re ui cmbine les uatre récédents. On eut alrs légitimement se demander si d autres rriétés des fluides en éculement ne urraient as être décrites également ar un nmbre réduit de gruements sans dimensin. Plus récisément, eu égard au nmbre élevé de aramètres nécessaires ur décrire cmlètement un rblème d éculement anistherme (ρ,,,, µ, etc.), l interrgatin essentielle dit être frmulée en ces termes : «uelle cnditin eut-n attribuer une valeur générale à une exérience articulière?». Ou encre : «Peut-n établir des lis de cmrtement ui ne fassent as intervenir les cnditins articulières relatives à telle u telle exérience?». a méthde ui ermet de réndre ar l affirmative à ces uestins rte le nm de similitude. Bien entendu, la même uestin se se dans tutes les branches de la hysiue, mais elle rend une imrtance majeure en thermcnvectin ur la raisn indiuée lus haut. En utre, si elle se se d abrd au théricien, elle résente aussi un intérêt tut articulier ur l ingénieur ui ne eut, dans bien des cas, ni résudre sn rblème cmlet ar le calcul (encre ue les chses cmmencent à changer dans ce dmaine), ni rendre le risue financier d une exérimentatin directe en grandeur nature et dans les cnditins nrmales d utilisatin. Ce sera le rôle d une étude sur mauette ue d arter des renseignements sur le cmrtement du mdèle définitif, la similitude ermettant de transser de l une à l autre les résultats btenus. Intuitivement, n se rend cmte, ar exemle ue, ur u il y ait similitude entre deux éculements, il est nécessaire ue les trajectires des articules fluides sient semblables (similitude gémétriue, imliuant celle des frntières) et ue les articules ccuent des sitins hmlgues à des instants hmlgues (similitude cinématiue). Il reste maintenant à réciser et à cmléter ces dnnées intuitives...3.3. UN OUI DE RI : DIMENSIONNEMEN D une façn mins cntraignante, n eut aussi se cntenter d utiliser des gruements sans dimensin uniuement ur diminuer le nmbre des aramètres mis en jeu, sans faire sécifiuement référence à la similitude. Ceci élargit l éventail des ssibilités, car il existe des nmbres sans dimensin ui ne snt as rerésentatifs d une similitude, mais ui snt néanmins des utils de travail utiles et aréciés. Nus les asserns en revue au.5.
.3. ES FONDEMENS DE SIMIIUDE vant de nus intéresser de façn lus arfndie aux mdèles d éculements (ch. 3 et suivants) nus examinerns d abrd la uestin de la similitude, en essayant de ser le rblème dans tute sa généralité..3.1. Frme adimensinnelle d une éuatin de bilan Nus artirns de l éuatin générale de bilan lcal (1.4) ur une entité hysiue scalaire : C div( C ) I div t S en raelant le sens des ntatins : C densité vlumiue de l entité cnsidérée I débit lcal des surces de vlume S densité de flux lcale des surces de surface Il va nus être utile d indiuer, dans l écriture de l éuatin récédente, ue ur une entité dnnée, les surces de surface aussi bien ue de vlume euvent être de lusieurs srtes, ce ue nus symbliserns ar des smmatins sur deux indices n et m : C t div( C ) In n m div Sm (.1) Si l n veut faire aaraître dans cette éuatin des gruements sans dimensin, et s affranchir ur sa réslutin des valeurs articulières de certains aramètres, n est cnduit à y intrduire des variables adimensinnelles. Il cnvient ur cela de cmarer chaue variable à une valeur de référence (à l inverse, l idée même de cmaraisn cnduit tut naturellement à la ntin de grandeur sans dimensin). Pur les crdnnées d esace et de tems, n chisira ainsi : : lngueur de référence relative à la gémétrie de l éculement (u «échelle de lngueur») t : durée de référence (u «échelle de tems»). es grandeurs de référence relatives à (grandeur scalaire) In et C,,, sernt, uant à elles, ntées C, In Sm (scalaire également). es variables adimensinnelles (u variables réduites) snt alrs définies de la façn suivante : Sm x y z x ; y ; z ; t C C ; C In In ; Sm In Sm Sm t t (.)
Deux remarues s imsent à rs des définitins récédentes. Premièrement, uisu n ne eut as diviser un vecteur ar un autre, la référence d une grandeur vectrielle est bligatirement un scalaire. Deuxièmement, le chix d une même lngueur de référence dans les tris directins de l esace araît à remière vue une nécessité lgiue, mais il y a des exemles (cmme les entrées de canalisatins) ù ce chix est hysiuement inarrié. Nus en arlerns au chaitre 6 ( 6.5). Remlaçns maintenant x, y, z, t, C, In, et dans l éuatin (.1). On a en articulier : C t C t C t C C ( C ) (et de même ur y et z). x x éuatin (.1) s écrit dnc : Sm en fnctin des nuvelles variables C t C t C div C In In n ù tus les cefficients snt de dimensin [C] [t] - 1. m Sm div Sm (.3) Nus uvns rendre cette relatin cmlètement adimensinnelle en multiliant les deux membres ar /C, ui est de dimensin [t][c] 1. ératin résente en articulier l avantage d isler le terme de transrt : div C. On btient ainsi : t C t div C n C In In m C Sm div Sm (.4) Bien entendu, tut ceci n a de sens ue si les grandeurs de référence C,. snt des cnstantes. es gruements sans dimensin ui snt aarus dans l éuatin (.4) résentent un grand intérêt. Nus les nterns resectivement Γ t, Γ In, Γ Sm : Γt t In Γ In (.5) C Sm ΓSm C d ù l écriture définitive de l éuatin générale adimensinnelle de bilan lcal : C Γ t div C Γ In In Γ Sm div Sm (.6) t n m
On abutit à des cefficients Γ identiues aux récédents si l n raisnne sur une grandeur vectrielle. a méthde ssède dnc une validité tut à fait générale..3.. es critères de similitude étude d un rblème de thermcnvectin sus frme adimensinnelle cnduit dnc à résudre un système de lusieurs éuatins de bilans du tye (.6), éuatins relatives aux différentes entités hysiues ui divent être rises en cmte. es incnnues snt habituellement les distributins C (x, y, z, t ) des grandeurs hysiues cnsidérées. es termes de surces In, Sm et les vitesses déendent en général des grandeurs C. titre d aide-mémire, n truvera en annexe (..1) des tableaux raelant les rinciales surces imliuées dans les bilans ue nus aurns à utiliser. On vit ue deux rblèmes différents urrnt être ualifiés de semblables s ils nt des slutins adimensinnelles identiues, car alrs, en tus ints hmlgues des deux éculements (ints ayant les mêmes crdnnées réduites x, y, z ), les grandeurs C,, In, Sm sernt dans des rarts cnstants. identité des slutins imliue en articulier ue les cefficients Γ définis ar (.5) sient resectivement égaux. es Γ cnstituent dnc un ensemble de «critères de similitude», chacun d eux étant relatif à une grandeur C et à une surce dnnées, c est-à-dire à un rblème hysiue bien récis (sauf Γ t, sur leuel nus reviendrns dans un instant).. Crrélativement, il y a invariance des slutins dans tute transfrmatin réalisée à Γ cnstants. Enfin, les critères de similitude snt évidemment indéendants du système d unités uisu ils snt sans dimensin. e chix ue nus avns fait dans la cnstructin des éuatins adimensinnées (cefficient 1 devant le terme de transrt) revient à imser la similitude à l échelle 1 ar rart au flux transrté, et à chercher à uelles cnditins une similitude sera également assurée ur les surces. Ceendant, l égalité des cefficients Γ ne suffit as à assurer l identité des slutins. Il faut en utre vérifier l identité des cnditins aux limites et des cnditins initiales, exrimées également sus frme adimensinnelle. En articulier, les surfaces frntières des systèmes cnsidérés devrnt avir les mêmes éuatins en x, y, z. Ceci imliue la similitude gémétriue des frntières des deux éculements. ce rs, la réalisatin d une mauette exérimentale est rdinairement entendue dans un sens diminutif, «mauette» étant identifiée à «mdèle réduit» ; cette cncetin est tr restrictive, car la similitude autrise arfaitement l usage de «mdèles agrandis» si les dimensins du système à étudier snt tr etites. es critères de similitude snt cnstruits à artir de grandeurs de référence sur lesuelles nus n avns dnné ur l instant aucune récisin. En fait, les chix de ces grandeurs snt a riri arbitraires mais, en ratiue, ils divent être en relatin avec les hénmènes hysiues cnsidérés. Par exemle, ur un éculement dans un tuyau de sectin circulaire, l exérience de Reynlds nus mntre ue la dimensin caractéristiue du hénmène n est as la lngueur du tube, mais sn diamètre. a lngueur de référence sera dnc ici le diamètre D. l inverse, ur l éculement sur une
laue lane, l exérience mntre ue c est la lngueur mesurée deuis le brd d attaue ui est rerésentative du hénmène, et c est dnc elle ui sera naturellement chisie cmme valeur de. utes récisins sur les chix des grandeurs de référence sernt dnnées au fur et à mesure des besins dans les chaitres d alicatins. Signalns tutefis dès maintenant, car ceci est imrtant, ue d une façn générale les grandeurs de référence sernt chisies sur des surfaces frntières. Ce sernt dnc des cnditins aux limites. rsue l n veut rendre deux rblèmes semblables, l égalité des cefficients Γ assure alrs is fact l identité de certaines cnditins aux limites. Si le rblème étudié cmrte au ttal N surces, il n y aura as frcément N critères Γ indéendants. En effet, certaines surces snt culées entre elles, ce ui se traduit ar des relatins de déendance entre les Γ crresndants (.5). vec l intrductin de la similitude, l un des buts ursuivis sera d établir la frme de ces relatins. Enfin, en l absence de surces, une éuatin de bilan devient une simle éuatin de cnservatin. En régime ermanent, il n y a lus de critères de similitude. Pur ue deux rblèmes sient semblables, il suffit alrs ue les cnditins aux limites exrimées en variables adimensinnelles sient identiues..3.3. Cnditins de validité de la similitude invariance des lis hysiues entre mdèle et mauette est évidemment l essence même de la similitude. cntrari, aucune similitude n est ssible si les lis ui guvernent les transferts ne snt as cnservées lrs d un changement d échelle (au sens large du terme : échelle de tems, de lngueur, de temérature, échelle dans les rriétés thermhysiues ). Pur dnner un exemle cncret, n ne eut as envisager de similitude entre un éculement d air à l échelle centimétriue et à ressin ambiante, et un éculement d air à échelle micrmétriue u à très faible ressin : le changement d échelle fait ue le libre arcurs myen des mlécules devient du même rdre de grandeur ue les dimensins du système ; le gaz ne eut lus alrs être cnsidéré cmme un milieu cntinu (cf. 1.1.1) et les lis de cmrtement (relatins cntraintes / défrmatins u flux de chaleur / écart de temérature) changent de frme. Mais bien entendu, n eut tujurs cnstruire une similitude dans tut dmaine à l intérieur duuel les lis hysiues snt cnservées, les définitins générales des critères Γ relatifs à chaue surce restant valables dans leur frme générale (.5)..4. PNORM DES CRIÈRES DE SIMIIUDE.4.1. es rincies et l usage rès cette résentatin glbale, il cnvient maintenant de réciser les exressins des critères de similitude ui interviennent dans les relatins de bilans établies au chaitre 1. Malheureusement, l usage a imsé des nmbres sans dimensin ui ne cïncident as exactement avec les cefficients Γ. C est ainsi ue les nmbres de Struhal (.9), de Reynlds (.6) u de Péclet (.57) snt les inverses des Γ crresndants, tandis ue
d autres (nmbre de Grashf (.9), de Bussines (.61) ) en snt les inverses élevés au carré. Dans le rincie, ceci est regrettable, mais la significatin de ces nmbres cmme critères de similitude n est as en cause ur autant : il y a seulement un renversement d échelle, et en lus, dans le secnd cas, une distrsin dans l échelle des valeurs numériues utilisées, ar rart à celles des critères Γ. On truvera en nnexe..1 des tableaux ui récaitulent l ensemble des critères de similitude et des surces auxuelles ils se rattachent, ainsi ue d autres nmbres sans dimensin d usage curant..4.. - e critère de similitude temrelle Cmmençns ar le cefficient Γ t, ui n intervient ue dans les hénmènes instatinnaires (éuatin.6). Sn exressin est dans tus les cas : Γ t t Il s agit d un critère de similitude temrelle ur leuel deux situatins snt à cnsidérer. e terme instatinnaire C / t est lié directement à l évlutin dans le tems des cnditins aux limites. Par exemle, si la vitesse à l entrée d une canalisatin varie en fnctin du tems, la uantité de muvement ρ déendra de t en chaue int. Sit dl le délacement d une articule fluide endant une durée dt : dl dt Psns : dl dl / ; n a : dl dt.t dt (.7) Ici, n ne eut as chisir la durée de référence t de façn arbitraire, si le chix de et de a déjà été fait, car n dit avir, en crdnnées réduites : dl dt d ù en rarchant de (.7) : t On a ar cnséuent : t et : Γ t 1 (.8) a similitude temrelle est autmatiuement assurée à l échelle 1. e terme instatinnaire C / t n est as lié à l évlutin des cnditins aux limites. C est ce u il se asse ar exemle dans un éculement turbulent, ù le muvement est instatinnaire même uand les cnditins aux limites snt statinnaires (..3.1), u
encre dans certains échangeurs thermiues ui snt arfis le siège de muvements vibratires S il y a suersitin d un muvement vibratire à un muvement myen, le terme C / t eut se dédubler ; il faut dnc a riri cnsidérer deux critères de similitude temrelle : - le remier, relatif au muvement myen, est égal à 1 d arès ce ui récède ; - dans le secnd, n chisira ur durée de référence la seud-éride t du hénmène. e critère de similitude temrelle relatif au muvement vibratire sera dnc : Γ / t (.9a) t usage a retenu, lutôt ue le nmbre Γ t, sn inverse (ui reste néanmins un critère de similitude, cf..4.1) aelé nmbre de Struhal S : t S (.9b)!!! Ceci dit, dans la suite de ce chaitre nus cnsidérerns uniuement des régimes ermanents, indéendants du tems. En effet, dans la luart des régimes variables, la caractérisatin des grandeurs de référence se de sérieux rblèmes et limite l intérêt de l adimensinnement..4.3. es critères de similitude relatifs aux surces de uantité de muvement Pur des raisns ratiues ue l n cnstatera lus lin, nus allns examiner d abrd l alicatin de la similitude aux transferts de uantité de muvement..4.3.1. GRNDEURS E REIONS DE BSE Cmme nus l avns déjà récisé en (.3.1), le fait ue la grandeur cnsidérée sit vectrielle ne change rien à la définitin (.5) des nmbres Γ, et les grandeurs de référence utilisées snt tujurs des scalaires. Dans le cas résent, n a dnc : C ρ ; C ρ ρ C ρ ρ (.1) Ntre éuatin de déart sera la relatin de bilan lcal (1.3) (en régime ermanent) : div P ρ F div dans lauelle nus adterns ur la frme (1.16b) I τ τ désignant le tenseur des cntraintes de viscsité. e bilan devient ainsi : div P ρ F div I divτ u lus simlement, d arès 1.. : div P ρ F grad divτ (.11)
.4.3.. CRIÈRES REIFS UX FORCES DE OUME Dans beaucu d alicatins, les surces vlumiues de uantité de muvement (ui snt les frces de vlume aliuées au fluide) snt négligeables devant les autres surces. rsu elles ne le snt as, tris situatins snt rincialement à envisager. es frces de esanteur snt réndérantes devant les frces de ressin (éculements à surface libre, vir Ch. 8) lrs, I ρ F ρ g et l n devra rendre cmme grandeur de référence un terme du même rdre, à savir : I ρ g. e critère de similitude relatif aux frces de esanteur est ici (cf..5) : I ρ g Γ g ρ. ρ ( ) g Γ g (.1a) ( ) inverse de Γ g est cnnu sus le nm de nmbre de Frude Fr : Fr 1 Γ g ( ) g (.1b) es frces de esanteur snt du même rdre de grandeur ue les frces de ressin (éculements en charge, vir Ch. 6) Cmme n a dans un éculement ischre I ρ g grad ( ρgz ), ù ρgz est hmgène à une ressin, n vit u il est également ssible de rendre ur valeur de référence I un gradient de ressin caractéristiue de l éculement. a ressin statiue étant liée à la vitesse, n cnvient rdinairement de chisir : ρ ( ) (.13a) c est-à-dire : fis la ressin dynamiue crresndant à la vitesse de référence. Quant à la référence I (ui dit être une grandeur scalaire, cf..4.3.1), ce sera tut naturellement le utient de la ressin de référence ar la lngueur de référence : I ( grad ) (.13b) d ù, en aliuant la définitin (.5) : I ρ ( ) Γ ρ. ρ ( ) c est-à-dire : Γ 1 (.13c)
Il n y a dnc lus ici de cnditin de similitude vis-à-vis des frces de esanteur : cette similitude se truve autmatiuement assurée avec un rart d échelle égal à 1. On aura nté u ici, le terme grad a été traité cmme une surce vlumiue, ce ui est arfaitement licite vu le caractère bivalent de la ressin, signalé au aragrahe 1.3.4.4. es frces d rchimède (u frces de flttabilité) snt du même rdre de grandeur ue les frces de ressin (cnvectin mixte) Sus l influence du gradient de temérature, le fluide subit des variatins de masse vlumiue à artir d une valeur de référence ρ (PC, Ch. 5 et 6). a frce ascensinnelle exercée sur une articule fluide s écrit : ρ ρ F g, et F ρ I ρ (.14) En intrduisant la dilatabilité du fluide : 1 β (.15a) ρ et en admettant ue ρ est une fnctin linéaire de, n eut faire aaraître les temératures si l n écrit : 1 ρ ρ ρ ρ β, sit : β ( ) (.15b) ρ ρ De ce fait : I ρ β ( ) g ρ β g (.16a) On rend alrs ur valeur de référence : I ρ β g (.16b) ù est un écart caractéristiue de temérature (en général ari - ) On dit dnc cmter dans le cas résent avec un nuveau critère de similitude : I g β Γ β sit avec (.16) : Γ β (.17a) ρ ( ) ( ) Par chance, le nmbre sans dimensin emlyé dans la ratiue cïncide avec Γ β et n est autre ue le nmbre de Richardsn Ri (arfis aelé aussi nmbre d rchimède) : Ri g β Γ β (.17b) ( ).4.3.3. CRIÈRES REIFS UX FORCES DE SURFCE es frces surfaciues se subdivisent en frces nrmales (ressin) et en frces tangentielles. D arès (1.16b), (1.5) et (1.3), n a ici :
(terme S S I S1 S τ (.18) Il y aura dnc a riri deux critères de similitude crresndant resectivement à S1 I ) et S (terme τ ). Frces de ressin 1. En tute rigueur, la valeur de référence S1 dit être une ressin statiue u mtrice (u une différence de ressin). Seln (.5), (.1) et (.13b), le critère Γ stat asscié est dnné ar : S1 Γ stat (.19) C ρ. Il rend alrs le nm de nmbre d Euler Eu (u très suvent de «cefficient de ressin» C /) : Eu Γ stat (.a) ρ ( ). Mais dans les éculements ischres u en cnvectin frcée, n réfère généralement, cmme il a déjà été dit au aragrahe.4.3.., chisir ur une ressin dynamiue en relatin avec la vitesse de référence, à savir : ρ ( (.b) S 1 ) Cette cnventin dnne satisfactin dans les cas cités, mais elle n est ceendant as la lus lgiue, et n verra u elle eut cnduire à des erreurs d interrétatin en cnvectin mixte (.5..). lrs, seln (.5) et (.1) et (.13b), le critère Γ asscié est cette fis : S1 Γ S1 C ρ c est-à-dire :. Γ 1 (.c) Il est nrmal d abutir aux mêmes cnclusins ue dans le aragrahe cité uisue la grandeur de référence est la même dans les deux cas. Frces de viscsité Cncernant les grandeurs de référence à rendre en cmte, une uestin nuvelle et imrtante va maintenant être sulevée avec la caractérisatin du critère de similitude relatif aux frces de viscsité. Pur les surces surfaciues engendrées ar un mécanisme de diffusin (dans le cas résent, la diffusin de uantité de muvement, cf. 1.3.6.5 ; lus lin, la diffusin de masse u de chaleur), n se truve devant une alternative, seln ue l attentin est rtée en ririté sur le cham de la fnctin incnnue (ici : le cham de vitesse) u sur ses gradients (ici : les cntraintes de viscsité).
I. Référence aux gradients de vitesse Si l n s intéresse lutôt au cham des cntraintes (ui snt rrtinnelles aux gradients de vitesse, relatin (1.18)), n rerendra la frmulatin (.18) en écrivant : S τ Ceci ermet d adter cmme valeur scalaire de référence S une cntrainte visueuse à la ari, ue l n nte τ : τ τ (cntrainte à la ari) (.1) S On btient immédiatement le critère Γ τ crresndant en revenant à la définitin (.5) : τ Γ τ (.a) ρ ( ) e nmbre sans dimensin usuel est le cefficient de frttement C f, égal à Γ τ ; n l écrit habituellement : 1 C f τ Γ τ (.b) ρ ( ) intrductin du facteur ½ a ur rigine le suci d exrimer le dénminateur de C f cmme une énergie cinétiue (ρ /). Ce n est as très heureux, mais c est maintenant une traditin. II. - Référence au cham de vitesse Si l n veut au cntraire mettre l accent sur le cham de vitesse, il faut intrduire l exressin détaillée de τ : avec : et : S τ µ D 1 i j ε ij ( D ) ij (1.9) x j x i x ( ) ( x ) x Pur établir la frme ue dit avir ici la grandeur de référence S, n exrimera τ ij en fnctin des grandeurs adimensinnelles déjà définies : 1 i j τ ij µ ε ij µ µ (.3) x j xi ce ui cnduit à faire aaraître une viscsité dynamiue de référence µ, évaluée dans des cnditins de temérature à réciser, telle ue µ µ /µ. D ù : S τ µ µ D (.4) Puisue l n dit uvir écrire : τ τ τ grandeurs réduites, il faut dnc bligatirement ue :, cnfrmément à la définitin des
τ µ (.5) ujurs d arès (.5), l exressin du critère de similitude est maintenant : Γ ν τ ρ. µ ν Γ ν (.6a) ρ Ce terme est lus cnnu sus sa frme 1 / Γ ν, ui est le nmbre de Reynlds Re, déjà cité au début du résent chaitre (..1 et..) : 1 Re (.6b) Γ ν ν Cmme il a été dit ur le nmbre de Struhal (.4.), Re a tujurs le sens d un critère de similitude, mais l échelle des valeurs numériues est inversée ar rart à Γ ν, ce ui est un eu regrettable..4.3.4. CS OÙ I N Y PS DE IESSE EXPÉRIMENE DE RÉFÉRENCE C est le cas ui se rencntre en cnvectin libre, ù le seul aramètre exérimental ue l n uisse rendre ur référence (la vitesse du fluide lin des aris) est égal à zér. a slutin cnsiste alrs à adter ur une grandeur hmgène à une vitesse, et liée à d autres aramètres ur lesuels existe une valeur exérimentale caractéristiue. En l ccurrence, sachant ue la flttabilité ui est à l rigine de la cnvectin naturelle est liée à l existence d un écart de temérature et d une dilatabilité β dans le fluide, ainsi u à la esanteur, le gruement le lus simle hmgène à une vitesse et cntenant ces ingrédients est : 1 / ( g β ) (.7) es critères de similitude cnstruits sur cette base sernt affectés de l indice «l» ur raeler u il s agit de cnvectin libre. En remlaçant ar (.7), le critère de similitude Γ β (.17) relatif aux frces de esanteur : g β Γ β ( ) devient alrs : Γ β l 1 (.8) ce ui a ur cnséuence d assurer autmatiuement la similitude à l échelle 1 vis-à-vis des frces de esanteur.
Quant au critère de similitude relatif aux frces de viscsité, il eut là encre revêtir deux asects : I.- vec référence au cham de vitesse Γ ν ν / (.6a) devient : Γ ν l ν 1 / 3 / g β (.9a) ( ) ( ) e rblème est u n ne l utilise jamais! Il a dès l rigine cédé la lace à sn inverse élevé au carré, batisé nmbre de Grashf Gr : Gr l ( ν ) 3 1 g β ( ) (.9b) Γ ν Une fis de lus, mais ce n est as la dernière, nus smmes cnfrntés à une traditin ui a imsé un nmbre sans dimensin très différent du critère de similitude riginel. Malgré tut, Gr est aussi un critère de similitude (si Γ ν l a la même valeur dans deux systèmes différents, les nmbres de Grashf snt égaux aussi), mais avec un renversement et une frte distrsin des valeurs numériues. II.- vec référence aux gradients de vitesse τ Γ τ ρ ( ) (.a) devient uant à lui : τ Γ τ l ρ g β (.3) ilà un critère de similitude ui est resté cmlètement ignré, et ui n a dnc jamais reçu de atrnyme. On urrait le cnsidérer cmme un cefficient de frttement mdifié C * f /. Enfin, le critère Γ (.19,.) relatif aux frces de ressin n est as cncerné ar le changement de vitesse de référence, uisue la cnvectin naturelle est caractérisée ar un gradient de ressin mtrice nul u négligeable..4.3.5.- ÉCRIURE DIMENSIONNEE DU BIN DE QUNIÉ DE MOUEMEN 1. Base de déart e bilan de uantité de muvement est exrimé ar l éuatin (.11), ue nus raelns tut d abrd :
div P ρ F grad divτ avec, si l n dévele les termes en divergence seln (1.33a) et (1.33c) : div P grad. ρ ( grad div ) div τ µ En adtant des références au cham de vitesse, la transsitin adimensinnelle de (.11) aura la frme générale : grad. ρ (1 u Γ g u Γβ ) ρ F (1 u Γ stat ) grad (.31) Γ ν µ grad div Nus dnnns dans le aragrahe suivant les frmes habituelles dans les rinciales situatins rencntrées.. licatins (avec références au cham de vitesse) Eculements à surface libre (.4.3.. et Ch. 8) S agissant d un fluide ischre dans le cham de esanteur : snt des cnstantes, g g / g F g. Cmme g et ρ est le vecteur unitaire seln la verticale descendante, et ρ 1. En utre, les frces de gravité snt réndérantes ar rart aux frces de ressin. es critères de similitude cncernés snt dnc les nmbres de Frude et de Reynlds. Il vient alrs : grad. 1 1 g µ (.3) Fr Re Eculements en charge (.4.3.. et Ch. 5) es cnditins snt les mêmes, à ceci rès ue les frces de gravité et de ressin snt du même rdre de grandeur. On fait alrs intervenir la ressin statiue * (1.37a) : ρ g grad grad * e critère de similitude crresndant est Γ 1 (.4.3. ), d ù : avec : grad ( *). * 1 grad ( *) µ (.33a) Re ρ ( ) (.33b)
Cnvectin mixte (.4.3.. et PC, Ch. 6) artir de (.15) et (.16), la temérature adimensinnée est définie ar : / u / (.34a) a masse vlumiue est tujurs susée cnstante, sauf dans le terme de flttabilité, dnc ρ 1. es critères de similitude ui interviennent dans ce cas snt Ri (.17b), Re (.6b) et Eu (.a), de srte ue (.31) s écrit : 1 grad. Ri g Eu grad ( *) µ (.34b) Re avec ( *) * / (.34c) Cnvectin libre (.4.3.4 et PC, Ch.5) e critère de similitude Γ β relatif aux frces de esanteur est égal à 1. e critère relatif aux frces de viscsité est le nmbre de Grashf. e gradient de ressin mtrice étant négligeable, il reste : grad. 1 g µ (.35) 1 / Gr 3. vec référence aux gradients de vitesse Si l n chisit de se référer aux gradients de vitesse ur adimensinner le tenseur des cntraintes (.4.3.3 ), le critère de similitude relatif aux frces de viscsité est le cefficient de frttement C f et l éuatin (.11) devient : 1 1 grad. ρ (1 u u Ri ) ρ F ( 1 u Eu ) grad C f divτ Fr (.36) Cette écriture est mins utilisée ue la récédente ur le calcul du cham de vitesse. Par cntre, C f est un aramètre intéressant lrsu il s agit de résenter des résultats ui fnt intervenir le frttement aux aris..4.4. es critères de similitude relatifs aux surces de masse.4.4.1. GRNDEURS E REIONS DE BSE a grandeur hysiue C ui intervient dans l éuatin (.6) est ici la masse vlumiue ρ : C ρ (u ρ ur un cnstituant d un mélange) C ρ (u ρ ) : valeur de référence ρ ρ C ρ u ρ (.37) ρ ρ
Nus artirns maintenant de l éuatin (1.65a) ui fait intervenir le terme de diffusin du cnstituant dans le mélange : ρ ρ div( ρ ) I div ρ D grad t ρ.4.4.. SOURCES OUMIQUES référence Pur l esèce, dnt le taux de rductin lcal est I, n définit un taux de I, d ù I I I / I. e nmbre Γ asscié à I est dnc d arès (.5) : Γ I (.38) ρ.4.4.3. SOURCES SURFCIQUES Pint de déart Si l n est en résence d un hénmène de diffusin, le débit-masse lcal du cnstituant dans le mélange est, raelns-le ( 1.3.6.) : ρ S ρ D grad ρ Dans ce ui va suivre, le raisnnement et les cnclusins ne snt en rien mdifiés si l n se lace dans le cas, lus simle à écrire, ù ρ varie eu, car alrs : S ρ D grad ρ (.39) Pur exrimer le critère de similitude Γ crresndant, n retruve le même rblème u avec la diffusin de uantité de muvement (.4.3.3. ): deux ssibilités se résentent, seln ue la référence sera chisie dans le cham de cncentratin u dans les gradients de cncentratin, c est-à-dire dans les flux de masse. vec référence aux cncentratins Dans la remière éventualité, n intrduit à artir de (.39) un scalaire de référence : S ( grad ρ ) D (.4) D est un cefficient de diffusin évalué dans des cnditins de référence (,, etc.) à réciser. Si D varie eu en fnctin des aramètres de l éculement, n aura évidemment D D, et D 1. e gradient de référence ( grad ρ ), uant à lui, est déterminé ar le chix de de. En effet, en assant en variables réduites : ρ et
( ρ ρ ρ ) grad ρ 1 grad ρ grad (.41a) Ensuite, ce gradient est lui-même décmsé seln les caractéristiues du cham scalaire. Puisue grad ρ ρ ( grad ) grad ρ ( grad ρ ) n a bligatirement : ρ (.41b) D arès (.5) le critère de similitude, ue nus nterns Γ D, a ur exressin : S 1 Γ D ρ ρ D ρ sit : D Γ D (.4) D ν On remaruera ue Γ D eut s écrire aussi : Γ D, ù le dernier ν gruement est égal à 1/Re. Quant au remier gruement, nus le retruverns au.5.1. sus le atrnyme de nmbre de Schmidt Sc : ν Sc (.43) D exressin curante du critère de similitude Γ D est finalement : Γ 1 D Sc Re (.44) vec référence aux gradients de cncentratin Dans le secnd cas, n chisira ur d une ari : S densité de flux à la ari S une densité de flux de référence au niveau Seln (.5) le critère de similitude, ui sera nté Γ ur le distinguer du récédent, s écrira cette fis-ci : Γ (.45) ρ Pur la frmulatin curante de ce aramètre, le lecteur vudra bien se rerter au aragrahe.5.3.1.
S il n y a as de vitesse exérimentale de référence Cette situatin, déjà envisagée au.4.3.4., cncerne ici la cnvectin libre massiue. Elle est analysée dans le chaitre 7 de PC..4.4.3. ECRIURE DIMENSIONNEE DU BIN DE MSSE a transsitin de l éuatin générale (.6) au bilan de masse eut maintenant s écrire : - avec référence aux cncentratins : 1 div( ρ ) Γ I I div grad ρ (.46a) Sc Re - avec référence aux flux de masse : div( Γ I I Γ div S ρ ) (.46b) ù S S /.4.5. - es critères de similitude relatifs aux surces d énergie.4.5.1. GRNDEURS E REIONS DE BSE Cmme n l a exliué au chaitre 1, le bilan d enthalie est beaucu lus cmmde à utiliser ue le bilan d énergie. Pur établir les différents critères de similitude relatifs aux surces d énergie, nus utiliserns dnc la frmulatin enthaliue (1.5) en régime ermanent : div ( ρ h ) P Φ.grad div ( λ grad ) divϕr (.47a) dans lauelle les surces de vlume snt P, Φ, diffusin) étant rerésentées ar ( grad ).grad, les surces de surface (flux de div λ et divϕ r. Ntns bien réalablement ue les cnclusins seraient identiues en artant de la frme (1.51) ui fait intervenir l énergie interne e, uisue e et h nt la même dimensin. Nus avns dnc ici : C ρ h ; C ρ h C ρ h avec h h / h (.47b) Pur la grandeur de référence h, cmme l enthalie est liée à la temérature, n se tut naturellement : h C sit : C ρ C (.47c)
En rincie, C est une chaleur massiue de référence, évaluée dans des cnditins de temérature et de ressin à réciser. Mais dans la majrité des cas, ce aramètre eut être cnsidéré cmme cnstant : C C ; C 1 Quant à la temérature de référence, c est en ratiue un écart de temérature caractéristiue, dans la mesure ù C ne rerésente as une enthalie ttale, mais une différence entre deux états. yns maintenant uels nuveaux critères Γ adimensinnelle de bilan. vnt aaraître dans l éuatin.4.5.. SIMIIUDE IS--IS DES SOURCES OUMIQUES Critère relatif à la uissance thermiue P rsu il existe, au sein du fluide, une surce vlumiue de chaleur P P(x, y, z, t) (dans les éculements réactifs ar exemle), n dit chisir ur celle-ci une valeur de référence P. lrs : I I P ; P e critère de similitude (.5) relatif à une surce de vlume est, raelns-le : I Γ I C sit ici, en le ntant Γ P : P Γ P (.48) ρ C Ce terme eu emlyé est resté dans l annymat. Critère relatif à l énergie de ressin Dans l éuatin (1.5), la surce de vlume crresndante est : I.grad dnt la valeur de référence dit s écrire, en cnvectin mixte : I I e critère de similitude Γ e relatif à cette surce est : Γ e, sit : C Γ e (.49a) ρ C
En cnvectin frcée, avec ρ ( ), cnfrmément à la cnventin usuelle (.13a), le critère crresndant Γ ef devient le nmbre d Eckert Ec : I Ec Γ e f C ρ C 1 ρ ( ( ) Ec Γ e f (.49b) C Revenant maintenant au critère Γ e récédent (.49a), n vit u il eut aussi s écrire cmme le rduit de Ec et du nmbre d Euler (.a) : Γ Eu Ec (.49c) e ) Critère relatif au terme de dissiatin Il s agit maintenant de la fnctin de dissiatin (1.4) : Φ τ / x. De même ue ur le bilan de uantité de muvement (..4.3.3, cefficients Γ τ et Γ ν ), deux vies euvent être emruntées ici ur exrimer le terme de surce et sa valeur de référence. I. Ou bien n écrit simlement : I τ x ce ui blige à rendre cmme grandeur de référence : I Φ τ (.5) avec, cmme dans (.1) : τ τ (cntrainte à la ari). a cnditin de similitude s exrime alrs au myen du nmbre sans dimensin : I Γ Φ τ C ρ C 1 τ τ Φ (.51a) ρ C Γ τ Il se truve ue Γ Φτ est le rduit de deux critères de similitude ui nus snt déjà cnnus, à savir le cefficient de frttement ½ C f et le nmbre d Eckert Ec (arag. récédent), si bien u il n a jamais bénéficié d une identité rre. On écrit simlement : 1 Γ Φ τ C f Ec (.51b) ij i j
II. Ou bien n décmse Φ : i i j i Φ τ ij µ x j x j x i x j ce ui cnduit au chix d une autre référence, de même frme ue Φ : I Φ µ (.5) et dnc à un autre critère de similitude (néanmins éuivalent au récédent) : Γ Φ ν ρ C 1 µ ( ( ) ) ν Φ (.53a) C Γ ν Du côté de la terminlgie, la situatin est la même ue ur le récédent critère. On vérifie facilement ue Γ Φν est le utient du nmbre d Eckert Ec ar le nmbre de Reynlds Re, et n se brne à écrire : Ec Γ Φν (.53b) Re.4.5.3. SIMIIUDE IS--IS DES SOURCES SURFCIQUES On se suvient ue dans l éuatin d énergie les surces de surface snt cnstituées ar la diffusin thermiue et le terme de raynnement. Critère relatif à la diffusin thermiue e terme surce est la densité de flux de chaleur ϕ (W. m - ). S ϕ λ grad Une fis de lus, nus nus truvns devant une alternative : mettre l accent sur le flux thermiue u sur le cham de temérature. I. vec référence au flux de chaleur Dans la remière éventualité, n est amené à chisir un flux de référence, habituellement sur une ari, d ù la ntatin : ϕ S ϕ, flux thermiue à la ari S ϕ / ϕ On btient immédiatement le critère crresndant, Γ ϕ S / C (.54), ui est le nmbre de Stantn St, autrefis aelé dans la littérature franchne nmbre de Margulis :
St ϕ Γ ϕ (.55) ρ C II. vec référence au cham de temérature Dans la secnde éventualité, n décmse l exressin de (.41b) : S λ grad S, cmme dans (.5) u S λ (.56) e aramètre λ est une cnductivité thermiue de référence, évaluée dans des cnditins cnventinnelles. e critère de similitude s écrit dnc cette fis-ci : S Γ a C ρ C 1 λ λ a Γ a (.57a) ρ O C a désignant la diffusivité thermiue du fluide dans les cnditins de référence. On recnnaît dans Γ a l inverse du nmbre de Péclet Pe, d ù : a 1 Pe Γ a (.57b) Ce nmbre de Péclet est dnc rerésentatif de la similitude. Cela nus raelle uelue chse : le nmbre de Reynlds Re (vir.6b), ui est lui aussi l inverse du critère de similitude Γ ν. Critère relatif au terme de raynnement Dans un milieu gris semi-transarent, istre et hmgène, si le transfert de chaleur est guverné ar deux temératures de référence 1 et, la référence du terme radiatif eut s archer ar : 4 4 {( ) ( } S r n σ 1 ) ϕ (W/m ) (.58) ù n est l indice de réfractin du milieu (sans dimensin), et σ la cnstante de Stefan- Bltzmann (W / m.k 4 ). e critère de similitude crresndant Γ r est alrs : 4 4 {( ) ( ) } n σ 1 Γr (.59a) C ρ C
1 ù rsue l écart des temératures n est as tr grand, n eut adter l arximatin linéaire : 4 4 3 ( 1 ) ( ) 4 m m (1 ) /. avec Ceci dnne une exressin simlifiée du critère de similitude : 3 m 4 n σ Γ r (.59b) ρ C.4.5.4. CS OÙ I N Y PS DE EXPÉRIMEN En cnvectin libre, n retruve le rblème déjà sulevé avec l éuatin de uantité de muvement (.4.3.4), la seule vitesse exérimentale ue l n uisse rendre ur référence, celle du fluide lin des aris, étant nulle. Nus avns vu ue la difficulté était turnée en chisissant : ( g β ) 1/ es termes Φ et.grad snt habituellement négligeables en cnvectin libre. es surces cncernées snt dnc : a uissance thermiue P e critère Γ P devient : ( ) 1/ ( ) 3 / P Γ Pl (.6) 1/ ρ C ( g β ) a diffusin thermiue e critère Γ a 1/Pe a / est remlacé ar : al 3 / ( g β ) 1/ ( ) a Γ (.61a) Ce nmbre sans dimensin n est as utilisé. On rencntre arfis l inverse de sn carré (ui est dnc également un critère de similitude) sus l aellatin de nmbre de Bussines B : al ( a ) 3 1 g β ( ) B (.61b) Γ Quant au nmbre de Stantn, il se transfrme en : ϕ Γ ϕ l (.6) 1 / 3 / ρ C ( g β ) ( ) resté lui aussi incnnu et annyme. elns-le nmbre de Stantn mdifié St*.
e raynnement es écarts de temérature étant relativement faibles en cnvectin libre, n eut artir de la frme linéarisée (.59b) du critère de similitude Γ r, ui devient dnc ici : 3 m 4 n σ Γ rl (.63) 1/ ρ C ( g β ).4.5.5. ÉCRIURE DIMENSIONNEE DE ÉQUION D ÉNERGIE 1. Base de déart ut d abrd, dans le bilan d énergie, le terme de transrt se décmse ainsi : div ( ρ h ) h div ρ ρ grad h En régime ermanent : div ρ. Sachant ue h ρ C, l éuatin (.47a) se réduit à : ( grad ) div r ρ C.grad P Φ.grad div λ (.64) Cmte tenu des différents cefficients ui viennent d être définis, et en adtant des références au cham de temérature, la transsitin adimensinnelle de (.64) aura la frme générale :.grad Γ P ( u Γ Γ ( u Γ avec bien entendu /, ϕ ϕ r r / ϕ. a Pl ) P al )div Γ Φν Φ Γ e ( λ grad ) Γ ( uγ )divϕ P P / P r.grad rl r (.65), Φ Φ /Φ (Φ dnnée ar.5) et Cmte tenu de la terminlgie en usage ur les nmbres sans dimensin, nus dnnns ci-dessus les écritures habituellement rencntrées dans la littérature.. Frmulatin habituelle avec référence au cham de temérature Cnvectin mixte u frcée Ec.grad Γ P P Φ Eu Ec.grad Re 1 div( λ grad ) Γr divϕ r Pe (.66) Cnvectin libre 1.grad Γ Pl P div( λ grad ) Γ 1/ rl divϕ r (.67) B
3. vec référence au gradient de temérature 1 e terme de diffusin de la chaleur div ( λ grad ) est remlacé ar Pe ù ϕ ϕ / ϕ (.4.5.3 ). St divϕ,.4.6. e critère de similitude relatif à l éuatin d état du fluide éuatin d état du fluide n est évidemment as une relatin de bilan ; il s agit d une li hénménlgiue de cmrtement. Mais cmme elle est aelée dans certains cas à intervenir en cmlément aux bilans, il n est as inutile de la mettre également sus frme réduite, de manière à vir cmment elle s adate aux exigences de la similitude. Nus ne cnsidérns ue le cas ù l éuatin d état est celle du gaz arfait : /ρ r (.68a) En variables réduites, cela dnne : r ρ ρ ù la grandeur : (.68b) / (.68c) est ici un rart de deux temératures abslues, à ne as cnfndre avec un écart relatif cmme dans (.34a) (vir aussi.4.5.1). Pur ue la variable sit la même ue dans les éuatins de bilans, il faut rendre la même ressin de référence (.13a), c est-à-dire : ρ ( ) d ù l n tire de (.68b): ( ) ρ r On vit dnc aaraître un nuveau nmbre sans dimensin ue nus nterns Γ et : (.68c) ( ) Γ et (.69) r et l éuatin d état s écrit sus frme adimensinnelle : Γet (.7) ρ isiblement, n est en drit de cnsidérer Γ et cmme un critère de similitude relatif au cmrtement thermdynamiue du fluide en éculement : dans deux exériences caractérisées ar une même valeur de ce aramètre Γ et, les slutins de l éuatin d état adimensinnée sernt les mêmes. Ceendant, le critère de similitude Γ et (.69) n est as utilisé sus cette frme. On écrit en effet :
( ) γ Γ et γ r ù γ est le cefficient de la li isentriue ur le gaz cnsidéré : γ C / C v. Sachant ue la célérité du sn dans un fluide à temérature a ur valeur : c γ r (.71) n eut dnc exrimer Γ et sus la frme : Γ et γ c e rart /c est aelé nmbre de Mach M, et l n a : d ù : M c et Γet γ 1/ (.7a) Γ γ M (.7b) Enfin, il va de si mais cela va encre mieux en le disant ue l usage de l éuatin d état est incmatible avec l hythèse d éculement u de fluide ischre..4.7. Bilans d entrie et d exergie En ce ui cncerne la uestin mins classiue des critères de similitude relatifs aux surces d entrie et d exergie, elle fait l bjet d un aragrahe en annexe..3..5. PRMÈRES DE COUPGE E URES NOMBRES SNS DIMENSION.5.1. Culage entre des surces ne relevant as des mêmes bilans es surces de masse, de uantité de muvement et d énergie ui interviennent dans les relatins de bilans ne snt as frcément indéendantes les unes des autres, car chacun des fluides dnt nus dissns, u il sit naturel u artificiel, ssède des rriétés mécaniues et thermiues bien sécifiues. Il se truve ue la similitude est un util extrêmement intéressant ur mettre leurs culages en évidence, uisu ils se traduisent alrs ar des relatins de déendance entre certains cefficients Γ, d ù va émerger une nuvelle famille de nmbres sans dimensin, les aramètres de culage. examen des critères de similitude relatifs aux différentes surces recensées et à la li d état (cf. tableau 4 en annexe) fait aaraître les aramètres de culage les lus imrtants..5.1.1. COUPGE ENRE ENSION ISQUEUSE E DIFFUSION DE MIÈRE Ces deux surces juent le même rôle dans les éuatins (.46a) et (.31). es critères de similitude Γ cncernés snt :