Etude de fonction Eercice On considère la fonction f définie par f ( ) a + b+c dont la parabole P est représentée si contre. P passe par les points A(0 ; ) et B( ; ) Les tangentes à P au points A et B se coupent au point C( ; - ). Déterminer une équation des deu tangentes à P En déduire f (0) et f (). Eprimer f () en fonction de a b et c,. A l aide des valeurs de f (0), f () et f(0) trouver trois équations vérifiées par a, b et c puis déterminer l epression algébrique de la fonction f. Eercice On considère la fonction polynôme f définie par f( ) + + 6 On note C est sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.. Déterminer la fonction dérivée de la fonction f. Dresser le tableau de variation de la fonction f. Montrer que le point A 9 ( ; ) est centre de symétrie de la courbec. Montrer que le polynôme se factorise par ( ) 5. En déduire les abscisses des points d intersection de C avec l ae des abscisses 6. Donner une équation de la tangente à C au point d abscisse 0 Eercice Soit C la courbe représentative de la fonction racine carrée. On note A est le point de coordonnées ( ; 0 ) Pour positif on note ( ; ) M le point de C d abscisse. Eprimer, en fonction de, la distance AM on pourra la noter d(). Quel est le point de C qui est le plus près de A? (On pourra étudier les variations de la fonction d ) Année scolaire 008-009 page / 5
Etude de fonction Eercice On considère de la fonction f définie sur R { } par : f( ) + + + Et on appelle C la courbe représentative dans un repère ( O, i, j). Déterminer les réels a, b et c tels que f ( ) a + b + c +. Calculer la dérivée de f et étudier les variations de f et dresser son tableau de variation. Montrer que le point I(- ;-) est le centre de symétrie de C Eercice 5 On considère de la fonction f définie sur R par : f( ) + On appelle C sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.. Etudier les variations de la fonction f. a)déterminer l équation de la tangente D à la courbe représentative de la fonction f au point d abscisse b) Vérifier que ( ) + En déduire la position relative de C et D Eercice 6 La courbe H représentée ci-dessous est une partie de la représentation graphique de la * fonction f définie sur R par : f ( ) a + b + c où les coefficients sont à déterminer. Déterminer graphiquement f (), f '(), f () et f '(). Déterminer f '( ) en fonction de a, b et c. Montrer que les réels a, b et c vérifient le système :. Déterminer l epression de f( ) a+ b+ c a c a c 0 Année scolaire 008-009 page / 5
Etude de fonction Eercice On considère la fonction f définie sur ] ; [ ] ;[ ] ; + [ par f( ) On désigne par C sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i, j ). Déterminer les ites de f en et Quelle conséquence graphique en tire-t-on pour C?. a. Déterminer les ites de f en + et en b. Déterminer les réels a, b, c et d tels que, pour tout différent de et, c + d f( ) a+ b+ c. En déduire que la droite D d'équation y est asymptote oblique à C d. Etudier la position relative de D et C. a. Calculer f ' () et prouver que f ' () a le même signe que b. En déduire les variations de f et dresser le tableau des variations de f +. a. Déterminer les coordonnées I, le point d'intersection de D et de l'ae des ordonnées. b. Démontrer que I est le centre de symétrie de C. c. Déterminer l'équation de la tangente, à C au point I d. Etudier la position relative de et de C 5. Construire C, ses asymptotes ainsi que les tangentes horizontales. 6. Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation f() k où k est un réel fié. (On discutera suivant les valeurs de k.). Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation f() a+ où a est un réel fié. (On discutera suivant les valeurs de a.) Année scolaire 008-009 page / 5
Etude de fonction Eercice 8 5+ 0 On considère la fonction f définie sur ] ;[ ] ; + [ par f( ) On désigne par C sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O, i j ),. Déterminer les ites de f en. Quelle conséquence graphique en tire-t-on pour C?. a. Déterminer les ites de f en + et en c b. Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout différent de, f( ) a+ b+ En déduire que la droite D d'équation y est asymptote oblique à C. On appelle I le point d'intersection des deu asymptotes de C. Démontrer que I est le centre de symétrie de C.. a. Calculer la dérivée f ' de f b. Etudier les variations de f et dresser le tableau des variations de f 5. a. Montrer que la droite, d équation y est tangente à C au point d abscisse b. Etudier la position relative de et C c. Prouver qu il eiste une droite qui soit parallèle à ( mais différente de ) et qui soit tangente à C. Déterminer son équation Année scolaire 008-009 page / 5
Eercice. Sur le graphique nous pouvons lire que f(0) et que le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A est 5, par conséquent f (0) 5 y f '(0) 0 + f(0) ; L équation de la tangente au point d abscisse 0 est donnée par la formule ( ) nous obtenons ainsi : y 5+ De même, l équation de la tangente au point d abscisse est y Et f (). Pour tout réel, f '( ) a+ b. On a le système suivant : f '(0) 5 a 0+ b 5 f '() a + b f (0) a 0 + b 0+ c b 5 a+ b c b 5 a c donc f ( ) 5 + Eercice. f est une fonction polynôme elle est définie et dérivable sur R et pour tout R : + + f '( ). Pour obtenir les variations de la fonction f, il suffit d étudier le signe de f C est un polynôme du second degré, cherchons ses éventuelles racines en calculant son discriminant : b ac (-) 9 Ses racines sont donc : et + Et comme le coefficient du terme de plus haut degré est positif on a le tableau suivant : + f () + 0 0 +,5 + f() 0 Année scolaire 008-009 page 5 / 5
. Le domaine de définition est R il est donc symétrique par rapport à f ( ) ( ) ( ) ( ) - - + + 6 + + + + + + 6 + + ( ) Donc : f -+ h + f () 0 On peut donc affirmer que le point ( ; 9 ) 0 + + + + + 6 A est centre de symétrie de la courbec 9. Pour montrer que le polynôme se factorise par f( ) ( a+ b)( ) ( ), cherchons deu réel a et b tels que : ( )( ) ( )( ) a + b a + b + a + b a b + a + b + ( ) + ( + ) + a b a b a b Par identification avec l epression initiale on obtient le système suivant : a b a b + a b 6 a 6 + 6 b 6 les deu équations centrales sont vérifié donc ( )( ) ( )( ) f( ) + + 6 5. Les abscisses des points d intersection de C avec l ae des abscisses sont les réels qui vérifient : f( ) 0 ( ) 0 ( )( ) f + 0 ou y f '(0) 0 + f(0) 6. L équation de la tangente au point d abscisse 0 est donnée par la formule ( ) or f (0) et f '(0) 6 L équation s écrit donc ( 0) y + y + 6 6 Année scolaire 008-009 page 6 / 5
Eercice ( ) ( ( ) ) ( ) M A M A. d ( ) AM + y y + 0 +. La fonction d est une fonction polynôme, elle est définie et dérivable sur [0 ; + [ et pour tout réel on a : d'( ). On a donc le tableau de variation : 0 / + d () 0 + + d() / Le point de C qui est le plus prés de A est le point B qui a pour abscisse et comme il est sur la courbe d équation y, il a pour corrdonnées : B ; Eercice. Pour tout réel différent de - : ( ) c ( a + b)( + ) + c f a+ b+ + + Or f() a + ( a + b) + ( b + c) + + + Il suffit d identifier les coefficients de chaque monôme : + a a a a a+ b + b b b. Par conséquent f() + + b+ c b+ c + c c + Année scolaire 008-009 page / 5
. Pour calculer la dérivée de f, on peut prendre la forme initiale, mais il est plus simple de prendre la forme développée obtenue à la question : L epression est de la forme + Pour tout réel,, f ' or ( ) u ' donc u ( ) u u '( ) ( ) + Pour étudier le signe de f (), il faut factoriser : f '( ) ( + ) ( ) + ( + ) ( + )( + ) ( + ) Pour étudier les variation de f, étudions le signe de f'() Le dénominateur étant un carré, il est toujours positif, donc f'() a le même signe que le numérateur qui est un trinôme du second degré qui s annule et change de signe en et. On a donc le tableau suivant : + f() + 0 0 + + + f'(). Le domaine de définition est R {-} est donc symétrique par rapport à - De plus, pour tout réel non nul, nous avons : f (- - ) - - + + - - - - + Par conséquent on a, (- - ) f + f( ) + - - + + + + + - - + + On peut donc affirmer que le point A( ; ) est centre de symétrie de la courbec Année scolaire 008-009 page 8 / 5
Eercice 5. f est une fonction polynôme, elle est donc dérivable sur R et pour tout R, f '( ) 6 ( ) La dérivée est un trinôme du second degré qui s annule et change de signe en 0 et en : 0 + f() + 0 0 + + f'() 0.a) L équation de la tangente au point d abscisse est de la forme : y f '() ( ) + f() or f () + et f '() 6 donc y ( ) + ou encore y + 5 L équation de la tangente au point d abscisse est donc y + 5.b) On a donc ( ) + Pour étudier la position relative de C et D, étudions le signe de la différence : ( ) ( ) ( ) ( ) f( ) + 5 + + 5 + Or ( ) a le même signe que, on a donc : + f( ) ( + 5) 0 + D est en D est en Position relative dessus de C D coupe C dessous de C Année scolaire 008-009 page 9 / 5
Eercice 6. La courbe passe par le point A( ; ) donc f () La tangente à la courbe au point A a pour coefficient directeur donc f '() La courbe passe par le point B( ; ) donc f () La tangente à la courbe au point B a pour coefficient directeur 0 donc f '() 0. f( ) a + b + c or nous savons que la dérivée de la fonction est la fonction donc pour tout réel non nul, f '( ) a c f (). On a f '() donc les réels a, b et c vérifient : f '() 0 a + b + c a c a c 0 c est à dire a+ b+ c a c a c 0. On peut soustraire les deu dernières lignes pour éiner le «c» a+ b+ c a c L L a + b+ c c a + b + c a b c a Par conséquent, pour tout réel non nul, f( ) + Eercice. + ( + ) 8 et ( ) 0 + donc + + f() ( + ) 8 et ( ) 0 donc f() + On obtient de même : f() + et + f() On en déduit que les droites d'équations et sont deu asymptotes verticales de la courbe C. Année scolaire 008-009 page 0 / 5
. a) f() + + + et f() + b) pour tout différent de et de, on a : c + d ( a + b)( ) c + d a b + ( a + c) + ( b + d) a + b + + or f( ) + Par identification on trouve: a a a a b b b b a+ c 0 a+ c 0 + c 0 c b d b d d + + + d 0 Donc pour tout différent de et de, on a : f( ) + La différence f( ) ( ) vaut or + 0 + Nous pouvons en déduire que la droite d équation y est asymptote oblique à C au voisinage de + On peut prouver de la même façon qu'il en est de même au voisinage de La différence f( ) ( ) vaut, le dénominateur ( )(+) est un trinôme du second degré qui s'annule en et et dont le coefficient du est négatif 0 + 0 + + 0 + + 0 f () ( ) + 0 + Position relative C est audessus C est au- C est au- C est au- de D et C de D dessous de D dessus de D dessous de D C coupe D.a. f est unefonction rationelle donc f est dérivable sur Df. Pour tout de Df, f '() ( 6 )( ) ( + )( ) + ( ) ( - ) ( ) ( ) b. f ' () a donc le signe du trinôme qui s annule en et en Année scolaire 008-009 page / 5
On a donc le tableau de variation suivant : 0 + f ' () 0 + + 0 + + 0 + + + f( ) f() f( ) Avec f ( ) + 8, et f ( ) +,. I est le point d'intersection de D et de l'ae des ordonnées, ses coordonnées ( ; y ) vérifient donc : 0 { I a donc pour coordonnées (0 ; ) y f(0) Le domaine de définition R { ;} est symétrique par rapport à 0 ( ) Pour tout, réel différent de et de - : f(0 ) f( ) ( ) + + ( ) f ( ) + f ( ) + + + 6 On peut donc en déduire que I(0 ; ) est le centre de symétrie de la courbe C c. L'équation de la tangente au point d'abscisse a s'écrit y f '( a)( a) + f( a) Calculons f'(0) 0( 0) 0 et ( 0 ) 0 0 + f (0) 0 L'équation de la tangente au point d'abscisse 0 est donc y 0( 0) + c'est à dire y d. La position relative de et de C est donnée par le signe de la différence f() cette différence vaut: f() +... Le numérateur a le même signe que et le signe du dénominateur a déjà été étudié: 0 + 0 + + 0 + + 0 f () + 0 + C est audessus C est au- C est au- de dessous de dessus de C coupe Position relative de et C 5. Graphique en annee C est audessous de Année scolaire 008-009 page / 5
6. On peut remarquer graphiquement que : Lorsque k ] ; f ( ) [ ] f ( ) ; + [, l équation f()k a trois solutions car la droite d équation y k coupe trois fois la courbe Lorsque k f ( ) ou k f ( ), l équation f() k a deu solutions, Lorsque k ] f ( ) ; f ( ) [, l équation f() k n a qu'une solution. Pour tout réel a, la droite d'équation y a+ passe par I car a0+ a. L'équation f() a+ a donc toujours au moins une solution : 0. On peut remarquer graphiquement que : Lorsque a ] ; [, l équation f() a+ n a qu'une solution, Lorsque a0, l équation f() a+ a deu solutions, Lorsque a ] 0; + [, l équation f() a+ a trois solutions annee C D Année scolaire 008-009 page / 5
Eercice 8 Partie A. + ( 5+ 0) et ( ) 0 donc + + f() ( 5+ 0) et + ( ) 0 donc f() + Nous pouvons en déduire que la droite d'équation est asymptote à la courbe C. f() + + + et f() c ( a + b)( ) c a + ( a b) + b + c 5+ 0 b. a + b + + or f( ) a a a a Par identification on trouve: a b 5 b 5 b b b c 0 b c 0 + + 6+ c 0 c Donc pour tout différent de, on a f( ) + + On a f( ) ( + ) or ( ) et ( ) + donc + + 0 Nous pouvons en déduire que la droite d équation y est asymptote oblique à C f( ) ( + ), elle a le même signe que donc Sur ] ; [, cette différence est positive donc la courbe C est au- dessus de la droite D. Sur ] ; + ; [, cette différence est négative donc la courbe C est au-dessous de la droite D.. I est l intersection des deu asymptotes, ses coordonnées ( ; y ) vérifient donc : { y + I a donc pour coordonnées ( ; ) Le domaine de définition R { } est symétrique par rapport à Pour tout de R { } : f ( 6 - ) - + -+ f ( 6 - ) + f( ) - + + + -+ On peut donc en déduire que I est le centre de symétrie de la courbe C.a. f est une somme de fonctions dérivables dont un des termes est de la forme u u'( ) ( ) ( ) + + 6 5 donc pour tout de Df, f '() ( ) ( ) ( ) u ( ) ( ) Année scolaire 008-009 page / 5
b. f ' () a le signe de + 6 5 qui s'annule en : On a donc le tableau de signes et de variations suivant : 6 5 et 6+ 5 + f ' () 0 + + 0 + + 5 f() 5.a. L'équation de la tangente au point d'abscisse a s'écrit y f '( a)( a) + f( a) + 6 5 5 + 0 Calculons f'() et f () ( ) L'équation de la tangente au point d'abscisse est donc y ( ) + c'est à dire y La droite, d équation y est donc la tangente à C au point d abscisse b. La position relative de et C est donnée par le signe de la différence d()f() ( ) ( )( ) + Cette différence vaut : d() + ( ) + ( ) ( ) d() 6+ 6 Le numérateur étant un carré, il est toujours positif, la différence a donc le signe de qui s annule en + ( ) + 0 + + + + 0 f () ( ) + + Position relative C est au-dessus de C est au-dessus C est au-dessous de de D et C D de D D D est tangent à C c. Le coefficient directeur de la tangente en 0 est f ( 0 ) Pour trouver les droites parallèles à et qui sont tangentes à C, il suffit de résoudre l équation f () + 6 5 Pour tout différent de, on a les équivalences suivantes 6 5 ( ) + ( ) + 6 5 8+ + 0 8+ 0 On obtient donc un équation du second degré, on calcule le discriminant puis les racines ( à détailler) ou On détermine, comme à la question a, l équation de la tangente au point d abscisse Calculons f'() ( puisque est une solution) et f () 6 L'équation de la tangente au point d'abscisse est donc y ( ) 6 c'est à dire y 8 La droite a donc pour équation y 8 Année scolaire 008-009 page 5 / 5