I) Translation et vecteur

/ 6 hapitre G1 : Translation et vecteurs lasse de 2 nde I) Translation et vecteur 1) Translation et vecteur associé Exemple Soit t la translation qui transforme en. onstruire E l image de la figure E par la translation de vecteur. F 2 E F 1 E éfinition : Soient et deux points distincts du plan. On appelle translation qui envoie sur la transformation dont l image F 2 d une figure F 1 est obtenue en faisant glisser la figure F 1 : selon la direction de la droite ( ), dans le sens de vers, d une longueur égale à. cette translation on associe le vecteur qui symbolise le déplacement de vers ou de vers. On le représente par une flèche allant de jusqu à. On dit que la figure F 2 est l image de la figure F 1 par la translation de vecteur. Remarques Le vecteur est appelé vecteur nul et on note = 0. 2) Égalité de deux vecteurs Propriété Soient,, et quatres points du plan. Les définitions suivantes sont équivalentes : = si, et seulement si, est l image du point par la translation de vecteur. = si, et seulement si, les segments [] et [] ont le même milieu. = si, et seulement si, est un parallélogramme. K. Fares nnée 2014/2015 Lycée Hélène oucher

/ 6 hapitre G1 : Translation et vecteurs lasse de 2 nde Propriété Si, et sont 3 points du plan, il existe un unique point M tel que = M. II) Somme de deux vecteurs 1) Relation de hasles Quels que soient les points, et on a : + = Relation de hasles Relation de hasles u + v v u = + Exemple Soit un parallélogramme. Montrer que + + =. On a : + + = + + = ( + ) + = + = (Relation de hasles). 2) Règle du parallélogramme Soient, et trois points du plan. Si est un parallelogramme, alors + =. Règle du parallélogramme v u + v u est un parallélogramme, donc =. + = + = (Relation de hasles). K. Fares nnée 2014/2015 Lycée Hélène oucher

/ 6 hapitre G1 : Translation et vecteurs lasse de 2 nde Exemple 1. Sur la figure ci-dessous, construire à la règle et au compas le point tel que + =. Méthode Il faut construire tel que soit un parallélogramme. On a = et =. On construit le point à l intersection du cercle de centre et de rayon et du cercle de centre et de rayon. 2. Soit un parallélogramme. Montrer que + + = 0. On a : + + = ( + ) + = + = = 0 (Relation de hasles). 3) Propriétés algébriques Quels que soient les vecteurs u, v et w. u + v = v + u ; u + 0 = 0 + u = u ; ( u + v ) + w = u + ( u + w ) III) ifférence de deux vecteurs 1) Opposé d un vecteur L opposé d un vecteur u est le vecteur noté ( u ) tel que u + ( u ) = 0. L opposé du vecteur est le vecteur : =. u u Preuve : après la relation de hasles : + = = 0. K. Fares nnée 2014/2015 Lycée Hélène oucher

v Page 4/ 6 hapitre G1 : Translation et vecteurs lasse de 2 nde 2) ifférence de deux vecteurs définition Étant donné deux vecteurs u et v la différence u v est le vecteur u + ( v ). v u v u v u M Quels que soient les points, et, = N IV) Multiplication d un vecteur par un réel 1) Produit d un vecteur par un réel k définition Soit u un vecteur non nul ( u 0 ) et k un réel non nul (k 0). Le produit du vecteur u par le réel k, noté k u est le vecteur caractérisé par : sa direction : la même direction que le vecteur u ; son sens : le même sens que le vecteur u si k > 0 et de sens contraire si k < 0 ; sa norme : { k u si k > 0, k u = k u si k < 0 remarques Soit et deux points distincts, et k un réel donné. Il existe un unique point M défini par la relation M = k : M est un point de la droite () M a pour abscisse k dans le repère (; ) d origine 2) Propriétés algébriques Pour tous vecteurs u et v et pour tous réels k et k : k ( u + v ) = k u + k v ; (k + k ) u = k u + k u ; k u = 0 k = 0 ou u = 0 K. Fares nnée 2014/2015 Lycée Hélène oucher

/ 6 hapitre G1 : Translation et vecteurs lasse de 2 nde 3) Vecteurs colinéaires définition eux vecteurs u et v sont dits colinéaires s il existe un réel k tel que u = k v ou v = k u remarques omme 0 = 0 u, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. eux vecteurs non nuls sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction. V) pplications géométriques 1) Milieu d un segment hacune des propriétés suivantes caractérise le milieu I du segment [] : 1) I = I ou 2) I + I = 0 ou 3) = 2 I. 4) Pour tout point M du plan M + M = 2 MI. 1. L égalité I = I caractérise le milieu I du segment [] (éfinition de l égalité de deux vecteurs). 2. I milieu du segment [] I = I I = I I + I = 0 3. I milieu du segment [] I = I 2 I = I + I 2 I = 4. Si I est le milieu du segment [], alors pour tout point M théorème M + ( ) ( ) M = MI + I + MI + I = 2 MI + I } + {{ I } = 0 = 2 MI Réciproquement, la propriété M + M = 2 MI étant vraie pour tout point M on peut l appliquer au point I. Soit : I + I = 2 II = 0 e qui prouve que I est le milieu du segment [] Soit un triangle, I et J les milieux respectifs de [] et [] alors = 2 IJ. = ( ) + = 2I + 2J = 2 I + J = 2 IJ. K. Fares nnée 2014/2015 Lycée Hélène oucher

/ 6 hapitre G1 : Translation et vecteurs lasse de 2 nde 2) Parallélisme et alignement eux droites () et () sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs et sont colinéaires. Trois points, et sont alignés si, et seulement si, les vecteurs et sont colinéaires. Si ()//() alors, les vecteurs et ont la même direction donc ils sont colinéaires. Réciproquement si les vecteurs et sont colinéaires alors, ils ont la même direction donc ()//(). et sont colinéaires signifie donc ()//(). eux droites parallèles ayant un point commun sont confondues. 3) construction de points La méthode pour construire un point M défini par une égalité vectorielle est d obtenir une relation du type : OM = u }{{} origine connue }{{} vecteur connu exemple Soient, et trois points non alignés. onstruire le point M défini par M 3 M = hoisissons par exemple comme «origine connue» M 3 M = ( ) M 3 M + = M 3 M 3 = 2 M = 3 + M = 3 1 2 2 M = 3 + 1 2 2 Nous pouvons construire le point M : M M 1 2 1 2 3 2 K. Fares nnée 2014/2015 Lycée Hélène oucher