Page1 1 ère S Prénom :. Jeudi 17 mars 016 Correction du DS n Calculatrice autorisée. Le sujet contient 3 pages. Rendre le sujet avec la copie. Le détail des calculs doit figurer pour l attribution des points. Le barème sur 60 est donné à titre indicatif. Exercice 1 (A faire directement sur l énoncé) (9 points) Dans le plan orienté : le triangle OBC est équilatéral. les triangles AOB et DOC sont rectangles isocèles en O. H est le milieu de [BC]. 1/ Coder la figure ci-contre. / Déterminer la mesure principale des angles orientés : (Justifiez vos réponses) a/ (OC ; OD ) On sait que DOC est un triangle rectangle en O et (OC ; OD ) est en sens direct donc: (OC ; OD ) = π [π] Donc la mesure principale de l angle (OC ; OD ) est π. b/ (OC ; OB ) On sait que OCB est un triangle équilatéral, ses trois angles sont de même mesure, et (OC ; OB ) est en sens indirect donc: (OC ; OB ) = π 3 [π] Donc la mesure principale de l angle (OC ; OB ) est π. 3 c/ (OA ; OB ) On sait que AOB est un triangle rectangle en O et (OA ; OB ) est en sens direct donc: Donc la mesure principale de l angle (OA ; OB ) est π. (OA ; OB ) = π [π] d/ (OA ; OH ) D après Chasles, on a: (OA ; OH ) = (OA ; OB ) + (OB ; OH ) D après la question précédente, on a : (OA ; OB ) = π [π] De plus, nous savons que H est le milieu de [BC] et que OBC est un triangle équilatéral. Or dans un triangle équilatéral la médiatrice d un côté est aussi, la hauteur, la médiane et la bissectrice. Donc (OH) est la bissectrice de BOC, on a donc :
Page 1 ère S Prénom :. Jeudi 17 mars 016 BOH = 1 BOC = 1 π 3 = π 6 Comme (OB ; OH ) est en sens direct, on a : (OB ; OH ) = π [π] 6 On conclut que : (OA ; OH ) = (OA ; OB ) + (OB ; OH ) = π + π 6 = π 3 [π] Donc la mesure principale de l angle (OA ; OH ) est π. 3 e/ (DC ; DA ) D après Chasles, on a: (DC ; DA ) = (DC ; DO ) + (DO ; DA ) On sait que DOC est un triangle rectangle isocèle en O donc : CDO = 1 (π π ) = π Comme (DC ; DO ) est en sens indirect, on a : (DC ; DO ) = π [π] Calcul de la mesure de l angle DOA : DOA = π AOB BOC COD = π π π 3 π = π 3 On sait que les triangles AOB et DOC sont isocèles en O donc : OA = OB et OD = OC Or le triangle BOC est équilatéral donc OB = OC. On en conclut que OA = OD et que le triangle DOA est isocèle en O, donc : ADO = 1 (π π 3 ) = π 6 Comme (DO ; DA ) est en sens indirect, on a : (DO ; DA ) = π [π] 6 On conclut que : (DC ; DA ) = (DC ; DO ) + (DO ; DA ) = π π 6 = 5π Donc la mesure principale de l angle (DC ; DA ) est 5π. 1 1 [π] 3/ Démontrer que les droites (AD) et (OH) sont perpendiculaires. (AD) (OH) (AD ; OH ) = π [π] (AD ; OH ) = (AD ; AO ) + (AO ; OH ) = (AD ; AO ) + ( OA ; OH ) = (AD ; AO ) + (OA ; OH ) + π Donc : (AD) (OH) = π 6 + π 3 + π[π] = 3π [π] = π [π] Exercice (3,5 points) Le plan est orienté. En utilisant la relation de Chasles pour les angles, démontrer que les droites (AB) et (DE) sont parallèles.
Page3 1 ère S Prénom :. Jeudi 17 mars 016 (AB) (DE) (AB ; DE) = 0[π] Calculons donc une mesure de l angle (AB ; DE ). Grâce à Chasles, on a : (AB ; DE) = (AB ; BC) + (BC ; CD) + (CD ; DE) (AB ; DE) = ( BA ; BC) + ( CB ; CD) + ( DC ; DE) (AB ; DE) = (BA ; BC) + π + (CB ; CD) + π + (DC ; DE) + π[π] (AB ; DE) = (BA ; BC) + (CB ; CD) + (DC ; DE) + 3π[π] (AB ; DE) = 5π 6 π + π 3 + π[π] Donc : (AB ; DE) = 5π 6 3π 6 + π 6 + π[π] (AB ; DE) = π + π[π] (AB ; DE) = 0[π] (AB) (DE) Exercice 3 Réduire les expressions suivantes où x est un réel quelconque, en détaillant les étapes : A = cos(π + x) + cos(π x) + cos(x + 3π) + cos(x 3π) A = cos(π + x) + cos(π x) + cos(x + π + π) + cos(x π π) A = cos(π + x) + cos(π x) + cos(x + π) + cos(x π) A = cos(π + x) + cos(π x) + cos(x + π) + cos( (π x)) A = cos(π + x) + cos(π x) + cos(x + π) + cos(π x) A = cos(x) cos(x) cos(x) cos(x) A = cos(x) ( points) B = sin ( π + x) + sin (3π + x) + sin (5π + x) + cos(π + x) B = sin ( π + x) + cos(π + x) + sin (3π + x) + sin (5π + x) B = cos(x) cos(x) + sin (π + π + x) + sin (π + π + x) B = sin (π + ( π + x)) + sin (π + (π + x)) B = sin ( π + x) + sin (π + x) B = 0 Exercice ( points) Calculer : C = cos 3π 10 + sin π 7π + cos 5 10 + sin 6π 5
Page 1 ère S Prénom :. Jeudi 17 mars 016 C = cos 3π 7π + cos 10 10 + sin π 5 + sin 6π 5 C = cos 3π 3π + cos (π 10 10 ) + sin π 5 + sin (π + π 5 ) C = cos 3π 3π cos 10 10 + sin π 5 sin π 5 C = 0 Exercice 5 Résoudre les équations dans R puis dans l intervalle demandé. ( points) 1/ Dans [0 ; π[ ( sin x + 3)(cos x 1) = 0 Or Et dans [0 ; π[, x = π 3 sin x = 3 π + kπ ou x = π 3 sin x + 3 = 0 ou cos x 1 = 0 sin x = 3 ou cos x = 1 sin π 3 = 3 ou cos 0 = 1 ou cos x = 1 sin x = sin π 3 ou cos x = cos 0 + kπ ou x = 0 + kπ ou x = 0 + kπ (k Z) x = π 3 [π] ou x = π 3 S = { π 3 [π] ; π 3 S = { 5π 3 ; π 3 ; 0} [π] ou x = 0[π] [π] ; 0[π]} / Dans [0 ; π[ sin (3x + π ) = sin x 3 x + π = x + kπ ou 3 x + π = π x + kπ (k Z) x = π + kπ ou x = π π + kπ (k Z) x = π + kπ ou x = π 8 + kπ (k Z) Si k = 0 x = π [π] ou x = π 8 [π] Si k = 1 x = π + π = 3π [π] ou x = π 8 + π = 5π 8 [π] Si k = Si k = 3 x = π 8 + π = 9π 8 [π] x = π 8 + 3π = 13π 8 [π]
Page5 1 ère S Prénom :. Jeudi 17 mars 016 Et dans [0 ; π[, S = { π [π] ; π 8 [π] ; 3π [π] ; 5π 8 [π] ; 9π 8 S = { 7π ; π 8 ; 3π ; 5π 8 ; 9π 8 ; 13π 8 } [π] ; 13π 8 [π]} 3/ Dans ] π ; π] sin x = 0 or sin 0 = 0 sin x = 0 sin x = sin 0 x = 0 + kπ ou x = π 0 + kπ (k Z) x = kπ ou x = π + kπ (k Z) Si k = 0 Si k = 1 x = 0[π] ou x = π [π] ou x x = π [π] = π + π = 3π [π] Si k = x = π[π] ou x = π + π = 5π [π] Si k = 3 x = 3π [π] ou x = π + 3π = 7π [π] Et dans ] π; π], S = {0[π] ; π [π] ; π [π] ; 3π [π] ; π[π] ; 5π [π] ; 3π [π] ; 7π [π]} S = {0 ; π ; π ; 3π 3π π π ; π ; [π] ; [π] ; [π]} / Dans ] π ; π] cos 3x = sin x or sin x = cos ( π x) cos 3x = sin x cos 3x = cos ( π x) 3x = π x + kπ ou 3x = π + x + kπ (k Z) x = π + kπ ou x = π + kπ (k Z) x = π 8 + kπ ou x = π + kπ (k Z) Si k = 0 Si k = Si k = 1 x = π 8 + π = 5π 8 x = π [π] ou 8 x [π] ou x = π [π] = π + π = 3π [π] Si k = 3 x = π 8 + π = 9π 8 [π] x = π 8 + 3π = 13π [π]
Page6 1 ère S Prénom :. Jeudi 17 mars 016 Et dans ] π; π], 5/ Dans ; S = { π [π] ; π 8 [π] ; 3π [π] ; 5π 8 [π] ; 9π 8 S = { π ; π 8 ; 3π ; 5π 8 ; 7π 8 ; 3π 8 } sin ( π + x) + cos (π x) = 1 [π] ; 13π 8 [π]} Donc or sin X = cos ( π X) sin ( π + x) = cos (π (π + x)) = cos (π π x) = cos (π x) sin ( π + x) + cos (π x) = 1 cos (π x) + cos (π x) = 1 cos (π x) = 1 cos ( π x) = 1 or cos π 3 = 1 cos ( π x) = 1 cos ( π x) = cos π 3 π x = π 3 + kπ ou π x = π + kπ (k Z) 3 x = π 3 π + kπ ou x = π 3 π + kπ (k Z) Et dans ] π; π], x = π 3 π + kπ ou x = π 3 π + kπ (k Z) x = π 7π + kπ ou x = + kπ (k Z) 1 1 x = π 7π + kπ ou x = + kπ (k Z) 1 1 S = { π 7π [π] ; 1 1 [π] } S = { π 1 ; 7π 1 } Exercice 6 Sachant que (u ; v) = π et que (u ; w ) = π, déterminer la mesure principale de : 7 1/ (v ; w ) = (v ; u ) + (u ; w ) = (u ; v) + (u ; w ) = π π = 3π [π] 7 8 La mesure principale de l angle (v ; w ) est de 3π. 8 / ( u ; v) = (u ; v) + π = π 7 + π = 6π 7 [π] La mesure principale de l angle ( u ; v) est de 6π 7. (3,5 points) 3/ (w ; v) = (v ; w ) = 3π 8 [π] La mesure principale de l angle (w ; v) est de 3π 8.
Page7 1 ère S Prénom :. Jeudi 17 mars 016 Exercice 7 (16 points) Un directeur de supermarché décide d étudier le temps d attente aux caisses de son établissement pour ajuster à la demande le nombre de caisses ouvertes. Pour cela, il interroge le lundi et le vendredi cent clients et note les temps d attente approximatifs en minutes entières. Partie A : étude de l échantillon du lundi Le lundi, il obtient la répartition suivante : Temps d attente le lundi 1 3 5 6 7 8 9 10 Nombre de clients 1 13 3 9 1 8 1 1 Effectif cumulé croissant 1 7 50 59 73 81 93 97 98 100 Fréquence 0,1 0,13 0,3 0,09 0,1 0,08 0,1 0,0 0,01 0,0 1/ Complétez le tableau. Vous justifierez un des calculs des fréquences. / Quel est le temps moyen d attente le lundi? (Détailler le calcul). 1 1 + 13 + 3 3 + 9 + 5 1 + 6 8 + 7 1 + 8 + 9 1 + 10 x = 100 x = 08 100 =,08 3/ Déterminez, en justifiant par un calcul de position : Min, Q1, Méd, Q3 et Max. Le minimum est la plus petite valeur du caractère : Min = 1 Calcul de position pour Q1 : N = 100 = 5 Donc Q1 est à la 5 ème position donc Q1 =. Calcul de position pour Q3 : N 3 = 100 3 = 75 Donc Q3 est à la 75 ème position donc Q3 = 6. Calcul de position pour Me : N = 100 = 50 Donc Me est entre la 50 ème et la 51 ème position donc Me = 3+ = 3,5 Le maximum est la plus grande valeur du caractère : Max = 10 / Déterminer l étendue et l écart interquartile. L étendue est la différence entre le maximum et le minimum : Max Min = 10 1 = 9 L écart interquartile est la différence entre Q3 et Q1 : Q3 Q1 = 6 = 5/ Tracer le diagramme en boite dans l espace ci-dessous.
Page8 1 ère S Prénom :. Jeudi 17 mars 016 6/ Calculer l écart type de la série I. (Donner le détail du calcul). V = 1 (1,08) + 13 (,08) + 3 (3,08) + 9 (,08) + 1 (5,08) + 8 (6,08) 100 + 1 (7,08) + (8,08) + (9,08) + (10,08) 100 V = 13,8096 + 56,3 + 6,87 + 0,0576 + 11,896 + 9,91 + 10,3168 + 61,656 +,06 + 70,098 100 = 515,36 100 5,15 σ = V = 5,15,7 Partie B : étude de l échantillon du vendredi Sur la figure vous trouvez le diagramme en boite d une autre série statistique (série II) qui correspond au temps d attente le vendredi. 7/ Déterminez (en justifiant) Min, Q1, Méd, Q3 et Max, de la série II. Le minimum est la plus petite valeur de la série donc Min = 1. Le maximum est la plus grande valeur de la série donc Max = 1. Q1 est la plus petite valeur telle qu au moins 5% des valeurs soient inférieures ou égales à Q1, c est donc la 1 ère valeur du rectangle donc Q1 = 3. Q3 est la plus petite valeur telle qu au moins 75% des valeurs soient inférieures ou égales à Q3, c est donc la 3 ème valeur du rectangle donc Q3 = 8. Me est la valeur de la série telle qu on ait 50% en dessous de cette valeur et 50% au-dessus, c est donc la valeur dans le rectangle donc Me = 5.
Page9 1 ère S Prénom :. Jeudi 17 mars 016 Partie C : comparaison des deux échantillons 8/ On sait que le temps d attente moyen le vendredi est de 5,8 et l écart-type de 3,87. En utilisant les paramètres de position et de dispersion, comparer les deux séries. Sur le diagramme en boîte, nous voyons que la médiane et les quartiles sont plus faibles le lundi que le vendredi, on peut donc en conclure que les clients attendent moins le lundi que le vendredi. De plus, on observe que le temps moyen d attente est plus faible le lundi que le vendredi. Enfin, on remarque que l écart-type est plus élevé les vendredi que le lundi, le temps d attente le vendredi est donc beaucoup plus hétérogène le vendredi que le lundi, la série est plus dispersée le vendredi.