Correction du devoir surveillé n 5

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB - D. Blottière Mathématiques Correction du devoir surveillé n 5 Problème (Concours A TB 8) : Étude d une fonction définie par une intégrale. Domaine de définition (a) Soit appartenant à ], + [. Justifier l eistence de l intégrale (b) Soit appartenant à ], [. Justifier aussi l eistence de l intégrale Nous pouvons ainsi définir une fonction numérique f sur R + \{} par :. Étude de la dérivabilité R + \{} f() = ln(t). ln(t) et déterminer son signe. et déterminer son signe. ln(t) (a) i. Justifier l eistence d une primitive H de la fonction t sur ],+ [, puis eprimer pour ln(t) tout réel appartenant à ],+ [, f() en fonction de H( ) et H(). ii. En déduire que f est dérivable sur ],+ [ et calculer f. iii. Quel est le sens de variation de f sur ],+ [? (b) i. Montrer que f est dérivable sur ],[ et calculer f. ii. Quel est le sens de variation de f sur ],[? 3. Étude des ites au bornes du domaine de définition (a) Étude en par valeurs supérieures i. Soit ],[. Montrer que pour tout t [,] : ( ) ln() f() ( ). ln() ln() ln(t) ln(, et en déduire que : ) ii. Montrer alors que f est prolongeable par continuité en et préciser la valeur en de f ainsi prolongée. La fonction f ainsi prolongée est toujours notée f dans la suite. iii. À l aide de l encadrement précédent, montrer que f() a pour ite en. Que peut-on en déduire sur la fonction f? Interpréter géométriquement ce résultat. (b) Étude en l infini

i. En s inspirant de la méthode décrite en (a).i, encadrer f() pour tout réel ],+ [. ii. En déduire la ite de f en +. iii. Étudier la nature de la branche infinie de la courbe représentative de f au voisinage de +. (c) Étude en par valeurs supérieures i. Soit ],+ [. Montrer que : = ln(), puis, en remarquant que f() = tln(t) prouver que : ln() f() ln(). ii. En déduire l eistence et la valeur de la ite de f en par valeurs supérieures. t tln(t), (d) Étude en par valeurs inférieures Par un travail similaire à la question (c), montrer que f() a pour ite ln() lorsque tend vers par valeurs inférieures. (e) Prolongement par continuité de f en i. Montrer que f est prolongeable par continuité en en posant : f() = ln(). La fonction f ainsi prolongée est toujours notée f dans la suite. ii. Montrer que f est dérivable en et préciser la valeur de f (). (f) Représentation graphique de f i. Résumer les résultats précédents en dressant le tableau de variations de f, ce tableau précisant les prolongements et la nature géométrique des points particuliers étudiés. ii. Représenter la fonction f. On précise que ln() est voisin de,69. Correction. (a) Soit ],+ [. De ],+ [, on déduit < < ( = ( ) > ). Ainsi a-t-on, ],+ [ et [, ] ],+ [. La fonction u: ],+ [ R, t ln(t) est continue et ne s annule pas sur ],+ [. Par suite (cf. opérations sur les fonctions continues), la fonction u admet donc une primitive sur l intervalle ], + [. L intégrale définie. est (définie et) continue sur ],+ [; elle ln(t) = u(t) est bien Lafonction u est strictement positive sur ],+ [. Lafonction est donc aussistrictement positive u sur ],+ [. Comme < < et comme est continue, positive et non identiquement nulle sur ],+ [, u l intégrale ln(t) = est strictement positive (le strictement découle du u(t) théorème de positivité).

(b) Soit appartenant à ], [. De ],[, on déduit < < ( = ( ) < ). De plus comme, on a >. Ainsi a-t-on, ],[ et [,] ],[. La fonction v: ],[ R, t ln(t) est continue et ne s annule pas sur ],[. Par suite (cf. opérations sur les fonctions continues), la fonction v donc une primitive sur l intervalle ], [. L intégrale est (définie et) continue sur ],[; elle admet ln(t) = La fonction v est strictement négative sur ],[. La fonction v est bien définie. v(t) est donc aussi strictement négative sur ],[. On en déduit que la fonction v est strictement positive sur ],[. Comme < < < et comme est continue, positive et non identiquement nulle sur v ], [, l intégrale ln(t) = est strictement positive (le strictement découle du v(t) théorème de positivité). Mais ln(t) =. Ainsi a-t-on ln(t) ln(t) >.. (a) i. On a vu en.(a) que la fonction : ],+ [ R, t est continue sur ],+ [. Lafonction u ln(t) admet donc une primitive sur l intervalle ],+ [. Soit H l une d elles. u Pour tout ],+ [, on a donc : f() = ln(t) = H( ) H(). ii. La fonction carrée est dérivable sur ],+ [ et envoie ],+ [ sur ],+ [. De plus, la fonction H est dérivable sur ],+ [ (puisque c est une primitive de sur ],+ [). Une composée de u fonctions dérivables étant dérivable, la fonction H( ) est dérivable sur ],+ [. La différence de deu fonctions dérivables étant dérivable, on en déduit finalement que f est dérivable sur ], + [. Comme pour tout ],+ [, H () = ln() (cf. définition d une primitive), on a : f () = H ( ) H () = ln( ) ln() = ln() ln() = ln(). iii. Si >, alors > et ln() >. On a donc : ],+ [ f () = ln() >. La fonction f est donc strictement croissante sur ], + [. (b) i. On procède de façon analogue à l étude faite sur ], + [. On a vu en.(b) que la fonction : ],[ R, t v ln(t) est continue sur ],[. La fonction v admet donc une primitive sur l intervalle ], [. Soit G l une d elles. Pour tout ],[, on a donc : f() = ln(t) = G( ) G(). 3

ii. La fonction carrée est dérivable sur ],[ et envoie ],[ sur ],[. De plus, la fonction G est dérivable sur ],[ (puisque c est une primitive de sur ],[). Une composée de fonctions v dérivables étant dérivable, la fonction G( ) est dérivable sur ],[. La différence de deu fonctions dérivables étant dérivable, on en déduit finalement que f est dérivable sur ], [. Comme pour tout ],[, G () = ln() (cf. définition d une primitive), on a : f () = G ( ) G () = ln( ) ln() = ln() ln() = ln(). iii. Si < <, alors < et ln() <. On a donc : ],[ f () = ln() >. La fonction f est donc strictement croissante sur ], [. 3. (a) i. Soit ],[. On a donc < < ( = ( ) < ). Soit t [,]. On a donc t. t < = ln( ) ln(t) ln() < ln() = (ln strictement croissante sur ],+ [) = ln( ) ln(t) ln() (inverse (strictement) décroissante sur ], [) On a donc : t [,] ln() ln(t) ln( ). () En intégrant () entre et ( < ), on a alors : ln() } {{} ln() ( ) ln(t) ln( ) } {{ } ln( ) ( ) () En multipliant chacun des membres de () par < et en remarquant que = ( ) et que ln( ) = ln(), on a alors : On a donc : ln() ( ) ( ) ln() ( ) ln() ln(t) } {{} ln(t) =f() ii. Comme + ( ) = et + ln() =, on a : ln() ( ). ( ) ln() f() ( ). (3) ln() ( ) ( ) = =. + ln() + ln() De ces calculs de ites, de (3) et du théorème d encadrement, on déduit que f() tend vers quand tend vers. La fonction f est donc prolongeable par continuité en (à droite). La fonction f prolongée par continuité en, que l on note toujours f, prend la valeur en.

iii. Soit ],[. Si l on divise chacun des membres de l inégalité (3) par >, il vient Comme + = et + ln() =, on a : ln() f() ln(). () + ln() = + ln() =. De ces calculs de ites, de () et du théorème d encadrement, on déduit que f() quand tend vers +. tend vers On remarque que, si ],[, alors f() = f() f() (tau d accroissement de f entre et ). Le calcul précédent de ite nous dit que f() f() tend vers quand tend vers +. Par suite, la fonction f est dérivable en à droite et on a f d () =. Géométriquement, on en déduit que la courbe représentative C f de f dans un repère du plan admet une demi-tangente horizontale en à droite. (b) i. Soit ],+ [. On a donc < < ( = ( ) > ). Soit t [, ]. On a donc t. < t = = ln() < ln() ln(t) ln( ) (ln strictement croissante sur ],+ [) = ln() ln(t) ln( ) (inverse (strictement) décroissante sur ], + [) On a donc : t [, ] ln( ) ln(t) ln(). (5) En intégrant (5) entre et ( < ), on a alors : ln( ) ln( ) ( ) ln(t) } {{ } f() ln() ln() ( ) (6) En remarquant que = ( ) et que ln( ) = ln(), on a alors : ( ) ln() f() ( ). (7) ln() ii. Comme = + (croissances comparées) et = +, on a : + ln() + + ln() = +. ( ) ln() De ce calcul de ite, de (7) et du théorème d encadrement, on déduit que f() tend vers + quand tend vers +. iii. Soit ],+ [. Si l on divise chacun des membres de l inégalité (7) par >, il vient ln() f() ln(). (8) 5

Comme + = + (croissances comparées) et ln() + ( ) + ln() ln() ln() = +. =, on a : ln() De ce calcul de ite, de (8) et du théorème d encadrement, on déduit que f() tend vers + quand tend vers +. La courbe C f n admet donc pas d asymptote oblique en +. (c) i. Soit ],+ [. Alors < < ( = ( ) > ) et donc la fonction ln est strictement positive sur [, ]. tln(t) = t ln(t) = ln (t) ln(t) = [ln(ln(t))] = ln(ln( )) ln(ln()) = ln( ln()) ln(ln()) = ln() + ln(ln()) ln(ln()) = ln(). Soit t [, ]. On a < t et donc t > et ln(t) >. On en déduit que multipliant chacun des membres de t par >, on a donc : tln(t) >. En tln(t) tln(t) t tln(t) tln(t). (9) En intégrant l inégalité (9), valable pour tout t [, ] entre et ( < ), on obtient : Par suite (cf. tln(t) tln(t) = ln()), on a : tln(t) } {{ } f() t tln(t) tln(t) t ln(t) ln() f() ln(). () ii. On a +ln() = ln() et ln() = ln(). De ces calculs de ites, de () et du + théorème d encadrement, on déduit que f() tend vers ln() quand tend vers +. (d) Soit ],[. Alors < < ( = ( ) < ) et donc la fonction ln est strictement négative sur [,]. On a : tln(t) = ln (t) ln(t) = [ln( ln(t))] = ln( ln()) ln( ln( )) = ln(). ( ) L égalité ( ) découle de : ln( ln( )) = ln( ln()) = ln( ( ln())) = ln()+ln( ln()). 6

Soit t [,]. On a < t < et donc t > et ln(t) <. On en déduit que multipliant chacun des membres de t par <, on a donc : tln(t) <. En tln(t) tln(t) t tln(t) tln(t). () En intégrant l inégalité (), valable pour tout t [,] entre et ( < ), on obtient : Par suite (cf. tln(t) } {{} t ln(t) = ln()), on a : tln(t) t tln(t) } {{} t tln(t) f() ln() f() ln(). En multipliant cette dernière inégalité par <, on trouve : tln(t). } {{} tln(t) ln() f() ln(). () On a ln() = ln() et ln() = ln(). De ces calculs de ites, de () et du théorème d encadrement, on déduit que f() tend vers ln() quand tend vers. (e) i. On sait déjà que la fonction f est continue sur R + \{}. D autre part, d après 3.(c).ii et 3.(d), on a : f() = +f() = ln(). La fonction f est donc prolongeable par continuité en en posant : f() = ln(). La fonction f ainsi prolongée est toujours notée f dans la suite. ii. D après.(a).ii et.(b).i, on a : ],[ ],+ [ f () = ln(). Soit ],[ ],+ [. Alors ln() = ln() ln() est le tau d accroissement de ln entre et. La fonction ln étant dérivable en avec ln () =, on a donc : ln() =. On en déduit (opérations sur les ites) que =. Par suite : ln() f () =. D après le cours, la fonction f est donc dérivable en et on a f () =. (f) i. Le tableau de variations n est pas donné dans la correction, mais il n est pas difficile à dresser. Les informations suivantes doivent y figurer. f() = f() = ln() f est strictement croissante sur [, + [ (car strictement croissante sur ], [, strictement croissante sur ],+ [ et prolongeable par continuité en et en ). f() = +. + 7

Quant à la nature géométrique des points étudiés, compte tenu de l avancée du cours, on attendait les remarques suivantes. Au point d abscisse, la courbe C f admet une demi-tangente horizontale à droite. Au point d abscisse, la courbe C f admet pour tangente la droite d équation y = +ln(). Prochainement, nous aurons des outils pour préciser la nature des points d abscisses et de la courbe C f. ii. La représentation graphique est laissée en eercice. Pour tracer la courbe C f, on veillera bien à d abord tracer la demi-tangente au point d abscisse et la tangente au point d abscisse. Problème : Études de fonctions, étude d une suite définie par récurrence et calculs d aires.. Études de fonctions (a) On considère la fonction f définie sur R par f() = ( +)e pour tout R. i. Étudier les ites en et en + de f. ii. Justifier que f est dérivable sur R, puis montrer que pour tout R, f () = ( ) e. Dresser le tableau de variations de f. iii. Calculer f () et f () et donner une interprétation géométrique de ces deu nombres. iv. On donne les encadrements [ ] suivants,75 [ < f( ] ) <,76 et,73 < f() <,7. Montrer que pour tout,, f() appartient à,. [ ] v. Montrer que pour tout,, f (). (b) On considère la fonction h définie sur R par h() = f() pour tout R. i. Montrer que h est strictement décroissante sur R. ii. Établir que l équation f() = possède une unique solution sur R, notée α. iii. Montrer que α [ ],. iv. Un repère R orthonormé du plan étant fié, on note C f la courbe représentative de f dans R. Étudier la position relative de C f et de la droite d équation y =. (c) Représenter l allure de la courbe C f et la droite d équation y = sur le même graphique, en utilisant les propriétés géométriques obtenues à la question.(a).iii. On prendra comme unité 5 cm et on placera approimativement, mais de façon cohérente avec les résultats précédents, le nombre α sur l ae des abscisses.. Étude d une suite définie par récurrence Soit (u n ) n N la suite définie par u = et la relation valable pour tout n N, u n+ = f(u n ). (a) Montrer grâce à la question.(a).iv que pour tout n N, u n [ ],. 8

(b) Déduire de la question.(a).v que pour tout n N, u n+ α u n α. (c) En déduire que pour tout n N, u n α ( ) n u α. (d) Conclure quant au comportement asymptotique de la suite (u n ) n N. (e) Construire les abscisses u, u et u sur le graphique de la question.(c). 3. Calculs d aires (a) À l aide de deu intégrations par parties, déterminer une primitive de la fonction f sur R. (b) Que vaut l aire du domaine du plan déité par la courbe C f, l ae des abscisses, l ae des ordonnées et la droite d équation =? (c) Montrer que l intégrale généralisée géométriquement le résultat. + f(t) est convergente, déterminer sa valeur et interpréter Correction. (a) i. Étude de la ite en Comme = + et X + ex = +, on a : De plus on a : e = + (composition de ites). (3) De (3) et (), on déduit alors que : Étude de la ite en + ( +) = +. () ( +)e = +. f() Pour tout R, on a f() = ( + )e = + (croissances comparées) et =, on a : + e + e e + }{{ e =. } f() = e + e. Comme + e = ii. Lafonction +estdérivablesur R(fonction polynôme) et lafonction e est dérivable et ne s annule pas sur R. On en déduit (opérations sur les fonctions dérivables) que la fonction est dérivable sur R. f: ( +)e = + e Soit R. On a : f () = e +( +) ( e ) = e ( ( +)) = e ( + ( ) ) = ( ) e. On déduit du calcul précédent que f () < si R\{}. La fonction f est donc strictement décroissante sur R. 9

iii. Comme pour tout R, f () = ( ) e, on a : f () = et f () =. Ces calculs ont l interprétation géométrique suivante. Si C f désigne la courbe représentative de f dans un repère du plan, alors le coefficient directeur de la tangente à C f au point d abscisse est et lecoefficient directeurde latangenteàc f aupoint d abscisseest (tangente horizontale). iv. Soit [ ],. Alors. = f() f() f ( ) (f étant (strictement) décroissante sur R) ( ) =,73 < f() f() f <, 76 (cf. encadrements donnés dans l énoncé). [ ] Comme f() est compris entre,73 et,76 on a f(),. [ ] v. Soit,. On sait que f () = ( ) e. Par suite, on a f () = ( ) e. = (soustraction de à chacun des membres) = ( ) ( ) (fonction carrée (strictement) décroissante sur ],]) On a donc : D autre part : ( ). (5) = (multiplication par < de chacun des membres) = e e e (ep (strictement) croissante sur R) Comme e = e et e >, on en déduit : e. (6) En multipliant les inégalités (5) et (6) mettant en jeu uniquement des nombres positifs ou nuls membre à membre, il vient : ( ) e. f () (b) i. Comme les fonctions f et sont dérivables sur R, la fonction h est dérivable sur R comme somme de deu fonctions dérivables sur R. De plus, pour tout R, on a : h () = f () = ( ) e <. < La fonction h est donc strictement décroissante sur R. ii. L équation f() = est équivalente à f() =. Il s agit donc de montrer que l équation h() h() = possède une unique solution sur R.

D après.(a).i, on a f() = + et f() =. On a donc : + = + et =. + (7) h() h() La fonction h est continue (puisque dérivable) et strictement décroissante ] sur R. D après [ le théorème de la bijection h réalise une bijection de R sur f(r) = h(), h() = R + (cf. (7) pour la dernière égalité). On en déduit que l équation h() = possède une unique solution dans R. On la note α. iii. On a f ( ) >,75 (cf. encadrement donné en.(a).iv) et donc : ( ) f h( ) >,5 >. On a également f() <,7 (cf. encadrement donné en.(a).iv) et donc : f() <,6 <. h() [ ] La fonction h est continue sur, et h() > et h() <. D après le théorème des valeurs [ ] intermédiaires, l équation h() = admet donc au moins une solution appartenant à,. La fonction h étant [ strictement ] décroissante [ ] sur R, il eiste en fait une unique solution à l équation h() = sur,. Soit β, la solution de h() =. Comme β est solution de l équation [ ] h() =, on a α = β d après l unicité prouvée en.(b).ii. n a donc α,. iv. Pour étudier la position relative de C f et de la droite d équation y =, on étudie le signe de f(). Comme h est strictement décroissante sur R et s annule uniquement en = α, on a le h() tableau de signe suivant. α + Signe de h() = f() + On en déduit : la courbe C f est au-dessus de la droite d équation y = sur ],α[; la courbe C f est en-dessous de la droite d équation y = sur ]α,+ [; la courbe C f et la droite d équation y = se coupent au point d abscisse α. (c) Représentation graphique de C f

. y =.. C f.8.6... α...6.8....6.8... [ ]. (a) On montre par récurrence que pour tout n N, u n,. P n Initialisation La proposition P est vraie car u = Hérédité [ ],. On suppose P n vraie pour un entier n fié, i.e. : u n [ ] u n+,. [ ] Comme u n,, on a f(u n ) [ ],. [ ],. Montrons que P n+ est vraie i.e. : [ ],, d après.(a).iv. Comme u n+ = f(u n ), on a u n+ Conclusion D après l initialisation au rang, l hérédité et l aiome de récurrence, on a u n n N. [ ], pour tout (b) Soit n N. La fonction f est dérivable (et donc continue) sur R. On peut donc appliquer le théorème des accroissements finis entre u n et α. Il eiste c strictement compris entre u n et α tel que : f(u n ) f(α) u n+ α = f (c) (u n α). En prenant la valeur absolue de chaque côté, on a donc : u n+ α = f (c) (u n α) = f (c) u n α. (8)

[ On remarque que comme α, [ ] a c, inégalité par u n α, il vient : ] (cf..(b).iii), u n [ ], (cf..(a)) et c est entre u n et α, on. D après.(a).v, on a donc f (c). En multipliant chacun des membres de cette De (8) et (9), on déduit que : (c) Montrons par récurrence que pour tout n N : Initialisation f (c) u n α u n α. (9) u n+ α u n α. () P n : u n α ( ) n u α. La proposition P s écrit : Elle est donc vraie. ( ) u α u α. Hérédité On suppose que P n est vraie pour un entier n fié, i.e. que : ( ) n u n α u α. () Montrons P n+, i.e. : D après.(b), on a : u n+ α ( ) n+ u α. u n+ α u n α. () En multipliant chacun des membres de () par, on a : De () et (3), on déduit alors : ) n u n α ( u α. (3) ( ) n+ u n+ α u n α ( ) n+ u α et donc P n+ : Conclusion u n+ α ( ) n+ u α. De l initialisation de la propriétép n au rang, de l héréditéet de l aiome de récurrence,on déduit que : ( ) n n N u n α u α. 3

(d) Soit n N. De.(c), on déduit que : ( ) n u α u n α ( ) n u α. () En effet si X R et si A R +, X A A X A. En ajoutant α à chacun des membres de (), il vient : ( ) n ( ) n α u α u n α+ u α. (5) D après le cours et < on obtient alors : α n + <, on a : n + ( ) n u α = α et α+ n + ( ) n =. En utilisant les opérations sur les ites, ( ) n u α = α. De ces calculs de ites, de (5) et du théorème d encadrement, on déduit que la suite (u n ) n N converge et que n + u n = α. (e) La construction des abscisses u, u et u est laissée en eercice. 3. Calculs d aires (a) La fonction f étant continue sur R, on sait d après le cours que la fonction F définie par : F: R R, f(t) = (t +)e t est une primitive de f sur R. Plus précisément, c est la primitive de f qui s annule en. Soit R. F() = = I.P.P. (t +) u(t) e t v (t) [(t +) ( e t )] u(t) v(t) t u (t) ( e t ) v(t) Il reste à calculer te t. = ( +)e ++ te t = t u(t) e t v (t) te t. = I.P.P. [ t u(t) ( e t )] v(t) ( e t ) u (t) v(t) = e + e t. = e +[ e t ] = e e + On rassemble les résultats obtenus dans ces deu calculs pour obtenir : F() = ( +)e ++( e e +) = ( ++3)e +3.

(b) D après le cours, comme la fonction f est positive sur R, l aire du domaine du plan déité par la courbe C f, l ae des abscisses, l ae des ordonnées et la droite d équation = est égale à : f(t) = F() F() = F() = 3 6 e. (c) Soit R. D après les calculs effectués en 3.(a), on a : On a f(t) = ( ++3)e +3 = e e 3 +3. (6) e + e = + e = (croissances comparées) (croissances comparées) + e =. De ces calculs de ites et de (6), on déduit que L intégrale généralisée + f(t) est donc convergente et l on a : f(t) tend vers 3 quand tend vers +. + f(t) = 3. Cette valeur est l aire du domaine du plan déité par la courbe C f, l ae des abscisses et l ae des ordonnées. 5