Trinôme Table des matières I. Fonctions polynômes... II. Fonctions polynômes du second degré (trinôme)... III. Forme canonique du trinôme... 3 IV. Résolution de l équation ax² + bx + c = 0 et factorisation.... 4 V. Somme et produit des racines (lorsque Δ 0)... 5 VI. Signe de ax² + bx + c... 5 VII. Représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré... 6 Second degré Page 1
I. Fonctions polynômes Définition Les fonctions de la forme x a n x n + a n-1 x n-1 + a n- x n- + + a 1 x + a 0 sont appelées fonctions polynômes en x ou polynôme en x. Les réels a n-1, a n-,. a 0 sont les coefficients du polynôme Si a n 0, le naturel n est appelé degré de cette fonction polynôme ; a n x n est le terme de plus haut degré. Remarque : (non démontrée) Les coefficients d un polynôme sont uniques (exo d identification) Idée de la démonstration :par l absurde : s il en existait d autres (b i ), on montrerait que a i = b i Exemple : f : x 5x 7 x² + 4x +1 est un polynôme de degré 7 avec a 7 = 5 ; a 6 = ; a 5 = f : x est un polynôme de degré 0 f : x -4x + est un polynôme de degré 1 ( une fonction affine) f : x x² + x 4 est un polynôme de degré (un trinôme) Définition Soit P un polynôme. On dit que le réel α est racine de P lorsque P(α) = 0 Exemple : 3 est une racine du polynôme f : x x² - 4x + 3 car f(3) = 0 Lors de l étude d une fonction, on s intéresse particulièrement à la recherche des racines, plusieurs méthodes, approchées (et exactes dans quelques cas particuliers) ont été développées. II. Fonctions polynômes du second degré (trinôme) Définition : On appelle fonction polynôme du second degré (trinôme) toute fonction P, définie sur la forme : P(x) ax + bx + c où a, b et c sont des réels avec a 0, pouvant se ramener à Exemple x 7x + 1 (a 1 ; b 7 ; c 1) 5x + 1 (a 5 ; b 0 ; c 1) 4x (a 4 ; b 0 ; c 0) (x + 1)(x + ) peut s écrire x + 3x + Contre-exemples : x + 1 est un binôme du premier degré 6x 3 + 3x + 4x + est une expression du 3 ème degré (x 1) x est du premier degré. Exercice : Racines du trinôme : trouver les racines du trinôme x 3 : On résout l équation x 3 0. x 3 0 est équivalent à 3 x 3 0 dont l ensemble solution est S { 3 ; 3 } x D une manière générale, comment trouver les racines d un trinôme ax + bx + c? On va voir qu il existe des formules. Le principe est de transformer le trinôme pour que la variable x n apparaisse qu une seule fois. Second degré Page
Cas particuliers : x² - 6x ; x² - 5, identité remarquable x² + x + 1 III. Forme canonique du trinôme Cas particuliers Nous savons que, dans certains cas, nous pouvons utiliser une identité remarquable pour écrire le trinôme comme par exemple : x + x + 1 (x + 1) Mais en jouant sur le coefficient constant, on peut toujours faire ce genre de manipulation : x 8x + 9 (x 4) 16 + 9 (x 4) 7 Dans les cas ci-dessus les racines sont alors facilement identifiables : Résoudre x 8x + 9 0 revient à résoudre (x 4) 7 0, ce qui donne après factorisation : x 4 7 x 4 7 0 D où : S { 4 7 ; 4 + 7 } Remarque : x 8x + 17 = 0 revient à résoudre (x 4) + 1 0 qui n a pas de solution Cas général : transformation de l écriture ax + bx + c en k(x-a)² + B b On met a en facteur (possible car a 0) : a x a x c a Or x² + b a x est le début d un carré, (x+ b a )². Comme (x+ b a )² = x² + b a + b² ² on peut écrire x b a x x b ba b On a : ax² + bx + c = a x a x c a a b b x a c a a x b b c a Pour simplifier cette écriture, posons b c. La quantité b c notée (delta) s appelle le discriminant du trinôme ax + bx + c. On a ainsi : ax + bx + c a b x a avec b c Définition : Le discriminant du trinôme ax + bx + c est la quantité b c notée (delta). Propriété : La forme canonique du trinôme ax + bx + c est ( oua ) Exemple : La forme canonique de x² - 4x 1 est (x-1)² - 3 Remarque : Tout trinôme est donc une composée de fonctions affine et de la fonction carrée. Cette forme canonique va nous servir au moins à quatre choses : dire si le trinôme possède ou non des racines, et lesquelles s il y en a factoriser le trinôme lorsque ce sera possible connaître le signe du trinôme suivant les valeurs de x étudier les variations de la fonction définie par (x) ax + bx + c et tracer sa représentation graphique avec précision (coordonnées de l'extremum) Second degré Page 3
Remarquons que l'on peut également procéder par identification pour déterminer une forme canonique. IV. Résolution de l équation ax² + bx + c = 0 et factorisation. (trouver les racines du trinôme, résoudre l équation f(x)=0, trouver les antécédents de 0 par f Résoudre f(x)=0 c factoriser f ici on utilise a²-b²=(a+b)(a-b)) Résoudre ax + bx + c 0 revient à résoudre l'équation : a b a x a a b x a b x a a 0 identité remarquable 0 qui s écrit encore : Exemple : on continue avec (x-1)² - 3 = 3 ( x 1 ) 3 ( x 1 ) + Dans cette dernière expression, tout est positif sauf, ce qui nous permet d'énoncer le théorème suivant : Soit Δ = b² - c est le discriminant du trinôme ax² + bx +c. Si < 0 : l équation n a pas de solution réelle. Si 0 : l équation a une seule solution x 0 b. On dit que cette solution est double. a Si > 0 : l équation possède alors solutions réelles : x 1 b a et x b a Remarque : les formules obtenues pour > 0 s étendent à 0. (également à < 0, cours de Terminale) Exemples : 6x + x + 1 0 ; 5 ; x 1 1 3 ; x 1 Le trinôme s écrit donc -6(x - 1 3 )(x 1 ) 5x + 6x + 0 ; 4 ; pas de racine réelle x 4x + 4 0 ; x 0 ; ( 0 ; inutile ici : (x ) ) Remarque : Si les coefficients a et c sont de signes opposés, alors le trinôme ax + bx + c admet deux racines ; en effet, dans ce cas = b c est nécessairement positif. Remarque : (factorisation du trinôme) (résoudre factoriser) Si le trinôme admet racines x 1 et x on peut écrire ax² + bx + c = a(x x 1 )(x x ) Si le trinôme admet 1 racine x 0 on peut écrire ax² + bx + c = a(x x 0 )² = a(x x 0 )(x x 0 ) Si le trinôme n admet pas de racine, on ne peut pas le factoriser. Second degré Page 4 Attention! Le calcul de est inutile pour des trinômes "incomplets" tels que : x x = 0 x 5 = 0 etc...
V. Somme et produit des racines (lorsque Δ 0) Lorsque le trinôme ax + bx + c admet deux racines réelles (distinctes ou confondues), leur somme S x 1 + x et leur produit P x 1 x sont donnés par : S b a et P c a Démonstration : Si x 1 et x sont ces deux racines, on a : S x 1 + x b + b a a b a et P x 1 x b a b a b c c a. Remarque : (racines évidentes) Pour la résolution ou la factorisation, avant de calculer le discriminant, on vérifie qu il ait pas de racines évidentes (- ; -1 ; 0 ; 1 ; ; 3). Si on trouve une racine évidente, l autre racine s en déduit immédiatement. Exemple : Résoudre x² + 48x 49 = 0. 1 est racine évidente. Comme le produit des racines vaut -49, l autre racine vaut -49. Donc S = {1 ; 49} Factoriser x² + 4x 16 est racine évidente. Comme le produit des racines vaut -8, l autre racine vaut -4. Donc x² + 4x 16 = (x )(x + 4) Connaître le signe, c est résoudre des inéquations. Les expressions du 1 er degré du type x + 3 quel est leur signe? VI. Signe de ax² + bx + c Etudions le signe de (x) ax + bx + c. Cas > 0 : soient x 1 et x ses racines, avec (pour fixer les idées) x 1 < x. On a alors la factorisation suivante : (x) = a(x x 1 )(x x ). Faisons un tableau de signes : x x 1 x + x x 1 0 + + x x 0 + (x x 1 )(x x ) + 0 0 + signe de a 0 opposé de a 0 signe de a (x) Cas 0 : on utilise la forme canonique : (x) a b x a Comme est négatif, l expression entre crochets est positive, le signe de (x) est donc le même que celui de a. Pour résumer, on énonce le théorème suivant : Le trinôme ax + bx + c est toujours du signe de a sauf entre les racines lorsqu elles existent. Second degré Page 5
Et en particulier, lorsque < 0, le trinôme est de signe constant. (celui de a) Exemple : résoudre l inéquation x 4x + 1 0. On a 1 > 0 et x 1 3 et x + 3. Or, ici a 1 est positif. Donc le trinôme est toujours positif sauf entre ses racines. Les solutions de l inéquation sont donc les réels de l intervalle ] 3 ; + 3 [. VII. Représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré Dans un repère (O ; i, j ), notons C la courbe d'équation y (x) ax + bx + c. La représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré est une parabole. Elle est tournée vers le haut si a > 0, tournée vers le bas si a < 0. Son axe de symétrie est la droite verticale d'équation : x b a. Son sommet S a pour coordonnées : S ; b a Démonstration : b Procédons à un changement de repère en posant X x + et Y y + a. Ce changement a pour effet de simplifier amplement la forme canonique : b y a x a soit encore y + a x ce qui s'écrit dans le nouveau repère : Y a X ba. Ceci est l'équation d'une parabole. Le signe de a conditionne donc l'orientation de cette parabole ; la première partie du théorème est démontrée. Notons que les coordonnées (x S, y S ) de l'origine S du nouveau repère (et du sommet de la parabole) peuvent se calculer de la façon suivante : b X S x S + et Y S y S + a où (x S, y S ) désignent les coordonnées de S dans le repère (O ; i, j ), et (X S,Y S ) les coordonnées de S dans le repère (S ; i, j ). Et comme on a naturellement (X S,Y S ) (0, 0) b On en déduit que : (x S, y S ) ; a Remarque :variation de la fonction Si, la fonction est décroissante sur et croissante sur. Si, la fonction est croissante sur et décroissante sur. Vocabulaire : expliquer position relative de courbes Second degré Page 6
8. Résumé Pour terminer, résumons par des illustrations les informations principales vues dans cette leçon : b a. Les coordonnées du sommet S de la parabole sont ; Second degré Page 7