Mathématiques Lycées Thélepte+Feriana. Décembre 013 Devoir de synthése n 1 4 ème Maths Durée : 3heures Profs: Mhamdi Mongi Mhamdi Abderrazek EXERCICE N 1: 3pts Pour chacune des questions suivantes une et une seule proposition est exacte. Indiquer la lettre correspondante on ne demande aucune justification 1) Si z 0, z 1, z n1 sont les racines nième de 1 alors : z 0 z 1 z n1 = a) 1 b) ( 1) n c) ( 1) n1 ) Si f est une fonction continue sur [0, ], dérivable sur ]0, [ telle que: f(0) = f() a)f est constante sur[0, ] b) f s annule sur [0, ] s annule sur ]0, [ c)f 3) soit f une fonction dérivable sur IR telle que : f (x) = soit g la fonction dérivable sur IR/{0} définie par : g(x) = f 1 x alors g (x) = 1 1x et a) x 1x b) 1 x 1x c) 1 1x 4) La transformation complexe R du plan dans lui-même qui à tout point M d affixe z on associe le point M d affixe z = iz + 5 + i alors R est une rotation de centre I et d angle α avec : π a)α π [π] et Z I = 3i b) α π [π] et Z I = 3 i c) α [π] et Z I = + 3i EXERCICE N : 3pts Soit (U n ) une suite positive, décroissante de limite nulle définie sur IN. Et soit (E n ) la suite définie sur IN par : E n = n k0 ( 1) k. U k = U 0 U 1 + U..... +( 1) n. U n Devoir de synthése n 1 013-014 4éme maths Page 1
1) Montrer que la suite (E n ) est décroissante et que (E n1 ) est croissante ) Montrer que E n1 E n 0 3) Déduire que (E n ) est une suite convergente 4) Soit U la suite définie par U n = (n1)(n3) ; n IN a) Montrer que U est décroissante et calculer sa limite b) Vérifier que pour tout n IN on a U n = 1 n1 1 (1) c) Montrer que lim n n = 0 n n3 d) Montrer que E n = 1 + (1)n (1)n n n3 et déduire lim n E n EXERCICE N 3: 3pts Soit α un réel de l intervalle [0,π] et E α l équation dans C : E α : z² e iα z + e iα + 1 = 0. 1) Résoudre dans C l équation E α. ) Le plan P est rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v ). On considère les points I, M, M et M d affixes respectives e iα, ie iα, e iα i et e iα + i. a) Montrer que I est le milieu du segment [M M ] et que IM = v. b) Placer dans le plan P, les points I et M pour α ]0, π [ et construire les points M et M. 3) a) Montrer que O est un point du cercle (C) de diamètre [M M ] et que (OM) est la tangente à (C) en O. b) Déterminer α [0, π] pour que le triangle OM M Soit isocèle en O. EXERCICE N 4: 5pts Dans le graphique ci-dessous on a tracé les courbes H et G représentatives Devoir de synthése n 1 013-014 4éme maths Page
respectivement des fonctions h et g définies sur IR par : h(x) = 1 et g(x) = x 1x 3 x qui se coupent en un point A d abscisse α 0, 78615 y=1 1 H - -1 0 1 G y=-1-1 I) Donner le tableau de signe de : g(x) h(x) II) Soit f la fonction définie sur IR par : f(x) = + x 1) Calculer lim f et lim f x 1x ) Montrer que la droite y = x 1 est une asymptote oblique à f au v(+ ) 4) Montrer que :lim x f(x) + x = et interpréter le résultat 5) Montrer que f est dérivable sur IR et que : f (x) = g(x) h(x) 6) Dresser le tableau des variations de f Devoir de synthése n 1 013-014 4éme maths Page 3
7) On admet que la droite d équation y = x coupe Γ f la courbe def au point d abscisse β = 1, 4.Tracer Γ f V III) Soit la suite (V n ) définie sur IN par : 0 = 1 pour V n1 = g(v n ) n IN On a tracé la courbe (W) représentative de la fonction g dérivée de g et la droite (D) d équation y = 1 1 - -1 0 1-1 1) Montrer que pour tout n IN on a : 0 < V n 1 ) Montrer que (V n ) est une suite décroissante 3) Montrer que (V n ) est une suite convergente et calculer sa limite 4) a) Montrer que pour tout n IN on a : V n1 1 V n b) Déduire que pour tout n IN on a : V n 1 n c) Retrouver la limite de (V n ) Devoir de synthése n 1 013-014 4éme maths Page 4
EXERCICE N 5: 6pts Dans l annexe ci-joint, on considère le triangle ABC rectangle en C tel que CA, CB π [π] et les deux triangles ACD et ABE isocèles et rectangles en A. On désigne par I, J et K les milieux respectifs de [CD], [AC] et [AD]. Soit f une isométrie qui envoie A sur D et C sur A 1. On suppose que f fixe un point a) Montrer que f est une rotation b) Donner les éléments caractéristiques de f c) Construire le point F = f (B) d) Montrer que les points A, C et F sont alignés. Soit R la rotation de centre A et d angle π et g = f o R a) Déterminer g(e) puis caractériser g b) En déduire que AEFD est un parallélogramme 3. On suppose que f est sans point fixe a) Montrer que f est une symétrie glissante b) Déterminer les éléments caractéristiques de f 4. Soit φ la rotation de centre I et d angle π et ψ la Symétrie glissante De vecteur JK et d axe (JK) et h = φ ψ 1 a) Quelle est la nature de h b) Déterminer h(d) et h(a) ; caractériser alors h Devoir de synthése n 1 013-014 4éme maths Page 5
BON TRAVAIL Devoir de synthése n 1 013-014 4éme maths Page 6
CORRECTION DU DEVOIR DE SYNTHESE N 1: EXERCICE N 1 : 1)z = 1 z = e avec k {0,1;.., n 1} Alors z z z = e e e. e () Or 1 + + + n 1 = () alors z z z = e = e ( ) () = e () = e = ( 1) La réponse est C ) f est une fonction continue sur [0, ], dérivable sur ]0, [ et f(0) = f().d après le théorème de Rolle il existe au moins un réel c tel que f (c) = 0 La réponse est C 3) g (x) = 1 x f 1 x = 1 x 1 1 1 La réponse est C = 1 x 1x 4) z = iz + 5 + i on a : i = 1 et arg( i) [π] alors R est une rotation d angle α π [π] et de centre I tel que : Z = = ()() = = 3 i ()() La réponse est b EXERCICE N : 1)E () E = ( 1). U ( 1). U = ( 1). U + ( 1). U =U U < 0 car U est une suite décroissante Alors (E n ) est décroissante E () E = ( 1). U ( 1). U = ( 1). U + ( 1). U =U U > 0 car U est une suite décroissante Alors (E ) est décroissante ) E E = ( 1). U ( 1). U = ( 1). U = U 0 Car la suite U est positive 3) On a ; * (E n ) est décroissante et (E n1 ) est décroissante * E E * lim n E E = lim U = 0 Devoir de synthése n 1 013-014 4éme maths Page 7
Donc les suites (E ) et (E ) sont adjacentes et convergent vers la même limite et par suite (E ) est une suite convergente 4) a)soit f(x) = on a : U = ()() = f(n) ; la suite et la fonction ont les mêmes variations f est une fonction rationnelle dérivable sur [0, + [ f (x) = () ( ) alors U est décroissante et lim U = b) on a : = ()() = c) Soit t = () () Donc lim = 0 d) On a : E = ( 1). U = < 0 pour tout x [0, + [ lim ()() = U = 0 ; lim t () = lim = lim et lim t = lim ( 1). U = U = On a : 1 + (1)0 (1)0 = 1 + 1 1 = 1 1 = 0 03 3 3 3 n=0 Supposons que E n = 1 + (1)n (1) n1 n4 On a: E = ( 1). U = ( 1). U (1)n n n3 () = lim = 0 = 0 et d autre part la propriété est vraie pour et montrons que E n1 = 1 + (1)n1 n3 + ( 1) U = E n + ( 1) = 1 + (1)n (1)n + () () = 1 + (1)n (1)n + (1)n1 () n n3 n n n3 = 1 + (1)n1 (1)n1 CQFD n3 n4 D après le principe de récurrence on pour tout entier naturel n on : E n = 1 + (1)n (1)n n n3 et on a : E n = 1 + (1)n n EXERCICE N 3: + (1)n3 n3 donc lim E = 1) = e 4e + 1 = 4 = (i) alors i est une racine carrée de z = )a) [M M ] b) = e i ; z = = = e + i S = e i ; e + i = e = z alors I est le milieu du segment Et on a : aff IM = Z z = i = Z alors IM = v. Devoir de synthése n 1 013-014 4éme maths Page 8
3)a) affom affom = = = iir alors OM M est un triangle rectangle en O donc O appartient au cercle de diamètre [M M ]. I le milieu de [M M ] donc I est le centre du cercle alors [OI] est Un rayon du cercle et on a : affom aff = ieiα, eiα = i iir donc (OM) est tangente au cercle b) OM M est isocèle en O équivaut à (OI) est la médiatrice de [M M ] Signifie que affmm affoi I) g(x) h(x) 0 pour tout x ], α] g(x) h(x) 0 pour tout x [α, + [ II)1)lim f = lim + x lim f = lim + x ) lim +1 f(x) (x 1) = lim + x = lim Asymptote oblique à f au v(+ ) 3) lim f(x) + x = lim + x iir e iα iir eiα IR α {0, π} EXERCICE N 4: = lim + x = lim + x + Devoir de synthése n 1 013-014 4éme maths Page 9 = + et = + x + 1 = lim + x x +1= 0 alors la droite y = x 1 est une + x = lim + x + x + = lim x + 1 + x + = lim x + 1 + + = 4) x + x est une fonction polynôme dérivable strictement positive Sur IR donc x + x est dérivable sur IR x 1 + x Et x x sont deux fonctions polynômes dérivables Sur IR et 1 + x > 0 Alors x x 1x est dérivable sur IR
Conclusion : f est dérivable sur IR f (x) = g(x) h(x) 5) (). (). = = 1x 3 = X α + f (x) + 0 + + f(x) f(α) 6) 3 1-5 -4-3 - -1 0 1 3 4-1 III)1) On a 0 < V 0 = 1 1 la proposition est vraie Supposons que 0 < V 1 et montrons que 0 < V 1 On a : 0 < V 1 et g est une fonction croissante sur IR d après la courbe représentative donc g(0) < g(v n ) g(1) alors 0 < V 1 D après le principe de récurrence on a : pour tout n IN : 0 < V n 1 ) V V = - = < 0. donc (V n ) est une suite décroissante 3) on a : (V n ) est une suite décroissante minorée par 0 alors (V n ) converge On a : V = g(v ) ; (V ) converge vers L ; L [0,1] Devoir de synthése n 1 013-014 4éme maths Page 10
et g est continue sur [0,1] alors g(l) = L L = L 1 + L L1 1+L=0 L = 0 ou 1 + L = 1 L = 0 Donc (V n ) converge vers zéro é [,] 4) a) On a : () [, ] é v [0,1] et 0 [0,1] D après les inégalités des accroissements finis on a : g(v n ) g(0) V n 0 V car V > 0 et V > 0 b) Principe de récurrence V n V c) On a : 0 < V et lim = 0 car Alors (V n ) converge vers zéro ] 1,1[ V n EXERCICE N 5: 1)a)f fixe un point alors f est soit l identité du plan soit une rotation soit une symétrie orthogonale. On a f(a) = D A donc f n est pas l identité du plan. Supposons que f est une symétrie orthogonale d axe S (A) = D alors (AD) et S (C) = A alors (AC) donc (AD) et (AC) sont parallèles ceci est faux donc f n est pas une symétrie orthogonale alors f est une rotation b) f est une rotation.soit α son angle on a : α AC, DA [π] AC, AD + π[π] [] Le centre de f est l intersection des médiatrices des segments [AD] et [AC] Qui sont (KI) et (IJ) donc I est le centre de f c)construction du point F d) f(b) = F et f(c) = A alors (AF) et (BC) sont perpendiculaires et comme (AC) et (BC) sont perpendiculaires alors (AC) et (AF) sont parallèles donc A, F et C sont alignés )a)g(e) = f R(E) = f(b) = E. Devoir de synthése n 1 013-014 4éme maths Page 11
G est la composée de deux déplacements donc g est un déplacement d angle Dont une mesure β + [π] 0[π] donc g est une translation et comme g(e) = E Alors g = t b) On a :g(a) = f R(A) = f(a) = D donc t (A) = D alors EF = AD et par suite EFDA est un parallélogramme 3)a)f est sans point fixe lors f est soit une translation soit une symétrie glissante.supposons que f est une translation de vecteur u alors t (A) = D et t (C) = A alors u = AD = CA ceci est impossible alors f est une symétrie glissante b)f = t S = S t et u est un vecteur directeur de on a : f f = t et f f(c) = f(a) = D alors u = CD alors u = CI de plus f(c) = A alors K et f(a) = D alors J donc = (JK) Conclusion : f = t S () 4a) φ est un déplacement et ψ est un antidéplacement alors ψ 1 est aussi un Antidéplacement donc h est un antidéplacement b)h(d) = φ ψ (D) = φ(a) = D et on a : h(a) = φ ψ (A) = φ(c) = A h est un antidéplacement qui fixe deux points distincts alors h est une symétrie orthogonale h = S () BON TRAVAIL Devoir de synthése n 1 013-014 4éme maths Page 1