Produit scalaire dans l'espace Prérequis : cours et exercices 1S déposés sur le blog / Vidéo Mathrix : https://youtu.be/d5nnupwzjum I Extension du produit scalaire du plan à l'espace a Définition du produit scalaire dans l'espace Définition 2 : Considérons deux vecteurs u et v. Soit A un point de l'espace et les points B et C définis par u= AB et v= AC Les points A, B, et C étant coplanaires, le produit scalaire des vecteurs u et v noté u. v est le réel AB. AC calculé dans le plan (ABC. b Expressions du produit scalaire Propriétés : Soit u et v deux vecteurs, u v= 1 2 ( u 2 + v 2 v u 2 Si A, B et C trois points de l'espace et H le projeté orthogonal de C sur (AB. AB AC=AH AC si AB et AH ont le même sens ; AB AC= AH AC si AB et AH sont de sens contraire. Si A, B et C trois points de l'espace tels que u= AB et v= AC, alors AB. AC = AB AC cos ( BAC Dans un repère orthonormé (O, i, j, k, si u ( x y et ( x' v y ' alors u v=xx' + yy' +zz ' z z ' c Norme d'un vecteur Définition 1: Dans l'espace, u est un vecteur, A et B sont deux points tels que AB= u. La norme du vecteur u, notée u, est la distance AB. Ainsi u = AB. Propriété : Dans un repère orthonormé de l'espace, si u ( x y z alors u = x2 +y 2 +z 2 Propriété : Soit u, v et w trois vecteurs de l'espace et un nombre réel. Alors : u u= u 2 u v= v u u ( v+ w= u v+ u w (α u v= u (α v=α( u v Exemple : ABCDEFGH est un cube d'arête a. Notons u= BF et v= AH = BG. Calculer u v : avec le cosinus : u v= BF AH = BF BG = BF BG cos FBG or FBG= π et BG= a 2 donc u v = a a 2 2 2 = a2 Avec le projeté orthogonal : u v= BF AH = BF BG= BF BF puisque le projeté orthogonal de G sur (BF est F. donc u v= BF 2 =a 2 Autre méthode : utilisation de la relation de Chasles : calculons BF AG : BF AG= BF ( AB+ BG = BF AB+ BF BG= AE AB+ BF BG=0+a 2 =a 2 Avec «Al Kashi» : FG 2 =BF 2 +BG 2 2 BF BG 1 BF. BG = 2 (BF2 +BG 2 FG 2 = 1 2 ( a 2 +(a 2 2 a 2 2 =a
II Application du produit scalaire, orthogonalité Définition : Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux s'ils dirigent des droites orthogonales. Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs de l'espace. Propriété : Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si u v=0. Conséquence : Deux droites (AB et (CD sont orthogonales si et seulement si AB CD = 0. Vecteur normal à un plan Exercices 1 à 1 page 2 et 52 à 6 page 26 sujet D page 288 150 page 289 Définition : Dire que le vecteur AB non nul est normal au plan P signifie que la droite (AB est perpendiculaire au plan P. Un vecteur n est normal au plan P lorsque n est non nul et orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P. Propriétés : a Un vecteur normal à un plan est orthogonal à tous les vecteurs de ce plan. n est orthogonal aux vecteurs u, v et w b Tous les vecteurs normaux à un plan sont colinéaires entre eux. Autrement dit, un vecteur non nul colinéaire à un vecteur normal d'un plan est lui aussi un vecteur normal de ce plan. c ROC : Une droite est orthogonale à toute droite d'un plan P si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de P. Elle est alors orthogonale au plan P. d Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si tout vecteur directeur de la droite est colinéaire à tout vecteur normal du plan Preuve ROC Sens direct : évident! Si est orthogonale à toute droite du plan P, elle est en particulier orthogonale aux deux droites (d 1 et (d 2. Réciproque : si u, u 1 et u 2 sont des vecteurs directeurs respectivement des droites, (d 1 et (d 2 alors u u 1 =0 et u u 2 =0 puisque est orthogonale à (d 1 et à (d 2. Soit (d une droite du plan P et v un vecteur directeur de (d. Les droites (d 1 et (d 2 étant sécantes, les vecteurs u 1 et u 2 ne sont pas colinéaires et constituent une base du plan P, il existe donc deux réels x et y tel que v=x u 1 +y u 2. On a alors u v=x u u 1 +y u u 2 =0. On en déduit donc que les vecteurs u et v sont orthogonaux, donc que la droite (d est orthogonale à la droite. Exemple : ABCDEFGH est un cube d'arête 1. Démontrer de deux manières que le vecteur AG est normal au plan (CFH. Méthode : démontrer que le vecteur AG est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (CFH par exemple HF et FC. a AG HF =( AE + EG HF = AE HF + EG HF Or (AE est orthogonale au plan (EHF donc AE HF =0 et les diagonales d'un carré sont perpendiculaires donc EG HG = 0 donc : AG HF = 0 de même : AG FC = AB FC + BG FC =0. Conclusion : de même AG est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (CFH donc AG est un vecteur normal au plan (CFH. b Dans le repère orthonormé ( A; AB; AD ; AE ; les coordonnées des points A,F, G,H et C sont : A(0 ; 0 ; 0 F(1 ; 0 ; 1 G(1 ; 1 ; 1 H(0 ; 1 ; 1 C(1 ; 1 ; 0 d'où AG ( 1 1 1 HF ( 1 1 et 0 FC( 0 1 AG HF = 0 et AG FC = 0 d'où le résultat. 1 Exercices 18 à 25 page 2 puis 68 à 5 page 2
III Équations cartésiennes d'un plan Propriété : P est un plan passant par A et de vecteur normal n M est un point de l'espace. Le point M appartient à P si et seulement si AM n=0. Preuve Exemple 1 : Déterminer une équation cartésienne du plan P qui passe par A et a pour vecteur normal n ( 1 2 2. M(x ; y ; z P AM n = 0 1 x+2 ( y 2 2 (z+3=0 x+2 y 2 z 10=0 Le plan P a pour équation x+2 y 2 z 10=0. Propriété (ROC : Dans un repère orthonormé, un plan P de vecteur normal n( a b c a une équation de la forme : ax+by+cz+d =0. Réciproquement, si a, b, c ne sont pas tous les trois nuls, l'ensemble (E des points M ( x ; y ; z tels que ax+by+cz+d =0 est un plan de vecteur normal n( a c Preuve : Sens direct : soit A( x 0 ; y 0 ; z 0 un point du plan P et M ( x ; y ; z un point de l'espace. On a AM ( x x 0 y y 0 z z 0 et AM n=a( x x 0 +b( y y 0 +c( z z 0. M appartient à P équivaut à AM n=0 AM n=0 a (x x 0 +b ( y y 0 +c( z z 0 =0 ax+by+cz (ax 0 +by 0 +cz 0 =0 En posant d= (ax 0 +by 0 +cy 0, on obtient ax+by+cz +d =0. Réciproquement, soit (E des points M ( x ; y ; z tels que ax+by+cz+d =0 avec a, b et c non tous nuls. Puisque a, b et c ne sont pas tous nuls, on peut supposer par exemple que a est différent de 0. Le point A( d a ;0 ;0 appartient à l'ensemble (E et l'équation ax+by+cz +d =0 équivaut à a ( x+ d a ( +by+cz=0 c'est à dire a b c. d (x+ a b c E est donc le plan passant par A et de vecteur normal n( a c =0 AM n =0 où n( a c Exemple 2 : Déterminer une équation cartésienne du plan P qui passe par A et a pour vecteur normal n ( 1 2 2. Autre méthode : l'équation de P de vecteur normal n est de la forme x+2 y 2 z+d=0 On cherche la valeur de d ; P passe par A donc 0+2 2 2 ( 3 +d=0 soit d= 10 Le plan P a pour équation x+2 y 2 z 10=0. Exemple 3 : Soit A(0 ; 2 ; -3, B(1 ; -1 ; 1 ; C(2 ; 0 ; 1 et D(0 ; ; 0 quatre points de l'espace Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC Méthode : a Démontrer que les points A, B et C définissent un plan. b Déterminer un vecteur normal n au plan (ABC a Les vecteurs AB( 1 3 et AC ( 2 2 ne sont pas colinéaires (coordonnées non proportionnelles donc les points A, B et C définissent un plan. b Un vecteur n( a b c est normal au plan (ABC s'il est orthogonal à AB et à AC. Les produits scalaires n AB=a 3b+ c et n AC=2 a 2 b+ c sont donc nuls d'où le système de deux
équations à trois inconnues : { a 3b+ c=0 2 a 2 b+ c=0. Il suffit de choisir une valeur d'une des inconnues pour déterminer les deux autres, par exemple c = 1, on obtient { ( a= 1 1 b=1 et n 1 est UN vecteur normal au plan (ABC. 1 M (ABC AM n = 0 1 x+1 ( y 2+1 (z+3=0 x+ y+z+1=0 Une équation du plan (ABC est : x+ y+z+1=0. Exemple : Déterminer une équation paramétrique de la droite perpendiculaire au plan (ABC et passant par D. a Justifier que le point D n'appartient pas au plan (ABC. D(0 ; 5 ; 0 : x D +y D +z D +1=0+5+0+1=6 0 donc le point D n'appartient pas au plan (ABC. b Un vecteur directeur de est n. donc la droite a pour équation paramétrique { x= t y=5+t, t R. z=t Exemple 5 : Déterminer les coordonnées du point H intersection de et du plan (ABC. Le point H appartient à Δ donc H ( t ;5+t ;t et H appartient au plan (ABC donc le paramètre t vérifie 1 t+1 (5+t +1 t+1=0 soit t= 2. Le point H a donc pour coordonnées H(2 ; 3 ; -2. Exemple 6 : Déterminer la distance du point D au plan (ABC. Par définition, la distance du point D au plan (ABC est la distance HD = 2 2 +2 2 +2 2 = 12=2 3 IV Intersection de droites et de plans a Intersection d'une droite et d'un plan Exercices 26 à 38 page 25 puis 6 à 9 page 2/28 Vidéo Mathrix : https://youtu.be/ehyko8iguki Propriété : Soit (d une droite passant par un point A et de vecteur directeur u et P un plan de vecteur normal n (1 Si u et n ne sont pas orthogonaux, la droite (d et le plan P sont sécants. (2 Si u et n sont orthogonaux : Si A appartient à P, la droite (d est incluse dans le plan P; Si A n'appartient pas à P, la droite (d est strictement parallèle au plan P. Exemple : Dans un repère orthonormé, A(1 ; 2 ; -1, B(0;1;3 et C(-1 ; ;-1 et le plan P d'équation x+ y+z 1=0 a Déterminer la position relative de la droite (AB et du plan P. AB ( 1 ( 1 1 1 est un vecteur directeur de la droite (AB et n 1 est un vecteur normal au plan P. AB n= 1 1 1 1+ 1=2 0 donc la droite (AB est sécante au plan P. x=1 t Déterminons l'intersection de (AB et P : Une équation paramétrique de la droite (AB est : y=2 t, t R { z= 1+ t { x=1 t M(x ; y ; z (AB P il existe t R, y=2 t il existe t R, (1 t+(2 t +( 1+ t 1=0 z= 1+ t x+ y+z 1=0 t= 0,5 Conclusion : la droite (AB est sécante au plan P au point M ( 3 2 ; 5 2 ; 3.
b Déterminer la position relative de la droite (AC et du plan P. AC ( 2 2 et n sont orthogonaux donc soit (AC est parallèle à P soit elle est incluse dans P. 0 x A + y A +z A 1=1+2 1 1=1 0 donc A P. Conclusion : la droite (AC est parallèle au plan P. b Position relative de deux plans Exercices : 39 à 3 page 25 puis 98 à 108 page 28/29 Définition : deux plans sont dits perpendiculaires, si l'un des deux plans contient une droite perpendiculaire à l'autre plan. Propriétés 10 : On se place dans un repère orthonormé. Soit P et P ' les plans d'équations respectives : ax+by+cz +d =0 et a ' x+b ' y+c ' z+d '=0 et de vecteurs normaux n et n'. (1 Les plans P et P ' sont parallèles ou confondus si, et seulement si, n et n' sont colinéaires. (2 Lorsque n et n' ne sont pas colinéaires, les plans P et P ' sont sécants suivant une droite dont chaque point de coordonnées (x ; y ; z vérifie le système { ax+by+cz+d=0 a ' x+b' y+c ' z+d '=0. (3 Les plans P et P ' sont perpendiculaires si et seulement si, n et n' sont orthogonaux. Les plans sont perpendiculaires Exemple : Dans un repère orthonormé, on considère les plans P et P ' d'équations respectives x 3 y+2 z 5=0 et 2 x+ y+ z 1=0. Montrer que les plans P et P ' sont sécants et déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection. n( 1 3 est normal à P et ( n' 2 1 2 est normal à P '. n et n' ne sont pas colinéaires donc P et P ' sont sécants suivant une droite Δ. L'ensemble des points M ( x ; y ; z de la droite Δ vérifie le système { x 3 y+2 z 5=0 2 x+y+ z 1=0 Pour déterminer une représentation paramétrique de la droite d'intersection de deux plans sécants, on va choisir arbitrairement z=t On a x 3 y+2t=5 (1 2 x+ y+t=1 (2 x 3 y+2t=5 (1 2 x+ y+t=1 (2 x=3 y 2t 5 On exprime désormais x et y en fonction de t. 2 x 6 y+ t=10 (1' 2 x+ y+t=1 (2 x= 8 23 t x 3 y+2t=5 (1 y+3 t= 9 (1' 2 8 {x= 23 t z=t On peut vérifier que le point (8/;-9/;0 appartient aux deux plans. x 3 y+2t=5 Savoir-faire 8 page 23 et Exercices : à 51 page 25 puis 109 à 125 page 280