chapitr La fonction ponntill Activités (pag ) ACTIVITÉ a) Pour tout point M la tangnt coup l a ds abscisss donc f ( ) b) y f( ) = f ( ) ( ) c) (T) coup l a ds abscisss pour y = f ( ) t = - f ( ) a) TH = i équivaut à absciss d TH st f ( ) donc - = d où f( ) = f ( ) f ( ) b) Il n résult qu f convint si t sulmnt si f = f ACTIVITÉ f t + = f(t ) + f (t ) = f(t ) + n n n t f(t ) = y = d où y = + n a) f t k + f(t k ) + f (t k ) or f (t k ) = f(t k ) n n donc f t k + = f(t k ) + n n n choisit y k + = y k + n b) Par récurrnc il st évidnt qu y k = + k n Travau dirigés (pag 97) TD Pour tout rél, f( + ) = f( ) f() = Donc pour tout rél X, f(x) = a) f( + ) = f() f(), donc f()[ f()] = pour tout rél Il n résult qu f() = b) f + = f = f(), donc pour tout rél X, f(x) > a) g st dérivabl sur t pour tout rél y, g (y) = f ( + y) = f()f (y) b) Il n résult qu f () = f ()f() = af() avc a = f () c) f() = k a t f() = donc k = a(+y) = a ay donc f( + y) = f() f(y) TD a) f () = D après l tablau d variations : f () + f Pour tout rél : f() donc ( + ) () Pour tout rél <, <, > t > donc - () a) = avc < < d après () + n n n donc + n () n n + b) < donc - soit - n + - n + + donc + n +, n n d où l résultat - Chap La fonction ponntill 5
a) g () =! n + + + + ( n )! = < n! Donc g() < n démontr d mêm qu h st croissant sur [ ; ] t qu h() > Il résult alors d l étud précédnt qu + < t! +! + + n! + + + + > donc! n! n! + + + < < + + + + + ()! n!!! n! n! TD Il rst A g () g() n À partir d la troisièm injction b > donc + b kt > pour tout rél t lim f(t) = a t lim f(t) = n! n! n! + n! + +! < n! < (n! + n! + + ) + En posant a n = n! + n! + + il n résult qu a n < n! < a n + n!p a) Si q n alors q divis n! donc st un q n!p ntir r st strictmnt compris ntr du q ntirs consécutifs donc q n st impossibl b) Il résult qu qul qu soit n >, q > n C qui st impossibl donc st irrationnl,a Quantité d médicamnt dans l sang A = (hurs) 8 6 8 56 6 t t t akb kt f (t) = ( + b kt ) t f (t) + f(t) Pour a =, b = t k = n a la fonction f : t + t a) (t) = k(t) + k équation du typ y = ay + b donc ls solutions sont : f : t λ kt + b) = λ + donc k = 96 Il n résult qu f(t) = 96 kt + f() = 6 donc 6 = 96 k + soit k 7 = 8 f(5) = 96( k ) 5 + = 7 5 96 + 8 Soit f(5) 58 Mis n mouvmnt d un canot : r F mv = rv + F ou v = v + donc m m r t m F v(t) = λ + r r r m F m v() = F donc = λ + soit λ = F r r r r t m donc v(t) = F m F + r r F La vitss limit du canot st r TD y y = ( ) h () = - a + b donc h() h () = + = donc h st solution d (E) a 6
g solution d (E) si t sulmnt si g g = soit g g + h h = r h h = donc g g = g () = λ g() = λ + h() = a + b + c h () = a + b h() + h () = a + (b + a) + c + b = + d où a =, b = t c = soit h() = + donc ls solutions sont donnés pour tout rél par f() = λ + + h () = a sin + b cos h() + h () = (b a) sin + (a + b) cos = 5 cos 5 d où a + b = 5, b a =, b = = a 5 t h() = (cos + sin ) t f() = λ 5 + (cos + sin ) Corrigés ds rcics Maîtrisr l cours (pag ) La fonction ponntill a) b) c) + d) ) f) y [g()] [h()] = [g() + h()] [g() h()] soit = = [g()] + + = - = g() g()h() = ( ) = h() Corrigé dans l manul Corrigé dans l manul 5 a) ( + ) = soit + = = pas d solution b) = 6 a) + = équivaut pour à + = soit = ou = π π 5π b) Sin = sin d où = + kπ ou = - + kπ 6 6 6 7 a) L équation équivaut à + 6 = soit = ou = b) L équation équivaut à + = donc pas d solution 8 a) d où vrai pour tout rél b) L équation équivaut à 6 ou ( ) ( + + ) donc ] ; ] car + + > pour tout rél 9 a) L inéquation équivaut à Soit t ] ; ] b) ( ) ( ) > donc {} Corrigé dans l manul Étud d la fonction ponntill 5 6 Corrigé dans l manul f () = f () = ( + ) f () = [ cos ] ( ) f () = - ( ) f () = = ( ) 7 f () = ( ) = g() g () = ( + ) = f() g ( )f ( ) g ( )f ( ) [ f ( )] [ g ( )] h () = - = - f r [f()] [g()] = (voir corrigé rcic ) t h () = ou h () = f ( ) f f Chap La fonction ponntill 7
8 f() = t f( ) = donc = b t = ( a + b) donc a = b = ; a = t b = Ainsi pour tout rél, f() = ( + ) f () = ( ) t A a pour coordonnés ( ; ) 9 = a) f : La courb st déduit d par la translation d vctur zj b) f : s déduit d par la symétri par rapport à l a ds abscisss suivi d la translation d vctur zj (c st-à-dir la symétri par rapport à la droit d équation y = ) c) = si < t st la symétri d par rapport à l a ds abscisss > () Corrigé dans l manul j i 8 f() ( ) = t lim = donc la droit d équation y = st asymptot à > pour tout rél donc st au-dssus d la droit d 9 f() = t = donc la droit d équation y = + st asymptot à la courb f() = lim = donc la droit d équation y = + st asymptot à la courb lim f( ) = t lim f( ) = d où l résultat ( + ) ( ) a) f () = ( + ) 5 donc f () = - ( + ) b) f () + f() lim d Ds limits importants lim f( ) = ; lim f( ) = ; lim f ( ) = lim f( ) = lim f( ) = lim f( ) = lim f( ) = lim f( ) = 5 Corrigé dans l manul 6 f() = donc lim f( ) = lim f ( ) = 7 lim f( ) = lim f( ) = lim f ( ) = lim f( ) = + D Corrigé dans l manul a) lim f( ) = lim f( ) = b) f() + = t lim = donc la droit d st asymptot obliqu à n f () = f () + f() 8
d f( ; 9),9,, f(,8),8,, donc,9 < α <,8 Mêm chos pour, < β <, b) Il résult qu f() < pour ]α ; β[ 6 lim f( ) = t lim f( ) = f () = ( ) d où l tablau avc f() = lim f( ) = lim f( ) = a) f() ( ) = t = lim + + d où l résultat b) f() ( + ) = - t = lim - d où l résultat f () = - ( + ) ( ) f () = - ( + ) f () + + f() Si m > t m < on a du solutions t m > zéro solution Ds fonctions u() 7 f () = + 8 f () = [] d 9 f () = sin [cos sin ] Corrigé dans l manul (D) 5 lim f( ) = lim f( ) = f () = α β f () + f() a) f bijction d ] ; ] sur [ ; [ donc il ist α uniqu d ] ; ] tl qu f(α) = D mêm pour β dans [ ; [ a) + t sont dérivabls sur ] ; [ b) Pour tout >, f () = + f ( ) f( ) f() = t - = = donc f st dérivabl n = lim a) f( ) = = f() donc f st pair t admt l a ds ordonnés pour a d symétri b) f () = f () f() Chap La fonction ponntill 9
f () = = ( ) lim f ( ) = t lim f( ) = f () + f() f () f () = [ sin ] π sin = sur [ ; π] = π π donc un sul point commun A ; f () = f () = ( sin + cos ) f π = f = donc ls du courbs ont un π π tangnt commun n A a) f() = λ b) f() = λ 6 a) f() = λ b) f() = λ 7 f() = λ f() = λ = donc f() = Corrigé dans l manul f() = λ t = λ 5 Équations différntills 5 8 donc λ = t f() = 5 f() = λ f = λ = d où λ = t u : 9 f () = f() f ( ) = donc f( ) = 5 5 a) f() = λ b) f() = λ + c) f() = λ + d) f() = λ + 5 f() = λ f() = d où k = t f() = f () = donc f() = t λ = donc f() = 5 5 55 Corrigé dans l manul f () = 6 donc f () = f() f () = 6 d où f () = f() 8 6 Applications 56 a) f() + =, lim = donc la droit d st asymptot à n b) f() ( ) = > donc st au-dssus d d lim f ( ) = lim f( ) = f () = f () si t sulmnt si ou donc f() = f st un bijction d ] ; ] sur [ ; [ donc a un antécédnt uniqu α dans ] ; ], d plus f( ) = > t f( ) = < donc < α < D mêm f st un bijction d [ ; [ sur [ ; [ donc a un antécédnt uniqu β dans [ ; [ f() = + < f() = > donc < β < 57 I (λ) = K - λ K λ 7 K K I (λ) > si λ < - t I (λ) < si λ > - 5 5 K donc I(λ) st maimal pour λ = - 5 5 5 t I(λ ) = 5 = 5-5 K 58 K 5 Corrigé dans l manul 5 - λ K 5λ = λ 6 59 k y = y + g m k t Ls solutions dans sont f(λ) = λ m gm + - k k gm gm t r f() = donc λ = - t v(t) = - m k k 6 a) f() ( ) = ( ) lim ( ) = donc la droit st asymptot à b) f() ( ) = ( ) si < f() > donc st au-dssus d K λ 7 5
a) f () = + [ ] = + ( ) b) Si < donc f () c) f () = f () + f() La tangnt à n A d absciss a st parallèl à si t sulmnt si f (a) = Soit a a + a = soit a (a ) = donc a = t A a pour coordonnés ( ; ) Apprndr à chrchr (pag 5) 6 Tangnts à un courb issus d un point Ls outils : Étud d un fonction Équations d droits Ls objctifs Savoir traduir un problèm par un problèm équivalnt Savoir utilisr un tablau d variations a) f() ( ) = lim = donc la droit d équation y = st asymptot à n b) f () = Du tablau il résult qu f() a) M ( ; f( )) t f ( ) = d où l équation d T : y + + = ( ) ( ) d où y = ( ) + ( ) b) T ( ) = () a) lim ϕ() = lim ϕ() = b) ϕ () = f () + f() α ϕ () + ϕ() a) Pour tout, ϕ() < D plus ϕ st un bijction d ] ; [ sur [ ; [ donc a un antécédnt uniqu α b) ϕ() = ϕ() = > donc α ] ; [ α,8 6 Famill d fonctions t liu géométriqu Ls outils : Étud d un famill d fonctions Définir analytiqumnt un liu géométriqu Ls objctifs Savoir détrminr un liu géométriqu ( + m ) ( + m ) = (m m ) Donc si m m (m m) donc ls courbs m t m n ont pas d point commun a) f m () = ( m + ) b) Pour tout rél m, I m a pour coordonnés ( m ; m ) a) = m, y = m d où y = b) Ainsi I m appartint à la courb Γ d équation y = = m donc lorsqu m décrit, décrit n n déduit alors qu I m décrit tout la courb (Γ) Pour progrssr (pag 6) Étuds d fonctions 6 lim f () = ; lim f () = ; lim + f () = ; lim f () = - f () = ; ( ) f () + + f + Chap La fonction ponntill 5
f () f() lim - = + y f b),5 < α <,6 66 lim f () = t lim f () = d où ls courbs + f ( ) + f () = = donc A st cntr ; + d symétri d n démontr d mêm qu A st cntr d symétri pour f ( ) = - = f () = + + donc l a ds ordonnés st a d symétri a) f () + f () = b) st donc l imag d par la réflion d a la droit d équation y = 6 lim f () = ; lim f () = ; lim = ; lim f () = f () = < ; ( + ) f () f f () 65 f() = g() = La courb associé à g st cll qui présnt un maimum au point d cordonnés ( ; ) a) h () = f () g () = + = ( ) = g() b) h () + + h() + y a) f() = g() si t sulmnt si h() = r h() = s annul pour un sul valur α d l intrvall ] ; [ r h() = < t h() = > donc α ] ; [ 67 La tangnt n A a pour équation y = + t (Γ) st au-dssus d ctt tangnt donc pour tout rél u, u u + () A (G) a) En posant u = d après () + soit + > donc ( ) soit + ( ) () + ( ) f () = - En tnant compt d (), f () t la fonction f st strictmnt croissant sur ] ; [ 68 a) f() ( ) = ; + = + + f () ( + ) = = + + b) lim f () = ; lim f () = c) lim [f() ( )] = t lim [f() ( + )] = Donc ls droits t sont asymptots à rspctivmnt n t d) Au voisinag d, st au-dssus d t au voisinag d, st n dssous d d 5
a) f( ) = = + + + = f(), donc f st impair b) f () = - + > ( + ) = - ( + ) α + f () + f La tangnt n = a pour cofficint dirctur y 7 a) lim f () = ; lim f () = f () = ( + ) ( + ) - ( ) ( + ) = - ( + ) f () + f y T α f st strictmnt croissant t f(] ; [) = ] ; [,6 < α <,7 69 f() = + + t = lim f () a) t() = + + - ; = X t t(x) = (X + X + X )- ; X lim X = donc lim t( X) = + X b) Donc f st dérivabl n t l nombr dérivé n c point st a) f () = + + = - b) f () + f 7 a) g () = Pour tout rél, g() donc g () + g() b) donc f st défini sur a) lim f () = lim f () = ( ) b) f () = - ( ) c) T a pour équation y = g( ) f() = - r g(), donc > Pour, st au-dssus d T t pour >, st n dssous d T d) Tracé d T t f () + f() - T c) y Chap La fonction ponntill 5
7 A lim f () =, car si = X, + f() = - X t lim f( X) = X X lim f () = a) - = f() = b) lim [f() ] =, car lim - = Donc la droit d équation y = + st asymptot à n Pour tout rél >, f () = = - ; B lim f () = ; lim f () = g () g() a) - = ; lim = b) Donc g st dérivabl n zéro t l nombr dérivé n c point st zéro f () + f c) g () + g y a) ϕ () = ( ) ϕ () + ϕ () b) ϕ() = pour du valurs α t β d avc, < α <, t,8 < β <,9 n put donc mnr à du tangnts passant par A 7 a) M a pour coordonnés (m ; m ) t N a pour coordonnés (m ; m ) donc I a pour coordonnés m ; m + m - + b) y = + c) I st un point d la courb d équation y = r lorsqu on décrit, = m décrit donc (Γ) = () + a) f () = b) Ls tangnts T n M à t T n N à ont rspctivmnt pour équations : y = m + m ( m) t y = m + m ( + m) Lur point d intrsction P a pour coordonnés m - m m m ; - + m m + Il n résult qu IP a pour coordonnés m m - + m ; ( m m ) ( m + m ) f () + f() m m C vctur st colinéair au vctur u d coordonnés ; m m - r f (m) = ( m m ) donc (IP) st la tangnt n I à (Γ) 7 a) M a pour coordonnés ( ; ) t f ( ) = Donc a pour équation T y = ( ) + ( ) b) A T = + ( ) soit ( ) = () 5 75 a) M m a pour coordonnés (m ; m ) t P m a pour coordonnés (m ; m) La tangnt n M m à a pour équation y = m ( m) + m donc N m a pour coordonnés ( ; m ( m)) Donc G m a pour coordonnés m ; [ m + m + m ( m) ] soit m ; () [ m + m ( m) ]
b) D () on tir m = donc y = [ + ( )] a) f () = [ + ( )] f () = b) f () + f () c) f () = a un uniqu solution α dans ] ; [ f () = - < donc α ] ; [ À la calculatric on trouv α,65 α f () + f () f(α) 76 n a) f n () = - + > pour tout d [ ; [ ( + n) b) f n () = lim f n () = f n () + f n () a) f n (n) = n < b) Si n =, n + = > donc vrai Si n + > n +, n + > (n + ) > n + Donc la proportion st vrai pour tout n n c) f n (n + ) = - - n + n + = - - n + n + r n + > n + donc - < - t f n (n + ) < n + n + f n (n) f n (n + ) < d où l istnc d un solution uniqu un tll qu n < u n < n + 77 a) f()() = ( + + ) b) Pour n =, f () () st d la form ( + a n + b n ) avc a = t b = Si f (n) () = ( + a n + b n ) alors f (n + ) () = ( + (a n + ) + a n + b n ) d où f (n + ) () = ( + a n + + b n + ) avc a n + = a n + () t b n + = a n + b n () avc a n + ainsi qu b n + a) (a n ) st un suit arithmétiqu d prmir trm a = t d raison Donc a n = + (n ) = n + b n b n = a n b) b n b n = a n b b = a n a i d où b n = + n r a + + a n = - [ + n ] = n donc b n = n + a) Si d divis a n t b n, d divis α(n + ) + β(n + ) En prnant α = n t β =, d divis (n ) Il divis ainsi : (n + ) (n ) = 5 d = 5 si t sulmnt si n + [5] soit n [5] soit u [5] b) Pour ls autrs valurs d n, a n t b n sont prmirs ntr u 78 a) f () () = ( + ) = f + f Si f (n) () = nf () + f () alors f (n + ) () = nf () + f () = nf () + f () + f () = (n + )f () + f () d où f (n + ) = (n + )f + f Donc la proposition st vrai pour tout n b) La démonstration st analogu à la précédnt f = f f donc f (n) = [n(n )f + nf + f ] [nf + f ] soit f (n) = n(n 5)f + (n )f + f D où f () (n) = [ + (n ) + (n 5)] Équations différntills 79 f() = k, k a) f : a + b + c ; si f st solution d (E ), alors, pour tout rél, a + b + a + b + c = + a + (a + b) + b + c = + ; 7 a = ; b = ; c = - 9 7 b) g st solution d (E ) ainsi qu f, donc : g + g = + = f + f, d où (g f ) + (g f) = (g f) + (g f) = Ainsi (g f ) st solution d (E) Réciproqumnt, si (g f ) st solution d (E) : g + g = f + f = +, donc g st solution d (E ) c) Ls solutions (E ) sont ls fonctions : k 7 + + -, k 9 7 n chrch pour (E ) un solution d la form a cos + b sin Donc, pour tout rél : a sin + bcos + a cos + b sin = cos, d où b + a = t b a = Chap La fonction ponntill 55
Il résult qu b = - t a = - t ls solutions d (E ) sont ls fonctions k + - cos + - sin, k 8 g () = a, d où ( a + a) = t a = ; g() = Pour ls qustions t, l raisonnmnt st l mêm qu pour l rcic 79 Ls solutions d (E) sont donnés par k +, k 8 Comm pour l rcic 8, on trouv : g() = cos + sin, t ls solutions sont ls fonctions : k cos + sin, k 8 a) y = z +, y = z +, d où : y + y = z + z + +, donc z + z = b) z = k t y = k +, k f α () = α, d où k = α t f α () = α + a) f α () = α + ; f : ; α < : α > : α (α>) + f α () f α α lnα f α () + f α y + +lnα α (α<) b) L point d absciss a pour ordonné α t f ( ) = α +, donc la tangnt au point d absciss a pour équation : y α + = ( α)( + ) ou y = ( α), donc ll pass par l origin c) Au point ( ; α + ), f α ( ) = α + La tangnt n c point a pour équation : y α = ( α )( ), ou ncor y = ( α ) + α ( + ) [] L intrsction d ctt tangnt t d, d équation y =, st donné par α ( + ) = t = + Donc, pour donné, ls tangnts n à α passnt par l point d coordonnés ( + ; + ) 8 a) S il ist tl qu f( ) = alors f( ) f ( ) = C qui st impossibl donc pour tout d, f() b) g () = f ( ) f() + f( ) f () = c) g() = k avc g() = [f()] = 6, donc g() = 6 pour tout rél d) D après la qustion précédnt : 6 f ( ) f( ) = - d où f () = - f ( ) 6 t f st solution d (E) avc f() = - 6 ϕ() = λ, ϕ() = λ = donc ϕ() = Ctt fonction st la sul fonction vérifiant ls conditions () 8 f () f () g () = - ; or, =, donc : [ f ()] - [ f ()] + f () g g = [] n détrmin g suivant l princip ds rcics 79 t 8 : g() = k +, d où f() = -, k k + - 6 α L ponntill dans ls autrs scincs +lnα α lnα R - t L 85 E a) I(t) = K + - R E E L E b) I() = donc K = - t I(t) = - + - R R R E lim I(t) = - R t t 86 a) g(t) = K t b) g() = K = d où g(t) = t R - t c) g(t) équivaut à > soit t = 5 annés 56
u h a) h = - t u = donc u = - u h h u satisfait au conditions (E ) si t sulmnt si : h () t h() = t h = () t h() t h () t soit h() =, h (t) = h(t) + - b) h(t) = K + h() = d où K = t h(t) = donc u(t) = - t + c) lim u(t) = t 87 a) f st pair, donc l a ds ordonnés st a d symétri d sa courb rprésntativ - b) f () = - - > pour > AB a pour hautur approimativmnt 8,67 m 88 + A a) f () = ( + ) En posant g() = + g ( ) f () = - ( + ) b) g () = 8 f Il ist a uniqu d ] ; [ tl qu g(α) = avc, < α <, g(α) = donc α ( α) = α donc f(α) = - = - α( α) α α = (α ) 8,67 α g () + g() c) α f () + f() t f(α) t + f(a) Prndr touts ls initiativs 89 n Notons ϕ la fonction défini sur par ϕ() = ϕ () = t α β ϕ () + ϕ() Il ist du réls α t β t du sulmnt tls qu ϕ() = avc,9 < α <,8 t, < β <, Donc = {α ; β} t f() < pour tout d ]α ; β[ 9 f () = ( ) Eist-t-il tl qu ( ) = Notons ϕ la fonction défini sur par : ϕ() = ( ) ϕ () = ( ) Il ist donc du valurs d pour lsqulls ϕ() = soit α = t β ],6 ;,7[ Ainsi il ist du tangnts à la courb d cofficint dirctur 9 f () = ( + ) β ϕ () + ϕ() f () + f() a - r > donc l équation f() = n a pas - - 6 6 d solution Chap La fonction ponntill 57
9 La suit (u n ) st arithmétiqu d prmir trm u = t d raison donc u n = + n donc v n = n avc v = ( n ) v + + v n = ( ) n + lim = donc lim (v + + v n ) = - n 9 v () = u () u() r pour tout ] ; a[, u () < donc v st décroissant sur ct intrvall v () = (u () + u()) Pour > b, u () > t u() > Donc v st croissant sur ]b ; [ 9 f() = si t f() = si < + + Il n résult qu pour tout, f () = - t ( + ) pour tout <, f () = donc f () à droit ( + ) vaut t à gauch donc f n st pas dérivabl n = 95 n doit avoir f() = = a + b D autr part : si, f () = ( + ) t si >, f () = a Il faut donc qu f () = = a soit a = t b = donc si, f() = ( + ) Dans c cas f st dérivabl sur 96 La tangnt n M a pour équation y = a a ( ) + a Donc T a pour coordonné ; t M a pour a coordonnés ( ; ) donc UTH a pour coordonnés ; Ainsi TH = - n dépnd pas d la position a a d M sur Problèms (pag ) 97 A a) d a pour équation y = + donc m = p = t f() = + + ϕ() avc lim ϕ() = t lim ϕ() = b) L point A( ; ) st cntr d symétri donc f() + f( ) = () c) D () il vint : + + ϕ() + + ϕ( ) = donc ϕ() + ϕ( ) = t la fonction ϕ st impair ϕ( ) = ( a + b) Pour tout rél on a : (a + b + a + b) = donc b = D plus f () = ϕ () or f () = ( ) Donc ϕ () = D plus ϕ () = a( ) soit a = B a) f () = ( ) f () = t f() = donc la tangnt n = a pour équation y = ( ) + b) f() ( ) = + + f() ( ) = [ ] > pour tout rél donc si < st n dssous d T t si > st au-dssous d T a) f () = ( ) Sur, f () st donc du sign d ( ) L tablau d variation sur [ ; ] st : α f () + f () b) Sur [ ; ], f () f () <, il ist donc α uniqu tl qu f (α) = (car f st strictmnt croissant sur [ ; ] f (,5),5, f (,5) > d où,5 < α <,5 c) ( α ) α = Donc f(α) = + α α α α = + α - α α soit f(α) = - α D où c minimum rlatif a pour coordonnés α ; α α - α 98 Parti A lim f m () = ; (m +) f m () + f m lim f = ; f m () = ( + m + ) m () ; (m +) 58
a) S m a pour coordonnés ( m ; (m+) ) b) S m appartint à la courb d équation y = D plus m décrit, donc décrit Il n résult qu l liu d S m st la courb d équation y = y a) γ () = 8 + = ( ) ; lim γ() = ; lim γ() = ; γ () + γ y S S m Γ S M(a ; b) appartint à m équivaut à b a = a + m, donc m = b a a Par M, il pass un courb m t un sul Parti B M m a pour coordonnés ( ; ( + m) ) t f m ( ) = ( + m + ) Donc T m a pour équation : y = ( + m + ) ( ) + ( + m), ou ncor y = [( + ) + m( + )] D après l équation précédnt, T m pass par A d coordonnés ( ; ) Parti C M α ( ; ( + α) ), M β ( ; ( + β) ), M γ ( ; ( + γ) ) Donc M a pour coordonnés ( ; (α β) β M α ) t M ( ; (α γ) γ M α ) Donc M β M = α β α α γ M M γ α a) N st l barycntr d (M β, ) t (Mγ, k) ; donc N a pour coordonnés ; + β - kγ k β kγ Ainsi N décrit un courb α avc α = - k b) Pour k =, β =, γ = ; il vint α = = Donc E st 99 A a) M( ; y ) appartint à m équivaut à : y + = m, donc m = (y + ) Ainsi par M( ; y ) donné pass un courb m t un sul b) y = m a a, donc m m a a st un fonction croissant d m a) f m () = m 8 = (m ) b) Il résult d l écritur précédnt qu f m () a l mêm sign qu m b) f m () a l mêm sign qu m γ(), donc : si m > : pour tout rél, f m () > ; si m = : f m () > pour tout rél, t f m = si < m < : f m () s annul pour du valurs α t β t f m () > pour < α ou > β ; si m = : f m () > pour <, t f m () = ; si m < : f m () s annul pour un valur α < t f m () > pour < α m < m = < m < m = α f m () + f m f m (α) f m () + f m α β f m () + + f m f m (α) f m (β) f m () + + f m Chap La fonction ponntill 59
m > f m () + f m A( ; ) appartint à m équivaut à = m, donc f m = t () = ( ) y B a) f m (X) = donc X X = m t Y = m X X b) Il n résult qu S m appartint à la courb d équation : Y = X X X X ou Y = X X (équation d un parabol ) Pour tout rél X, m, donc ; n st pas un point S m a) K m ( ; m) t f m () = m, donc la tangnt T m n K m a pour équation y m = m ou ncor y = m( + ) Donc pour tout rél m, T m pass par l point A ; b) Voir figur ci-contr C st nouvau au bac (pag ) a) Vrai, n fft f () f () = ( ) t pour tout rél [ ; ] Donc f () f () b) Fau En fft f () = f () si t sulmnt si = ou = Donc il n y a pas d troisièm point commun a) Vrai car f () = ( ) t f () + f () = b) Vrai Pour tout rél, f () donc f () c) Vrai car < < d où du solutions distincts a) Vrai La tangnt n M à a pour équation y = ( m) m ( m) + m m Ell coup l a ds ordonnés n N d coordonnés ( ; m m ) r P a pour coordonnés (m ; m m ) donc N t P ont la mêm ordonné b) Vrai En fft : La tangnt n un point qulconqu pass par H( ; h) si t sulmnt si m m = h donc si l équation f (m) = h a ds solutions L tablau d variation d f st : 6 f () + f () f () + f () Donc si h ;, il ist trois réls pour lsquls f () = h d où trois tangnts à Vrai En fft n posant ϕ() = a b ϕ () a > α ϕ () + ϕ() Il ist donc α uniqu tl qu ϕ(α) donc = a + b a un solution uniqu Vrai En fft f () = [u() + u ()] r u() t u (), donc f () t f st strictmnt croissant Fau En fft, - = - t lim - = + Ainsi f n st pas dérivabl n = Fau En fft lim f() = + 5 Fau En fft l équation y + y = a pour solution ϕ() = k si ϕ() = alors k = t ϕ() = f() = c a + f() = 7 t f(5) = 6 donc 7 = c + 6 = c 5a + Il résult qu c = 5 t 5a = 5 f() = 5 a + = 5( 5a ) 6 + soit f() = 5 + 5 6