Fiche de cours : Configurations du plan. Les triangles. Médianes et centre de gravité : Soit un triangle ABC, on appelle médiane issue de A la droite qui passe par A et coupe le côté [BC] en son milieu. Les médianes d un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle, noté G. Hauteurs et orthocentre: Soit un triangle ABC, on appelle hauteur issue de A la droite qui passe par A et coupe le côté [BC] perpendiculairement. Les hauteurs d un triangle sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle, noté H. Bissectrices et cercle inscrit: Soit un triangle ABC, on appelle bissectrice issue de A la droite qui passe par A et partage l angle en deux angles égaux. Les bissectrices d un triangle sont concourantes en un point I équidistant de chacun des côtés du triangle. Ce point est le centre du cercle inscrit du triangle, qui est tangent aux côtés. Page 1 sur 6
Médiatrices et cercle circonscrit : La médiatrice d'un segment est la droite qui coupe ce segment perpendiculairement en son milieu. Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point O équidistant de chacun des sommets du triangle. Ce point est le centre du cercle circonscrit du triangle, qui passe par les 3 côtés. Triangle rectangle : Propriété Dans un triangle rectangle en A la médiane issue de l angle droit mesure la moitié de l hypoténuse. I équidistant des 3 sommets. Propriété Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse. La réciproque est vraie. Autrement dit : Soit point M du cercle de diamètre [AB], alors AMB est rectangle en M. Théorème de Pythagore : (schéma) Si ABC est un triangle rectangle en A alors BC ² = AB² + AC² Réciproque : Si BC ² = AB² + AC² alors ABC est un triangle rectangle en A. Page 2 sur 6
Triangle isocèle : Propriété Dans un triangle isocèle en A, la médiane issue de A est aussi hauteur et bissectrice de A, médiatrice de [BC] et axe de symétrie du triangle. Triangle équilatéral : Propriété : Dans un triangle équilatéral, le centre de gravité, l orthocentre, le centre du cercle circonscrit et le centre du cercle inscrit sont confondus. Chaque hauteur est un axe de symétrie. Triangles semblables : Définition : Deux triangles sont semblables ssi leurs angles sont deux à deux de même mesure ou ssi leurs côtés sont proportionnels. Théorème de Thalès. Théorème : Soit un triangle ABC, et les points M et N respectivement sur (AB) et (AC). Si (MN) est parallèle à (BC) alors : AM AB AN MN = =. AC BC Les côtés des triangles AMN et ABC sont proportionnels. Page 3 sur 6
Droite des milieux. Théorème des milieux : La droite qui passe par les milieux de deux côtés d un triangle est parallèle au troisième côté. Réciproque : La droite qui passe par le milieu d un côté d un triangle parallèlement à un second côté coupe le troisième côté en son milieu. Propriété métrique : Dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié de celle du 3 e côté. Quadrilatères remarquables. Prouver qu un quadrilatère est un Parallélogramme. Non croisé, deux côté parallèles et de même longueur. Côtés opposés parallèles. Diagonales qui se coupent en leur milieu. Le point d intersection des diagonales est un centre de symétrie. Rectangle. Trois angles droits. Parallélogramme avec un angle droit. Parallélogramme dont les diagonales ont même longueur. Le point d intersection des diagonales est un centre de symétrie. Les médiatrices des côtés sont axes de symétrie. Losange. Quatre côtés de même longueur. Parallélogramme avec deux côtés consécutifs de même longueur. Parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires. Le point d intersection des diagonales est un centre de symétrie. Les diagonales sont axes de symétrie. Page 4 sur 6
Carré. Rectangle et losange à la fois. Quatre côtés de même longueur et un angle droit. Parallélogramme qui a deux côtés consécutifs perpendiculaires et de même longueur. Parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires et de même longueur. Le cercle. Définition : Soit r un réel strictement positif. Le point M appartient au cercle de centre O et de rayon r ssi OM = r. Propriété : Soit une droite D coupant un cercle C de centre O en un point A. Si D est tangente au cercle C alors D est perpendiculaire au rayon [OA] et le point A (appelé point de contact ou point de tangence) est l unique point d intersection de la droite avec le cercle. Réciproquement si D est perpendiculaire à [OA] alors D est tangente au cercle C. Symétries. Symétrie axiale. Définition : Deux points A et B sont symétriques par rapport à une droite D quand D est la médiatrice du segment [AB]. Si A appartient à la droite D il est son propre symétrique. Symétrie centrale. Définition : Deux points A et B sont symétriques par rapport à un point O quand O est le milieu du segment [AB]. O est son propre symétrique. Page 5 sur 6
Propriété. Propriété : Les symétries conservent les milieux, les longueurs (distances), les mesures d angle, le parallélisme des droites, l'alignement des points, les aires des figures. Page 6 sur 6