FICHE MÉTHODE POUR L ALGÈBRE LINÉAIRE EN L1

FICHE MÉTHODE POUR L ALGÈBRE LINÉAIRE EN L TABLE DES MATIÈRES. Déterminer si un ensemble est un sous espace vectoriel sur R ou non.. Une vérification essentielle.2. La stabilité par combinaisons linéaires 2 2. Etudier la liberté d une famille de vecteurs 2 2.. Cas général 2 2.2. Un cas simple : p vecteurs dans R n avec n < p 2 2.3. Cas de deux vecteurs dans R 2 3 2.4. Cas de deux vecteurs dans R 3 3 2.5. Cas de trois vecteurs dans R 3 3 3. Familles génératrices 3 4. Applications linéaires 5 4.. Montrer qu une application est linéaire ou non 5 4.2. Déterminer le noyau d une application linéaire 5 4.3. Image d une application linéaire 7. DÉTERMINER SI UN ENSEMBLE EST UN SOUS ESPACE VECTORIEL SUR R OU NON Quelques rappels pour commencer. Soit (E,+, ) un espace vectoriel sur R. Définition.. F est un sous espace vectoriel de E si () F est non vide. (2) F est stable par combinaisons linéaires. Définition.2. Un ensemble F E est dit stable par combinaisons linéaires si () u,v F, u + v F. (2) u F, λ R, λ u F. [() et (2)] est équivalent à (3) u,v F, λ,µ R, λ u + µ v F... Une vérification essentielle. Un sous espace vectoriel contient toujours 0. La première chose à faire est donc de vérifier que 0 F. En effet, () Si 0 / F, F n est pas un sous espace vectoriel. (2) Si 0 F, F est non vide et il est possible que ce soit un espace vectoriel.

2 FICHE MÉTHODE POUR L ALGÈBRE LINÉAIRE EN L.2. La stabilité par combinaisons linéaires. Une fois que l on a vérifié que 0 F, il reste à étudier la stabilité par combinaisons linéaires. La méthode traditionnelle consiste à le faire à la main, c est à dire prendre deux vecteurs quelconques u et v dans F, deux scalaires λ et µ quelconques dans R et montrer que la combinaison linéaire λu + µv est dans F. Le début de votre démonstration sera donc toujours Soient u,v F, soient λ,µ R, montrons que λu + µv F... Exemple. E = R 2, F = {(x,y) R 2 ;y = x}. Montrons que F est un sous espace vectoriel. 0 = (0,0) F, donc F est non vide. Soient u = (x,y),v = (x,y ) F. Soient λ,µ R. Montrons que λu+ µv F. On a λu+ µv = (λx+ µx,λy+ µy ). Comme x = y et x = y, alors λx + µx = λy + µy donc λu + µv F. Ainsi F est un sous espace vectoriel de E. Si au cours de votre démonstration, quelquechose coince, il est possible que F ne soit pas un sous espace vectoriel. Dans ce cas, il faut le montrer RIGOUREUSEMENT. Vous devez expliciter deux vecteurs u et v de F tels que u+v / F ou bien un vecteur u F et un scalaire λ R tels que λu / F. Exemple. E = R, F = Z. On a bien 0 F. L ensemble F est stable pour l addition (la somme de deux entiers est un entier), mais F n est pas stable pour la multiplication par un scalaire. En effet, le nombre appartient à F, tandis que /2 = /2 n appartient pas à F. Il y a d autres méthodes pour montrer qu un ensemble est stable par combinaisons linéaires, mais elles utilisent les applications linéaires (ce qui suppose donc de savoir montrer qu une application est linéaire). Exemple. Le noyau d une application linéaire est un sous espace vectoriel. L image d un sous espace vectoriel par une application linéaire est un sous espace vectoriel. 2. ETUDIER LA LIBERTÉ D UNE FAMILLE DE VECTEURS Soit E un espace vectoriel sur R. Soit L = {u,u 2,...,u p } une famille de p vecteurs de E. Définition 2.. La famille L est dite libre si λ,...,λ p R, (λ u + + λ p u p = 0) (λ = = λ p = 0). 2.. Cas général. Pour étudier la liberté d une famille de vecteurs, on commence donc par Soient λ,...,λ p R, tels que λ u + + λ p u p = 0,... Dans les cas où les vecteurs vivent dans R n, l écriture ci dessus aboutit à un système linéaire. Vous devez donc résoudre le système ou du moins étudier l ensemble de ses solutions. Les inconnues du systèmes sont λ,...,λ p. () Si le système admet 0 = (0,...,0) comme unique solution, la famille est libre. (2) Si le système admet des solutions multiples (une droite, un plan, etc.), la famille n est pas libre (on dit qu elle est liée). 2.2. Un cas simple : p vecteurs dans R n avec n < p. Si une famille de p vecteurs est libre, l espace qu elle engendre est de dimension p. Mais R n est de dimension n, la famille ne peut donc pas être libre dans ce cas. Exemple. Une famille de trois vecteurs dans R 2 est liée. Une famille de quatre vecteurs dans R 3 est liée.

FICHE MÉTHODE POUR L ALGÈBRE LINÉAIRE EN L 3 2.3. Cas de deux vecteurs dans R 2. On a ici un outil rapide pour vérifier qu une famille de deux vecteurs est libre dans R 2 : le déterminant. Définition 2.2. Soient u = (x,y) et v = (x,y ) deux vecteurs de R 2. Le déterminant de (u,v), noté det(u,v), est donnée par xy x y. On a alors le critère La famille {u,v} est libre si et seulement si det(u,v) 0. 2.4. Cas de deux vecteurs dans R 3. On dispose d un autre outil pour montrer qu une famille de deux vecteurs est libre dans R 3 : le produit vectoriel. Définition 2.3. Soient u = (x,y,z) et v = (x,y,z ) deux vecteurs de R 3. Le produit vectoriel u v est un vecteur dont les coordonnées sont (yz y z,zx z x,xy x y). On a alors La famille {u,v} est libre si et seulement si u v 0. 2.5. Cas de trois vecteurs dans R 3. En fait, on a également un critère pour trois vecteurs dans R 3. Soient u,v,w R 3 et, le produit scalaire sur R 3. La famille {u,v,w} est libre si et seulement si u v,w = 0. 3. FAMILLES GÉNÉRATRICES Soit E un espace vectoriel sur R. Soit L = {u,u 2,...,u p } une famille de p vecteurs de E. Définition 3.. La famille L est dite génératrice si l espace vectoriel engendré par L est E tout entier. Le problème est plus compliqué qu il n y paraît. En toute généralité, pour montrer qu une famille est génératrice, il faut montrer que tout élément de E s écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs de la famille en question. Cela peut être très pénible. Dans le cas où E = R n, on s en sort sans trop de difficultés. La dimension de R n est n. Cela signifie que l on a besoin de n vecteurs au moins pour engendrer l espace. Toute famille de cardinal inférieur strictement à n ne peut pas être génératrice dans R n. Cela règle un certain nombre de cas. Maintenant dans le cas où le cardinal de la famille est supérieur ou égal à n, on doit en fait résoudre un système linéaire. Traitons deux exemples, ce sera plus parlant. Exemple. Soit E = R 3 et L = {u,u 2,u 3,u 4 } avec u = 0, u 2 = 2, u 3 = 0 et u 4 = 0. 3 0 Soit v = (a,b,c) R 3. Le vecteur v est une combinaison linéaire de u, u 2, u 3 et u 4 si et seulement si il existe λ, λ 2, λ 3 et λ 4 tels que v = λ u + λ 2 u 2 + λ 3 u 3 + λ 4 u 4. Ceci est

4 FICHE MÉTHODE POUR L ALGÈBRE LINÉAIRE EN L équivalent au fait que le système (S) ci dessous admet au moins une solution. λ +λ 2 λ 3 = a L (S) : 2λ 2 +λ 4 = b L 2 λ +3λ 2 +λ 3 = c L 3 λ +λ 2 λ 3 = a L 2λ 2 +λ 4 = b L 2 2λ 2 +2λ 3 = c a L 3 L λ +λ 2 λ 3 = a L 2λ 2 +λ 4 = b L 2 2λ 3 λ 4 = c a b L 3 L 2 λ +λ 2 λ 3 = a L 2λ 2 +λ 4 = b L 2 2λ 3 λ 4 = c a b L 3 λ 4 = λ 4 L 4 λ = 2 (c + a 2b) +λ 4 λ 2 = 2 b 2 λ 4 λ 3 = 2 (c a b) + 2 λ 4 λ 4 = λ 4 On constate donc (pour la forme) que le système admet un ensemble de solutions de dimension. En particulier, il y a au moins une solution et ce pour n importe quel triplet (a,b,c). La famille est génératrice. Exemple. Soit E = R 3 et L = {u,u 2,u 3 } avec u = 0, u 2 = 0 0 et u 3 =. On a ici un cas limite : une famille de trois vecteurs dans R 3. On peut se contenter de vérifier si la famille est libre ou non. En effet, () Si la famille est libre, l espace engendré par les trois vecteurs est de dimension 3, ce qui est la taille maximale dans R 3, la famille engendre donc tout l espace. (2) Si la famille n est pas libre, l espace engendré par les trois vecteurs est au plus de dimension 2. En tous cas, on est sûr qu il y a des vecteurs de R 3 qui ne sont pas dans l espace engendré par la famille. Soient λ,λ 2,λ 3 R, tels que λ u + λ 2 u 2 + λ 3 u 3 = 0. On a alors λ +λ 3 = 0 L (S) : λ 2 +λ 3 = 0 L 2 λ +λ 3 = 0 L 3 λ +λ 3 = 0 L λ 2 +λ 3 = 0 L 2 0 = 0 L 3 L 3 L λ = λ 3 λ 2 = λ 3 λ 3 = λ 3 L ensemble des solutions de (S) est de dimension, le système admet donc des solutions non nulles, ce qui fait que la famille L n est pas libre. Elle n est donc pas génératrice non plus.

FICHE MÉTHODE POUR L ALGÈBRE LINÉAIRE EN L 5 Soient E et F deux espaces vectoriels sur R. 4. APPLICATIONS LINÉAIRES Définition 4.. Une application f : E F est dite linéaire si () u,v E, f (u + v) = f (u) + f (v). (2) u E, λ R, f (λu) = λ f (u). () et (2) est équivalent à (3) u,v F, λ,µ R, f (λu + µv) = λ f (u) + µ f (v). 4.. Montrer qu une application est linéaire ou non. Ce premier critère permet d éliminer beaucoup d applications que l on suspecte de ne pas être linéaires : Une application linéaire vérifie toujours f (0) = 0. Toutefois, contrairement à la démonstration pour les sous espaces vectoriels, cette étape n est pas obligatoire pour montrer qu une application est linéaire. Il n y a qu une chose à faire, vérifier la linéarité. Votre démonstration commence donc par Soient u,v F, soient λ,µ R, vérifions que f (λu + µv) = λ f (u) + µ f (v)... Exemple. Soit f : R 2 R 3, définie par f (x,y) = (x + y,x,x y). Montrons que f est linéaire. Soient u = (x,y),v = (x,y ) R 2, soient λ,µ R, vérifions que f (λu + µv) = λ f (u) + µ f (v). On a λu + µv = (λx + µx,λy + µy ) et donc f (λu + µv) = (λx + µx + λy + µy,λx + µx,λx + µx (λy + µy )) = (λx + λy,λx,λx λy) + (µx + µy, µx, µx µy ) = λ(x + y,x,x y) + µ(x + y,x,x y ) = λ f (u) + µ f (v). 4.2. Déterminer le noyau d une application linéaire. Définition 4.2. Soit f : E F une application linéaire. On appelle noyau de f l ensemble noté ker( f ) et défini par ker( f ) = {x E; f (x) = 0}. Pour déterminer un noyau, il faut chercher les vecteurs de E qui s envoient sur 0 par f. Dans le cas où E = R n et F = R p, il faut et il suffit de résoudre un système linéaire.

6 FICHE MÉTHODE POUR L ALGÈBRE LINÉAIRE EN L Exemple. Soit f : R 3 R 3 définie par f (x,y,z) = (x + y + z,x y + 2z,3x + y + 4z). Déterminons le noyau de f. On en déduit que u = (x,y,z) ker( f ) f (u) = 0 x +y +z = 0 L x y +2z = 0 L 2 3x +y +4z = 0 L 3 x +y +z = 0 L 2y +z = 0 L 2 L 2 L 2y +z = 0 L 3 L 3 3L x +y +z = 0 L 2y +z = 0 L 2 L 2 0 = 0 L 3 L 3 L 2 x +y +z = 0 L 2y +z = 0 L 2 L 2 z = z L 3 L 3 L 2 x = 3z/2 y = z/2 z = z u = z( 3/2,/2,) ker( f ) = {z( 3/2,/2,);z R} = vect[( 3/2,/2,)]. Exemple. Soit g : R 4 R 3 définie par g(x,y,z,t) = (x + y + z + t,x y + 2z t,3x + y + 4z +t,). Déterminons le noyau de g. u = (x,y,z,t) ker(g) g(u) = 0 x +y +z +t = 0 L x y +2z t = 0 L 2 3x +y +4z +t = 0 L 3 x +3y +3t = 0 L 4 x +y +z +t = 0 L 2y +z 2t = 0 L 2 L 2 L 2y +z 2t = 0 L 3 L 3 3L 2y z +2t = 0 L 4 L 4 L x +y +z +t = 0 L 2y +z 2t = 0 L 2 0 = 0 L 3 L 3 L 2 0 = 0 L 4 L 4 + L 2 x +y +z +t = 0 L 2y +z 2t = 0 L 2 z = z L 3 L 3 L 2 t = t L 4 L 4 + L 2 x = 3z/2 y = z/2 t z = z t = t u = z( 3/2,/2,,0) +t(0,,0,)

FICHE MÉTHODE POUR L ALGÈBRE LINÉAIRE EN L 7 On en déduit que ker( f ) = {z( 3/2,/2,,0) +t(0,,0,); z,t R} 4.3. Image d une application linéaire. = vect[( 3/2,/2,,0),(0,,0,)]. Définition 4.3. Soit f : E R, une application linéaire. On appelle image de f l ensemble noté Im( f ) et défini par Im( f ) = f (E). Pour déterminer une image dans le cas général, on procède par analyse-synthèse. On cherche des conditions et on vérifie que ce sont les bonnes. Tout va se dérouler à travers un système linéaire dans le cas où E = R n et F = R p. Quelle est la signification du fait que v est dans l image de f? Ca veut dire qu il existe u E tel que v = f (u), et on aboutit à un système linéaire qui va nous donner des conditions sur v. Exemple. Soit f : R 3 R 3 définie par f (x,y,z) = (x + y + z,x y + 2z,3x + y + 4z). Déterminons l image de f. v = (a,b,c) Im( f ) u = (x,y,z) tel que f (u) = v x +y +z = a L admet (S) : x y +2z = b L 2 au moins 3x +y +4z = c L 3 une solution On étudie donc le système linéaire (S). Les inconnues sont x, y et z. Les paramètres sont a, b et c. x +y +z = a L (S) 2y +z = b a L 2 L 2 L 2y +z = c 3a L 3 L 3 3L x +y +z = a L 2y +z = b a L 2 L 2 0 = 2a b + c L 3 L 3 L 2 On voit donc apparaître une condition sur a, b et c. En effet, (S) admet au moins une solution si et seulement si 2a b + c = 0. Cela nous dit donc que v = (a,b,c) admet un antécédent par f si et seulement si 2a b + c = 0. On a alors Im( f ) = {(a,b,c) R 3 ; 2a b + c = 0}. C est un espace de dimension 2 (donc un plan dans R 3 ). On peut en donner une base pour le vérifier. Un vecteur (a,b,c) Im( f ) s écrit (a,b,2a+b) = a(,0,2)+b(0,,). La famille {(,0,2),(0,,)} est donc génératrice de Im( f ) et c est une famille libre. On en déduit donc que c est une base de Im( f ). Exemple. Soit g : R 4 R 3 définie par g(x,y,z,t) = (x + y + z + t,x y + 2z t,3x + y + 4z +t,). Déterminons l image de g. v = (a,b,c,d) Im( f ) u = (x,y,z,t) tel que f (u) = v x +y +z +t = a L admet x y +2z t = b L (S) : 2 au moins 3x +y +4z +t = c L 3 une x +3y +3t = d L 4 solution

8 FICHE MÉTHODE POUR L ALGÈBRE LINÉAIRE EN L On étudie donc le système linéaire (S). Les inconnues sont x, y, z et t. Les paramètres sont a, b, c et d. x +y +z +t = a L 2y +z 2t = b a L (S) 2 L 2 L 2y +z 2t = c 3a L 3 L 3 3L 2y z +2t = d a L 4 L 4 L x +y +z +t = a L 2y +z 2t = b a L 2 0 = 2a b + c L 3 L 3 L 2 0 = 2a + b + d L 4 L 4 + L 2 On voit donc apparaître deux conditions sur a, b, c et d. En effet, (S) admet au moins une solution si et seulement si 2a b + c = 0 et 2a + b + d = 0. Cela nous dit donc que v = (a,b,c,d) admet un antécédent par g si et seulement si 2a b+c = 0 et 2a+b+d = 0. On a alors Im(g) = {(a,b,c,d) R 3 ; 2a b + c = 0 et 2a + b + d = 0}. C est un espace de dimension 2. On peut en donner une base pour le vérifier. Un vecteur (a,b,c,d) Im(g) s écrit (a,b,2a + b,2a b) = a(,0,2,2) + b(0,,, ). La famille {(,0,2,2),(0,,, )} est donc génératrice de Im(g) et c est une famille libre. On en déduit donc que c est une base de Im(g).