MGEN : Mécanique Générale

INSA de Rouen - MEA3 - Année 2012-2013 MGEN : Mécanique Générale Sommaire 1 inématique 2 1.1 Référentiel et Repère................................................... 2 1.2 hamps des vitesses et accélérations........................................... 2 2 Géométrie des masses 3 2.1 Masse et centre de masse................................................. 3 2.2 Opérateur d inertie.................................................... 3 3 inétique 4 3.1 Torseurs.......................................................... 4 3.2 Méthode de calcul cinétique............................................... 4 3.3 Energie cinétique..................................................... 4 4 Dynamique 5 4.1 Action mécaniques.................................................... 5 4.2 Principe Fondamental de la Dynamique......................................... 5 4.3 Enoncé dans un référentiel galiléen............................................ 5 4.4 Enoncé dans un référentiel non galiléen......................................... 5 4.5 Travail, puissance, énergie................................................ 5 4.5.1 Puissance associée aux actions mécaniques extérieures............................. 5 4.5.2 Puissance des actions mécaniques intérieures.................................. 6 4.5.3 Travail et énergie potentielle........................................... 6 4.5.4 Théorème de l Energie inétique........................................ 6 4.6 Equations de Lagrange.................................................. 6 4.6.1 Définitions.................................................... 6 4.6.2 Variation et différentielle d une fonction..................................... 6 1

1 inématique inématique : Etude du mouvement (vitesses et accélérations) sans prendre en considération les efforts qui provoquent ce mouvement. 1.1 Référentiel et Repère Référentiel : Objet dans lequel le mouvement est décrit. Référentiel Galiléen : Référentiel considéré en translation rectiligne uniforme ou fixe. Repère : Outil mathématique dans lequel on établit les équations de mouvement. Notation : Référentiel fixe ou absolu : R 0 (O,x 0,y 0,z 0 ) Vecteur Position : OP = x x 0 + y y 0 + z z 0, permet d obtenir la vitesse absolue. Référentiel relatif ou en mouvement par rapport à R 0 : R 1 (O 1,x 1,y 1,z 1 ) Vecteur Position : O 1 P = x 1 x1 + y 1 y1 + z 1 z1, permet d obtenir la vitesse relative. 1.2 hamps des vitesses et accélérations Rotation : omposition : Ω (R2 /R 0 ) = Ω (R2 /R 1 ) + Ω (R1 /R 0 ) Vitesse et Accélération : Dans le repère absolu R 0, v A(S/ ) = d O 0 A et a A(S/ ) = d v A(S/ ) = d2 O0 A 2 Formule de Bour : v M(S/ ) = d O 1 M = d O 1 M + Ω (R1 /R 0 ) O 1 M (valable pour toute grandeur vectorielle) R1 { Ω Torseur cinématique : {V S2 /S 1 } = (S2 /S 1 ) A en A pour un solide 1 en mouvement par rapport à un solide 1. v A(S2 /S 1 ) Formule de transport : v A(S2 /S 1 ) = v O(S2 /S 1 ) + AO Ω (S2 /S 1 ) omposition des vitesses : v A(S2 /R 0 ) = v A(S2 /S 1 ) vitesse relative + v (A S1 /R 0 ) vitesse d entraînement La vitesse d entraînement représente la vitesse de S 1 par rapport à R 0 en considérant un point considéré fixe appartenant à S 1. Il s exprime par un transport depuis un point matériel existant sur S 1. ondition de roulement sans glissement : Entre deux solides S 2 et S 1 en contact au point I : v (I S2 /S 1 ) = v (I S2 /R 0 ) v (I S1 /R 0 ) = 0 I n est pas un point matériel, il se calcule par des transports. omposition des accélérations : a A(S2 /R 0 ) = a A(S2 /S 1 ) + accélération relative a O(S1 /R 0 ) + d Ω (S1 /R 0 ) Accélération d entraînement : a (A S1 /R 0 ) = a (A S1 /R 0 ) + a (A, S1 /R 0 ) accélération de oriolis OA+ ( Ω (S1 /R 0 ) Ω (S1 /R 0 ) ) OA (force d inertie réelle) accélération d entraînement Accélération de oriolis : a (A,S1 /R 0, =)2Ω (S1 /R 0 ) v A(S2 /S 1 ) (pseudo-force) 2

2 Géométrie des masses 2.1 Masse et centre de masse Expression de la masse : m = entre de masse G : OG = (S) dm m iogi i m i i avec linéique surfacique volumique dm ρ l dl ρ S ds ρ V dv 2.2 Opérateur d inertie Opérateur ou matrice d inertie : I O(S) OP ( u = u ) A F E OP dm = F B D E D Moments d inertie (par rapport à un axe) : Ils caractérisent la répartition de matière autour d un axe ( ) lié à (S). A = I Ox = (y 2 + z 2) dm B = I Oy = (x 2 + z 2) dm = I Oz = (x 2 + y 2) dm Produits d inertie (par rapport à deux axes) : Dans un cas sans symétrie matérielle, il caractérise la répartition de matière selon un plan formé par deux axes. D = I Oyz = yzdm E = I Oxz = xzdm F = I Oxy = xydm Symétries matérielles : Symétries dans la géométrie et dans la répartition de matière. Symétries planes : Le produit d inertie qui contient le normale du plan de symétrie s annule. Symétries de révolution : Elles annulent les trois produits et simplifient les moments d inertie. ylindre d axe z : I G(S) = A 0 0 0 A 0 0 0 (_,_,z) Sphère : I G(S) = A 0 0 0 A 0 0 0 A Moment d inertie autour d un point : 2I Gxyz = A + B + = (( x 2 + y 2) + ( y 2 + z 2) + ( x 2 + z 2)) dm m ( b 2 + c 2) mab mac Théorème de Huygens : I O(S) = I G(S) + avec = mab m ( a 2 + c 2) mbc mac mbc m ( a 2 + b 2) (_,_,_) 3

3 inétique 3.1 Torseurs { P Torseur cinétique : { (S/ )} = (S/ ) = m v G(S/ ) σ (S/ ) { h Torseur dynamique : {D (S/ )} = (S/ ) = m a G(S/ ) 3.2 Méthode de calcul cinétique (3) I G(S) (1) σ G(S/ ) (2) δg(s/r 0 ) I O(S) (4) (6) σ O(S/ ) (5) (7) δ O(S/ ) (1) (2) (3) δ (S/ ) = { quantité de mouvement moment cinétique = { quantité d acccélération moment dynamique σ G(S/ ) = IG Ω (S/ ) σ G(S/ ) = d σ G(S/ ) I O(S) = I G(S) + (4) Théorème de Koening : σ O(S/ ) = IO Ω (S/ ) + m OG v O(S/ ) (5) δ O(S/ ) = d σ O(S/ ) + v O(S/ ) m v G(S/ ) (6) σ O(S/ ) = σ G(S/ ) + m OG v G(S/ ) (7) δ O(S/ ) = δ G(S/ ) + m OG m a G(S/ ) 3.3 Energie cinétique Expression : 2T (S/ ) = { (S/ )} {V S/ } = m v G(S/ ) v A(S/ ) + σ A(S/ ) Ω (S/ ) Principe de superposition : Pour un système Σ de n solides, 2T (Σ/ ) = 2 n T (Si /R 0 ) 4

4 Dynamique Pour résoudre les problèmes de dynamique, trois méthodes sont utilisées par la Mécanique Générale : Le Principe Fondamental de la Dynamique, basé sur les formes vectorielles et ne s applique qu aux efforts extérieurs. Il nécessite un bilan des forces. Le Théorème de l Energie inétique, pour les systèmes à un degré de liberté. Les Equations de Lagrange, qui sont une approche énergétique et considèrent les efforts intérieurs. 4.1 Action mécaniques Les actions mécaniques permettent de mettre en mouvement, maintenir au repos ou déformer un objet. Elles sont : de contact (exemple : liaisons) ou à distance (exemple : pesanteur) intérieures (liaison à l intérieur du système isolé) ou extérieures (liaison à l extérieur du système isolé) ponctuelles ou distribuées 4.2 Principe Fondamental de la Dynamique 4.3 Enoncé dans un référentiel galiléen Enoncé : Il existe un référentiel R 0 privilégié, absolu ou galiléen, tel que le torseur dynamique soit équivalent, à chaque instant, au torseur des actions mécaniques extérieures à (S). Expression : {D (S/ )} = {τ S S } Décomposition du PFD : Théorème de la résultante dynamique : m a G(S/ ) = R ( S S) Théorème du moment dynamique : δ G(S/ ) = M A( S S) Théorème des actions mutuelles : {τ 1 2 } = {τ 2 1 } 4.4 Enoncé dans un référentiel non galiléen Expression : Si R est un référentiel non galiléen {D (S/R) } = {τ S S } + {D ie(s/r 0 )} Torseur des forces d intertie d entraînement + {D ic(s/ )} Torseur des forces de oriolis Effets d inertie : {D ie(s/ )} h ie,(s/ ) = a (A R1 /R 0 )dm δ ie,(s/ ) = AP a (A R1 /R 0 )dm Effets de oriolis : {D ic(s/ )} h ic,(s/ ) = 2 Ω (S/ ) v P(S/ )dm δ ic,(s/ ) = ( AP 2 Ω (S/ ) ) v P(S/ ) dm 4.5 Travail, puissance, énergie 4.5.1 Puissance associée aux actions mécaniques extérieures Soit un solide S dans un mouvement par rapport à R 0 décrit par le torseur cinématique {V S/ }. S est soumis à des actions mécaniques représentées par le torseur {τ S S }. La puissance est alors P ( S S/R 0) = {V S/R 0 } {τ S S } 5

4.5.2 Puissance des actions mécaniques intérieures S 1 et S 2 sont en mouvement par rapport à R 0 et liés entre eux pas une liaison. La puissance développée par les efforts de liaison est alors P (1 2) = {V S2 /S 1 } {τ 1 S 2 } Si la liaison est parfaite (pas de frottements), on a P (1 2) = 0. 4.5.3 Travail et énergie potentielle t 2 Travail entre t 1 et t 2 : W t1,t 2( S S/R 0) = du ( Puissance et Energie potentielle : P ( S S/R 0) = S S/R 0) t 1 P ( S S/R 0) [ ] Travail et Energie potentielle : W t1,t 2( S S/R 0) = U t2,( S S/R 0) U t 1,( S S/R 0) 4.5.4 Théorème de l Energie inétique e théorème est utiles pour un système à un degré de liberté et tient compte des actions mécaniques mutuelles, contrairement au Principe Fondamental de la Dynamique Il ne donne cependant qu une seule équation de mouvement contre six pour le PFD. Pour un solide, dt (S/R 0 ) = P ( S S/R 0) Pour un ensemble E de n solides : dt (E/R 0 ) 4.6 Equations de Lagrange 4.6.1 Définitions = P (Ē E/ ) + n P (i j) i, j=1 oordonnées généralisées : Les coordonnées généralisées q i forment l ensemble des coordonnées indépendantes qui permettent de décrire le système. Leur nombre dépend à la fois du nombre de coordonnées physiques x i que des contraintes qui les relient. Puissance virtuelle : On appelle puissance virtuelle d un système ou d un solide le déplacement infinitésimal de ses coordonnées généralisées.. A t fixé, on va faire correspondre à une configuration réelle la configuration virtuelle, qui correspond à un déplacement très petit. Le temps n intervient donc pas, ce qui correspond à une simple transformation géométrique. ontraintes (liaisons) : Les liaisons entre les différentes solides conduisent à des liaisons entre les q i, les q i et éventuellement le temps (fonction de la configuration). Liaison holonôme (parfaite) : équations du type f (q i,...,q n,t) = 0 Liaison non-holonôme : équations du type f (q i,...,q n, q i,..., q n,t) Liaison semi-holonôme : équations cinématiques intégrables Liaison schléronôme : indépendantes du temps Liaison non intégrable Les liaisons peuvent réduire le nombre d équatiosn de Lagrange, sauf pour les relations non-holonômes qui ne s intègrent pas. 4.6.2 Variation et différentielle d une fonction Différentielle : La différentielle d une fonction Φ(q i,...,q n,t) correspond à son accroissement au cours du mouvement pendant un intervalle de temps. On a dφ = Φ t + n Φ dq i Vitesse : v A(S/ ) = OA + n OA q i t et v A(S/ ) q i = OA 6

Variation : Elle correspond à un changement infinitésimal à un instant donné et est associé à un passage de configuration infiniment voisine. On a δφ = n φ δq i Vitesse virtuelle : v A(S/R 0 ) = n OA q i 7