RAPPORT DE CRISTALLOGRAPHIE Étude de structures cristallines à l aide du logiciel CrystalMaker

RAPPORT DE CRISTALLOGRAPHIE Étude de structures cristallines à l aide du logiciel CrystalMaker Benjamin Frere 2ème candidature en sciences physique, Université de Liège Année académique 2003-2004 1

1 Le Cu 1.1 Paramètres pour CrystalMaker Groupe d espace : F m3m Caractéristiques de la Maille : a = b = c = 3,615 Å α = β = γ = 90 Coordonnées des atomes : Cu en (0, 0, 0) 1.2 Analyse 1.2.1 Voisins Positions : Un premier voisin : v 1 = 1a + 1b 2 2 Un deuxième voisin : v 2 = a Les coordonnées respectives sont donc ( 1 2 (1 0 0) 1 0) 2 Distances respectives des voisins par rapport à l atome (0, 0, 0) : 2

Comme nous sommes dans un réseau cubique on utilise cette formule simple des coordonnées orthonormées pour calculer la distance : a = a = 3, 615 Å Résultats : r = a x 2 + y 2 + z 2 (1) Voisin Calculées CrystalMaker Premier 3,615 Å ( 1 2 )2 + ( 1 2 )2 + 0 = 2,55619 Å 2,556 Å Deuxième 3,615 Å 1 + 0 + 0 = 3,615 Å 3,615 Å 1.2.2 Mise en évidence du caractère compact de la structure 1.2.3 Plan (1 1 1) Vue en perspective en direction normale au plan (1 1 1) : 3

Le plan est mis en évidence par le triangle de sélection. Vue du plan en cachant les autres atomes : Distances interatomiques. Si on prend comme origine (0, 0, 0) l atome sur le coin inférieur gauche du triangle sur la figure ci-dessus et que l on tient compte des directions des axes aussi représentés sur la figure, un des premiers voisins a pour coordonnées ( 1, 1, 0), et un des deuxièmes voisins a pour 2 2 coordonnées (-1, 1, 1 ). Ce qui donne comme distances : 2 2 4

Voisin Calculées CrystalMaker Premier 3,615 Å ( 1 2 )2 + ( 1 2 )2 + 0 = 2,55619 Å 2,556 Å Deuxième 3,615 Å ( 1) 2 + ( 1 2 )2 + ( 1 2 )2 = 4,42745 Å 4,427 Å 2 Le F e α 2.1 Paramètres pour CrystalMaker Groupe d espace : Im3m Caractéristiques de la Maille : a = b = c = 2,87 Å α = β = γ = 90 Coordonnées des atomes : F e en (0, 0, 0) 2.2 Analyse 2.2.1 Voisins Coordonnées : 5

Un premier voisin : v 1 = 1a + 1b + 1c 2 2 2 Un deuxième voisin : v 1 = a Les coordonnées respectives sont donc ( 1 1 2 2 (1 0 0) 1 ) 2 Distances respectives des voisins par rapport à l atome (0, 0, 0) : Nous sommes aussi dans un réseau cubique, et il faut aussi utiliser la formule (1) pour calculer les distances. a = a = 2, 87 Å Voisin Calculées CrystalMaker Premier 2,87 Å ( 1 2 )2 + ( 1 2 )2 + ( 1 2 )2 = 2,48549 Å 2,485 Å Deuxième 2,87 Å 1 + 0 + 0 = 2,87 Å 2,87 Å 2.2.2 Densité d atomes par Å 3 Une maille fait (2, 87 Å) 3 = 23, 639903 Å 3 et il y a 2 atomes par maille. Ce qui nous donne une densité de 2 23,639903 = 8, 46027.10 2 atomes Å 3. 2.2.3 Plan (1 0 0) et (2 0 0) Les indices de Miller de ces plans étant multiples l un de l autre, ce sont les même plans. Il ne suffit donc que de montrer un plan (1 0 0) 6

2.2.4 Mise en évidence d une forme octaédrique de la structure 2.2.5 Plan (1 1 0) et comparaison de sa densité atomique avec celle d un plan (1 0 0) Plan (1 1 0) Plan (1 0 0) 7

2.2.6 Comparaison. Le plan (1 1 0) est orienté à 45 par rapport au plan (1 0 0) et contient l atome situé au centre de la maille. Pour comparer la différence de densité atomique entre ces deux plans, restreignons-les à la surface qu ils occupent dans une maille simple. Le plan (1 0 0) occupe une surface carrée identique à une face de la maille (qui est un cube). Elle vaut 2, 87 2 Å 2. Cette surface intercepte 1 atome. Ce 1 qui nous donne atomes Å 2 de densité atomique. 2,87 2 Le plan (1 1 0) par contre, occupe une surface rectangulaire dont les côtés valent respectivement 2,87 Å et 2 2, 87 Å. La surface vaut donc 2 2, 87 2 Å 2. Elle intercepte 4 1 + 1 atomes. Ce qui nous donne 2 4 2 2,87 2 atomes Å 2 de densité atomique. Comparons les deux densité dens plan(110) dens plan(100) = 2 2 2,87 2 1 = 2 2,87 2 La densité atomique du plan (1 1 0) est donc 2 fois plus grande que celle du plan (1 0 0). 8

3 Le C graphite 3.1 Paramètres pour CrystalMaker Groupe d espace : P 6 3 mc Caractéristiques de la Maille : a = 2,456 Å c = 6,693 Å Coordonnées des atomes : C en (0, 0, 0) C en ( 1 3, 2 3, 0) 9

3.2 Analyse 3.2.1 Mise en évidence de la structure d un plan (0 0 1) et calcul de sa densité atomique Structure. Ce plan a clairement une structure hexagonale. Pour ce calcul, revenons à la vue d une maille primi- Densité atomique. tive. Un plan hexagonal est mis en évidence par une sélection. Pour calculer la densité, il suffit de savoir que nous somme dans un système hexagonal. L angle entre a et b est donc de 120 et selon les paramètres donnés, nous savons que a = b = 2,456 Å. L aire du parallélogramme vaut donc a b = 2, 456 2 sin( 2π 3 )Å2. Cette fraction du plan intercepte 2 1 6 +22 +1 atomes. Nous 6 2 avons donc une densité de 2,456 2 3 = 0,3829 atome Å 2. 2 10

3.2.2 Description du mode d empilement des plans hexagonaux Vue de face de deux plans (0 0 1) Vue de deux plans (0 0 1) «côte à côte» On remarque facilement grâce à ces deux vues que chaque fois qu on avance d une demi unité dans la direction [001], l atome est déplacé de 2 3 a + 1 3 b. Donc les plans hexagonaux sont successivement déplacés de 2 3 a + 1 3 b l un par rapport à l autre. 3.2.3 Distances interatomiques dans les plans hexagonaux et distance réticulaire Distances interatomiques 11

Positions : Un premier voisin : v 1 = 1a + 2b 3 3 Un deuxième voisin : v 2 = a Un troisième voisin : v 3 = (1 + 1)a + 2b 3 3 Les coordonnées respectives sont donc ( 1 3 (1 0 0) ( 4 3 2 0) 3 2 0) 3 Formule : Dans un réseau hexagonal nous devons utiliser la formule suivante pour calculer les distances interatomiques : Nous avons : a = 2,456 Å c = 6,693 Å Résultats : r = (x 2 + y 2 xy) a 2 + z 2 c 2 (2) Voisin Calculées CrystalMaker Premier Deuxième [( 1 3 )2 + ( 2 3 )2 1 3 2 3 ] a 2 + 0 = 1,417972 Å 1,418 Å (1 + 0 0) a 2 + 0 = 2,456 Å 2,456 Å Troisième [( 4 3 )2 + ( 2 3 )2 4 3 2 3 ] a 2 + 0 = 2,83594 Å 2,2836 Å Distance réticulaire Formule : Comme nous sommes dans un réseau hexagonal, nous devons utiliser cette formule pour calculer la distances entre les plans réticulaires successifs. d hkl = a (3) 4 3 (h2 + k 2 + hk) + l 2 ( a c )2 Les plans hexagonaux sont des plans (0 0 1), ce qui nous donne 12

a d 001 = = c 0 + 1( a c )2 Cependant, comme il y a deux plans hexagonaux dans une maille primitive, il faut diviser ce résultats par deux. Ce qui nous donne c = 3, 3465Å. 2 Ce résultat aurait pu être trouvé plus facilement en regardant les deux vues précédentes. 4 Le ZnS Blende 4.1 Paramètres pour CrystalMaker Groupe d espace : F 43m Caractéristiques de la Maille : a = 5,409 Å Coordonnées des atomes : Zn en (0, 0, 0) S en ( 1 4, 1 4, 1 4 ) 13

4.2 Analyse 4.2.1 Mise en évidence de l environnement tétraédrique de chaque atome Environnement d un S Environnement d un Zn 4.2.2 Distances interatomiques Formule : Comme nous sommes dans un réseau cubique, nous devons utiliser la formule (1). 14

Positions : Un premier voisin : v 1 = 1a + 1b + 1c 4 4 4 Un deuxième voisin : v 2 = 1a + 1b 2 2 Les coordonnées respectives sont donc ( 1 1 1 ) 4 4 4 ( 1 1 0) 2 2 Résultats : Nous avons que a = 5, 409Å Voisin Calculées CrystalMaker Premier a ( 1 4 )2 + ( 1 4 )2 + ( 1 4 )2 = 2,34216 Å 2,342 Å Deuxième a ( 1 2 )2 + ( 1 2 )2 + 0 = 3,82474 Å 3,825 Å Il faut remarquer que la distance du premier voisin est en fait la plus petite distance distance entre un atome Zn et un atome S, et que la distance du second voisin équivaut à celle entre deux atomes Zn ou atomes S. 4.2.3 Angle caractéristique Le seul angle caractéristique est celui que fait un atome avec deux autres de son environnement tétraédrique. Par exemple un S en ( 1 1 1) avec deux 4 4 4 Zn en (0 0 0) et en ( 1 1 0). Par trigonométrie nous avons 2 2 ( ) θ cos = a/4 θ = 109, 47122 2 d(zn, S) CrystalMaker nous donne 109,471. 4.2.4 Comparaison avec la structure du C diamant C est exactement la même structure à part que le diamant n a que des atomes de carbone et que le ZnS une alternance Zn et S. 15

5 Le ZnS Würtzite 5.1 Paramètres pour CrystalMaker Groupe d espace : P 6 3 mc Caractéristiques de la Maille : a = 3,8 Å c = 6,23 Å Coordonnées des atomes : Zn en (0, 0, 0) Zn en ( 2 3, 1 3, 1 2 ) S en (0, 0, 5 8 ) S en ( 2 3, 1 3, 1 8 ) 16

5.2 Analyse 5.2.1 Mise en évidence de la structure hexagonal par projection sur un plan (0 0 1) 5.2.2 Mise en évidence de l environnement tétraédrique de chaque atome 5.2.3 Distances Zn-S Positions : Zn (0 0 0) S (0, 0, 1 8 ) (En regardant bien sur le schéma de la maille). Résultats : Même pas besoin d utiliser la formule (2), il vient de suite d(zn, S) = c 1 8 = 0, 77875Å 17

CrystalMaker nous donne 0.779 Å 5.2.4 Comparaison avec la structure du ZnS Blende On se rend compte que c est la même chose, à part qu il y a des atomes en plus dans la structure. On le remarque en prenant une maille non cubique dans le ZnS Blende, et en regardant les deux structures selon différents angles. 6 Le CaF 2 6.1 Paramètres pour CrystalMaker Groupe d espace : F m3m Caractéristiques de la Maille : a = 5 Å Coordonnées des atomes : Ca en (0, 0, 0) F en ( 1 4, 1 4, 1 4 ) 18

6.2 Analyse 6.2.1 Mise en évidence de l environnement tétraédrique 6.2.2 Distances interatomiques Formule : Comme nous sommes dans un réseau cubique, nous devons utiliser la formule (1). Positions : Les coordonnées respectives sont Ca 1 (0 0 0) Ca 2 ( 1 1 0) 2 2 F 1 ( 1 1 1 ) 4 4 4 F 2 ( 1 3 1 ) 4 4 4 Résultats : Nous avons que a = 5Å Atomes Calculées CrystalMaker Ca-Ca a ( 1 2 )2 + ( 1 2 )2 + 0 = 3,53553 Å 3,536 Å Ca-F a ( 1 4 )2 + ( 1 4 )2 + ( 1 4 )2 = 2,16506 Å 2,165 Å F-F a (0 + ( 1 4 )2 + 0 = 1,25 Å 1,25 Å 19

6.2.3 Angle de la structure Le seul angle intéressant n est encore que celui du tétraèdre, et en en référant au calcul du point 4.2.3 on retrouve la valeur de 109,471. C est l angle entre les atomes Ca F Ca 6.2.4 Comparaison avec le ZnS Blende C est la même chose à part qu il y a 3 atomes de S en plus qui «terminent» alors un cube dans la maille. Les S du ZnS Blende ne formaient qu un tétraèdre. 7 Le perovskite cubique MgSiO 3 7.1 Paramètres pour CrystalMaker Groupe d espace : P m3m Caractéristiques de la Maille : a = 3,48 Å Coordonnées des atomes : Si en (0, 0, 0) O en ( 1, 0, 0) 2 Mg en ( 1, 1, 1) 2 2 2 20

7.2 Analyse 7.2.1 Mise en évidence de l environnement octaédrique des atomes de Si 7.2.2 Distances interatomiques Formule : Comme nous sommes dans un réseau cubique, nous devons utiliser la formule (1). Positions : Les coordonnées respectives sont donc Résultats : Atomes Calculées CrystalMaker Si-O a ( 1 2 )2 + 0 + 0 = 1,74 Å 1,74 Å Si-Mg a ( 1 2 )2 + ( 1 2 )2 + ( 1 2 )2 = 3,01377 Å 3,014 Å 21

7.2.3 Angles la caractéristiques Atomes O Si O O Mg O Si Mg Si Angles 45 60 70,529 22