1 Fonction trinôme 1.1 Définition Question : Un éleveur souhaite réaliser un enclos pour sa volaille. Il dispose d un grillage de 1 m qu il va placer sous forme de rectangle, en s appuyant contre un mur voir figure) Comment placer le grillage pour obtenir une surface d enclos maimale? Voir également activité avec le chat Définition : n appelle fonction trinôme, ou polynôme du second degré, toute fonction f : a b c, autrement dit telle que f) = a b c, avec a, b, c des nombres réels, a 0. Eemple : Les fonctions 3 4 1, 3, 4, 3 1), 1) 1 et 3 1 sont des fonctions trinômes. En revanche 4 n en est pas une pas de terme en ) et 4 5 non plus au dénominateur!) 1. Représentation graphique et tableau de variation Représentons la courbe C f représentant la fonction trinôme f : a b c dans un repère orthogonal. Cas où a < 0 : parabole concave y S S Cas où a > 0 : parabole convee C f J C f J y S S S I S I S S f) y S f) y S Page 1/8
Dans tous les cas : La courbe C f est une parabole. C f admet un ae de symétrie verticale. coupe C f en S S ; y S ) appelé le sommet de C f. y S est l etremum de f) maimum ou minimum) et S est la valeur de pour laquelle f) atteint cet etremum. Question : Pour chaque courbe représentée sur le graphique, identifiée la fonction trinôme qui lui correspond. 1.. 3. 0, 5 1 4. 5. Remarque : n peut toujours mettre f) sous une sa canonique : f) = a S ) y S Eemple : Prenons la fonction f : 3. n décide de déterminer l etremum de f). Voici une méthode : Avant de tracer la courbe C f, complétons un tableau de valeurs : J I 1 0 1 3 4 f), 5 0 1, 5 1, 5 0, 5 S Page /8
D après la courbe, il semble que S1; ) soit le sommet de la parabole, mais il faut le prouver. Pour cela, on va vérifier que l on peut écrire que f) = 1 1). Autre méthode : n aurait pu chercher les solutions de l équation f) = f0). f0) = 3 Donc : 1 1) = 1) 4 = 1 4 = 3 = f) Comme on a la forme canonique de f) on en déduit immédiatement que f) atteint son minimum en = 1 et que ce minimum est. f) = f0) 3 = 3 = 0 ) 1) = 0 = 0 U 1 = 0 = 0 U = En utilisant la symétrie, on sait que le minimum est atteint à mi-chemin entre = 0 et = donc en = 1. Remarque : n peut d ors et déjà remarquer que si f) = a bc, l etremum de f) sera atteint pour = b a. Pour s en convaincre, il suffit de résoudre f) = f0) qui admet toujours pour solutions l ensemble S = { 0; a} b et d utiliser la symétrie de la parabole. Question : Eercices du livre Hachette) 4 et 5 p 4 Étude de la courbe) Équation du second degré.1 Présentation Les méthodes évoquées précédemment permettent facilement, dans tous les cas, de trouver l etremum de f) = a b c. Elles permettraient également, en passant par la forme canonique, de résoudre l équation f) = 0. Eemple : Dans le cas précédent, on a vu que : f) = 3 = 1 1) Page 3/8
Résoudre f) = 0 revient donc à : f) = 0 1 1) = 0 1 1) = 1) = 4 1 = 4 = U 1 = 4 = = 1 U = 3 Ce qui confirme bien ce qu on pouvait lire sur le graphique. Cette méthode peut sembler longue et technique. n va donc donner une méthode générale plus rapide. Eercices du livre Hachette) 6 p 4 Résolution dans des cas remar- Question : quables). Discriminant Définition : Soit a b c un trinôme. n appelle discriminant du trinôme la quantité = b 4ac Eemples : Le discriminant de 3 6 est = 6 4 3 = 1. Le discriminant de 5 est = ) 4 1 5 = 15. Le discriminant de 1 est = ) 4 1 1 = 0. Question : Eercice du livre Hachette) 7 p 4 Calculer ).3 Résolution de l équation du second degré Théorème : Soit a b c = 0 une équation du second degré, avec a, b, c trois nombres réels et a 0. n pose = b 4ac le discriminant du trinôme. n aura : Si < 0, l équation n admet aucune solution réelle. Si = 0, l équation admet une seule solution : 0 = b a. Si > 0, l équation admet deu solutions : 1 = b a et = b. a Eemples : Reprenons l équation 3 = 0 3 = 0. n a alors = ) 4 1 3) = 16 > 0. Il y a donc deu solutions : 1 = ) 16 1 n retrouve sans peine les solutions déjà trouvées. = 1 et = ) 16 1 = 3 Page 4/8
Soit 5 = 0. n a = ) 4 1 5 = 15 < 0. Cette équation n admet aucune solution réelle. Soit 1 18 = 0. n a = 1) 4 18 = 0. Cette équation admet une seule solution : 0 = 1 = 3. Question : Eercices du livre Hachette) : 8 à 16 p5 : Résoudre des équations a b c = 0 19, 0 p5 : Résoudre des équations a bc = k a b c 1, p5 : Résoudre a un degré plus élevé après factorisation d une racine simple 3, 4 p6 : Résoudre après changement de variable type X = 5, 6 p6 : Résoudre un système se ramenant à un second degré Démonstration : Soit la fonction trinôme f a b c = 0. n va la mettre sous forme canonique : f) = a m) n. Pour cela on va développer la forme canonique et on identifier les termes : f) = a m) n = a am am n = a b c Le terme en donne seulement a = a, rien d utile... Le terme en donne am = b m = b. a Le terme sans donne am n = c n = am c, en remplaçant m par b, on a obtient : n = a b ) c = a b a 4a c = b 4a 4ac 4a = 4a n arrive donc à la conclusion que dans tous les cas : f) = a b c = a b ) a 4a Considérons maintenant l équation du second degré f) = 0 : a b c = 0 a b ) a 4a = 0 a b ) = a 4a b ) = a 4a Dès lors, trois cas peuvent se produire : Si < 0, alors < 0 et donc b 4a a) < 0, ce qui n est vrai pour aucune valeur de R. L équation n a donc aucune solution réelle. Si = 0, alors = 0 et donc : 4a b ) = 0 b a a = 0 = b a L équation admet alors une seule solution 0 = b a. Page 5/8
Si > 0, alors : b ) = a 4a b a = = b a 4a U b a = 4a a U = b a a n a alors deu solutions..4 Interprétation graphique sur le graphique ci-contre, on a représenter les courbes de trois fonctions trinômes on a représenté des paraboles convees, donc telles que a > 0) C 1 correspond à un trinôme qui ne s annule jamais. Son signe est constant. L équation f) = 0 n a aucune solution, c est donc le cas < 0. C correspond à un trinôme qui s annule pour une seule valeur : 0. L équation f) = 0 a une solution, c est donc le cas = 0. C 3 correspond à un trinôme qui s annule pour deu valeurs de. L équation f) = 0 a deu solutions 1 et, c est donc le cas > 0. J I 1 C 1 0 C C 3 Question : Eercices du livre Hachette) : 45 p7 : Une courbe donnée, trouver l epression correspondante 46, 47 p7 : Pour différentes courbes, déduire le signe de, de a... 48,49 p8 : Associer des courbes et des epressions 3 Signe du trinôme et factorisation Théorème : Soit f : a b c une fonction trinôme et < 0 son discriminant. Si < 0 alors f) est toujours du signe de a et ne s annule pas. Si = 0 alors f) = a 0 ). f) est du signe de a et s annule en 0. Si > 0 alors f) = a 1 ) ). f) : s annule en 1 et est du signe de a à l etérieur des racines est du signe opposé à a entre les racines. Page 6/8
Question : Eercices du livre Hachette) 7 à 9 p6 : Factorisation 33 à 35 p6 : Résoudre des inéquations 37 à 40 p6-7 : Résoudre des inéquations se ramenant à un second degré 43, 44 p7 : Résoudre des inéquations de plus haut degré après factorisation d une racine simple Nous avons déjà eu un aperçu de ce résultat à l aide des représentations graphiques. n va détailler la démonstration dans les différents cas. 3.1 Cas < 0 Eemple : f :. n a = 4 1 = 4 < 0. Comme a > 0, on peut donc affirmer que pour tout, f) > 0. f) Démonstration : n se place dans le cas < 0. n sait déjà que f) = a ) [ b a = a 4a b a ) ] 4a La quantité entres crochets est strictement positive, quelque soit la valeur de. Le signe du produit est donc le signe de a. 3. Cas = 0 Eemple : f : 4 1 9. n a = 1 4 4) 9) = 0. f) s annule donc en 0 = 1 = 3 4) et est négatif sinon. n peut dire aussi que f) = 4. ) 3 f) 3 0 Démonstration : n se place dans le cas = 0. Montrons d abord que f) = a 0 ), avec 0 = b a. ) a 0 ) = a b a ) = a ba b 4a = a b b 4a r, comme = 0, alors b 4ac = 0 b = 4ac b 4a que : = c ce qui permet de conclure Page 7/8
a 0 ) = a b c = f) n sait que 0 ) est positif ou nul en 0, donc f) est nul en 0 ou du signe de a. 3.3 Cas < 0 Eemple : f : 3 7. n a = 3) 4 1 7) = 37 > 0. f) s annule donc en 1 = 3 37 et en = 3 37. Comme a > 0, on en déduit le tableau de signe ci-contre. f) 1 0 0 Démonstration : n se place dans le cas > 0. Montrons d abord que f) = a 1 ) ), avec 1 = b a a 1 ) ) = a [ ] 1 ) 1 et 1 = b a. r 1 = b et a 1 = b δ = 4ac = c. En remplaçant dans l epression précédente, 4a 4a a on trouve bien a [ 1 ) 1 ] = a b c = f). n va maintenant utiliser un tableau de signe supposons que 1 < ) 1 ) ) 1 ) ) 1 0 0 0 0 En multipliant par a, on aura le même signe que a hors des racines, et le signe opposé entre les racines. Page 8/8