Faculté des Sciences Dhar El Mehrez Département de Mathématiques et Informatique. Chapitre 1 Langage de topologie. Abdelaziz Kheldouni

Faculté des Sciences Dhar El Mehrez Département de Mathématiques et Informatique Chapitre 1 Langage de topologie Abdelaziz Kheldouni November 15, 2005

Introduction Cette brève introduction est extraite en grande partie du livre Cours de topologie de Gustave Choquet ( Masson 1984 ) La topologie générale ne constitue un ensemble cohérent de concepts que depuis le début du 20 ème siècle, malgrés le fait qu elle soit l aboutissement de tout un mouvement d idées qui remonte à l antiquité. Les notions de limite et de continuité s imposèrent déja aus mathématiciens grecs dès qu ils tentèrent de préciser la notion de nombre. Ce n est qu avec Cauchy (1821) et Abel (1829) que les concepts de suite et de série convergentes, et celui de fonction continue ne devinrent claires. En 1873 Cantor créa un langage à la fois général et précis pour une meilleure connaissance de la droite réelle; ce qui ouvrit le chemin à un monde nouveau. Les découvertes se succédèrent particulièrement en France (Poincaré, Hadamard, Borel, Baire, Lebesgue) et en Allemagne (Klein, Mittag-Leffler). On en vient rapidement à l étude de l analyse fonctionnelle (Ascoli, Voltera, Hilbert) qui était un début de réalisation du programme de Riemann qui concistait en l étude de la notion générale de grandeur plusieurs fois étendue, entendant par là non seulement les variétés à un nombre quelconque de dimension, mais aussi les espaces de fonctions et d ensembles. Les progrès de l analyse, dans l étude locale des fonctions, leurs limites en un point (fini ou non) leur continuité et leur dérivabilité, l existence d extremums..., demandaient une définition rigoureuse de l idée intuitive de proximité. Il fut ainsi défini le concept de voisinage dans des ensembles mathématiques abstraits (nombres, points du plan ou de l espace, vecteurs, fonctions) conduisant à la notion d espace topologique. La notion de distance devait aussi être précisée en généralisant ce concept intuitif à des espaces abstraits : il s agit des espace métriques définis par Fréchet. Ces espaces fournissent alors un outilessentiel pour l étude de la continuité uniforme et de la convergence uniforme,et commode aussi pour l étude des structures topologiques. Hausdorffparvient à dégager d une jungle d axiomes, un système axiomatique simplequi est la pierre angulaire de la topologie générale actuelle. I.1.L exemple des espaces métriques Définitions et exemples Un espace métrique est un ensemble E sur lequel est définie une distance, c est à dire une application d : E E R + qui vérifie pour tout x, y, z dans E : 1) d(x, y) = d(y, x) 2) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) 3) d(x, y) = 0 x = y On note (E, d) l espace métrique E pour la distance d. Exemples: a) (R, d(x, y) = x y ) et (C, d(z, z ) = z z ) sont des espaces métriques b) Pour x = (x 1, x 2,..., x n ) et y = (y 1, y 2,..., y n ) dans R n, d 1 (x, y) = n x k y k, k=1 1

d 2 (x, y) = n (x k y k ) 2, et d (x, y) = Sup k=1 1 k n x k y k sont des distances sur R n. L inégalité triangulaire pour d 2 découle de l inégalité de Cauchy-Schwarz ( n ) 2 λ i µ i i=1 n n (λ i ) 2 ( µ i ) 2 i=1 qui résulte par la simple observation que le trinôme du second degré t n (λ i + tµ i ) 2 est positif ou nul). En effet d 2 (x, z) 2 = ( n x k z k 2 ) n ( x k y k + y k z k ) 2 k=1 k=1 i=1 n x k y k 2 + y k z k 2 + 2 n x k y k y k z k k=1 k=1 d 2 (x, y) 2 + d 2 (y, z) 2 + 2 n x k y k y k z k k=1 d 2 (x, y) 2 + d 2 (y, z) 2 + 2d 2 (x, y)d 2 (y, z) (d 2 (x, y) + d 2 (y, z)) 2 { 0 si x = y c) d : E E R +, (x, y) définit une distance sur E, (E, d) est appelé 1 si x y espace métrique discret. d) Soit (E, d) un espace métrique, d (x, y) = arctg(d(x, y)) d (x, y) = inf(d(x, y), 1) d (x, y) = i=1 d(x, y) 1 + d(x, y) sont des exemples de distances sur E. On remarquera que ces distances sont bornées, car elles prennent leurs valeurs respectivement dans [ π, π ] et [0, 1]. 2 2 e) Si (E, d) est un espace métrique et E un ensemble tel qu il existe une bijection f : E E alors on peut définir sur E une distance en posant pour tout (x, y ) E d (x, y ) := d(f 1 (x ), f 1 (y )) elle est dite obtenue en transporant d par f. f) Sous-espace métrique : Soient (E, d) un espace métrique et F une partie non vide de E. La restriction de d à F F définit une distance sur F dite distance induite sur F. L espace (F, d) est appelé un sous-espace métrique de E. g) Sur un espace vectoriel réel ou complexe E, on appelle norme toute application N : E R + qui vérifie les trois propriétés suivantes 1. N(x) = 0 x = 0 2. N(λx) = λ N(x) x E, λ C 3. N(x + y) N(x) + N(y) x, y E 2

Si N est une norme sur E alors, pour tout x E on a N(x) N(y) N(x y) en effet, N(x) = N(x y + y) N(x y) + N(y) donc, N(x) N(y) N(x y), et N(y) = N(y x + x) N(x y) + N(x), donc N(x y) N(x) N(y).. Cette inégalité traduit le fait que l application x N(x) est lipschitzienne de (E, N) dans R +. Un espace vectoriel normé est un espace vectoriel muni d une norme Si (E, N) est un espace vectoriel normé, en posant pour tout (x, y) E E d(x, y) := N(y x) On vérifie facilement que l on a ainsi défini une distance sur E qui se trouve donc muni d une structure d espace métrique; notons que la distance d(.,.) ainsi définie vérifie en plus d(x + z, y + z) = d(x, y) d(λx, λy) = λ d(x, y) h) Un espace euclidien est un couple (E, ϕ) où E est un R-espace vectoriel et ϕ une application bilinéaire symetrique définie positive de E E R, qu on appelle produit scalaire sur E. L application d : E E R + définit une distance sur E. Remarque 1: (x, y) ϕ(x y, x y) 1) Si d est une distance alors on a : d(x, z) d(z, y) d(x, y) en effet, nous avons d une part d(x, z) d(x, y) + d(y, z), donc d(x, z) d(z, y) d(x, y), et d autre part d(z, y) d(x, y) + d(x, y), qui donne d(x, y) d(x, z) d(z, y). 2) Soient x 1, x 2,..., x n des éléments d un espace métrique (E, d). On a par récurrence sur n d(x 1, x n ) d(x 1, x 2 ) + d(x 2, x 3 ) + + d(x n 1, x n ) Dans les espaces métriques, les boules jouent un rôle trés important. Soient (E, d) un espace métrique, a E et r un nombre réel strictement positif On appelle boule ouverte de centre a et de rayon r, et on note B(a, r) l ensemble des x de E qui vérifient d(a, x) < r. On appelle boule fermée de centre a et de rayon r, et on note B f (a, r) l ensemble des x de E qui vérifient d(a, x) r. Exemple : - dans R, B(a, r) =]a r, a + r[ 3

- dans R n, muni de la distance d, B(a, r) = n ]x i r, x i + r[ i=1 Définition 2: Une partie A d un espace métrique (E, d) est dite bornée s il existe une boule de E contenant A. Proposition 3: La réunion de deux parties bornées est une partie bornée. Démonstration : A = A 1 A 2 comme A 1 et A 2 sont bornées, il existe a 1 E, a 2 E, r 1 > 0 et r 2 > 0 tels que A 1 B(a 1, r 1 ) et A 2 B(a 2, r 2 ) Soit r = Max(r 1, d(a 1, a 2 ) + r 2 ), A est alors inclus dans B(a 1, r). En effet, pour tout x A = A 1 A 2 si x A 1 on a d(a 1, x) < r 1 r donc x B(a 1, r) si x A 2 on a d(a 1, x) d(a 1, a 2 ) + d(a 2, x) < d(a 1, a 2 ) + r 2 r donc x B(a 1, r). sup x,y A On appelle diamètre d une partie A de (E, d), et on note diam(a) ou bien δ(a) le nombre (d(x, y)) R. On montre sans difficulté qu une partie non vide de (E, d) est bornée si et seulement si son diamètre est fini. Ouverts d un espace métrique La notion d ouvert est la notion de base de la topologie, elle fournit un langage pour traiter des questions locales. Définition 4: Soit U une partie d un espace métrique E. On dit que U est un ouvert de E si pour tout x U il existe une boule de centre x contenue dans U. Exemples: a) Toute boule ouverte B(a, r) de E est un ouvert de E. En effet, pour tout x B(a, r) on considère r x = r d(a, x) > 0. La boule B(x, r x ) répond à la question car y B(x, r x ), d(y, a) d(y, x) + d(x, a) < r x + d(x, a) = r i.e y B(a, r). b) Les intervalles ouverts de R sont des ouverts de R. Propopsition 5: L ensemble U d des ouverts d un espace métrique (E, d) satisfait aux propriétés suivantes: τ 1 ) Si (U λ ) λ est une famille quelconque d éléments de U d alors U λ est dans U d. λ τ 2 ) Si (U i ) n i=1 est une famille finie d éléments de U d alors τ 3 ) E et sont dans U d. n i=1 U i est dans U d. Démonstration :τ 1 ) et τ 2 ) sont faciles, pour τ 3 ) il est évident que E U d, quant à il est bien dans U d car la propriété est vérifiée vue qu il n y a pas d éléments. 4

Notons que dans τ 2 ) la finitude de la famille (U i ) n i=1 est nécessaire. Il suffit pour le voir, de penser à la famille des ouverts (U n =] 1, 1 [) n n n N de R, on a U i = {0} qui n est pas un i=1 ouvert (voir exemple 2 ci-dessous). Notons aussi que dans un espace métrique E une partie U est un ouvert si et seulement si c est une réunion de boules ouvertes; en effet, si U est un ouvert de E alors pour tout x U, r x > 0 tel que B(x, r x ) U ; on a alors U = B(x, r x ). L implication dans l autre sens x U est immédiate, c est τ 1 ) Définition 6: Soit F une partie d un espace métrique E. On dit que F est un fermé de E si son complémentaire dans E, F E :=E-F est un ouvert de E. Exemples: 1) Toute boule fermée est un fermé. Soit x B f (a,r), la boule B(x, r x ) où r x = d(a, x) r ne rencontre pas B f (a, r) car pour tout y B f (a, r), d(x, y) d(x, a) d(a, y) d(x, a) r ; donc y / B(x, r x ) 2) Le singleton {a} est un fermé, si x a, on a d(a, x) > 0, soit r x = d(a, x), a / B(x, r x ), c est à dire B(x, r x ) {a}, {a} est donc ouvert. Remarques: 1) Il existe des ensembles qui ne sont ni ouverts ni fermés, comme ]a, b] dans (R, d 2 ). 2) Par passage aux complémentaires dans la proposition 5, on obtient : F 1 ) Une réunion finie de fermés de E est un fermé F 2 ) Une intersection quelconque de fermés de E est un fermé F 3 ) L ensemble vide et E sont des fermés de E. Voisinages Soit E un espace métrique, et a un point de E. Une partie V de E est un voisinage de a si V contient un ouvert contenant a. Notons qu un voisinage de a n est jamais vide, puisqu il contient a. On notera souvent v(a) l ensemble des voisinages de a. Définition 7: Soit A une partie d un espace métrique E. 1) Un point a de E est dit intérieur à A, si A est voisinage de a.on note A l ensemble des points intérieurs à A. 2) Un point a de E est dit adhérent à A, si tout voisinage de a rencontre A. L ensemble des points adhérents à A est noté A Tout point intérieur à A appartient à A ( A A ), et A est un ouvert de E; en effet, pour tout a A il existe un ouvert contenant a, U a A. Comme a U a qui est ouvert, il va exister une boule de centre a contenue dans U a donc dans A, car U a est évidement contenu 5

dans A ( y U a., U a A donc U a v(y), et U a A ). Ceci nous permet de dire que l intérieur de A est le plus grand ouvert contenu dans A Il est évident que tout point de A est adhérent à A (A A ). Notons aussi que l adhérence A de A est un fermé de E, car pour tout x A il va exister un voisinage V x de x tel que V x A = ; notons alors que V x A ( car sinon; il existe y V x et y A ce qui est contraire à V x A =, puisque tout voisinage de y rencontre A ). Ainsi A est un ouvert. A est donc le plus petit fermé de E contenant A. Métriques équivalentes Soient (E, d) et (F, δ) deux espaces métriques, et f : E F une application. On dira que f est continue au point a E si pour tout réel ε > 0, il existe un nombre réel η > 0 tel que pour tout x E vérifiant d(x, a) η, on ait δ(f(x), f(a)) ε. Proposition 8: Soient (E, d) et (F, δ) deux espaces métriques, f : E F une application.et a E. f est continue en a si et seulement si pour tout V v(f(a)), on a f 1 (V ) v(a). Démonstration :Supposons que l image réciproque de tout voisinage de f(a) par f est un voisinage de a; comme la boule B(f(a), ε) est un voisinage de f(a), alors f 1 (B(f(a), ε)) est un voisinage de a donc contient une boule B(a, η) de centre a; ainsi, pour tout ε > 0 et pour tout x E vérifiant d(x, a) η on a δ(f(x), f(a)) ε. Réciproquement, si f est continue en a, et si V v(f(a)), alors V contient une boule ouverte de centre f(a), B(f(a), ε), comme f est continue en a il va exister un η > 0 telque pour tout x B(a, η) on a f(x) B(f(a), ε) V donc f(b(a, η)) V ; et donc f 1 (V ) B(a, η). L application f est dite continue sur E si elle est continue en tout point de E. Proposition 9: Soient (E, d) et (F, δ) deux espaces métriques; une application f : E F est continue sur E si et seulement pour tout ouvert U dans F, f 1 (U) est un ouvert de E. Démonstration :Supposons que l image réciproque d un ouvert de F est un ouvert de E, soit a E, et V v(f(a), comme V est un voisinage ouvert dans F, f 1 ( V ) est un ouvert de E contenant a c est à dire un voisinage de a et f 1 (V ) un voisinage de a : f est donc continue. Si maintenant f est continue et si U est un ouvert de F, comme U est un voisinage de chacun de ses points alors f 1 (U) est un voisinage de chacun de ses points; c est donc un ouvert de E. Définition 10: Un homéomorphisme d un espace métrique (E,d) sur un autre espace métrique (F,δ) est une application continue, bijective f : E F, dont l inverse f 1 : F E est continue. On dit dans ce cas que E et F sont homéomorphes. Exemples : 1) R est homéomorphe à ] π, π [, en effet f(x) = arctg(x) est un homéomorphisme de R 2 2 6

sur ] π, π [. Il faudrait faire attention qu une bijection continue n est pas nécessairement un 2 2 homéomorphisme; { pour s en convaincre il suffit de penser à la fonction f : [0, 1] ]2, 3] [0, 2] x si x [0, 1] définie par f(x) =. x 1 si x ]2, 3[ 2) Une application f : (E, d) (F, δ) est une isométrie si pour tout (x, y) E E, nous avons δ(f(x), f(y)) = d(x, y) une isométrie est évidement injective et continue, si de plus elle est surjective alors c est un homéomorphisme et son inverse est aussi une isométrie. Définition 11: Soit E un ensemble muni de deux distances d et δ. On dira que d et δ sont topologiquement équivalentes si tout partie de E ouverte pour l une est aussi ouverte pour l autre. En d autres termes les familles U d et U δ qu elles définissent sont les mêmes. Proposition 12: Soient d 1 et d 2 deux distances sur E sont topologiquement équivalentes si et seulement si l identité est un homéomorphisme de (E, d 1 ) sur (E, d 2 ). Démonstration:Si d 1 et d 2 sont topologiquement équivalentes alors τ d1 = τ d2 et donc pour tout U τ d2, Id 1 (U) = U est un ouvert de τ d2 donc de τ d1 ; c est à dire que Id : (E, d 1 ) (E, d 2 ) est continue. En échangeant les rôles de d 1 et d 2, on obtient la continuité de Id : (E, d 2 ) (E, d 1 ). Réciproquement, si Id : (E, d 1 ) (E, d 2 ) est un homéomorphisme, alors tout ouvert U de (E, d 1 ) est un ouvert de (E, d 2 ) car U = Id 1 (U). De même, tout ouvert de (E, d 2 ) est un ouvert de (E, d 1 ). Exemples : (E, d) un espace métrique. les distances sont topologiquement équivalentes. d 1 (x, y) := inf(1, d(xy)) et d 2 (x, y) := d(x, y) 1 + d(x, y) Définition 13: On dira que deux distances d 1 et d 2 sur E sont uniformément équivalentes si il existe deux nombres réels strictement positifs α et β tels que pour tout (x, y) E E Exemple: αd 1 (x, y) d 2 (x, y) βd 1 (x, y) Dans R n les distances d 1, d 2 et d définies précédement, sont uniformémént équivalentes. 7

Notons que deux distances uniformémént équivalentes sont topologiquement équivalentes. En effet, si d 1 et d 2 sont uniformément équivalentes alors il existe α et β > 0 tels que : αd 1 (x, y) d 2 (x, y) βd 1 (x, y) ; si on considère l identité de E, Id : (E, d 2 ) (E, d 1 ), on voit bien qu elle est continue car ε > 0, η > 0 (η = αε) / d 2 (x, y) η αd 1 (x, y) η d 1 (x, y) ηα 1 = ε Un raisonnement analogue pour Id : (E, d 1 ) (E, d 2 ) montre que l identité de E est un homéomorphisme de (E, d 1 ) sur (E, d 2 ) Notons que la réciproque de ce résultat n est pas vraie. Deux distances topologiquement équivalentes ne sont pas nécessairement uniformément équivalentes, pour le voir il suffit de considérer sur, les distances d 1 (x, y) = inf(1, x y ), et d(x, y) = x y, sont topologiquement équivalentes mais non uniforméméént équivalentes, la distance d 1 est bornée alors que d ne l est pas, donc on ne peut pas avoir d αd 1 On peut déjà remarquer à ce niveau que les quelques notions précédement introduites, comme celle de la continuité d une application peut-être formulée en faisant appel uniquement à la famille τ des ouverts des espaces considérés. Toutes ces notions peuvent en fait être définies dans des espaces plus généraux que les espaces métriques : les espaces topologiques. I.2.Les espaces topologiques Définition et exemples Soit X un ensemble quelconque de points Définition 1: On appelle topologie sur X, un ensemble τ X de parties de X qui vérifie τ 1 Une réunion quelconque d éléments de τ X appartient à τ X τ 2 Une intersection finie d éléments de τ X appartient à τ X τ 3 L ensemble vide et X sont dans τ X. Les éléments de τ X sont appelés les ouverts de X.X est appelé un espace topologique. Il sera noté (X, τ X ) ou tout simplement X s il n y a pas de risque de confusion. Exemples: 1) La topologie grossière: τ X = {, X} 2) La topologie discrète: τ X = P(X), l ensemble des parties de X. 3) Si X =, τ X = P(X) = { } est la seule topologie sur X. si X = {x}, τ X = P(X) = {, {x}} est la seule topologie sur X. 4) Posons.R = R {± } sur lequel on a une relation d ordre obtenue par prolongement de celle dans R en posant pour tout x R, < x < +. Rest appelée la droite réelle achevée. C est un espace topologique; τ.r est l ensemble des parties U de.r définies par si x U R alors il existe un intervalle ]a, b[ contenant x et contenu dans U 8

si x = + il existe un intervalle ]x, + ] dans R qui contient x et qui est contenu dans U. si x = il existe un intervalle [,x[ dans R qui contient x et qui est contenu dans U. 5) La topologie métrique: un espace métrique (E, d) est un espace topologique (E, τ d ) ; U τ d si et seulement si U est une réunion de boules ouvertes. 6) Si card(x) 2 alors pour toute partie A de X, τ X = {, A, X} est une topologie sur X. 7) La topologie cofinie: Soient X un ensemble et F in(x) l ensemble des parties finies de X. On obtient une topologie sur X en posant τ X = {, { A X } A F in(x)}. 8) Sous espaces topologiques: soit (E, τ E ) un espace topologique, et X une partie de E. On considère τ X = {X U, U τ E } τ X est une topologie sur X appelée topologie induite sur X par celle de E Notons ici que dans le cas où X n est pas un ouvert de E, un ouvert de X n est pas nécessairement un ouvert de E. Par exemple [0, 1[ est un ouvert de [0, + [ muni de la topologie induite par celle de R, mais ce n est pas un ouvert de R. Ensembles fermés - Intérieur -Adhérence Soit F une partie d un espace topologique (X, τ X ). On dira que F est un fermé de X si son complémentaire dans X est un ouvert de X. En utilisant les propriétés du complémentaire on vérifie facilement que 1) une réunion finie de fermés de X est un fermé de X. 2) une intersection de fermés de X est un fermé de X. 3) l ensemble vide et X sont des fermés de X. Il existe aussi des ensembles à la fois ouverts et fermés, comme par exemple et X, et des ensembles qui ne sont ni des ouverts ni des fermés comme par exemple, dans R muni de la topologie euclidienne, A = [a, b[ n est ni ouvert ni fermé dans R. Soit (X, τ X ) un espace topologique, et A une partie de X. On appelle intérieur de A, et on note A, le plus grand ouvert contenu dans A (ou bien l union de tous les ouverts contenus dans A). Un point x de A est dit point intérieur de A. Propriété 2: 1) A A, A = A 2) A = A A est ouvert. 3) A B A B 4) Â B = A B 5) A B Â B Démonstration :1) et 2) résultent de la définition; 9

3) A A B, comme A est un ouvert inclus dans B, alors A B. 4) A B A B, comme A B est un ouvert, A B Â B. Inversement, A B A donc d aprés 3), Â B A ; de même, A B B donc d aprés 3), Â B B d où le résultat. 5) A A B donc A Â B d autre part, B A B donc B Â B ce qui donne A B Â B On appelle adhérence ou bien fermeture de A, et on écrit A, le plus petit fermé contenant A; ( ou bien l intersection de tous les fermés contenant A). Un point x A est dit point adhérent de A. Propriété 3: 1) A A, A = A 2) A = A A fermé 3) A B A B 4) A B A B 5) A B = A B 6) A = A et A = A Démonstration :1) et 2) résultent de la définition; 3) A B donc A B, comme B est un fermé contenant A, alors A B 4) A B A donc A B A, et A B B donc A B B le résultat est alors immédiat 5) A B A A A B, de même B A B B A B d où A B A B or A B est un fermé contenant A B donc A B A B ; d où 5). 6) A = F donc A est l union des ouverts contenus dans A ; c est à dire F A raisonnement pour l autre égalité. A ; même Soit A une partie de X On dira que A est partout dense dans X si A = X ( A = ). Notons que Si A est partout dense dans X et A B alors B est partout dense dans X. et que l intersection de deux ouverts partout denses dans X est patout dense dans X. On appelle frontière de A qu on notera F r(a) ou A, l intersection de A et de A Propriété 4: 1) F r(a) est un fermé 2) F r(a) = F r ( A) 3) A = A F r(a) 4) F r(a) = A est un ouvert fermé. o Démonstration :(1) par définition, (2) F r ( A) = A A = A A = F r(a), (3) l espace 10

( ) topologique X = A A = A A A, donc A = A X = A A = ( ) A A F r(a) = A F r(a). (4) Nous avons A = A F r(a) donc si F r(a) =, A = A et alors A est un ouvert fermé. Réciproquement, F r(a) = A A = A Â = A A =. Voisinages Soient (X, τ X ) un espace topologique, et x X On appelle voisinage de x, toute partie V de X contenant un ouvert contenant x. On notera souvent v(x) l ensemble des voisinages de x : V v(x) θ τ X tel que x θ V. Exemples : - Tout ouvert contenant x est un voisinage de x -Pour la topologie grossière, X est le seul voisinage de x, alors que pour la topologie discrète, toute partie de X est un voisinage de x. Proposition 5: v 1 ) Si V v(x), et V A A v(x) v 2 ) Si V v(x), alors x V v 3 ) L intersection d une famille finie de voisinages de x est un voisinage de x v 4 ) V v(x), V v(x) / y V, V v(y) (V est voisinage de tous les points voisins de x) Démonstration: ( v 1 ) V v(x) donc θ τ X tel que x θ V A et donc A v(x). (v 2 ) Si V v(x) alors θ τ X tel que x θ V donc x V. (v 3 ) Si V 1 et V 2 v(x) alors θ 1 τ X tel que x θ 1 V 1 et θ 2 τ X tel que x θ 2 V 2. Si on considère l ouvert θ 1 θ 2, on a bien x θ 1 θ 2 V 1 V 2 ; ce qui veut dire que V 1 V 2 est un voisinage de x. (v 4 ) V v(x) θ τ X tel que x θ V, on prend alors V = θ. On a bien y V = θ, y θ V c est à dire que V v(y). Soient (X, τ X ) un espace topologique et A X. On dit que V est un voisinage de A si θ τ X tel que A θ V ; autrement dit, si pour tout x A, V v(x). Proposition 6: Soit (X, τ X ) un espace topologique et A X. 1) A τ X x A, A v(x) 2) A = {x A / A v(x)} 3) x A V v(x), V A 4) x F r(a) V v(x), V A et V A Démonstration: Si A est un ouvert alors c est un voisinage de A. Réciproquement, si x A, A v(x), alors A est un voisinage de A et donc il existe un ouvert contenant A et contenu dans A c est à dire qui coincide avec A. 11

Soit x A tel que A v(x) donc θ τ X tel que x θ A, mais θ est un ouvert contenu dans A donc il est contenu dans A et alors x A; réciproquement, si x A, comme A est un ouvert contenu dans A, alors A v(x). x / A. x / F F A tel que x / F F A tel que x F F tel que F A F A et x F, mais comme F est ouvert, ceci équivaut à V v(x) tel que V A =. x F r(a) x A A. V v(x), V A et V A. Espaces Séparés Un espace topologique X est dit séparé s il vérifie la propriété suivante appelée axiome de Hausdorff: (x, y) X X, x y, V x v(x) et V y v(y) tels que V x v(y) = par exemple les espaces métriques sont séparés. En effet, soient x et y deux points distincts d un espace métrique (E, d) comme d(x, y) > 0 alors les boules B(x, d(x,y) ) et B(y, d(x,y) ) sont 2 2 des voisinages distincts de x et y respectivement. Tout sous espace d un espace topologique séparé et séparé. Un espace topologique est métrisable, si sa topologie est induite par une distance. Notons que tout espace topologique métrisable est séparé. On remarque alors qu il y a des topologies non métrisable, comme par exemple la topologie cofinie. Définition 7: Soient (X, τ X ) un espace topologique, et A X. Un point x de X est un point d accumulation de A si x A\{x} Un point x de A est un point isolé dans A s il existe un voisinage V de x tel que V A = {x}. On notera acc(a) l ensemble des points d accumulations de A, et Is(A) celui des points isolés dans A Suites dans un espace topologique Soit (X, τ X ) un espace topologique, une suite d éléments de X est une application de N dans X, n x n. elle est souvent notée (x n ) n N. On dit qu une suite (y k ) k N d éléments de X est extraite de (x n ) n N s il existe une application strictement croissante p : N N telle que pour chaque entier k on a y k = x p(k). Lorsque X est un espace topologique, on peut introduire la notion de suite convergente. Définition 8: On dit que la suite (x n ) n N converge vers le point x de X si W v(x), n W N tel que n n W on a x n W 12

Un tel x est appelé limite de la suite (x n ) n N. On écrit lim x n = x Par exemple, lorsque X est muni de la topologie grissière, toute suite est convergente vers n importe quel point de X. Si par contre X est muni de la topologie discrète, une suite (x n ) n N de X.est convergente vers un point a X, si et seulement si il existe un entier N tel que x n = a pour tout n N. Les deux exemples précédents montrent que la convergence d une suite dépend de la topologie sur X. Définition 9: On appelle valeur d adhérence de (x n ) n N, tout point adhérent à l ensemble {x n /n N}. Exemple: 1 est une valeur d adhérence de la suite (( 1) n ) n N. Un point de la suite (x n ) n N en est une valeur d adhérence. On appelle point d accumulation de (x n ) n N, toute valeur d adhérence de (x n ) n N, qui n est pas un point de (x n ) n N. Remarque: Si lim x n = x alors x est une valeur d adhérence de (x n ) n N. Définition 10: Soit ϕ : N N une application strictement croissante. appelée sous-suite ou suite extraite de la suite (x n ) n N. on a l inclusion {x ϕ(n) /n N} {x n /n N}. La suite définie par (x ϕ(n) ) n N est Proposition 11: Soit F un fermé de (X, τ X ); soit (x n ) n N une suite dans X qui converge vers x dans.x Alors x est un élément de F. Démonstration : {x n /n N} F, donc x {x n /n N} F = F. Notons que la réciproque de ce résultat n est pas vraie en générale; mais dans certaines situations elle est vérifiée, comme par exemple lorsque l espace X possède une base dénombrable d ouverts. C est le cas des espaces métriques. Base de topologie - système fondamental de voisinages Pour construire la topologie usuelle de R, on commence par définir la famille B des intervalles ouverts, et à partir de B on a tous les ouverts de R. La même méthode marche pour d autres situations. 13

Définition 12: Soient (X, τ X ) un espace topologique et B P(X). Nous dirons que B est une base de τ X si, B τ X et pour tout θ τ X il existe une famille (B i ) i I dans B telle que θ = i I B i. Exemples: 1) τ X est une base de τ X. 2) {{x}, x X} est une base de la topologie discrète sur X. 3) L ensemble des intervalles ouverts de R est une base de la topologie euclidienne sur R. 1 4) Si (X, d), est un espace métrique, alors {B(x, ) : x X, n N} est une base d ouverts. n+1 Il y a une caractérisation plus simple d une base de topologie, souvent utilisée comme définition Proposition 13: Soient (X, τ X ) un espace topologique. Une famille B de parties de X est une base de τ X si et seulement si θ τ X, x θ, ω x B / x ω x θ Démonstration: Supposons que B est une base de τ X donc θ τ X, θ = B i avec les B i i I dans B, et x θ, x appartient à un B i θ inversement, soit B une famille de τ X telle que θ τ X, x θ, ω x B / x ω x θ, et soit U un ouvert de X. Pour tout x U, il existe ω x B tel que x ω x U, on a alors U = ω x. x U Nous avons là une méthode assez commode pour construire une topologie sur un ensemble E. Soit E un ensemble quelconque.pour toute partie de P(E), il existe une unique topologie (la plus petite pour l inclusion) contenant. C est l ensemble τ Σ (E) des unions d intersections finies d éléments de. C est l interection de toutes les topologies contenant. En effet: Il est clair que toute topologie contenant contient τ Σ (E), il suffit donc de montrer que τ Σ (E) est une topologie. Ceci découle de la distributivité ( ) ( ) θ i ω j = θ i ω j i I j J i I, j J On dit que τ Σ (E) est la topologie engendrée par, et que est une prébase de τ Σ (E) Remarque : E = {0, 1, 2} et A = {0, 1}, B = {1, 2}. Considérons = {, A, B, E}; ne peut pas être une base pour une topologie sur E. En effet si elle était une base de topologie, cette topologie pourrait bien être elle même. Ceci est impossible car A B / Théorème 14: Soit E un ensemble, et B une famille de parties de E.telleque 14

i) ϑ 1, ϑ 2 B, et x ϑ 1 ϑ 2, ϑ 3 B tel que x ϑ 3 ϑ 1 ϑ 2 ii) E = ϑ B ϑ alors l ensemble τ Σ (E) des unions d éléments de B est la topologie engendrée par B. En particulier B est une base d ouverts de sa topologie engendrée. Démonstration: Supposons que B est une base d une certaine topologie τ E sur E alors ϑ 1, ϑ 2 B, ϑ 1 ϑ 2 τ E, donc il existe une famille (ω i ) dans B telle que ϑ 1 ϑ 2 = ω i d où (i). i I Comme E τ E on a E = ϑ. ϑ B Réciproque: Soit B une famille de parties de E vérifiant (i) et (ii) et soit τ = {A P(E) / (ω i ) i I B : A = ω i }. i I τ définit une topologie sur E; en effet τ 1 ) (θ i ) τ, pour tout i, (ω i j) j J B : θ i = j J τ 2 ) Si θ 1 et θ 2 appartiennent à τ, on aura θ 1 = j J τ 3 ) τ et E τ d aprés (ii). ωj i et alors θ i = i I i I ω 1 j et θ 2 = j J ωj i τ j J ωj 2 donc θ 1 θ 2 = ωj 1 ωj 2 τ i,j Remarques: 1) Comme conséquence immédiate, on peut dire qu une famille B de parties de X. est une base de topologie sur X si et seulement si: X = ϑ B ϑ, et ϑ 1, ϑ 2 B on a ϑ 1 ϑ 2 B Définition 15: Soit (X, τ) un espace topologique, W P(X), et x X. On dit que W est une base de voisinage de x ou bien un système fondamental de voisinages de x, si W v(x) et si V v(x), ϖ W tel que ϖ V. Exemples : - v(x) est un système de voisinages de x. - l ensemble de tous les ouverts contenants x est un système de voisinages de x. - Tout sur ensemble d un système de voisinages de x est un système de voisinages de x - Dans R euclidien, W (x) = {]x 1 n, x + 1 n [ : n N } est un système de voisinages de x. - Dans X muni de la topologie discrete, W (x) = {{x}} est un système fondamental de voisinages de x. Soit X un ensemble; on peut définir sur l ensemble T (X) des topologies de X une relation d ordre de la façon suivante : Soit τ 1 et τ 2 deux topologies sur X, nous dirons que τ 1 est moins fine que τ 2 (τ 1 τ 2 ) si tout élément de τ 1 appartient à τ 2. C est une relation d ordre qui n est pas totale (si par exemple card(x) 2, et si a et b sont deux éléments distincts de X alors τ 1 = {, {a}, X}et τ 2 = {, {b}, X} sont deux topologies sur X qui ne sont pas comparables. 15

Notons aussi qu il n est pas difficile de voir que si τ 1 et τ 2 sont deux topologies sur X, les assertions suivantes sont équivalentes i ) τ 1 τ 2 ii) Tout fermé de (X, τ 1 ) est un fermé de (X, τ 2 ) iii) x X, v τ1 (x) v τ2 (x) iv) Pour tout A X, (A) τ1 (A) τ2 Soient (X, τ) un espace topologique et f : X Y une application. L ensemble {f(u) / U τ} P(Y ) n est en général pas une topologie sur Y. Dans certains cas c en est une par exemple si f est une bijection de X sur Y alors f(τ) := {f(u) / U τ} est une topologie sur Y, en effet τ 1 ) = f( ) f(τ) et Y = f(x) f(τ) car f est surjective τ 2 ) soit (f(u i )) i I une famille dans f(τ) on a f(u i ) = f( U i ) f(τ) τ 3 ) f(u 1 ) f(u 2 ) = f(u 1 U 2 ) f(τ) l égalité est vraie car f est injective. Si maintenant X est un ensemble quelconque, (Y, τ Y ) un espace topologique et f : X Y une application, alors la famille τ = {f 1 (O) / O τ Y } définit une topologie sur X. Définition 16: Une application f : (X, τ X ) (Y, τ Y ) est un homéomorphisme si f est bijective, et f(τ X ) = τ Y Une propriété dans un espace topologique est dite propriété topologique si elle est conservée par homéomorphisme. Par exemple l interieur d une partie : si f est un homéomorphisme, f( A) = f(a), en effet, f( A) f(a) car f( A) est un ouvert inclus dans f(a); par ailleurs, si f(a) f( A). on pose B = f(a), on a f 1 ( B) f 1 (B) = A donc f 1 ( f( A)) A I.3.Les applications continues Propriétés générales Soient (X, τ X ) et (Y, τ Y ) deux espaces topologiques, f : X Y une application, et x X. On dit que f est continue en x si ce qui est équivalent à W v(f(x )), V v(x ) tel que f(v ) W W v(f(x )) on a f 1 (W ) v(x ) Soit en effet W v(f(x )), il va exister V v(x ) tel que f(v ) W donc V f 1 (f(v )) f 1 (W ) donc f 1 (W ) v(x ). Réciproquement, Pour W v(f(x )), f 1 (W ) v(x ) et f(f 1 (W )) W 16

Proposition 1: Soient S(x ) un système de voisinages de x, et S(f(x )) un système de voisinages de f(x ), alors les assertions suivantes sont équivalentes: 1) f est continue en x 2) W S(f(x )), V S(x ) tel que f(v ) W 3) W S(f(x )) on a f 1 (W ) v(x ) Démonstration: 1) 2) : W S(f(x )), U v(x ) / f(u) W ; mais pour U v(x ) il va exister V S(x ) tel que V U et on a, f(v ) f(u) W. 2) 3) W S(f(x )), V S(x ) tel que f(v ) W, et on a V f 1 (f(v )) f 1 (W ) donc f 1 (W ) v(x ). 3) 1) Pour tout voisinage V de f(x ), il existe W S(f(x )) tel que W V on a donc f 1 (W ) f 1 (V ) mais f 1 (W ) v(x ) donc f 1 (V ) v(x ) c est à dire f est continue en x. Soient (X, τ X ), (Y, τ Y ) et (Z, τ Z ) trois espaces topologiques, et X f Y g Z ; Soient x X, y = f(x ) et z = g(y ). Si f est continue en x et g est continue en y alors g f est continue en x. En effet: V v(z ), g 1 (V ) v(y ) et comme f est continue en x, f 1 (g 1 (V )) v(x ) ; i.e (g f ) 1 v(x ). Définition 2: f : (X, τ X ) (Y, τ Y ) est dite continue sur X si elle est continue en tout point de X. On notera que f est continue sur X si et seulementsi ϑ τ Y, f 1 (ϑ) τ X. En effet, ) Soit ϑ τ Y alors ou bien f 1 (ϑ) = et alors il est dans τ X, ou bien f 1 (ϑ) ; dans ce cas, x f 1 (ϑ), ϑ v(f(x)) comme f est continue en x alors f 1 (ϑ) v(x) donc f 1 (ϑ) τ X. ) Soit x X et W v(f(x)) donc ϑ τ Y tel que f(x) ϑ W et alors x f 1 (ϑ) f 1 (W ) or f 1 (ϑ) τ X donc f 1 (W ) v(x) et f est continue. Exemples : 1) Toute application constante est continue 2) Si X est muni de la topologie discrete, toute application f : X (Y, τ Y ) est continue; θ τ Y, f 1 (θ) P(X) = τ X. 3) Si cette fois Y est muni de la topologie grossière, toute application f : (X, τ X ) Y est continue car f 1 ( ) = τ X, et f 1 (Y ) = X τ X. Proposition 3: Soient (X, τ X ), (Y, τ Y ) deux espaces topologiques, et X f Y une application. Les propriétés suivantes sont équivalentes: a) L application f est continue b) Pour toute partie A de X, f(a) f(a) c) Pour tout fermé F de Y, f 1 (F ) est un fermé de X. 17

Démonstration: (a) (b) car si f est continue en x A, et W v(f(x)) alors f 1 (W ) v(x) donc f 1 (W ) A et alors = f(f 1 (W ) A) f(f 1 (W )) f(a) W f(a) d où f(x) f(a). (b) (c) Soit x f 1 (F ), on a f(x) f(f 1 (F )) f(f 1 (F )) = F = F, donc x f 1 (F ). (c) (a) Pour tout ouvert U de Y, f 1 (U) = f 1 ( U ) qui est un fermé de X. Donc f 1 (U) est un ouvert Il faudrait faire attention que l image directe d un ouvert resp. un fermé par une application même continue n est pas nécessairement un ouvert resp. un fermé. Dans le cas où c est vrai on dit que c est une application ouverte resp. fermée ; les propriétés f continue, f ouverte, f fermée, sont des propriétés indépendantes Exemples : 1- X = Y = R et f(x) = 1 est continue sur R mais elle n est ni ouverte ni fermée f(r) =]0, 1] 1+x 2 2- La fonction caractéristique χ ]0,+ [ est fermée non ouverte et non continue. Pour tout fermé F de R, χ ]0,+ [ (F ) = {0, 1}, ou {0} ou {1} ou bien et c est toujours un fermé. 3- Si f est une bijection continue, alors f 1 continue f ouverte f fermée. Remarque 4 : Une application continue f : (X, τ X ) (Y, τ Y ) reste continue si on remplace τ X topologie plus fine ou / et τ Y par une topologie moins fine. par une I.4.Construction de topologies Topologie initiale Soient X un ensemble, (Y, τ Y ) un espace topologique, et f : X Y une application. On se propose de chercher les topologies sur X qui font de f une application continue.on sait déjà qu il en existe aumoins une : c est la topologie discrète sur X. Maintenant, si τ est une solution du problème, alors f 1 (τ Y ) τ ; et comme f 1 (τ Y ) est une topologie sur X, c est alors la moins fine des solutions. Définition 1 : Soit f : X (Y, τ Y ) une application. On appelle topologie initiale sur X pour f, la moins fine des topologies sur X rendant f continues. On la notera souvent τ f. (τ f := f 1 (τ Y )) De façon encore plus générale, soient X un ensemble, et ((Y i, τ Y i )) i I une famille d espaces topologiques. On suppose que pour tout i I on a une application f i : X Y i On appelle topologie initiale sur X pour les f i la moins fine des topologies sur X rendant toutes les applications f i continues. f 1 i I Si τ est une solution du problème, alors pour tout i I, nous avons f 1 i (τ i ) τ et donc i (τ i ) τ. Posons alors T := i (τ i ). T est la topologie cherchée. Une base de T est i I f 1 B = { A X / J fini inclus dans I et (θ i ) i J avec θ i τ i : A = f 1 i (θ i ) } i J 18

Application : 1) Topologie induite Soit (X, τ X ) un espace topologique, et A X. Considèrons l application i A : A X, a a appelée injection canonique. La topologie initiale pour l application i A sur A est appelée la topologie induite sur A par celle de X. τ ia = τ A = { i 1 A (θ) : θ τ X} = {θ A : θ τ X } les ouverts de la topologie induite sur A sont les traces des ouverts de X sur A. 2) Topologie produit Soit ((X i, τ i )) i I une famille d espaces topologiques. Posons X := Π X i et pr i : X X i i I la projection sur le facteur i ((x i ) i I x i ) La topologie initiale pour les applications (pr i ) i I sur X est appelée la topologie produit sur X. de la famille des espaces topologiques ((X i, τ i )) i I. C est la topologie τ définie par : (τ i ). Une base de cette topologie est B définie pr 1 i i I comme l ensemble des intersections finies d éléments de pr 1 i i I (τ i ). Autrement dit ϑ B J (fini) I et (θ i ) i J avec θ i τ i tels que ϑ = i J pr 1 i (θ i ) Un élément ϑ de B peut donc s écrire sous la forme ϑ = Π U i i I avec U i = θ i si i J et U i = X i si i / J Les éléments de B sont appelés ouverts élémentaires. Théorème 2 : Soient ((X i, τ i )) i I une famille d espaces topologiques et pour chaque i une application f i : X (X i, τ i ). On suppose que l ensemble X est muni de la topologie initiale pour les f i Soient (Z, ) un espace topologique, et g : Z X une application. Alors g est continue en z Z si et seulement si pour tout i I, f i g est continue en z. Démonstration : Les f i étant toutes continues, la coninuité de g entraine évidement celle des f i g. Réciproquement, soit x = g(z), et V v(x), le problème est de prouver que g 1 (V ) v(z). Comme V v(x), il va exister un ω B tel que x ω V de plus, on sait que ω est de la forme ω = f 1 i (θ i ) avec J fini et θ i τ i pour tout i J. Nous avons, g 1 (ω) = i J i J g 1 (f 1 i (θ i )) = (f i g) 1 (θ i ) τ Z car θ i τ i et f i g continues et J fini. Mais alors i J x = g(z) ω donc z g 1 (ω). Ainsi z g 1 (ω) g 1 (V ) et g 1 (ω) τ Z donc g 1 (V ) v(z) Corollaire 3 : L application g est continue sur Z si et seulement si pour tout i, f i g est continue sur Z. 19

Remarque : Il n est pas difficile de voir que la toplogie initiale pour le (f i ) est l unique toplogie sur X qui a la propriété du corollaire 3 ci-dessus. Topologie finale Soient (X, τ X ) un espace topologique, et f : X Y une application de X dans un ensemble Y. On se propose de chercher les topologies sur Y qui font de f une application continue.on sait déjà qu il en existe aumoins une : c est la topologie grossière sur Y. Maintenant, si τ est une solution du problème, alors f 1 (τ) τ X ; ce qui veut dire que θ τ, f 1 (θ) τ X donc τ {B Y / f 1 (B) τ X } =: τ f, mais comme τ X est une topologie sur X, on vérifie sans peine que τ f est une toplogie sur Y ; en effet τ 1 ) f 1 ( ) = τ X donc τ f et f 1 (Y ) = X τ X donc Y τ f τ 2 ) f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B) si A et B τ f on aura f 1 (A B) τ X donc A B τ f. τ 3 ) f 1 ( i U i ) = i f 1 (U i ) si U i τ f pour tout i I on aura f 1 (U i ) τ X donc i f 1 (U i ) τ f. ainsi τ f est la plus fine des topologies sur Y qui font de f une application continue. τ f est appelée toplogie finale pour f. On peut poser le problème de façon plus générale de la manère suivante: Soient (X i, τ i ) i I une famille d espaces topologiques, et pour tout i I, f i : X i Y des applications de X i dans un ensemble Y. Parmi les toplogies sur Y qui rendent les applications f i continues il en existe une plus fine appelée toplogie finale pour les f i. si τ est une solution du problème, alors pour tout i I, f i continue sur X i τ τ f i := {B Y / f 1 i (B) τ Xi } donc τ f = i I τ f i qui est bien une topologie sur Y ; Théorème 4 : La topologie finale pour les f i, τ f est l unique topologie sur Y ayant la propriété universelle suivante : pour tout espace topologique (Z, τ Z ), une application g : Y Z est continue si et seulement si chaque application g f i, i I est continue. Démonstration : Les f i étant toutes continues, la coninuité de g entraine évidement celle des g f i. Réciproquement, si toutes les applications g f i sont continues, et si W est un ouvert de Z, (g f i ) 1 est un ouvert de X i pour tout i; c est à dire que f 1 i (g 1 (W )) est un ouvert de X i et donc g 1 (W ) est un ouvert de Y g est donc continue. L unicité est immédiate. Exemple : Si les f i : X i Y sont les constantes, la topologie finale sur Y pour les f i est la topologie discrète. Cas particulier : Topologie quotient 20

Soient (X, τ X ) un espace topologique, R une relation d équivalence sur l ensemble X, et π : X X/R la surjection canonique de X dans l ensemble quotient X/R ( x cl(x) ). La topologie finale sur X/R pour π est applelée la topologie quotient. muni de cette topologie, X/R est appelé espace quotient. 21