TD 14 corrigé - Cinématique du contact ponctuel Page 1/6 Corrigé Exercice 1 : SYSTÈME DE DISTRIBUTION D UN MOTEUR 4 TEMPS. Première chose à effectuer : LA FIGURE PLANE de changement de bases. y 1 y z x 1 x 1/.z Étude géométrique Question 1 : Déterminer les trajectoires TI1/ et TI /. Le mouement de 1/ est une rotation d axe ( Oz, ). Par conséquent, la trajectoire du point TI 1/ est un arc de cercle d axe ( Oz, ), de centre O et de rayon [OI]. Le mouement de / est une translation rectiligne de direction y. Par conséquent, la trajectoire TI / est un segment de droite porté par ( Iy, ). Question : Déterminer la trajectoire de I (point géométrique de contact) : - dans R( A, x, y, z ) : OI AI e.cos. x (NB : B=B car / est un mouement de translation) La trajectoire du point I dans le repère R est le segment [QR] aec Q( e;) et - dans R1( O, x1, y1, z 1) : O1 I OI e. x1 R. y e. x1 R.cos. y1 R.sin. x1 La trajectoire du point I dans le repère R1 est le cercle de centre Re ( ;). Ce ( ;) et de rayon R. 1 - dans R( O, x, y, z ) : OI OI e. x1 R. y e.cos. x e.sin. y R. y La trajectoire du point I dans le repère R est le cercle de centre D(; R ) et de rayon e.
TD 14 corrigé - Cinématique du contact ponctuel Page /6 Étude cinématique graphique Question : Donner la désignation du ecteur itesse de glissement de cet exercice. Aec quelle méthode graphique, pourrions-nous déterminer ce ecteur? /1 : Il se détermine graphiquement par la composition des ecteurs itesse en I : /1 / /1 Étude cinématique analytique Question 4 : Calculer ce ecteur itesse de glissement selon les méthodes du cours. 1 ère méthode : /1 /1 / do 1I doi d( e. x1 R. y) d. y V I /1 R. R. /1 y R.. z y R.. x dt dt dt dt 1 1 1 1 do I d AI d( e.cos. x) / e..sin. x dt dt dt V R.. x e..sin. x Donc I /1 ème méthode : Ne jamais déterminer une itesse de glissement par : - la dériation ectorielle /1 /1 " I " car on ne sait pas traduire " I ", - le relation du champ des ecteurs itesses /1 V? /1 I? /1 car on ne connaît pas la itesse d'un autre point de /1. De même, ne pas déterminer la itesse de translation par / / " I " car là aussi on ne sait pas traduire " I ". /1 / 1/ do A doa d[. y] / VA/ VA/ " A " VA/. y dt dt dt V V IO ( R. y e. x ). z R.. x e.. y I1/ O1/ 1/ 1 1 V. y R.. x e.. y Donc I /1 1 (ce qui paraît étonnant car la itesse de glissement doit être dans le plan tangent, donc suiant x!!!!) Mais si on remplace esin R (relation issue de la géométrie du mécanisme), on obtient : ecos Et si on projette y 1 dans la base : y1 cos. y sin. x. y R.. x e.. y /1 1 /1 e..cos. y R.. x e..(cos. y sin. x) R.. x e..sin. x /1 Question 5 : Préciser les composantes de roulement et de piotement en I. /1 / /1.z La composante de piotement en I est : p/1 I I La composante de roulement en I est : r/1. z
TD 14 corrigé - Cinématique du contact ponctuel Page /6 Corrigé Exercice : GUIDAGE LINAIRE DE SYSTÈMES MÉDICAUX. Question 1 : Traduire les conditions de non glissement. En déduire quelques axes instantanés de rotation. Il est dit que les billes ne glissent pas, donc les itesses de glissement sont nulles : VA / VB / VC /1 VD /1 VE/1 VF /1 VG / Ainsi (AB), (CD) et (EF) sont les axes instantanés de rotation, respectifs de /, de /1 et de /1. NB: Par définition / a même direction que l axe instantané de rotation de / Question : Déterminer VC / en fonction de, puis VE / en fonction de. Déterminer VC / en fonction de, puis VE / en fonction de. En déduire une relation entre et, puis une relation entre et. V V V V x C/ C/1 C1/ C1/. V V V V x E/ E/1 E1/ E1/. R R R( ). V / C/ VA/ CA / ( CO OA) /. y (?. y. z?. y. z) /. y. x V V EG ( EO O G). y (?. y r.sin. z r. z). y r.(sin 1).. x E/ G/ / / / / R( ). Ainsi / r.(sin 1). / Question : En déduire les torseurs cinématiques des mouements de S/S et S/S en fonction de et des caractéristiques géométriques.. Donc / R.( ). et /. y V / R.( ) V / A r.(sin 1). y r.(sin 1) G Question 4 : Préciser les composantes de roulement et de piotement en G et B. y r.(sin 1) /. donc la composante de piotement en G est : p/ G G la composante de roulement en G est : r/. y r.(sin 1). /. y R.( ). donc la composante de piotement en B est : p/ B.cos 6 R.( ) R.( ).. la composante de roulement en B est : r/ B.sin6 R.( ) R.( )
TD 14 corrigé - Cinématique du contact ponctuel Page 4/6 Question 5 : Déterminer les ecteurs itessess des centres des billes dans leur mouement par rapport au bâti S : VO / et VO /. R R.. /. VO / VA/ OA / (?. y. z) /. y. x. x VO / VG/ OG / r. z /. y r. /. x. x sin1 Question 6 : Déterminer pour que ces ecteurs itesses soient identiques.. sin1 sin 1 sin 54,7
TD 14 corrigé - Cinématique du contact ponctuel Page 5/6 Corrigé Exercice : BANC DE TESTS DE PNEUMATIQUES. Première chose à effectuer : LES FIGURES PLANES de changement de bases. y 1 y u x z w z z 1 x 1 y x z z1 w u x 1/.z /.z /.u Question 1 : Quelle condition le ecteur /1 doit-il satisfaire pour assurer le maintien du contact entre les solides et 1 au point I. Pour maintenir le contact entre et 1 au point I, /1 doit appartenir au plan tangent au contact, donc /1 z Question : Déterminer VH /1. VH/1 VH/ VH/1 car le mouement de / est une rotation d axe (HC) et le mouement de /1 une rotation d axe (OH). Question : Déterminer le ecteur itesse de glissement au point I selon méthodes différentes. Pour calculer une itesse de glissement, possibilités : /1 /1 / : décomposition, puis calcul de V I /1 et V I / par la dériation ectorielle ; /1 / / /1 : composition des itesses (car les mts de /, / et 1/ sont définis), suiie de la relation du champ des ecteurs itesses des points appartenant à un solide. 1 ère méthode : /1 /1 / doi d( d. u) /1 d. /1 u d.( / /1) u d.(. z. z) u ( d d ). dt dt 1 1 dci d( r. z) / r. / z r.(. u z) r. dt dt Donc /1 /1 / ( d d r ).
TD 14 corrigé - Cinématique du contact ponctuel Page 6/6 ème méthode : /1 / / /1 : / VC/ IC / V V IC I/ C/ / / r. z. u / r. V V IO I/ O/ / / d. u. z / d. V V IO I1/ O1/ 1/ 1/ d. u. z 1/ d. Donc V /1 V / V / V /1 ( r d d ). I I I I Question 4 : En déduire la relation entre,, (itesses de rotation des actionneurs) et les dimensions du système, afin que le pneumatique roule sans glisser. /1 ( d d r). d d r Question 5 : En déduire dans ce cas, l axe instantané de rotation de /1. Les deux points I et H sont tels que : /1 et VH /1. Par conséquent, l axe instantané de rotation du mouement de par rapport à 1 est la droite (IH). NB: Par définition /1 a même direction que l axe instantané de rotation ( ). Question 6 : Préciser les composantes de roulement et de piotement en I. /1 / / /1. u ( ). z La composante de piotement en I est : p/1 ( ). z I La composante de roulement en I est : r/1. u I Corrigé Exercice 4 : TESSE D UN VÉHICULE. Question 1 : Déterminer la relation entre CS / et RC / répondant aux hypothèses.. x V V V V V IA r. y (. z) r.. x C/ S IC / S IC / R IR / S IC / R AC / R C/ R R/ C R/ C Mouement de translation Roulement sans glissement C/ S r. R/ C