Applications linéaires

le 8 Février UTBM MT Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr Applications linéaires Exemples et définitions. Soit E et F, espaces vectoriels sur K = R ou C. On s intéresse aux applications qui conservent la structure d espace vectoriel. Définition. (Application linéaire) i) f : E F est dite application K-linéaire ou homomorphisme si : - (u, v) E, f(u + E v) = f(u) + F f(v), - u E, λ K, f(λ. E u) = λ. F f(u). ii) L ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L(E, F ) ou Hom K (E, F ). iii) f : E E linéaire est dite endomorphisme de E. Exercice. L(E, F ) est un K-espace vectoriel. Indication : montrer que L(E, F ) est un sous-espace vectoriel de F(E, F ). Remarque.3 i) Pour montrer que f : E F est linéaire, il suffit de montrer λ K, (u, v) E, f(λ.u + v) = λ.f(u) + f(v). ii) Si f est linéaire alors f( E ) = F. En effet, f(u) = f(u + E ) = f(u) + f( E ), donc f( E ) = F. Exemples.4 i) a R alors f a : R R x a.x est linéaire. Les f a sont les seules applications linéaires de R dans R (d où le nom). ii) Soit E = C (R, R) l ensemble des application infiniement dérivables de R dans R. Alors est linéaire. D : E E f D(f) = f

iii) Soit E l espace vectoriel sur R des fonctions intégrables sur [a, b] R et est linéaire. iv) L application trace est linéaire I : E R f b a f(t)dt T r : M n (R) R A = (a i,j ) i,j n T r(a) = n i= a i,i v) Soit E espace vectoriel. Soit u E, u E alors l application translation de vecteur u n est pas linéaire. vi) Soit M M n,p (R) alors est linéaire. C est l application linéaire associée à M. T u : E E v v + u f M : R p R n V M.V Exercice.5 i) L image réciproque d un sous-espace vectoriel par une application linéaire est un sous-espace vectoriel. ii) L image d un sous-espace vectoriel par une application linéaire est un sous-espace vectoriel. iii) Trouver des contres-exemples qui montrent que ce n est pas vrai pour une application quelconque. Noyau d une application linéaire. Soient E, F espaces vectoriels sur K et f une application linéaire de E dans F. L ensemble N des vecteurs u E tels que f(u) = F (N := f ({ F })) est un sous-esp. vect. de E. [En effet : - f( E ) = F donc N, - soient u, v N, λ, µ K alors f(λ.u + µ.v) = λ.f(u) + µ.f(v) = λ. F + µ. F = F, donc λ.u + µ.v N.]

3 De plus, f(u) = f(v) k N/u + k = v. [En effet : Si f(u) = f(v) alors f(v) f(u) = f(v u) =, donc v u N.] Attention : ce qui précède est faux pour une application non-linéaire. Définition. f : E F application linéaire. L espace vectoriel {u E/f(u) = F } s appelle le noyau de f et se note Ker(f). Ker(f) := f ({ F }). Exemples. i) D : C (R, R) C (R, R) f f. KerD = {cste}. ii) f M : R 3 R 3 x x y M. y z z Kerf M = vect({ }). avec M = 3. Exercice.3 Soit E un K-espace vectoriel et F, F deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E (i.e. E = F F ). Soit p F : E F x x tel que x = x + x avec x i F i la projection sur F suivant F. Déterminer Kerp F. Théorème.4 Soit f : E F linéaire alors Rappel.5 f : A B injective si f injective ker(f) = { E }. (f(x) = f(y)) x = y).

4 Preuve du théorème. Découle directement de l introduction du paragraphe. 3 Image d une application linéaire. f : E F application linéaire, E, F K e. v. Montrons que f(e) est un s.e.v. de F. - On a vu F = f( E ) donc F f(e). - Si y = f(x) et y = f(x ) alors y + y = f(x) + f(x ) = f(x + x ). Donc y, y f(e) = y + y f(e). - Si y = f(x) et λ K alors λ. F y = λ. F f(x ) = f(λ. E x ). Donc y f(e), λ K = λ.y f(e). On a donc la Proposition-définition 3. L ensemble des vecteurs de F qui sont image par l appliation linéaire f de vecteurs de E est un sous-esp. vect. de F. On l appelle image de f et on le note : Im(f) := f(e) = {f(x), x E}. Exemples 3. i) D : C([a, b], R) C([a, b], R) f f alors ImD = C([a, b], R). ii)soit f : R 3 R 3 a a b M. b c c avec M = 3 alors Imf = vect({, }).

5 iii) Soit Donner une base de Imf. f : R 3 R 4 a b c a + b a + c a + b + c b c Remarque 3.3 f : E F linéaire. f surjective Im(f) = F. 4 Isomorphisme. Définition 4. Une application linéaire f de E dans F est appelée isomorphisme si elle est bijective (i.e. injective et surjective). Remarque 4. f : E F application linéaire. Alors f isomorphisme Ker(f) = {} et Im(f) = F. Exemples 4.3 ) ϕ M : M 3 (R) M 3 (R) A M.A avec M = est un isomorphisme. ) D : R[X] R[X] P (X) P (X) n est pas un isomorphisme. Exercice 4.4 (important) Soit E un K-esp. vect. de dim. n. Soit B = {b, b,..., b n } une base de E. Montrer que est un isomorphisme. coord B : E K n λ V λ... λ n tel que V! = n i= λ.b i

6 5 Image d une base par une application linéaire Soient E un K-espace vectoriel de dim. finie n N et B = {b, b,..., b n } une base de E. Soit f : E F une application linéaire. Si x E, x s écrit de façon unique n x =! λ i.b i, donc f(x) = f( i= n λ i.b i ) = i= n λ i.f(b i ). Conclusion : une application linéaire de E dans F est parfaitement déterminée par la donnée des images d une base B de E et Im(f) = vect({f(b ), f(b ),..., f(b n )} Théorème 5. Soient E, F K-esp. vect. et B = {b, b,..., b n } une base de E. Soit f : E F une application linéaire. Alors : i) f injective {f(b ), f(b ),..., f(b n )} libre, ii) f surjective {f(b ), f(b ),..., f(b n )} génératrice de F, iii) f bijective {f(b ), f(b ),..., f(b n )} base de F, (Exo.) Voir TD i= 6 Applications linéaires et dimension finie. 6. Isomorphismes. Théorème 6. Soient E, F K-esp. vect. de dim. finie alors E = F dim E = dim F. = ) Supposons f : E F isomorphisme. Soit {b, b,..., b n } une base de E (de dim. n) alors, d après le théorème 5., {f(b ), f(b ),..., f(b n )} est une base de F donc dim F = n. =) Supposons dim E = dim F = n. Soient {b, b,..., b n } une base de E et {b, b,..., b n} une base de F alors l unique application linéaire ϕ de E dans F vérifiant ϕ(b i ) = b i est un isomorphisme.

7 6. Formule du rang. Définition 6. Soit E un K-espace vectoriel. i) le rang d une famille de vecteurs {a, a,..., a n } E est la dimension de vect({a, a,..., a n }). ii) Le rang d une application linéaire f : E F est la dimension de Im(f) : Exemples 6.3 Soit M = alors Im(f) Mais 3 rang(f) := dim K (f(e)). 3 et f M : R 4 R 3 x V = x x 3 M.V = x 4 = vect({f( = vect({ = 3 ), f(, + donc Im(f) = vect({ donc rang(f) =. 3, et, ), f(, = x + x x 4.x + x + x 3 3.x + x +.x 3 + x 4 ), f( } )} }. De plus, les deux vecteurs sont clairement indépendants

8 Théorème 6.4 (théorème du rang) Soient E, F K-esp. vect. de dim. finie. Si f L(E, F ) alors dim E = dim Ker(f) + dim Im(f). Ker(f) E et, d après le théorème de la base incomplète (en complétant une base de Ker(f), on peut trouver H E supplémentaire de Ker(f) (i.e. Ker(f) H = E). Montrons que f /H : H Im(f) est un isomorphisme (donc les dimensions seront les mêmes) : Montrons d abord que f /H est surjective : Soit y Im(f). Il existe x E tel que f(x) = y. Mais Ker(f) H = E donc il existe k Ker(f) et h H tels que x = k + h. D où y = f(x) = f(k + h) = f(k) + f(h) = f(h). On en déduit que f /H est surjective. Montrons ensuite que f /H est injective : Soit h, h H tels que f(h ) = f(h ) alors f(h ) f(h ) = f(h h ) =, donc h h Ker(k) H = {}. D où h = h. On en déduit que f /H est injective. Exercice 6.5 Vérifier cette formule avec l exemple précédent. Corollaire 6.6 (important) Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions finies et égales (ce qui est le cas pour un endomorphisme de E). Soit f : E F linéaire alors les propositions suivantes sont équivalentes : (i) f est bijective, (ii) f est injective, (iii) f est surjective. (i)= (ii)) évident. (i)= (iii)) évident. ((ii) et (iii))= (i)) évident. Il suffit donc de démontrer que (ii) (iii) : Or f injective Ker(f) = {} et Ker(f) = {} dim(e) = dim(im(f)) (d après le théorème du rang). Mais on a dim(e) = dim(f ), donc dim(f ) = dim(im(f)) Im(f) = F. Or Im(f) = F f surjective, d où le résultat.