Mathématiques Serie d'exercices n 1 Thème: Nombres complexes Professeur : 008 008 Page : 1
Exercice 1 On donne le nombre complexe = + + i a Exprimer ² sous forme algébrique b Exprimer ² sous forme exponentielle c En déduire sous forme exponentielle Exercice 6 1 Montrer que (1 + i) = 8i On considère l équation (E) : = 8i a Déduire de 1 une solution de l équation (E) b L équation (E) possède une autre solution ; écrire cette solution sous forme algébrique Déduire également de 1 une solution de (E ) : = 8i Exercice Linéariser le polynôme P = cos 5x sin x Exercice 4 a On considère le nombre complexe = 1 i 199 1994 Mettre sous forme trigonométrique Calculer et En déduire et b Résoudre dans C l'équation + 8 = 0 (on remarquera que cette équation a une racine évidente réelle) En déduire les solutions dans C de l'équation (i 1) + 8 = 0 Donner les solutions sous forme algébrique Exercice 5 1 = 1 1 et sont des nombres complexes ; résoudre le système d équations suivant 1 = i Dans le plan complexe muni d un repère orthonormé direct de centre O, d unité graphique 4 cm, on considère les points A et B d affixes respectives : A = + i et B = 1 + i Donner les écritures de A et B sous forme exponentielle Placer les points A et B A Calculer module et argument de B En déduire la nature du triangle ABO et une mesure de l angle ( OA, OB ) 4 Déterminer l affixe du point C tel que ACBO soit un losange Placer C Calculer l aire du triangle ABC en cm 008 008 Page :
Exercice 6 Partie A Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; u, v) Pour réaliser la figure, on prendra pour unité graphique 1 cm Soit P le point d affixe p où p = 10 et Γ le cercle de diamètre [OP ] On désigne par Ω le centre de Γ Soit A, B et C les points d affixes respectives a, b et c où a = 5 + 5i, b = 1 + i et c = 8 4i 1 Montrer que A, B et C sont des points du cercle Γ Soit D le point d affixe + i Montrer que D est le projeté orthogonal de O sur la droite (BC) Partie B (On rappelle que = ) 0 A tout point M du plan différent de O, d affixe, on associe le point M d affixe tel que ' = où représente le nombre conjugué de 1 Montrer que les points O, M et M sont alignés Soit la droite d équation x = et M un point de d affixe On se propose de définir géométriquement le point M associé au point M a Vérifie que + = 4 b Exprime ' ' 5 ' + ' = ' ' + en fonction de et et en déduire que ( ) c En déduire que M appartient à l intersection de la droite (OM) et du cercle Γ Placer M sur la figure Exercice 7 On considère dans C l équation du second degré Z² + Z + 1 = 0 1 Résoudre cette équation On note les solutions 1 et, la partie imaginaire de 1 étant positive Vérifier que = 1 Mettre 1 et sous forme trigonométrique 4 Indiquer sur quel cercle de centre O sont situés les points M 1 et M d affixes respectives 1 et Placer alors ces points avec précision dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé d unité graphique 4 cm Exercice 8 On désigne par P le plan complexe Unité graphique : cm 1 Résoudre l équation d inconnue complexe : partie imaginaire est positive et l autre Donner le module et l argument de chacun des nombres 1 et + 4 = 0 On notera 1 la solution dont la 1,, 1, Ecrire sous forme algébrique On considère dans le plan les points A(1 + i ), B(1 i ),C( + i ) et D( i ) a Représenter les points A, B, C et D dans le plan P Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? 008 008 Page :
b Montrer que les points O, A et D d une part et les points O, B et C d autre part sont alignés Quel est le point d intersection des diagonales de ABCD? c Quelles sont les affixes des vecteurs AB et AC? Montrer que les droites AB et AC sont perpendiculaires Exercice 9 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ( O ; u, v) (unité graphique 1 cm) 1 Résoudre dans C l équation 8 + 64 = 0 On considère les points A et B qui ont pour affixes respectives les nombres complexes a = 4 4i et b = 4 + 4i a Ecrire a et b sous forme exponentielle b Calculer les distances OA, OB, AB En déduire la nature du triangle OAB π i On désigne par C le point d affixe c = + i et par D le point d'affixe d = ce Déterminer la forme algebrique de d 4 On appelle G le barycentre des trois points pondérés (O ; 1), (D ; +1), (B ; +1) a Justifier l existence de G et montrer que ce point a pour affixe g = 4 + 6i b Placer les points A, B, C, D et G sur une figure c Montrer que les points C, D et G sont alignés d Démontrer que le quadrilatère OBGD est un parallélogramme Exercice 10 1 On considère le polynôme P de la variable complexe, défini par : ( ) ( ) P() = + 1 i + 74 i 74i a Déterminer le nombre réel y tel que iy soit solution de l équation P() = 0 b Trouver deux nombres réels a et b tels que, pour tout nombre complexe, on ait ( )( ) P() = i + a + b c Résoudre dans l ensemble C des nombres complexes, l équation P() = 0 Le plan complexe est rapporté à un repère normé direct ( O ; u, v) On prendra 1 cm pour unité graphique a Placer les points A, B et I d affixes respectives A = 7 + 5i ; B = 7 5i et I = i b Placer le point C d affixe C = 1 + i Déterminer l affixe du point N tel que ABCN soit un parallélogramme c Placer le point D d affixe D = 1 + 11i A C Calculer Z = sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique Justifier que les D B droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires et en déduire la nature du quadrilatère ABCD 008 008 Page : 4
Exercice 11 On considère le polynôme P défini par : ( ) 4 1 Calculer P( i ) et P( i ) P = 6 + 4 18 + 6 puis montrer qu il existe un polynôme Q du second degré à coefficients réels, que l on déterminera, tel que, pour tout C, on ait P( ) ( ) Q ( ) = + Résoudre dans C l équation P() = 0 Placer dans le plan complexe rapporté au repère normé ( O ; u, v), les points A, B, C, D d affixes respectives A = i, B = i, C = + i et D = C, puis montrer que ces quatre points appartiennent à un même cercle 4 On note E le symétrique de D par rapport à O Montrer que nature du triangle BEC π i C B E B = e puis déterminer la Exercice 1 Le plan P est rapporté au repère orthonormé direct ( O ; u, v) [unité graphique : cm] On considère les points I et A d'affixes respectives 1 et Le point K est le milieu du segment [IA] On appelle (C) le cercle de diamètre [IA] Faire une figure et la compléter au fur et à mesure de l'exercice 4i 1 Soit B le point d'affixe b où b = Ecrire b sous forme algébrique et montrer que B 1 i appartient au cercle (C) π Soit D le point du cercle (C) tel que (KI, KD) = + kπ, où k est un entier relatif, et soit d l'affixe de D 1 a Quel est le module de d + Donner un argument de d + 1 i b En déduire que d = + 4 4 ia 1 i c Déterminer un réel a vérifiant l'égalité : = + 1 ia 4 4 1 + ix m 1 Soit x un réel non nul et M le point d'affixe m = On pose Z = Calculer Z et en 1 ix m + déduire la nature du triangle AIM 4 Soit N un point, différent de A, du cercle (C) et n son affixe Démontrer qu'il existe un réel y tel iy que n = 1 iy 008 008 Page : 5