Chapitre X- Partie B : Vecteurs et repère de l espace Extrait du programme : Les définitions et les calculs des vecteurs du plan peuvent-être étendus à l espace. 1
I Vecteurs La notion de vecteur vue dans le plan se généralise dans l espace : un vecteur de l espace est défini par une direction, un sens et une longueur. Etant donné un vecteur u de l espace et un point A, il existe un unique point B tel que u = AB. Le vecteur 0 est tel que 0 = A A = BB =... Toutes les règles de calculs, addition relation de Chasles, règle du parallélogramme), multiplication par un scalaire sont étendues à l espace. En particulier : Soient A, B, C, D quatre points de l espace. AB = C D si et seulement si ABDC est un parallélogramme de l espace) Exemple :Dans ce cube, u = AB = EF = DC = HG et EB + BC = EC Définition 1 Deux vecteurs u et v non nuls sont colinéaires lorsqu ils ont la même direction. Le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur de l espace. Deux vecteurs u et v sont colinéaires lorsqu il existe un nombre k tel que u = k v. Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si AB et AC sont colinéaires. Les droites AB) et C D) sont parallèles si et seulement si AB et C D sont colinéaires. II Caractérisation vectorielle d une droite et d un plan de l espace Soit A un point de l espace et u un vecteur non nul de l espace. L ensemble des points M tels que AM = k u avec k réel quelconque, est une droite passant par A et de vecteur directeur u A u M Soit A un point de l espace et u et v deux vecteurs non colinéaires. L ensemble des points M tel que AM = x u + y v x et y étant deux réels quelconques) est un plan P ) passant par A. On dit que P ) est le plan de repère A; u ; v ) et que u ; v ) est un couple de vecteurs directeurs du plan qui détermine la direction de ce plan. u ; v ) est une base de P ). A v u M Deux plans définis par deux points A et A et deux mêmes couples de vecteurs directeurs non colinéaires u ; v ) sont parallèles. 2
III Vecteurs coplanaires Définition 2 Les vecteurs u, v et w sont coplanaires si et seulement s ils peuvent être représentés à l aide de points appartenant à un même plan. On peut choisir 3 représentants d origine O, on a alors : O, A, B et C quatre points de l espace tel que O A = u, OB = v, OC = w. Les vecteurs u, v et w sont coplanaires si et seulement si les points O, A, B et C sont dans un même plan. Si deux vecteurs parmi les vecteurs u, v et w sont colinéaires, alors u, v et w sont coplanaires. Si u, v et w sont tels que les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires, alors : u, v et w sont coplanaires si et seulement s il existe des réels a et b tels que w = a u + b v ABC D est un tétraèdre. Soit I le milieu de [AB] et J le milieu de [AC ]. Les points E et F sont définis par les égalités vectorielles BE = 1,5 BC et AF = DE. 1. Exprimer D A + DB en fonction de D I. 2. Démontrer que DF 2 D I = 3 I J 3. En déduire que D I, D J et DF sont coplanaires. 4. Que peut-on dire des points D, I, J et F? Solution : Point méthode 53 : Montrer que des vecteurs sont coplanaires 1. Pour démontrer une égalité vectorielle, il peut être utilie d utiliser la relation de Chasles D A + DB = D I + I A + D I + I B On introduit I afin de faire apparaitre D I = 2 D I Car I milieu de [AB] dont I A + I B = 0 2. On procède de la même façon : DF 2 D I = AF DB = D A + AF D A DB = DE DB = BE = 1,5 BC On introduit A car on connait AF Or d après le théorème des milieux dans ABC, on a I J = 1 2 BC Ainsi, DF 2D I = 3I J 3. Pour démontrer que trois vecteurs sont coplanaires, on peut en exprimer un en fonction des deux autres DF 2 D I = 3 I J donc DF 2 D I = 3 I D + 3 D J DF 5 D I + 3 D J DF peut être écrit comme une combinaison des 2 autres donc D I, D J et DF sont coplanaires. 4. Puisque D I, D J et DF sont coplanaires, D, I, F et J le sont aussi. 3
IV Repérage de l espace Définition 3 Un repère de l espace noté O, ı, j, ) k est formé d un point O de l espace et d un triplet de vecteurs non coplanaires. Définition 4 Soit O, ı, j, ) k un repère de l espace. pour tout point M de l espace, il existe un unique triplet x; y; z) de nombres réels tels que OM = x i + y j + z k. x; y; z) sont les coordonnées du point M, x est l abscisse, y est l ordonnée et z est la cote du point M dans ce repère. Définition 5 Soit O, ı, j, ) k un repère de l espace. Au vecteur u on associe le point M tel que OM = u. Par définition, les coordonnées du vecteur u sont les coordonnées x; y; z) de M. On note x u y. Ainsi tout vecteur u s écrit de manière unique u = x i + y j + z k. z Tous les résultats de géométrie plane concernant les coordonnées s étendent à l espace par l adjonction d une troisième coordonnée. Soient x u y et x v y 2 vecteurs dans une base i ; v; k). z z u = x = 0 0 y = 0 z = 0 u = x = x v y = y z = z u + x + x v y + y z + z k kx u k y kz Soient Ax A ; y A ; z A ) et Bx B ; y B ; z B ) et I le milieu de [AB] x B x A AB y B y A z B z A AB = x B x A ) 2 + y B y A ) 2 + z B z A ) 2 x A + x B I = ; y A + y B ; z A + z ) B 2 2 2 4
Point méthode 54 : Démontrer un alignement avec des coordonnées l espace est muni d un repère O, ı, j, ) k. On considère les points A7; 3;0), B0;4;7), C 0;0;5), D5;5;0) et G 7;3;22). Calculer les coordonnées de L et K tels que B A = 7 BL et C K = 0,6C D. En déduire que les points G, K et L sont alignés. Solution : Pour démontrer que 3 points sont alignés, on peut démontrer la colinéarité de vecteurs Soit Lx L ; y L ; z L ). On a x L 0 BL y L 4 et 7 B A 7. z L 7 7 Puisque 7 BL = 7x L = 7 B A, on a : 7y L 28 = 7 d où L1; 3; 6) 7z L 49 = 7 Soit K x K ; y K ; z K ). A l aide de l égalité C K = 0,6C D, on obtient = et donc K 3;3;2) On a donc 10 GK 0 et K L 20 2 0 donc GK = 5K L. 4 x K y K z K 5 Les vecteurs GK et K L sont colinéaires donc les points G, K, L sont alignés. 0,6 5 0,6 5 0,6 5) Point méthode 55 : Démontrer la coplanarité de 4 points avec les coordonnées l espace est muni d un repère O, ı, j, ) k. On condière les points A1;0;1), B2;2;4), C 3;0;5) et D5; 4;7). Démontrer que les points A, B, C et D sont coplanaires. Solution : Pour démontrer que des points A, B, C et D sont coplanaires, il suffit de prouver que les vecteurs AB, AC et AD sont coplanaires. On a 1 AB 2, 2 AC 0 et 4 AD 4 3 4 6 Comme AB et AC ne sont pas colinéaires, démontrer que A, B, C et D sont coplanaires, revient à trouver deux réels α et β tels que AD = α AB + β AC 4 = α + 2β Ceci se traduit par : 4 = 2α 6 = 3α + 4β On obtient α = 2 et β = 3 avec les deux premières équations. On s assure que la 3ème égalité est bien vérifiée et on a bien : 3 2) + 4 3 = 6 donc la 3ème égalité est bien vérifiée. On a donc : AD = 2 AB + 3 AC Les vecteurs AB, AC et AD sont coplanaires, donc les points A, B, C et D sont coplanaires. 5