NOMBRES COMPLEXES : FORME TRIGONOMÉTRIQUE I. Représentation graphique d'un nomre complexe : ) Affixe d'un point, point image : On se place dans le plan rapporté à un repère orthonormal O ; u, v Au point M de coordonnées (a ; ) on peut associer le nomre complexe z = a + i. On dit que z est l affixe du point M. Réciproquement, au nomre complexes z = a + i on peut associer le point M de coordonnées (a ; ). On dit que M est le point image de z. M(z = a + i) v 0 u a x Lorsqu on repère un point par son affixe dans un repère orthonormal, on dit qu on se place dans le plan complexe. Exemple : On a placé dans le plan complexe les points M i d affixes z i : z = 2 + 3i z 2 = 3 + i z 3 = + 2i z 4 = 2 i z 5 = i z 6 = 2i z 7 = 2 z 8 = i 3 2 ) Affixe d'un vecteur, affixe du milieu : Soient A et B deux points d'affixes respectives z A et. On note A(z A ) et B( ). Le vecteur AB a alors pour affixe z AB = z A. I, milieu de [AB] a pour affixe z A + 2. 3 ) Interprétation géométrique du conjugué et de l'opposé : Géométriquement, si M est le point d affixe z, le point M d affixe z est le smétrique de M par rapport à l axe des ascisses.
M' ( z = a + i) M(z = a + i) a 0 a x M ( z = a i) M'(z = a i) z = z si et seulement si z est un réel et z = z si et seulement si z est un imaginaire pur. II. Le module et les arguments d'un nomre complexe : ) Module d un nomre complexe : Le module du complexe z est le réel positif noté z tel que z = a 2 2. Interprétation géométrique : Si z M est l affixe du point M, z M = OM (distance de O à M). Si z AB est l affixe du vecteur AB, z AB = AB (distance de A à B). Pour tout nomre complexes z, zz = z 2. zz = (a + i)(a i) = a 2 (i) 2 = a 2 + 2 = z 2. Exemple : Calculons le module de chacun des nomres complexes suivants : 3 + 4i = 3 2 4 2 = 5 i = 2 2 = 2 5 2i = 5 2 2 2 = 29 5 = 5 9i = 9 z = z et z = z 2 ) Arguments d un nomre complexe : Soit z = a + i non nul et M le point d affixe z. On appelle argument de z tout nomre réel θ tel que v O u z θ = arg(z) a H M x θ = ( u, OM ) [2p] On note θ = arg (z)
a {cos = θ vérifie : a 2 2 sin = a 2 2 L'unique argument θ compris dans l'intervalle ] π ; π] est appelé l'argument principal de z. Exemple : Soit z = 2 3 2i. Calculons le module et l'argument principal θ de z. z = 2 3 2 2 2 = 2 4 = 4 cos θ = 2 3 4 = 3 2. Donc θ = π 6. Mais attention, on se souvient que sur le cercle trigonométrique il a deux angles qui ont le même cosinus : π 6 et π. Pour savoir duquel des deux il s'agit, il faut regarder le signe 6 de sin θ ou plus simplement le signe de. Ici, sin θ = 2 = < 0 (tout comme = 2 < 0). On en conclue 4 2 que θ = 6. Nous remarquons donc que, si θ ] π ; π], cos θ permet de trouver la valeur asolue de θ et que sin θ ou permettent d'en déterminer le signe. Deux nomres complexes z et z' sont égaux si et seulement si leurs modules sont égaux et leurs arguments sont égaux à 2π près (modulo 2π pour les spécialistes ;) ). z = z' z = z' et arg (z) = arg (z') à 2π près. Quelques cas simples : soit z = a + i non nul affixe du point M : si = 0 alors si a > 0, alors z R + et on a donc arg(z) = 0 si a < 0, alors z R - et on a donc arg(z) = π si a = 0 alors si > 0, M [0 ; v ) et on a donc arg(z) = π 2 si < 0, M [0 ; v ) et on a donc arg(z) = π 2 si a = alors si a et sont positifs, arg (z) = π 4 si a et sont négatifs arg (z) = 3π 4 si a = alors si a > 0, arg (z) = π 4 si a < 0, arg (z) = 3π 4. a = 0 et > 0 : arg (z) = π/2 a = et a < 0 : arg (z) = 3π/4 a = et a > 0 : arg (z) = π/4 a < 0 et = 0 : arg (z) = π a = et a < 0 : arg (z) = 3π/4 0 x a = 0 et < 0 : arg (z) = π/2 a = et a > 0 : arg (z) = π/4 a > 0 et = 0 : arg (z) = 0
Exemples : arg ( + i) = π 4 ; arg (2i) = π 2 ; arg (3) = 0 ; arg( 2 + 2i) = 3π 4. 3 ) Propriétés immédiates : Pour tout nomre complexe non nul : () z = z ; arg( z) = arg(z) + π [2p]. (2) z = z ; arg(z) = arg(z) [2p]. M ' ( z = a + i) M (z = a + i) (3) z est un nomre réel non nul si et seulement si arg (z) = 0 [p]. (4) z est un nomre imaginaire pur non nul si et seulement si arg (z) = p 2 [p]. a θ O θ a x 4 ) Opérations : Pour tous nomres complexes non nuls z et z', et pour tout entier naturel n, () zz' = z. z' arg(zz') = arg(z) + arg(z') [2π] (2) z n = z n arg(z n ) = n arg(z) [2π] arg ( z ) = arg (z) (3) z = z (4) z ' z = z ' z arg ( z z' ) = arg (z) arg (z') (5) z + z' z + z' c'est l'inégalité triangulaire. () on pose z = ρ(cos θ + i sin θ) et z = ρ'(cos θ' + i sin θ'). On a alors zz' = ρ(cos θ + i sin θ) ρ'(cos θ' + i sin θ') = ρρ'(cos θ + i sin θ)(cos θ' + i sin θ') = ρρ'(cos θ cos θ' + i cos θ sin θ' + i sin θ cos θ' + i 2 sin θ sin θ') = ρρ'(cos θ cos θ' sin θ sin θ' + i (cos θ sin θ' + sin θ cos θ')) = ρρ'(cos (θ + θ') + i sin (θ + θ')) d'après les formules d'addition vues en première (chapitre application du produit scalaire, II. Trigonométrie). (3) On pose z = z', d'où zz' =. Donc = ρρ'(cos (θ + θ') + i sin (θ + θ')). Or = et arg () = 0 donc ρρ' = et θ + θ' = 0 donc ρ = ρ' et θ = θ'. M ( z = a i) M' (z = a i)
3 ) Lien avec le plan complexes : Si A et B sont deux points du plan complexes muni du repère orthonormal (O; u, v) aant pour affixes respectives z A et, alors Corollaire (hors programme): AB = z A et si A et B sont distincts, ( u ; AB) = arg ( z A ). Soient A(z A ), B( ), C(z C ) et D(z D ) quatre points deux à deux distincts. Alors : CD AB = z z D C z A AB; CD)=arg( et ( z z D C z A ). CD AB = z z D C z A = z z D C z A ). z A et ( AB; CD)=( u; CD) ( AB; u)=arg ( z D z C ) arg ( z A )=arg( z D z C III. Forme trigonométrique : Soit z le nomre complexe de module ρ et d argument q. sin M D après la figure ci-contre, z peut s écrire z = ρcosq + iρsinq = ρ(cosq + i sinq ). Cette écriture est appelée forme trigonométrique du nomre complexe. sin O cos cos x Réciproquement, si z = ρ(cosq + i sinq ) avec ρ et θ réels et ρ > 0, alors ρ = z et θ = arg(z) (2π). IV. Notation exponentielle : ) La fonction θ cos θ + i sin θ : Propriétés : Soit f la fonction définie pour tout réel θ par f (θ) = cos θ + i sin θ. () f (θ + θ') = f (θ)f (θ'). (2) f est dérivale sur R et f ' (θ) = if (θ). () On a f (θ)f (θ') = (cos θ + i sin θ) (cos θ' + i sin θ') = (cos θ cos θ' + i cos θ sin θ' + i sin θ cos θ' + i 2 sin θ sin θ') = (cos θ cos θ' sin θ sin θ' + i (cos θ sin θ' + sin θ cos θ')) = (cos (θ + θ') + i sin (θ + θ')) d'après les formules d'addition vue en première (chapitre application du produit scalaire, II. Trigonométrie). = f (θ + θ')
Conclusion : La fonction f vérifie une relation fonctionnelle analogue à celle de la fonction exponentielle. () f ' (θ) = (cos θ + i sin θ)' = sin θ + i cos θ. Conclusion : if (θ) = i(cos θ + i sin θ) = i cos θ sin θ = f ' (θ). Cette relation est à rapprocher du fait que si g (x) = e kx, alors g est dérivale sur R et g' (x) = ke kx. Notation : Ces analogies avec la fonction exponentielle conduisent à la notation : Pour tout nomre réel θ, e iθ = cos θ + i sin θ. Ainsi e iθ désigne le nomre complexe de module et dont un argument est θ. Exemples : e iθ = et arg (e iθ ) = θ [2π] e 0i = e 2iπ = ; e iπ = e iπ = ; e i p 2 = i ; e i p 2 = i ; e i p 4 = 2 2 + 2 2 i ; e i 2 p 3 = 2 + 3 2 i ; e iq = e iq. 2 ) Forme exponentielle d'un nomre complexes : Soit z = a + i un nomre complexe non nul de module ρ = z et dont un argument est θ = arg (z). Une forme exponentielle de z est z = ρ e iθ. Cette écriture est appelée notation exponentielle de z. On a alors z = ρ e iθ = ρ(cos θ + i sin θ) = ρ cos θ + iρ sin θ = a + i. Exemple : Passage de la forme algérique à la forme Passage de la forme exponentielle à la forme exponentielle : algérique : z = + i z = 2 2 = 2 arg (z) = 4 Donc z = 2e i p4. Propriétés : (cas où a = > 0) Exemple 2 : z = 4e i 3 p 4 z = 4[ cos ( 3 p 4 ) +i sin ( 3p z = 4[ 2 2 +i 2 2 ] z = 2 2+2i 2. Pour tous nomres réels non nuls θ et θ' et pour tout entier naturel n, () e iθ e iθ' = e i(θ+θ') ; (2) (e i q ) n = e inθ ; (3) e i q = e iθ = e iq et (4) ei q e i q' = e i(θ θ'). 4 )]