Réduction On note K = R ou C ; E, E i, F désignent des K-espaces vectoriels I Éléments propres d un endomorphisme II III Endomorphismes diagonalisables et trigonalisables Cas des matrices carrées Définition 1 Vecteur propre, valeur propre, sous-espace propre Soit M M n (K On appelle valeur propre de M tout scalaire λ K pour lequel il existe un vecteur u K n tel que u 0 et Mu = λu (on dit alors que u est un vecteur propre pour M associé à la valeur propre λ On appelle vecteur propre de M tout vecteur u K n tel que u 0 et Mu Vect(u Si λ K est une valeur propre de M, l ensemble E λ (M = { u K n Mu = λu } est appelée sous-espace propre de M associé à λ On note Sp(M l ensemble des valeurs propres de M Remarque Si M M n (K et f L (K n est l endomorphisme canoniquement associé à M, alors : Sp(M = Sp(f (les valeurs propres de M sont celles de f ; Quel que soit λ Sp(M, E λ (M = Ker(f λid = E λ (f Remarque Une matrice M M n (R peut être considérée comme une matrice de M n (C On note Sp R (M le spectre de M en tant que matrice de M n (R et Sp C (M son spectre en tant que matrice de M n (C Définition 2 Polynôme caractéristique Soit M M n (K On appelle polynôme caractéristique de M le polynôme χ M K[X ] défini par : x K, χ M (x = ( 1 n det(m x id = det(x id M 1
Remarque Si f L (K n est l endomorphisme canoniquement associé à M, alors χ M = χ f Proposition 3 Caractérisation des valeurs propres Soient M M n (K et λ K On a équivalence entre : (i λ est valeur propre de M ; (ii λ est racine de χ M ; (iii M λi n n est pas inversible; (iv rg(m λi n < n ; (v λ est valeur propre de f L (K n canoniquement associé à M Définition 4 Matrice diagonalisable, trigonalisable Soit M M n (K On dit que M est diagonalisable lorsqu il existe P GL n (K telle que P 1 MP soit diagonale On dit que M est trigonalisable (ou triangulable lorsqu il existe P GL n (K telle que P 1 MP soit triangulaire supérieure Proposition 5 Caractérisation des matrices diagonalisables Soit M M n (K On a équivalence entre : (i M est diagonalisable ; (ii La somme des dimensions des sous-espaces propres de M est égale à n ; (iii Le polynôme caractéristique χ M est scindé et pour toute valeur propre λ de M, la multiplicité de λ (en tant que racine de χ M est égale à la dimension de E λ (M; (iv L endomorphisme f L (K n canoniquement associé à M est diagonalisable Corollaire 6 Condition suffisante de diagonalisabilité Soit M M n (K Si χ M est scindé à racines simples, alors M est diagonalisable (réciproque fausse et ses sous-espaces propres sont de dimension 1 Théorème 7 Caractérisation des matrices trigonalisables Soit M M n (K On a équivalence entre : (i Le polynôme χ M est scindé ; (ii La matrice M est trigonalisable; (iii L endomorphisme f L (K n canoniquement associé à M est trigonalisable En particulier : toute matrice M est trigonalisable dans M n (C 2
Corollaire 8 Trace et déterminant fonction des valeurs propres Si M M n (K et le polynôme χ M est scindé, noté sous la forme : p χ M = (X λ k m k k=1 avec λ 1,,λ p disctinctes et m 1,,m p N, alors : det M = p k=1 λ m k k p tr M = m k λ k k=1 Remarque Ce résultat est valable même si M M n (R et λ 1,,λ n sont les valeurs propres complexes de A Proposition 9 Invariants sur les matrices semblables Soient A,B M n (K Si A et B sont des matrices semblables, alors rg A = rgb, det A = detb, tr A = trb et χ A = χ B (réciproque fausse
Les résultats à connaitre Droite stable par un endomorphisme Définition : valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre Si deux endomorphismes commutent, les sous-espaces propres du premier sont stables par le second Une somme de sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes est directe Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre Définition : polynôme caractéristique Caractérisation des valeurs propres d un endomorphisme en dimension finie Comparaison entre la dimension d un sous-espace propre et la multiplicité de la valeur propre Définition : endomorphisme diagonalisable Caractérisation : somme des dimensions des sous-espaces propres, base de vecteurs propres, matrice diagonale Caractérisation par le polynôme caractéristique Cas d un endomorphisme possédant n valeurs propres distinctes Contre-exemple pour la réciproque Définition : endomorphisme trigonalisable Caractérisation par le polynôme caractéristique Calcul de la trace et du déterminant lorsque le polynôme caractéristique est scindé Cas des matrices carrées : reformulation des résultats précédents Deux matrices semblables ont même trace, même déterminant et même polynôme caractéristique Contre-exemple pour la réciproque Quelques objectifs du chapitre Savoir diagonaliser des matrices et des endomorphismes donnés explicitement Savoir passer d un endomorphisme à une matrice et inversement pour obtenir des informations sur la réduction Savoir appliquer la réduction à la recherche du commutant, de racines carrées de matrices ou d endomorphismes, au calcul de puissances, à l étude des sous-espaces stables Savoir obtenir des informations sur les éléments propres à partir du rang, du noyau, de la trace, du déterminant, etc Savoir traduire matriciellement une relation de récurrence linéaire et utiliser la réduction En pratique Comment déterminer les éléments propres? Pour déterminer les éléments propres de f L (E :
Si E est de dimension finie, les valeurs propres sont les racines de χ f (polynôme caractéristique de f et pour chaque valeur propre, on détermine le sous-espace propre associé; On peut également partir de l équation f (x = λx dont on cherche les solutions avec λ K et x E, x 0 Dans le cas d une matrice A M n (K, on peut obtenir certains éléments propres de la manière suivante : Si rg A = p < n, alors 0 est valeur propre de A et le sous-espace propre associé, E 0 (A, est de dimension n p ; Si la somme des coefficients de chaque ligne de A est constante, égale à s K, alors s est valeur propre de A et le vecteur est un vecteur propre associé; De manière plus générale, si on note c 1,,c n le colonnes de A et x = Ax est une combinaison linéaire des colonnes de A, précisément : ( 1 1 ( x1 K n, alors x n Ax = x 1 c 1 + + x n c n ce qui permet parfois de trouver des vecteurs propres particuliers Lorsqu il ne manque que quelques valeurs propres, se rappeler que tr A et det A sont respectivement la somme et le produit des valeurs propres (dans C de A, comptées avec multiplicité Utilisation d un polynôme Supposons que f L (E et que l on dispose de scalaires a 0,, a p K tels que : a p f p + + a 1 f + a 0 id = 0 Si λ est une valeur propre de f et x est un vecteur propre associé, alors : a p λ p x + + a 1 λx + a 0 x = 0 et comme x 0, on a a p λ p + + a 1 λ + a 0 = 0 de sorte que λ est une racine du polynôme P = a p X p + + a 1 X + a 0 Les valeurs propres de f se trouvent donc parmi les racines de P (il faut savoir refaire ce raisonnement Quelques «types» particuliers de matrices et d endomorphismes Pour un endomorphisme f : K n [X ] K n [X ], écrire l équation f (P = λp et chercher les solutions λ K et P K n [X ], P 0 Considérer en particulier le degré d une solution P de cette équation On peut aussi écrire la matrice de f dans une base bien choisie et s intéresser à ses éléments propres ; Pour un endomorphisme f : M n (K M n (K dont l expression fait intervenir une matrice A, utiliser les éléments propres de A ; Pour une matrice définie avec des blocs A 1,, A p, utiliser les éléments propres de ces blocs
Comment montrer qu un endomorphisme/une matrice est diagonalisable? Pour montrer que f est diagonalisable, on peut : Montrer que la somme des dimensions des sous-espaces propres de f est égale à dime ; Montrer que la dimension de chaque sous-espace propre E λ (f est égale à la multiplicité de λ en tant que racine de χ f Les raisonnements suivants sont également souvent utilisés : Si χ f est scindé à racines simples dans K, alors f est diagonalisable ; Si f possède n valeurs propres distinctes avec n = dime, alors f est diagonalisable Ces deux derniers points sont des conditions suffisantes mais non nécessaires On verra plus tard le résultat suivant : Si une matrice carrée A est symétrique et réelle, alors il existe une matrice orthogonale P telle que P AP soit diagonale (en particulier, A est diagonalisable puisque P = P 1 si P est orthogonale Comment montrer qu un endomorphisme/une matrice est trigonalisable? Pour montrer que A M n (K est trigonalisable, on peut montrer que son polynôme caractéristique est scindé (sur K Toute matrice carrée A est trigonalisable dans C Comment utiliser le fait que f est diagonalisable? Supposons f L (E diagonalisable, alors : Dans une base de E constituée de vecteurs propres pour f, la matrice de f est diagonale ce qui permet de caculer facilement les f k pour k N (et même k Z si f est inversible ; Notons λ 1,,λ k les valeurs propres distinctes de f, E 1 = E λ1 (f,,e k = E λk (f les sous-espaces propres associés, alors E = E 1 E k et en notant p 1,, p k les projecteurs associés à cette décomposition, on peut écrire f comme combinaison linéaire : f = λ 1 p 1 + + λ k p k Ceci permet également de résoudre des systèmes d équations différentielles associés à f, ou de déterminer l expression de suites récurrentes ; Si F est un sous-espace vectoriel de E stable par f, alors l endomorphisme induit f F est diagonalisable Diagonaliser permet également de «simplifier» certains problèmes, notamment : Les systèmes d équations différentielles linéaires et les systèmes de suites récurrentes linéaires; Les équations matricielles Quels sont les exemples à retenir? Si p un projecteur de E et s une symétrie, alors :
L endomorphisme p est diagonalisable et il existe B base de E telle que : ( Ir (0 Mat B (p = (0 (0 avec r = rg p = tr p et les sous-espaces propres de p sont Ker p et Ker(p id ; L endomorphisme s est diagonalisable et il existe B base de E telle que : ( Ir (0 Mat B (p = (0 I n r avec r = dim Ker(s id et les sous-espaces propres de s sont Ker(s id et Ker(s + id Si f L (E avec rg f = 1 et n = dime 1, alors : 0 est valeur propre de f et dime 0 (f = n 1 ; Le polynôme caractéristique de f est X n 1 (X tr(f ; L endomorphisme f est diagonalisable si, et seulement si, tr f 0 Si f L (E est nilpotent et n = dime, alors : La seule valeur propre de f est 0 ; L endomorphisme f est diagonalisable si, et seulement si, il est nul Si A M n (K est de la forme : avec λ K, alors : A = λ?? 0? 0 0 λ Le polynôme caractéristique de A est χ A = (X λ n ; La seule valeur propre de A est λ; La matrice A λi n est nilpotente ; La matrice A est diagonalisable si, et seulement si, A = λi n (c est à dire si, et seulement si, la partie supérieure de A est nulle Les deux derniers cas sont des cas particuliers du résultat suivant : si f L (E n a qu une seule valeur propre λ K, alors f est diagonalisable si, et seulement si, f = λid E
Illustrations du cours Exercice 1 Éléments propres en dimension infinie Déterminer les éléments propres de l endomorphisme de E = C (R,R : f : C (R,R C (R,R [ ] R R u t u (t + tu(t Exercice 2 Éléments propres de matrices Soit n 2 Déterminer les éléments propres des matrices J, A,B M n (K : J = ( 1 1 1 1 ; A = 0 1 1 1 1 1 1 0 ; B = ( 0 1 1 1 0 0 1 0 0 Exercice 3 Endomorphisme de K n [X ] Soient n 1 et f l endomorphisme de K n [X ] : Démontrer que f est diagonalisable f : K n [X ] K n [X ] P (X 2 1P + X P Exercice 4 Endomorphisme de M n (K Soient A M n (K et l endomorphisme f : M n (K M n (R M AM On suppose que A est diagonalisable Démontrer que f est diagonalisable ( A (0 (0 I n Exercice 5 Matrices définies par blocs Soient A M n (K et B = (matrice par blocs On suppose que A est diagonalisable Démontrer que B est diagonalisable Exercice 6 Utilisation d un polynôme annulateur (1 On reprend la matrice J de l exercice 2 Calculer J 2 et en déduire que Sp(J {0,n} Retrouver Sp(J Exercice 7 Utilisation d un polynôme annulateur (2 Soit M M n (R telle que M 3 + M 2 + M = 0 Démontrer que tr(m est un entier négatif Exercice 8 Utilisation d un polynôme annulateur (3 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, f L (E et a,b K On suppose que (f a id (f b id = 0 (a On suppose ici que a b Démontrer que Ker(f a id Ker(f b id = E Que peut-on en déduire concernant f et concernant Sp(f? (b On suppose ici que a = b Montrer au moyen d exemples qu il existe des situations où f est diagonalisable et des situations où f ne l est pas
QCM Source : ICNA 2014 Pour chacune des questions suivantes, il y a soit exactement deux bonnes réponses, soit une seule, soit aucune (on convient de répondre (e dans ce dernier cas On note A = ( 1 4 2 0 6 3 et χ A (X = det(x I n A son polynôme caractéristique 1 4 0 (1 On a : (a χ A (X = (X 3(X 2 2 (b χ A (X = (3 X (X 2 2 (c χ A (X = (X 3 2 (X 2 (d χ A (X = (X 3(X 2(X 1 (2 La matrice A ci-dessus est : (a diagonalisable car son polynôme caractéristique est scindé à racines simples (b diagonalisable car son polynôme caractéristique est scindé et que la dimension de chaque sous-espace propre est égal à l ordre de multiplicité de la valeur propre (c non diagonalisable (d inversible (3 Si A est la matrice d un endomorphisme u de R 3 dans la base canonique (e 1,e 2,e 3 de R 3, si on pose ε 1 = e 1 + e 2 + e 3, ε 2 = 4e 1 + 3e 2 + 4e 3 et ε 3 = 2e 1 e 3, on a : (a (ε 1,ε 2,ε 3 est une base de R 3 (b ε 1, ε 2, ε 3 sont trois vecteurs propres de u (c u(ε 3 = ε 2 + 2ε 3 (d u(ε 3 = 2ε 1 ε 3 On note T = ( 3 0 0 0 2 1 0 0 2 (4 On a : (a les matrices A et T sont semblables car elles ont le même rang (b les matrices A et T sont semblables car elles ont le même déterminant (c les matrices A et T sont semblables car elles ont le même polynôme caractéristique (d les matrices A et T sont semblables car elles ont la même trace (5 Si on note P = On note T = (a PAP 1 = (b P 1 AP = (c PAP 1 = (d P 1 AP = ( 3 0 0 0 2 1 0 0 2 ( 1 4 2 1 3 0 ( 1 4 1 3 0 0 0 2 1 ( 0 0 2 3 0 0 0 2 1 ( 0 0 2 2 0 0 0 3 1 ( 0 0 2 2 0 0 0 3 1 0 0 2, J = ( 1 0 0 0 0 0 0 0 0, on a :, K = ( 0 0 0 0 1 0 0 0 1, L = ( 0 0 0 0 0 1 0 0 0 On note C (T le sous-espace vectoriel de M 3 (R des matrices qui commutent avec la matrice T, c est à dire les matrices M de M 3 (R telles que MT = T M (6 On a : (a C (T = {0} (b C (T est le sous-espace vectoriel de dimension 3 engendré par les matrices J, K et L
(c C (T est le sous-espace vectoriel de dimension 2 engendré par les matrices J, K et L (d C (T est un espace vectoriel de dimension 4 (7 On admet que C (A, le sous-espace vectoriel de M 3 (R des matrices qui commutent avec la matrice A, est de dimension 3, on a alors : (a C (A = Vect(J,K,L (b C (A = Vect(T,T 2,T 3 (c C (A = Vect(I 3, A, A 2 (d C (A = C (T 1a2cd3ac4e5b6b7c 12