Sythèse de cours PaaMaths Tribus Das ce documet, pour tout esemble E et toute partie A de E, ous oteros A le complémetaire de A das E. Défiitios et premières propriétés Défiitios Soit E u esemble. E Soit T P ( ). O dit que «T est ue tribu (ou ue σ algèbre) sur E» si T vérifie : T ; A,A T T (stabilité par complémetarité) ; ( A ) T, A T (stabilité par uio déombrable). Si T est ue tribu sur E, alors le couple ( E, T ) est appelé «espace mesurable». Exemples : {,E} et P ( E) sot des tribus de E, respectivemet la plus petite et la plus grade au ses de l iclusio. Pour toute tribu T sur E, o a doc :,E E { } T P ( ) Si E est u esemble o vide, alors pour toute partie A o vide de E, {,A,A,E} est ue tribu sur E (il s agit de la plus petite tribu sur E coteat A. Voir plus loi.). Premières propriétés Si E u esemble et T ue tribu sur E alors : E T ; Pour toutes parties A et B de E das T, les parties A B, A B des élémets de T. A T, A T (stabilité par itersectio déombrable). ( ), A\B et AΔ B sot PaaMaths [1-6] Août 2011
www.paamaths.et / Tribus Rappel : la otatio «AΔ B» désige la «différece symétrique» des parties A et B à AΔ B= A\B B\A = A B \ A B. savoir : ( ) ( ) ( ) ( ) Tribu et topologie Ue tribu sur u esemble quelcoque E présete la caractéristique fodametale d être stable par uio et itersectio déombrables. Pour ce qui est de l uio, ue topologie présete ue stabilité plus forte puisque qu elle est stable par uio quelcoque. E revache, ue topologie est stable, e gééral, que par itersectio fiie. Aisi, e gééral, ue tribu est pas ue topologie et ue topologie est pas ue tribu. Tribu egedrée Propriété fodametale Soit E u esemble. Si ( T ue famille quelcoque de tribus sur E alors i ) i I T est ue tribu sur E. i I i Défiitio-théorème Le résultat précédet coduit à éocer : Soit E u esemble et soit S P ( E). Il existe ue plus petite (au ses de l iclusio) tribu coteat S : il s agit de l itersectio de toutes les tribus de E coteat S. O la ote τ ( S ) et o l appelle «tribu egedrée par S». Remarque : «τ» est la lettre grecque «tau». Soit E u esemble et soit S P ( E) et S ' P ( E). Si S S ' alors τ ( S ) τ ( S '). PaaMaths [2-6] Août 2011
www.paamaths.et / Tribus Tribu boréliee Défiitio Soit ( E, U ) u espace topologique, U désigat l esemble des ouverts de cet espace. O appelle «tribu boréliee de E» ou «tribu de Borel de E» la tribu sur E egedrée par U. O la ote B ( E) ou B E. O a doc : B ( E) = τ ( U ) Les élémets de B ( E) sot appelés «les borélies de l espace topologique ( E, U )». Remarques : Si l o cosidère ue autre topologie sur E, o obtiedra, e gééral, ue autre tribu boréliee. E, U doé, la tribu boréliee de E cotiet e particulier : Pour ( ) o Tous les ouverts de E. o Tous les fermés de E. o Toutes les itersectios et uios déombrables d ouverts de E. Tribu boréliee de -défiitio L esemble des réuios (quelcoques) d itervalles ouverts de est ue topologie sur cet esemble appelée «topologie usuelle de». Soit mui de sa topologie usuelle. La tribu boréliee de : B est la tribu egedrée par l esemble des itervalles ouverts et borés B ({] ab ; [ /( ab, ) 2 }) = τ PaaMaths [3-6] Août 2011
Remarque : www.paamaths.et / Tribus B est égalemet egedrée par l u quelcoque des esembles suivats : { } { } { ab ab } ; { } { } { } { ; / a } [ ab ; [/( ab, ) 2, ] ab ; ] /( ab, ) 2 et [ ; ] /(, ) 2 ] ; a[ / a, ] ; a] / a, ] a; + [ / a et [ a [ +. Image réciproque d ue tribu. Applicatio mesurable Notio d image réciproque, rappels. Soit E et F deux esembles et f ue applicatio de E das F. Soit B ue partie de F. O appelle «image réciproque de B par f», otée f 1 ( B), l esemble des élémets de E dot l image par f appartiet à B : 1 f ( B) = { x E/ f ( x) B} Soit maiteat S u esemble de parties de F (c'est-à-dire ue partie de P ( F) 1 u élémet de P ( P ( F) ) ). O appelle «image réciproque de S», otée ( ) l esemble des images réciproques des élémets de S : f { } ( S ) = f ( ) S 1 1 B /B f S,, soit ecore Soit E et F deux esembles et f ue applicatio de E das F. Si S est ue tribu de F alors T = f 1 ( S ) est ue tribu de E. Défiitio Soit ( E, T ) et ( E', ') T deux espaces mesurables et soit f ue applicatio de E das E'. O dit que «l applicatio f est ( T, T ') mesurable» (ou simplemet «mesurable» s il y a pas d ambiguïté) si o a : 1 f ( T ') T PaaMaths [4-6] Août 2011
www.paamaths.et / Tribus Tribu produit Défiitios Soit ( E, T ) et ( E', ') T deux espaces mesurables. O appelle «pavé mesurable de E E '» tout produit de la forme A A ' où A T et A' ' T. O appelle «tribu produit de T et T '» (ou «produit tesoriel des tribus T et T '»), otée T T ', la tribu de E E' egedrée par l esemble des pavés mesurables de E E' : T T ' = τ ({ A A'/A T,A' T '}) L espace mesurable ( E E', T T ') est appelé «espace mesurable produit des espaces mesurables ( E, T ) et ( E', T ')». Remarques : Le produit A A ' ( A T et A' T ') est ue partie de E E '. Il s agit doc d u élémet de P ( E E' ). Aisi, o a : T T ' P ( E E' ). Les défiitios précédetes se gééraliset immédiatemet à ue suite fiie d espaces mesurables. Soit E et E' deux esembles. E ' Soit S P ( ) et S P ( E' ) tels que : E S et E' S '. O a : ( S S ') ( S ) ( S ') τ = τ τ E E' E E' PaaMaths [5-6] Août 2011
www.paamaths.et / Tribus ( E, U ) et ( E', U ') deux espaces topologiques, U et ' esembles des ouverts des espaces E et E'. O a : B ( E) B ( E' ) B ( E E' ) ; Si ( E, U ) et ( E', ') B ( E) B ( E' ) = B ( E E' ) U désigat respectivemet les U admettet tous les deux des bases déombrables d ouverts alors : Rappel : otos que lorsque l o cosidère deux espaces topologiques ( E, U ) et ( E', U ') peut défiir sur E E ' ue topologie dite «topologie produit de U et U '», otée U U ', qui est la topologie dot l esemble des ouverts admet pour base : { U U'/U U,U' U '} (u tel ouvert U U' état appelé «ouvert élémetaire»). Exemple : ( 2 ) = ( ) ( ) B B B, o PaaMaths [6-6] Août 2011