Correction Devoir Surveillé n 3 Exercice On donne ci-contre, dans un repère orthogonal du plan, les paraboles C f et C g représentant deux fonctions trinômes du second degré f : x a ax + bx + c et g : x a a x + b x + c définies sur. Pour chaque question, indiquer la réponse exacte. Questions A B C Réponse Commentaires Le coefficient a est : strictement négatif Strictement positif nul B La parabole est convexe, «orientée vers le haut» Le discriminant de g est : strictement négatif Strictement positif nul B Les discriminants de f et g sont : L ensemble des solutions de l équation g(x) = 3 est : L équation f(x) = g(x) L ensemble des solutions de l inéquation g(x) < f(x) est : Le polynôme g a De même signe De signes contraires égaux S = {-3} S = {0} A N a pas de solution A une solution unique A deux solutions exactement ]3 ; [ [3 ; ] ]- ; 3[ ] ;+ [ C Une racine double Deux racines de même signe Deux racines de signes contraires Si α = g(0) alors α=3 ou α= α=3,5 α=- C L équation g(x-3)=f(x) L équation g(x+a)+b=f(x) a une seule solution lorsque : N a pas de solution A pour solutions et 7 A pour solutions et a= et b= a=- et b=- a=- et b= B A C B B Cg coupe deux fois l axe des abscisses donc solutions pour f(x)=0 Cf coupe deux fois (Ox) donc deux racines et f>0. a priori f g On trace y=3 et on lit les abscisses des points d intersection avec Cg On regarde le nombre de points d intersection entre Cf et Cg On relève les abscisses des points de Cf au dessus de Cg. Les racines de g sont les solutions de g(x)=0, abscisses des points d intersection de Cg avec (Ox) On cherche l image de 0, ordonnée du point d intersection de Cg avec (Oy) La courbe de x g(x-3) se déduite de celle de g par translation de vecteur +3i seul point d intersection lorsque les sommets se «touchent». Attention au déplacement horizontal (chgt de signe!)
Exercice ) R.O.C. : Démontrer que si l équation du second degré ax + bx + c = 0 a deux racines distinctes, la b c somme S et le produit P de ces racines sont donnés par S = et P =. a a Supposons que l équation du second degré ax + bx + c = 0 admette deux racines distinctes. Alors, le discriminant de l équation, est strictement positif, et les solutions sont données par : b b + x = et x =. a a Calculons S = x + x : b b + b b S = x + x = + = = a a a a Calculons P = x x : ( b ) ( b + ) ( b) ( ) b b + b P = x x = = = = a a a a a Or = b ac, il vient : b b ac b b + ac ac c a a a a P = = = =. ) On donne le trinôme du second degré f défini sur par : a) Montrer que f admet f ( 3 ) = + + 3 pour racine. 3 = + 3 = = 0 8 + 3 = 9 + 3 = 3 + 3 Donc est racine de f. b) Trouver l autre racine (en valeur exacte). On sait que le produit des racines, notées x et x, vaut 3 P =. Comme x =, on obtient : x 3 3 3 3 3 = x = = = = = 3 3 Ainsi les deux racines de f sont x = et x = 3. Reprendre les définitions : Si <0, pas de solution, Si =0, solution Si >0, solutions Prendre alors les formules donnant les solutions. En calculer la somme et le produit. Penser à l identité remarquable (a-b)(a+b)=a²-b² f x = x + 3 x + 3. c P =, c'est-à-dire : a 3 a est racine de f si f(a) = 0 racine signifie solution de f(x)=0. Utiliser le ROC. Le produit des racines vaut c/a.
3) Déterminer les dimensions d un terrain rectangulaire de périmètre 50 m et d aire est de m². Posons x la largeur de terrain et y la longueur. On sait : Périmètre du terrain : x + y Aire du terrain : xy On obtient le système suivant : x + y = 50 x + y = 5 xy = xy = Résoudre ce système est équivalent à la résolution de l équation : X 5X + = 0 Le discriminant de cette équation est = ( 5) = 5 5 = 9 L équation admet donc deux solutions données par : 5 9 5 3 5 + 9 5 + 3 38 X = = = = et X = = = = 9 On en conclut que la largeur du terrain est m et sa longueur est 9 m. Attention pour passer à une équation du second degré, il faut la SOMME : x + y et pas le double! x²-sx+p=0 a pour solution x et x, avec S= x+x et P=xx Exercice 3 Soit les fonctions f et g définies sur par : f ( x ) = x x 3 et g ( x ) = x x + 3.. Montrer que la courbe Cf représentative de f est l image de la parabole P d équation y = par une translation dont on indiquera le vecteur. x Donnons la forme canonique de f : pour tout réel x f x = x x 3 = x 3 = x Cf est l image de P par la translation horizontale de vecteur + r i puis la r translation verticale de vecteur j. On commence par trouver la forme canonique de f, ce qui permet ensuite de trouver les transformations à faire pour obtenir la courbe de f à partir de celle de la fonction carrée.. Montrer que la courbe Γ représentative de g est l image de la parabole P' d équation par une translation dont on indiquera le vecteur. y = x Donnons la forme canonique de g : pour tout réel x g ( x ) = x x + 3 = ( x + x ) = ( ( x + ) ) = ( x + ) + 5 r Γ est l image de P par la translation horizontale de vecteur i puis la translation verticale de vecteur 5 r j. Courbe de la fonction associée x f(x+k) obtenue de celle de f par translation de vecteur -k i r. x f(x)+k obtenue de celle de f par translation de vecteur k j r. 3. Tracer les courbes Cf et Γ dans un même repère (unité graphique : cm). Voir courbe page suivante.. Déterminer algébriquement les coordonnées des points d intersection de Cf et Γ, puis vérifier les résultats graphiquement. Les points d intersection de Cf et de Γ sont les points dont les abscisses x vérifient : 3 f ( x ) = g ( x ) x x 3 = x x + 3 x = x = x = ou x = Les abscisses des points d intersection des deux courbes sont et -. Leurs ordonnées sont respectivement 3 3 f = 3 = 5. f = = et On doit vérifier l équation de Cf et l équation de Γ. Attention à la question, on veut les COORDONNÉES, x et y. 3
5. Déterminer algébriquement le signe de la différence f (x) g(x). Donner une interprétation graphique de ce signe. Pour tout réel x : 3 3 3 f x g x x x x x x x x x x x + : = 3 + 3 = = ( ) = ( ) ( + ) f ( x ) g ( x ) est du signe de Calculer la différence. Mettre sous forme d un produit puis faire un tableau de signes. x - - + x - - - + x + - + + f ( x ) g ( x ) + - + Le signe de cette différence détermine la position relative des courbes de f et g : x ;, la courbe de f est en dessous de celle de g. Pour tout [ ] Pour tout x ] ; ] [ ; + [, la courbe de f est au dessus de celle de g. Cette différence représente l écart vertical entre les deux courbes (voir graphique)
Exercice P x = x x 5x + x +. Considérons le polynôme P défini sur par : 3 ) Prouver que est une racine évidente de P. 3 P () = 5 + + = 8 0 + 8 + = 0 Donc est une racine de P. ) Calculer P ( ). Que peut-on en déduire? a est une racine de P s il est solution de P(x)=0, c est à dire si P(a)=0. 3 P( ) = 5 + + = + 8 0 8 + = 0 Donc - est une racine de P. 3) Trouver des réels a, b et c tels que pour tout réel x, P ( x ) ( x ) ( ax bx c ) = + +. Pour tout réel x : 3 x ax + bx + c = ax + bx + cx ax bx c Alors : = ( ) ( + + ) P x x ax bx c = + + 3 ax bx c a x bx c + + = + + 3 3 x x 5x x ax bx c a x bx c = a = b a = 5 = c a b = = b c = = c D où : P ( x ) ( x ) ( x x ) = pour tout réel x. ) Résoudre l équation P ( x ) = 0. En déduire les antécédents de 0 par P. P x = 0 x x x = 0 x x + x x = 0 x = x = x x = ou ou 0 Résolvons x x = 0. Calculons d abord le discriminant. = = + = 5 Le discriminant est positif, l équation admet deux solutions données par : Méthode par identification : développer la forme factorisée, puis identifier les différents coefficients. Enfin résoudre le système obtenu et trouver les coefficients. On utilise la forme factorisée pour obtenir une équation produit. 5 x = et + 5 x =. D où, les solution de 0 antécédents de 0. P x = sont :, -, 5 et + 5. C est aussi les 5
Exercice 5 Résoudre l équation : x + 7x = 0 On pose X = x². L équation devient : - X ² + 7X = 0 Calculons le discriminant de l équation : = 7² - (-) (-) = 89 = 5 Comme > 0, l équation en X admet deux solutions : 7 5 7 5 3 7 + 5 7 + 5 X = = = = ou X = = = =. On obtient alors : x² = ou x² = Ce qui équivaut à : x = ou x = - ou x = ou x = - Les solutions sont donc, -, et.