MATHEMATIQUES APPLIQUEES Equations aux dérivées partielles Cours et exercices corrigés

MATHEMATIQUES APPLIQUEES Equations aux dérivées partielles Cours et exercices corrigés Département GPI 1ère année Avril 2005 INPT-ENSIACET 118 route de Narbonne 31077 Toulouse cedex 4 Mail : Xuan.Meyer@ensiacet.fr

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Table des matières I Différentielles totales - Facteurs intégrants 5 I.1 Rappel sur les dérivées partielles................................ 5 I.1.1 Définition......................................... 5 I.1.2 dérivées successives.................................... 5 I.1.3 Dérivées d une fonction composée............................ 6 I.1.4 Dérivées d une fonction composée de deux variables................. 6 I.2 Différentielles totales....................................... 7 I.2.1 Définition......................................... 7 I.2.2 Formes différentielles totales exactes.......................... 7 I.2.3 Application à l intégration d équation différentielles du premier ordre........ 8 I.3 Facteurs Intégrants........................................ 8 I.3.1 Introduction....................................... 8 I.3.2 Définition......................................... 9 I.3.3 Détermination de facteurs intégrants monovariables................. 9 I.4 Généralisation aux fonctions de plus de deux variables.................... 11 I.5 Différentielles totales et fonctions d Etat............................ 13 II Equations linéaires aux dérivées partielles du premier ordre 15 II.1 Généralités............................................ 15 II.2 Intégrales premières d un système différentiel......................... 17 II.2.1 Généralités sur les éq. lin. et homo. aux dérivées partielles du 1 er ordre....... 18 II.3 Eq. lin. et hom. aux dérivées partielles du 1 er ordre : cas d une fonction de 2 var...... 19 II.4 Facteur intégrant d une forme différentielle du premier ordre à deux variables....... 20 II.4.1 Détermination d un facteur intégrant de la forme µ(x,y)............... 20 IIIEq. aux dérivées partielles d ordre n à 2 variables, linéaires, homogènes, à coeff. csts 23 III.1 Définition............................................. 23 III.2 Intégration............................................ 24 III.3 Généralisation........................................... 27 III.4 Eq. aux dérivées partielles à 3 variables, linéaires et homogènes, à coeff. csts........ 27 IV Equations non linéaires aux dérivées partielles du premier ordre 31 IV.1 Méthode d intégration...................................... 31

4 TABLE DES MATIÈRES

Chapitre I Différentielles totales - Facteurs intégrants I.1 Rappel sur les dérivées partielles I.1.1 Définition Soit une fonction f(x,y) de deux variables réelles définie dans un voisinage de A = [a,b] ; si la fonction f(x,b) fonction de x seulement a une dérivée pour la valeur a de x, on la note f x(a,b) et on l appelle dérivée partielle de f(x,y) par rapport à x au point (a,b). Si en tout point d un voisinage de A, f x(x,y) existe, on définit ainsi une nouvelle fonction, la dérivée partielle de f(x,y) par rapport à x. On définit de même la dérivée partielle par rapport à y. On note : et f x = f(x,y) f y = f(x,y) I.1.2 dérivées successives De la même façon que précédemment, on peut étudier l existence de la dérivée par rapport à x de f x(x,y) et de f y(x,y); on définit ainsi les dérivées secondes que l on note f x = 2 f et f 2 2 xy = 2 f. On peut de même définir les dérivées secondes par rapport à y :f y = 2 f et f 2 2 yx = 2 f. Théorème 1 (Théorème de Schwarz) Si en un point de A = [a,b], les dérivées successives f xy et f yx existent et sont continues, en ce point ces dérivées sont égales : f xy = f yx soit 2 f = 2 f Exercice I.1 Déterminer 2 z 2, 2 z 2, 2 z, 2 z z = x 3 5xy + y 2 de la fonction z(x,y), : solution : z = 3x2 5y 2 z 2 = 6x ; 2 z = 5 z = 5x + 2y 2 z 2 = 2 ; 2 z = 5

6 Différentielles totales - Facteurs intégrants I.1.3 Dérivées d une fonction composée Si u = f(x,y) est définie dans un voisinage de A = [a,b] et x = ϕ(t), y = ψ(t) définies dans un intervalle I, voisinage du point t 0, si la fontion f(x,y) admet des dérivées partielles sur un voisinage de A et si ces dérivées sont continues en A, alors la fonction composée F(t) = f [ϕ(t),ψ(t)] est dérivable en t 0 et l on a le résultat : F (t) = f x(x,y)ϕ (t) + f y(x,y)ψ (t) Si les hypothèses d existence et de continuité de ces dérivées sont vraies sur un intervalle, la formule précedente est vraie sur tout l intervalle. I.1.4 Dérivées d une fonction composée de deux variables Soit la fonction F(x,y) = f(u,v), u et v étant des fonctions de x et y : u = u(x,y) et v = v(x,y) avec u 0 = u(x 0,y 0 ) et v 0 = v(x 0,y 0 ) Si les fonctions u et v admettent des dérivées partielles en (x 0,y 0 ) et si f(u,v) admet des dérivées partielles continues au voisinage de (u 0,v 0 ), alors F(x,y) admet des dérivées partielles au point (x 0,y 0 ) données par : F x(x 0,y 0 ) = f u(u 0,v 0 )u x(x 0,y 0 ) + f v(u 0,v 0 )v x(x 0,y 0 ) = f u (u 0,v 0 ) u (x 0,y 0 ) + f v (u 0,v 0 ) v (x 0,y 0 ) F y(x 0,y 0 ) = f u(u 0,v 0 )u y(x 0,y 0 ) + f v(u 0,v 0 )v y(x 0,y 0 ) = f u (u 0,v 0 ) u (x 0,y 0 ) + f v (u 0,v 0 ) v (x 0,y 0 ) Exercice I.2 Soit f(x,y) = x 2 + xy + y 2 et Déterminer : f u, f v solution : f = 2x + y f = x + 2y { x = 2u + v y = u 2v u = 2 v = 1 u = 1 v = 2 f u = f u + f = (2x + y)(2) + (x + 2y)(1) = 5x + 4y u f v = f v + f = (2x + y)(1) + (x + 2y)( 21) = 3y v

I.2 Différentielles totales 7 I.2 Différentielles totales I.2.1 Définition Soit une fonction de deux variables U(x, y) possédant des dérivées partielles continues. La différentielle totale ou exacte de U(x,y) s écrit : du = U U + dy (I.1) Si U(x,y) = Cte, alors du = 0. Exemple : Soit U(x,y) la fonction de deux variables définie par : I.2.2 U(x,y) = x + x 2 y 3 du(x,y) = (1 + 2xy 3 ) + (3x 2 y 2 )dy Formes différentielles totales exactes Soit une équation différentielle données sous la forme : M(x,y) + N(x,y)dy = 0 (I.2) Si on peut trouver une fonction U(x,y) qui vérifie : et M(x,y) = U N(x,y) = U alors, on peut poser l équation (I.2) sous la forme d une différentielle totale ou exacte : du = U U + dy Alors U(x,y) est la solution cherchée sous forme implicite : U(x,y) = Cte Pour cela, il faut prouver que les dérivées M N et sont égales. En effet, conformément au théorème de Schwarz : soit U(x,y) une fonction de classe C 2 dérivable, si U U et sont continues, alors 2 U = 2 U. Une condition nécessaire et suffisante pour que l équation (I.2) soit une équation exacte est donc : M(x,y) = N(x,y) Dès lors, la fonction U(x,y) peut être trouvée de façon systématique par : U(x,y) = M(x,y) + k(y) Dans cette intégration par rapport à x, k(y) joue le rôle d une constante. Il suffit de dériver la fonction U(x,y) par rapport à y pour déterminer la fonction k(y) : N(x,y) = U k (y) + ( ) M(x,y) = N(x,y) On obtiendrait le même résultat en intégrant d abord N(x,y) par rapport à y et en dérivant ensuite par rapport à x.

8 Différentielles totales - Facteurs intégrants I.2.3 Application à l intégration d équation différentielles du premier ordre Soit à résoudre l équation différentielle du premier ordre : M(x,y) + N(x,y)y = 0 (I.3) où M(x,y et N(x,y) sont deux fonctions quelconques de x et de y. On peut résoudre cette équation en posant : du = M(x,y) + N(x,y)dy Résoudre l équation (I.3) revient à résoudre du = 0 soit U(x,y) = C te Après avoir vérifié que du est une différentielle totale, il suffit donc de déterminer U(x, y) selon la méthodologie présentée précédemment. Nous verrons plus tard comment résoudre l équation (I.3) dans le cas où du n est pas une différentielle totale exacte. Exercice I.3 On cherche à résoudre l équation différentielle : y = 1 + 2xy3 3x 2 y 2 (I.4) solution : Cette équation peut se mettre sous la forme : Posons : (1 + 2xy 3 ) + 3x 2 y 2 dy = 0 du = (1 + 2xy 3 ) + 3x 2 y 2 dy Résoudre l équation (I.4) revient à déterminer la solution de du = 0. Ceci est aisé si l on peut montrer que du est une différentielle totale. Soit : M = 1 + 2xy 3 etn = 3x 2 y 2 M = N = 6xy2 d où, en intégrant la différentielle totale exacte du, : U(x,y) = x + x 2 y 3 du = 0 U = Cte d où : est solution de (I.4). x + x 2 y 3 = Cte I.3 Facteurs Intégrants I.3.1 Introduction Soit la différentielle du : Cette différentielle n est pas totale. En effet : Soit M(x,y) = 2xy et N(x,y) = (4y + 3x 2 )y du = 2xy + (4y + 3x 2 )ydy = 0 M = 2y N = 6xy M N On ne peut donc pas résoudre l équation (I.5) par la procédure présentée dans la partie précédente. On a alors recours au facteur intégrant. (I.5)

I.3 Facteurs Intégrants 9 I.3.2 Définition Soit une différentielle de la forme : telle que : δv = P(x,y) + Q(x,y)dy P Q Cette différentielle n est pas exacte. On cherche alors une fonction auxiliaire F(x,y) telle que : du = F(x,y)P(x,y) + F(x,y)Q(x,y)dy (I.6) (I.7) soit une différentielle totale. Cette fonction F(x,y) est appelée facteur intégrant de la différentielle δv. I.3.3 Soit : Détermination de facteurs intégrants monovariables Il s agit de trouver une fonction F(x,y) qui vérifie la relation : (FP) = (FQ) P F + F P = Q F + F Q Restreignons nous ici à rechercher des fonctions monovariables F(x) ou F(y). Le cas général de fonctions multivariables sera traité dans le paragraphe II.4.1 I.3.3.1 Facteur intégrant de la forme F(x) Si on recherche un facteur facteur intégrant de la forme F(x), il doit vérifier : Soit en réarrangeant et en divisant par FQ : Soit : Le facteur intégrant est obtenu par : F P = QdF + F Q 1 P Q = 1 df F + 1 Q Q 1 df F = 1 Q ( P Q ) 1 F(x) = e Q I.3.3.2 Facteur intégrant de la forme F(y) ( P Q ) Si on recherche un facteur facteur intégrant de la forme F(y), il doit vérifier : Soit en réarrangeant et en divisant par FP : Soit : Le facteur intégrant est obtenu par : F Q = P df dy + F P 1 Q P = 1 df F dy + 1 P P 1 df F dy = 1 P ( Q P ) (I.8) (I.9)

10 Différentielles totales - Facteurs intégrants 1 F(y) = e P ( Q P ) dy D une manière générale, on cherchera un facteur intégrant du type F(x) quand : et un facteur intégrant du type F(y) quand : 1 Q ( P Q ) = f(x) 1 P ( Q P ) = g(y) Exercice I.4 Résoudre : solution : y xy = 0 (I.10) Soit dv = y xdy Cette différentielle n est pas exacte. On cherche F(x,y) telle que : du = F(x,y)dV soit une différentielle exacte. Si on recherche F(x) alors il faut : 1 df F = 1 x ( ( x) ) Soit : 1 df F = 1 (1 + 1) x F(x) = e 2 x = e 2ln(x) = e ln(x 2 ) d où La différentielle : F(x) = 1 x 2 du = FdV = 1 (y xdy) x2 est une différentielle totale.résoudre l équation dv = 0 revient à résoudre l équation du = 0. Soit : U(x,y) = y 1 x 2 + k(y) = y x + k(y) et U = 1 x + k (y) N(x,y) = 1 x k (y) = 0 k(y) = Cte D où la solution : U(x,y) = y x + Cte = C y x = C 1 où C 1 est une constante réelle soit : y = C 1 x La solution de l équation (I.10) est donc une famille de ligne passant par l origine.

I.4 Généralisation aux fonctions de plus de deux variables 11 I.4 Généralisation aux fonctions de plus de deux variables Soient X(x,y,z), Y (x,y,z), Z(x,y,z) trois fonctions continues des trois variables x, y, z et δg la forme différentielle : δg = X(x,y,z) + Y (x,y,z)dy + Z(x,y,z)dz δg est une forme différentielle totale exacte si : X = Y X z = Z Y z = Z Plus généralement : Soient X 1 (x 1,x 2,...,x n ), X 2 (x 1,x 2,...,x n ),..., X n (x 1,x 2,...,x n ) n fonctions continues des n variables x 1, x 2 y,..., x n et δg la forme différentielle : δg = X 1 (x 1,x 2,...,x n ) 1 + X 2 (x 1,x 2,...,x n ) 2 +... + X n (x 1,x 2,...,x n ) n δg est une forme différentielle totale exacte si : X 1 = X i,i 1 i,i 1 1. X j = X i,i j i,i j j. X n i,i n = X i,i n n Exercice I.5 Estimation d une erreur Soit un bloc rectangulaire de longueur x, largeur y et hauteur z. les mesure d un tel bloc conduit aux valeurs suivantes : x=10cm, y=12cm, z=20cm avec une marge d erreur de 0,05 cm. A partir de l expression de la différentielle totale exacte de l aire de ce bloc, evaluer approximativement l erreur maximale concernant l aire du bloc ainsi que le pourcentage d erreur dû aux erreurs de mesures. solution : l aire d un bloc rectangulaire s écrit : S = 2(xy + xz + yz) ds = S S S + dy + z dz ds = 2(y + z) + 2(x + z)dy + 2(x + y)dz La plus grande erreur que l on peut commettre sur S si, dy et dz sont de même signe (positifs par exemple), d où : ds m ax = 2(12 + 20) 0,05 + 2(10 + 20) 0,05 + 2(12 + 10) 0,05 = 8,4cm 2 Soit un pourcentage d erreur de : err = 100 ds max S = 100 8,4 1120 = 0,75%

12 Différentielles totales - Facteurs intégrants Exercice I.6 Soient trois variables indépendantes x, y et z. Montrer que l expression : du = (3x 2 yz) + z(x 3 + 2y)dy + y(x 3 + y)dz est une différentielle totale. En déduire l expression de U(x,y,z). solution : soit : p = 3x 2 yz ; q = z(x 3 + 2y); r = y(x 3 + y) du est une différentielle totale si : p = q p z = r q z = r (I.11) Calculons ces dérivées partielles : p = 3x2 z q = 3x2 z p z = 3x2 y r = 3x2 y q z = x3 + 2y r = x3 + 2y (I.12) du est bien une différentielle totale. On a : d où : d où : soit : d où : d où : On obtient alors : où C est une constante réelle. U = 3x2 yz U = x 3 yz + g(y,z) U = x3 z + g = q = x3 z + 2yz g = 2yz g(y,z) = y 2 z + f(z) U = x 3 yz + y 2 z + f(z) U z = x3 y + y 2 + df dz = r = x3 y + y 2 df dz = 0 U(x,y,z) = x 3 yz + y 2 z + C

I.5 Différentielles totales et fonctions d Etat 13 I.5 Différentielles totales et fonctions d Etat Soit dz une différentielle totale. Alors : Z2 Z 1 dz = Z 2 Z 1 = Z En physique, la fonction Z est dite équation d état, et la valeur de Z ne dépend pas du chemin suivi. Soit dv un différentielle qui n est pas totale. En physique, on la notera δv. Dans ce cas : La valeur de V dépend du chemin suivi. Z2 Z 1 dz Z 2 Z 1

14 Différentielles totales - Facteurs intégrants

Chapitre II Equations linéaires aux dérivées partielles du premier ordre II.1 Généralités On donne le nom de système différentiel à tout système d équations entre plusieurs fonctions inconnues d une même variable et leurs dérivées jusqu à un certain ordre. Observons qu il est toujours possible, en introduisant des fonctions inconnues auxiliaires, de ramener un système différentiel quelconque à un système dans lequel ne figurent que les dérivées du premier ordre des fonctions connues ; c est ainsi que le système : d 2 x + 5x y = cos 2t dt2 (II.1) d 2 y 2 x + 3y = 0 qui est du second ordre avec deux fonctions inconnues, peut se ramèner en introduisant les deux fonctions auxiliaires inconnues u = dt, v = dy, à la forme : dt du + 5x y = cos 2t dt dv dt x + 3y = 0 dt = u dy dt = v qui fait intervenir quatre équations du premier ordre entre quatre fonctions inconnues. Nous nous limiterons ici à l étude des systèmes du premier ordre de n équations à n inconnues. Nous supposerons, de plus, ces équations résolues par rapport aux dérivées des fonctions inconnues. Un tel système est dit sous forme canonique : 1 dt = f 1 (x 1,x 2,...,x n,t). n = f n (x 1,x 2,...,x n,t) dt où x 1,x 2,...,x n désignent n fonctions inconnues de la variable t. Ce système peut s écrire; i dt = f i(x 1,x 2,...,x n,t),i = 1,n (II.2) (II.3)

16 Equations linéaires aux dérivées partielles du premier ordre Toute solution du système (II.3) vérifie nécessairement le système (II.4) ci-dessous, obtenu en dérivant (n 1) fois la première équation et en tenant compte chaque fois des équations qui la suivent dans ce système et donnent 1 dt,..., n dt en fonction de x 1,x 2,...,x n et t : 1 dt 2 1 dt n 1 dt = f 1 (x 1,x 2,...,x n,t) = ϕ 2 (x 1,x 2,...,x n,t). = ϕ n (x 1,x 2,...,x n,t) Toute fonction x 1 (t) vérifiant le système est donc solution de l équation différentielle d ordre n : ( R t,x 1, ) 1 dt,..., dn x 1 dt n = 0 obtenue en éliminant x 2,x 3,...,x n entre les équations (II.4). (II.4) (II.5) Il résulte du théorème d existence des solutions du système (II.3), et nous admettrons sans démonstration que, réciproquement, si : x 1 = F 1 (t,c 1,C 2,...,C n ) (II.6) désigne l intégrale générale de l équation (II.5), l intégrale générale du système (II.3) s obtient en portant dans les n 1 premières équations de (II.4) les valeurs de x 1, 1 dt,..., dn 1 x, et en résolvant ces équations dtn 1 en x 2,x 3,...,x n, sans par conséquent effectuer aucune intégration nouvelle. Exercice II.1 Déterminer les fonctions z(x) et y(x) telles que : x dy + y + 2z = 0 où x, une variable indépendante. x dz 3y 4z = 0 (II.7) solution : Cherchons à former une équation résolvante du second ordre en y; nous avons en dérivant la première équation du système (II.7) : x d2 y 2 + 2dy + 2dz = 0 (II.8) d où en multipliant par x : x 2 d2 y 2 + 2xdy + 2xdz = 0 (II.9) En remplaçant x dz par sa valeur tirée de la seconde équation du système (II.7), puis z par sa valeur tirée de la première, nous obtenons l équation résolvante : x 2 d2 y 2 2xdy + 2y = 0 (II.10) Les solutions de cette équation (équation d Euler) sont de la forme y = x r. Soit : y = rx r 1 et y = r(r 1)x r 2 D où l équation caractéristique : r(r 1) 2r + 2 = 0

II.2 Intégrales premières d un système différentiel 17 qui a pour racine r = 1 et r = 2. L intégrale générale est : y = Ax + Bx 2 En portant ce résultat dans la première équation du système (II.7), nous obtenons sans intégration nouvelle : z = 1 ( y + x dy ) = Ax 3 2 2 Bx2 (II.11) où A et B sont des constantes réelles. On peut facilement vérifier que quelque soient les valeurs des constantes A et B, les fonctions y(x) et z(x) ainsi trouvées vérifient bien le système d équations différentielles (II.7). II.2 Intégrales premières d un système différentiel On cherche à résoudre des systèmes différentiels du premier ordre donnés sous forme canonique : 1 dt = f 1 (x 1,x 2,...,x n,t) n dt. = f n (x 1,x 2,...,x n,t) (II.12) On suppose que ce système admet une solution unique répondant aux conditions initiales : x i = x 0 i pour t = t 0. L ensemble des solutions dépend de n constantes arbitraires C 1, C 2,..., C n. L ensemble : x 1 = F 1 (C 1,C 2,...,C n,t). x n = F 1 (C 1,C 2,...,C n,t) (II.13) constitue l intégrale générale du système. Si l on résoud le système (II.13) par rapport à C i, on peut exprimer l intégrale générale du système sous la forme Φ 1 (x 1,x 2,...,x n,t) = C 1. Φ n (x 1,x 2,...,x n,t) = C n Les fonctions Φ i qui sont des constantes sont dites intégrales premières du système (II.12). (II.14) D ne manière générale, on appelle intégrale première d un système différentiel, toute fonction de x 1,x 2,...,x n et qui se réduit à une constante si l on y remplace x 1,x 2,...,x n par des fonctions de t constituant une solution quelconque de ce système. On démontre que, réciproquement, toute intégrale première de ce système peut s exprimer en fonction des Φ i seules. les intégrales premières ainsi mises en causes (ou tout autre système de n intégrales premières indépendantes) constituent un système fondamental d intégrales premières. Exercice II.2 Soit x, une variable indépendante. Déterminer les fonctions y(x) et z(x) solutions du système : x dy + y + 2z = 0 x dz 3y 4z = 0 (II.15) solution :

18 Equations linéaires aux dérivées partielles du premier ordre x = dy y + 2z = dz 3y + 4z Les égalités exprimées dans l équations (II.16) peuvent s écrire : x = ( 3)dy ( 3)(y + 2z) = ( 2)dz 3dy + 2dz d(3y + 2z) = = ( 2)(3y + 4z) 3y + 2z 3y + 2z (II.16) (II.17) D après l équation (II.15), les fonctions u 1 (x) = 3y(x) + 2z(x) et v(x) = x ayant la même différentielle logarithmique, elles ont un rapport constant. Φ 1 = 3y + 2z x = C 1 (II.18) est une intégrale première du système (II.15). L équation (II.15) conduit également à : x = dy y + 2z = dz dy + dz = 3y + 4z 2(y + z) (II.19) D après l équation (II.19), les fonctions u 2 (x) = y(x) + z(x) et v(x) = x ont des différentielles logarithmiques proportionnelles, on a donc : Φ 2 = y + z x 2 = C 2 (II.20) où Φ 2 est une intégrale première du système (II.15). II.2.1 Généralités sur les équations linéaires et homogènes aux dérivées partielles du 1 er ordre Soit x n une variable indépendante. Considérons n 1 fonctions : x 1 (x n ), x 2 (x n ),..., x ( n 1)(x n ) vérifiant : 1 X 1 (x 1,x 2,...,x n ) = 2 X 2 (x 1,x 2,...,x n ) =... = n X n (x 1,x 2,...,x n ) (II.21) Ce système possède (n-1) intégrales premières. Soit f(x 1,x 2,...,x n ) une intégrale première du système. Si les fonctions de x 1, x 2,..., x n 1 de x n vérifient le système, f se réduit à une constante et sa différentielle est donc nulle. f 1 + f 2 +... + f n = 0 (II.22) 1 2 n D après la relation (II.21), on a : i = X i n X n Il en résulte que la fonction f vérifie la relation : X 1 f 1 + X 2 f 2 +... + X n f n = 0 (II.23) (II.24) qui est linéaire, homogène par rapport aux dérivées partielles f i et qui constitue donc une équation linéaire et homogène aux dérivées partielles du 1 er ordre. Réciproquement, si f est solution de l équation (II.25) et si l on y remplace par des fonctions x 1, x 2,..., x n 1 de x n vérifiant l équation (II.21), la relation (II.22) est vérifiée. Donc, f = C est une intégrale première de l équation (II.21). Ainsi, l ensemble des solutions de l équation (II.25) est identique à l ensemble des intégrales premières du système différentiel (II.21) que l on appele système adjoint ou caractéristique de l équation (II.25). Si on connait n 1 intégrales premières distinctes f 1, f 2,..., f n 1 du système adjoint, toute intégrale première f est fonction de f 1, f 2,..., f n 1. L ensemble des solutions de l équation linéaire et homogène (II.21) est représentée par une fonction de n 1 intégrales premières du système adjoint : f = Ω(f 1,xf 2,...,f n 1 ) (II.25)

II.3 Eq. lin. et hom. aux dérivées partielles du 1 er ordre : cas d une fonction de 2 var. 19 II.3 Equation linéaire et homogène aux dérivées partielles du 1 er ordre dans le cas d une fonction de 2 variables Soit Z = ϕ(x,y) la fonction inconue. Soient p = Z, q = Z ses dérivées partielles. Soit l équation : et une équation implicite contenant Z. D après la théorie des fonctions implicites, P(x,y,Z) Z + Q(x,y,Z) Z = R(x,y,Z) f(x,y,z) = f(x,y,ϕ(x,y)) = 0 f x + f Z Z = 0 f y + f Z Z = 0 (II.26) (II.27) (II.28) avec : f x = f,f y = f,f Z = f Z d où : p = Z = f x f Z q = Z = f y f Z (II.29) L équation (II.26) s écrit : soit : P(x,y,Z) f x f Z + Q(x,y,Z) f y f Z + R(x,y,Z) = 0 (II.30) P(x,y,Z) f + Q(x,y,Z) f f + R(x,y,Z) Z = 0 (II.31) On ramène ainsi l intégration de (II.26) à celle d un équation homogène. Si φ 1 = C 1 et φ 2 = C 2 sont deux intégrales premières du système adjoint : P(x,y,Z) = l intégrale générale est une fonction arbitraire : dy Q(x,y,Z) = φ = Ω(φ 1,φ 2 ) dz R(x,y,Z) et l équation générale des surfaces intégrales de l équation (II.26) peut s écrire : Exercice II.3 Résoudre l équation : Ω(φ 1,φ 2 ) = 0 (II.32) x Z + 2(y a) Z = Z(x,y) (II.33) solution : Le système adjoint est :

20 Equations linéaires aux dérivées partielles du premier ordre x = dy 2(y a) = dz Z De ce système, on obtient deux intégrales premières : { Z = C1 x x 2 = C 2 (y a) (II.34) (II.35) On a C 1 = Ω(C 2 ), soit : où Ω désigne une fonction arbitraire. Z(x,y) = xω( x2 y a ) II.4 Facteur intégrant d une forme différentielle du premier ordre à deux variables II.4.1 Détermination d un facteur intégrant de la forme µ(x,y) Nous avons vu dans le paragraphe I.3.3, comment déterminer les facteurs intégrants d une forme différentielle non exacte de la forme F(x) ou F(y). Nous recherchons ici les facteurs intégrants de la forme µ(x,y) Soit δv = P(x,y) + Q(x,y)dy une forme différentielle à 2 variables, telle que : µ(x,y) est un facteur intégrant, si est une différentielle totale, c est à dire si : Soit : P Q du = µp(x,y) + µq(x,y)dy (µp) = (µq) Q µ P µ ( P = µ Q ) (II.36) L équation (II.36) est une équation linéaire aux dérivées partielles du 1 er ordre. le système adjoint s écrit : Q = dy P = dµ µ ( P Q ) En intégrant l équation différentielle P + Qdy = 0, on trouve une intégrale première. Soit φ(x,y) = C 1 l expression de cette intégrale première. On peut calculer y en fonction de x et C 1. P(x,y) et Q(x,y) deviennent alors des fonctions de x et C 1 de sorte que : µ µ = 1 Q ( P Q ) est une équation différentielle à variables séparées. En intégrant on trouve : µ = C 2 F(x,C 1 ) (II.37) soit : F(x,φ(x,y)) = G(x,y)

II.4 Facteur intégrant d une forme différentielle du premier ordre à deux variables 21 et µ G(x, y) est la seconde intégrale première du système adjoint. On trouve tous les facteurs intégrants en écrivant µ que est une fonction de φ(x,y), soit : G(x,y) H étant une fonction arbitraire d une variable. µ = G(x,y)H[φ(x,y)] Exercice II.4 Trouver tous les facteurs intégrants de la forme différentielle :. solution : Soit M(x,y) = y et N(x,y) = x. M = 1 N = 1 M N δv = y + xdy µ(x,y) est un facteur intégrant de δv si la forme différentielle est exacte. µ doit donc vérifier : soit : soit : la différentielle δv n est pas exacte du = µy + µxdy (µ( y)) = (µx) µ y (µ) = µ + (µ) 2µ + y (µ) + (µ) = 0 Le système adjoint à cette équation aux dérivées partielles est : x = dy y = dµ 2µ (II.38) Les intégrales premières de ce système adjoint sont : y = C 1 x x 2 = C 2 µ (II.39) d où : µ(x,y) = 1 x 2 Ω(y x )

22 Equations linéaires aux dérivées partielles du premier ordre

Chapitre III Equations aux dérivées partielles d ordre n à 2 variables, linéaires et homogène, à coefficients constants III.1 Définition Soit : n Z Ω(Z) = A 0 n + A n Z 1 n 1 +... + A n Z k n k k +... + A n Z n n = 0 où les A i sont des coefficients constants. Considérons l équation : ϕ(r) = A 0 r n + A 1 r n 1 +... + A k r n k +... + A n = 0 (III.1) (III.2) Soient α 1, α 2,..., α n les racines réelles de cette équation. Si Ω(Z) désigne l opérateur constituant l équation (III.1), l identité algébrique : a pour conséquence l identité symbolique : ϕ(r) = A 0 (Z α 1 )(Z α 2 )...(Z α n ) ( ) ( Ω(Z) = A 0 α 1 α 2 ) ( Z... α n ) Z (III.3) (III.4) Si on introduit les inconnues auxiliaires Z i, le système (III.10) est équivalent à l équation (III.4) : Z α Z n = Z n 1 Z n 1 α n 1 Z n 1 = Z n 2 Z n k. α n k Z n k = Z n k 1 (III.5). Z 1 α Z 1 1 = 0 Ces diverses équations sont des équations linéaires aux dérivées partielles en Z 1 puis en Z 2,..., Z n 1 et Z.

24 Eq. aux dérivées partielles d ordre n à 2 variables, linéaires, homogènes, à coeff. csts exemple Pour n = 2, l équation (III.1) s écrit : L équation (III.4) devient : 2 Z Ω(Z) = A 0 2 + A 2 Z 1 +... + A 2 Z 2 2 = 0 ( Ω(Z) = A 0 α 1 )( Z α n ) Z (III.6) (III.7) Si on développe l équation (III.7), on obtient : ( α 1 )( Z α n ) Z D où : A 0 = 1, A 1 = (α 1 + α 2 ), A 2 = α 1 α 2 et = 2 Z 2 α 2 Z 2 α 2 Z 1 + α 2 Z 1α 2 2 = 0 = 2 Z 2 (α 1 + α 2 ) 2 Z + α 1α 2 2 Z 2 = 0 (r α 1 )(r α 2 ) = r 2 (α 1 + α 2 )r + α 1 α 2 III.2 Intégration 1 re étape Considérons tout d abord : Z 1 α Z 1 1 = 0 Le système adjoint à cette équations aux différentielles partielles est : 1 = dy = dz 1 α 1 0 (III.8) Les intégrales premières sont donc : { C1 = y + α 1 x C 2 = Z (III.9) L intégrale générale est alors : où ϕ 1 est une fonction arbitraire. Z 1 = ϕ 1 (y + α 1 x) 2 me étape Portons cette valeur de Z 1 dans l équation : Soit : Z 2 α Z 2 2 = Z 1 Z 2 α Z 2 2 = ϕ 1(y + α 1 x) Le système adjoint à cette équation aux différentielles partielles est : 1 = dy dz 2 = α 2 ϕ 1 (y + α 1 x) (III.10) L intégration dépend des valeurs respectives de α 1 et α 2. 1. Premier cas : α 1 α 2 1 = dy α 2 y = α 2 x = K Il en résulte : ϕ 1 (y + α 1 x) = ϕ 1 [K + (α 1 α 2 )x)]

III.2 Intégration 25 Posons : u = K + (α 1 α 2 )x) D après le système adjoint (III.10), on a : du = (α 1 α 2 ) dz 2 = Il apparait comme nouvelle intégrale première : 1 α 1 α 2 ϕ 1 (u)du Z 2 Φ 1 (u) = K où (α 1 α 2 )Φ 1 (u) est une primitive de ϕ 1 (u). Soit : Z 2 Φ 1 (y + α 1 x) = K L intégrale générale s obtient en écrivant que K est une fonction arbitraire de K, Φ 2 (K), soit : Z 2 = K + Φ 1 (y + α 1 x) = Φ 1 (y + α 1 x) + Φ 2 (y + α 2 x) 2. Deuxième cas cas : α 1 = α 2 Le système adjoint s écrit alors : 1 = dy dz 2 = α 1 ϕ 1 (y + α 1 x) (III.11) Il admet toujours comme intégrale première : d où : soit : y + α 1 x = K 1 = dz 2 ϕ 1 (K) Z 2 xϕ 1 (K) = K Z 2 = xϕ 1 (K) + K L intégrale générale s obtient en écrivant que K est une focntion arbitraire de K, soit : 3 me étape Résolution de : Z 2 = xϕ 1 (y + α 1 x) + ϕ 2 (y + α 2 xk) Z 3 α Z 3 3 = Z 2 Il faut distinguer suivant les valeurs de α 1, α 2 et α 3. 1. Premier cas : α 1 α 2 α 3 Il faut résoudre : Z 3 α Z 3 3 = Φ 1(y + α 1 x) + Φ 2 (y + α 2 x) Le système adjoint associé à cette équation aux dérivées partielles est : 1 = dy dz 3 = α 3 Φ 1 (y + α 1 x) + Φ 2 (y + α 2 x) (III.12) Ce système admet comme intégrale première : y + α 3 x = C 1 Il en résulte que : Φ 1 (y + α 1 x) + Φ 2 (y + α 2 x) = Φ 1 [(C 1 + (α 1 α 3 )x] + Φ 2 [(C 1 + (α 2 α 3 )x](iii.13) = Φ 1 (u) + Φ 2 (v) (III.14)

26 Eq. aux dérivées partielles d ordre n à 2 variables, linéaires, homogènes, à coeff. csts en posant : { u = C1 + (α 1 α 3 )x = y + α 1 x v = C 1 + (α 2 α 3 )x = y + α 2 x (III.15) On a alors : D où : dz 3 = [Φ 1 (u) + Φ 2 (v)] (III.16) = 1 1 Φ 1 (u)du + Φ 2 (v)dv α 1 α 3 α 2 α 3 (III.17) Z 3 = Ψ 1 (u) + Ψ 1 (v) + C 2 (III.18) = Ψ 1 (y + α 1 x) + Ψ 2 (y + α 2 x) + C 2 (III.19) Z 3 = Ψ 1 (y + α 1 x) + Ψ 2 (y + α 2 x) + Ψ 3 (y + α 3 x) 2. Deuxième cas : α 2 = α 3 α 1 Il faut résoudre : Z 3 α Z 3 2 = Φ 1(y + α 1 x) + Φ 2 (y + α 2 x) Le système adjoint associé à cette équation aux dérivées partielles est : 1 = dy dz 3 = α 2 Φ 1 (y + α 1 x) + Φ 2 (y + α 2 x) (III.20) Ce système admet comme intégrale première : y + α 2 x = C 1 Il en résulte que : Φ 1 (y + α 1 x) + Φ 2 (y + α 2 x) = Φ 1 [(C 3 + (α 1 α 2 )x] + Φ 2 (C 3 ) (III.21) = Φ 1 (w) + Φ 2 (C 3 ) (III.22) En posant : w = C 3 + (α 1 α 2 )x = y + α 1 x On a alors : d où : dz 3 = [Φ 1 (w) + Φ 2 (C 3 )] (III.23) = 1 Φ 1 (w)dw + Phi 2 (C 3 ) α 1 α 2 (III.24) L intégrale générale sera donc : Z 3 = Θ(w) + xψ 2 (C 3 ) + C 4 (III.25) = Θ(y + α 1 x) + xψ 2 (y + α 2 x) + C 4 (III.26) Z 3 = Θ(y + α 1 x) + xψ 2 (y + α 2 x) + Ψ 3 (y + α 2 x) 3. Troisième cas : α 1 = α 2 = α 3 Il faut résoudre : Z 3 α Z 3 1 = xφ 1(y + α 1 x) + Φ 2 (y + α 1 x) Le système adjoint associé à cette équation aux dérivées partielles est : 1 = dy dz 3 = α 1 xφ 1 (y + α 1 x) + Φ 2 (y + α 1 x) (III.27)

III.3 Généralisation 27 Ce système admet comme intégrale première : Il en résulte que : y + α 1 x = C 5 xφ 1 (y + α 1 x) + Φ 2 (y + α 1 x) = xφ 1 (C 5 ) + Φ 2 (C 5 ) On a alors : dz 3 = xφ 1 (C 5 ) + Φ 2 (C 5 ) d où : Z 3 = x 2 Ω 1 (C 5 ) + xω 2 (C 5 ) + C 6 (III.28) = x 2 Ω 1 (y + α 1 x) + xω 2 (y + α 1 x) + C 6 (III.29) L intégrale générale sera donc : Z 3 = x 2 Ω 1 (y + α 1 x) + xω 2 (y + α 1 x) + Ω 3 (y + α 1 x) III.3 Généralisation 1. Si l équation caractéristique ϕ(r) = 0 n admet que des racines simples α 1,α 2,...,α n, l intégrale générale est données par : Z = Φ 1 (y + α 1 x) + Φ 2 (y + α 2 x) +... + Φ n (y + α n x) (III.30) où les (Φ i ) sont des fonctions arbitraires d une variable. 2. Si l équation caractéristique ϕ(r) = 0 admet des racines multiples α k d ordre p k à chaque racine correspnd un polynome entier de degré (p i 1) en x de la forme : Φ 1 (y + α k x) + xφ 2 (y + α k x) + x 2 Φ 3 (y + α k x) +... + x (p k 1) Φ pk (y + α k x) où les (Φ i ) sont des fonctions arbitraires d une variable. Exercice III.1 Résoudre l équation aux dérivées partielles d ordre 3 suivante : 3 Z 3 2 3 Z 2 3 Z 2 + Z 2 3 3 = 0 (III.31) solution : Soit L équation caractéristique est : r 3 2r 2 r + 2 = 0 (r 1)(r + 1)(r 2) = 0 (III.32) l équation (III.32) n admet que des racines simples, d où : Z(x,y) = Z = Φ 1 (y + x) + Φ 2 (y x) +... + Φ 3 (y + 2x) III.4 Equations aux dérivées partielles à 3 variables, linéaires et homogène, à coefficients constants Soit la différentielle : dz = A(x,y,Z) + B(x,y,Z)dy (III.33)

28 Eq. aux dérivées partielles d ordre n à 2 variables, linéaires, homogènes, à coeff. csts où,dy, et dz désignent les différentielles de 3 variables parmi les quelles 2 sont indépendantes, par exemple x et y. Si on considère Z(x,y) comme une fonction inconnues des 2 variables indépendantes x et y, l équation (III.33) est équivalente aux deux équations aux dérivées partielles : Z = A(x,y,Z) Z = B(x,y,Z) (III.34) En calculant les dérivées d ordre 2, successivelment par rapport à y, puis par rapport à x, on établit : 2 Z = A + A Z Z = A + B A Z (III.35) 2 Z = B + B Z Z = B + A B Z D après l égalité des dérivées secondes : A + B A Z = B + A B Z (III.36) Si la relation (IV.2) est vérifiée, x et y étant des variables indépendantes, l équation (III.33) est complètement intégrable. démonstration Considérons l équation : Z = A(x,y,Z) (III.37) considérée comme une équation diférentielle ordianire du premier ordre entre ka fonction Z et la variable indépendante x. Son intégrale générle dépend de x et y et de la constante d intégration γ(y). Soit Z = ϕ[x,y,γ(y)] Ainsi l équation : Z = B(x,y,Z) (III.38) devient : par ailleurs, D où : Soit : Z = B(x,y,ϕ[x,y,γ(y)]) Z = ϕ[x,y,γ(y)] B(x,y,ϕ[x,y,K(y)]) = ϕ[x,y,γ(y)] B(x,y,ϕ[x,y,K(y)]) = ϕ γ γ En dérivant le second terme de l équation (IV.10) par rapport à y, on trouve : (III.39) (III.40) (III.41) γ = B(x,y,ϕ[x,y,K(y)]) ϕ γ ϕ (III.42) Montrons que cette dernière équation est une équation différentielle ordinaire en entre γ et y seuls, c est à dire que le second membre ne dépend pas de x. Pour cela, il suffit de montrer que la dérivée du second membre par rapport à x est nul. Soit : C = B(x,y,ϕ[x,y,K(y)]) ϕ ϕ γ

III.4 Eq. aux dérivées partielles à 3 variables, linéaires et homogènes, à coeff. csts 29 Nous avons : C = ϕ [ B γ + B ] [ ϕ Z 2 ϕ B ϕ ] 2 ϕ γ Z = ϕ = A(x,y,ϕ) 2 ϕ = A + A Z ϕ (III.43) (III.44) 2 ϕ γ = A ϕ Z γ En remplaçant ces équations dans l équation (III.43), on obtient : C = ϕ [ B γ + A B Z A A ] ϕ Z = ϕ [ B γ + A B Z A B A ] Z Donc, Si la relation (IV.2) : est vérifiée, alors C Exercice III.2 Soit : A + B A Z = B + A B Z [ B ϕ = 0 et donc la différentielle est complètement intégrable. dz = x Z + y Z dy ] A ϕ Z γ (III.45) (III.46) (III.47) (III.48) solution : posons : A = x Z et B = y Z dz est complètement intégrable si la relation(iv.2) est vérifiée. Soit si : Or : A + B A Z = B + A B Z A + B A Z = y x Z Z 2 = xy Z 3 B + A B Z = x y Z Z 2 = xy Z 3 La relation(iv.2) est bien vérifiée, dz est donc complètement intégrable. On a : ZdZ = x + ydy (III.49) (III.50) (III.51) d où : x 2 + y 2 + C = Z 2

30 Eq. aux dérivées partielles d ordre n à 2 variables, linéaires, homogènes, à coeff. csts

Chapitre IV Equations non linéaires aux dérivées partielles du premier ordre IV.1 Méthode d intégration On cherche à résoudre des équations du type : F(x,y,Z, Z, Z ) = 0 (IV.1) par exemple : ( ) 2 Z + ( ) 2 Z = a 2 Soit p = Z Z et q =. A l équation à résoudre F(x,y,Z,p,q) = 0, associons une seconde équation de la forme : G(x,y,Z,p,q) = λ où λ est un paramètre, et cherchons à déterminer G, fonction de 5 variables telle que ces deux équations soient compatibles. leurs solutions communes dépendent alors d une constante d intégration µ de sorte qu elles constituent une solution de F = 0 dépendant alors de λ et de µ. Pour former la condition de compatibilité, on tire p et q des 2 équations. Ce sont des fonctions de x, y et Z et l on écrit : dz = p + qdy est complètement intégrable si : p + q p Z = q + p q Z (IV.2) On calcule des dérivées de p et q en dérivant les 2 éuqations par rapport à x, y et Z, considérées comme

32 Equations non linéaires aux dérivées partielles du premier ordre variables indépendantes : F x + p F p + q F q = 0 F y + p F p + q F q = 0 F Z + p Z F p + q Z F q = 0 G x + p G p + q G q = 0 G y + p G p + q G q = 0 (IV.3) G Z + p Z G p + q Z G q = 0 Remarque :On a ainsi considéré p et q comme des fonctions de x, y et Z variables indépendantes. C est seulement en écrivant la condition d intégrabilité que l on considère que Z est une fonction de x et y. On a ainsi : (F p G q F q G p ) p = F qg y F y G q (F p G q F q G p ) q = F xg p F p G x (F p G q F q G p ) p Z = F qg Z F Z G q (F p G q F q G p ) q Z = F ZG p F p G Z (IV.4) Or, F p G q F q G p est le déterminant du jacobien de F et G par rapport aux variables p et q. Comme F et G ne sont pas liées, ce déterminant est non nul. Donc F p G q F q G p 0 la condition d intégrabilité s écrit donc : F q G y F y G q + q(f q G Z F Z G q ) = F x G p F p G x + p(f Z G p F p G Z ) soit : F p G x + F q G y + (pf p qf q )G Z (F x + pf Z )G P (F y + qf Z )G q = 0 (IV.5) L équation (IV.10) est une équation aux dérivées partielles, linéaire, homogène de la fonction G de 5 variables. Le système adjoint associé est : F p = dy F q = dz pf p qf q = dp F x + pf Z = dq F y + qf Z (IV.6) Toute intégrale première de ce système contenant effectivement p ou q fournit une fonction G(x,y,Z,p,q). Il n est pas nécessaire de connaitre toutes les intégrales premières. Il suffit d en connaitre une, puis on intègre le système : { F = 0 (IV.7) G λ = 0 qui est un système complètement intégrable d après la condition d intégrabilité. On tire alors p et q et on intègre la différentielle : dz = p + qdy

IV.1 Méthode d intégration 33 1. On intègre G λ = 0 en la considérant comme une équation différentielle ordianire en x et z s il y a p dans G ou en y et Z s il y a q dans G. l intégration est alors fonction d une constante Ψ(y) ou Ψ(x). 2. On intègre ensuite la deuxième équation qui est une équation différentielle relative à Ψ(y) ou Ψ(x). Exercice IV.1 Résoudre : ( ) 2 Z + ( ) 2 Z = a 2 solution : Posons : et On doit résoudre : on a : Le système adjoint s écrit : d où : et d où : et p = Z q = Z p 2 + q 2 = a 2 F x = 0;F y = 0;f Z = 0F p = 2pF q = 2q 2p = dy 2q = dz 2p 2 + 2q 2 = dp 0 = dq 0 p = C 1 q = C 2 = dy y x = C 3 C 1 C 2 C 2 C 1 = dz C 1 p 2 + q 2 = dz a 2 Z a 2 x = C 4 C 1 (IV.8) (IV.9) (IV.10) Parmi ces quatre intégrales premières, il suffit d en choisir une seule pour résoudre le problème. Prenons par exemple : p = C 1 on doit intégrer le système : { p 2 + q 2 = a 2 (IV.11) p = C 1 si on pose C 1 = acosλ alors et d où : d où p = acosλ = Z q = asinλ = Z dz = acosλ + asinλdy Z = axcosλ + aysinλ + µ