Exercices : Les éléments de géométrie Montrer la construction avec cabri géomètre 1. Construire un triangle ABC et son centre de gravité G sachant que AC = 8 cm, I milieu de [AC] et IG = 3 cm 2. Sur la feuille était dessiné un triangle DEF et ses médianes. Une partie du dessin a été effacée, il ne reste que les sommets E et F ainsi que le centre de gravité G. E x G F Reproduire la partie ci-dessus et compléter le dessin. Expliquer les étapes de la construction permettant d obtenir D 3. Reproduire le segment [AB] et le point H Construire le triangle ABC dont le point H est l orthocentre A x H B 4. Reproduire le segment [BC] et le point M Construire le triangle ABC dont le point M est le point de concours des bissectrices B x M C 5. Reproduire les deux droites sécantes. Construire un triangle tel que les droites soient deux médiatrices du triangle. 6. Exécuter le programme de construction suivant : - tracer un segment [BC] de longueur 12 cm
- tracer à la règle et au compas le milieu I de [BC] - tracer le cercle de centre I et de rayon 2 cm - placer un point M sur le cercle non situé sur la droite (BC) - construire le point A tel que le point M soit le centre de gravité du triangle ABC 7. ABCD est un quadrilatère quelconque. M, N, P et Q sont les milieux respectifs de ses côtés. Le quadrilatère MNPQ peut-il être un losange? un rectangle? un carré? Si oui, quelle(s) particularité(s) doit avoir le quadrilatère ABCD? 8. Construire deux droites sécantes (d1) et (d2) puis construire un cercle tangent à (d1) dont le centre est situé sur (d2) 9. Dans un magazine, on peut lire le problème de construction suivante : «Soient deux points M et N et un segment [AB] Utiliser une simple règle non graduée et un compas pour construire deux droites parallèles situées à la distance AB l une de l autre et passant par M et l autre par N» Voici la construction, solution du problème, donner le programme de construction
Correction : Les éléments de géométrie 1. 2. I On reporte 2fois la distance IG pour obtenir B et D 3. On trace la perpendiculaire à [AB] passant par H On trace une perpendiculaire à [BH] passant par A Les deux droites ainsi tracer se coupent en un nouveau point qui est C 4. On reporte la mesure de l angle BAM de l autre côté de (AM) et on fait de même avec la mesure de l angle MBA que l on reporte de l autre côté de [BM] Les deux droites ainsi tracées passant par A et B se coupent en un point qui est le point C cherché.
5. On trace le cercle de centre, le point d intersection des deux droites. On trace une corde [BC] perpendiculaire à une des deux droites. On trace une corde [AC] perpendiculaire à l autre droite. 6. 7. Démontrons que MNPQ est un parallélogramme. D après le théorème des milieux (particularité de Thalès), dans le triangle ABC la droite (MN) joint les milieux de 2 côtés du triangle donc elle est parallèle au troisième côté et MN = ½ AC. Le quadrilatère a deux côtés opposés et de même longueur, c est un parallélogramme. Pour que MNPQ soit un losange? MNPQ est un parallélogramme, pour qu il soit un losange il faut que deux côtés consécutifs soient de même longueur. Par exemple MN et NP. Or MN = ½ AC et NP = ½ BD Pour que MN = NP il faut donc que AC = BD. Les diagonales de ABCD doivent avoir la même longueur. Pour que MNPQ soit un rectangle? MNPQ est un parallélogramme, pour qu il soit un rectangle il faut que deux côtés consécutifs soient perpendiculaires. Par exemple (MN) et (NP) Pour que (MN) et (NP) soient perpendiculaires, comme ils sont respectivement parallèles à (AC) et (BD), il faut que (AC) et (BD) soient perpendiculaires. Les diagonales de ABCD doivent être perpendiculaires Pour que MNPQ soit un carré?
Il faut les deux conditions définies précédemment : (AC) et (BD) doivent être perpendiculaires et de même longueur. 8. On prend un point O sur (d2) On trace la perpendiculaire à (d1) passant par O 9. - tracer le segment [MN] - tracer le cercle de centre O milieu de [MN] et de diamètre [MN] - reporter le point P sur le cercle tel que NP = AB - tracer [NP] et [MP] - joindre les points J et N, (JN) est parallèle à (MP)