Espaces vectoriels et applications linéaires

Espaces vectoriels et applications linéaires Exercice 1 On considère l'ensemble E des matrices carrées d'ordre 3 défini par,,, 1) Montrer que est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre 3. : La question est ici explicite. On doit donc démontrer que E est bien un sous-ensemble non vide de, stable par combinaison linéaire. L énoncé annonce que E est un ensemble de matrices carrées d ordre 3 particulières. C est donc bien un sous ensemble de 3 (). Il n est pas vide de façon évidente puisqu il suffit de choisir des valeurs particulières pour et et l on a une matrice de E. En général on essaie de vérifier si le «zéro» de l ensemble «complet» (donc ici la matrice nulle de 3 ()) est un élément du sous-ensemble. On peut également montrer que les matrices de E écrivent comme combinaison linéaire de matrices particulières de. E sera alors le sous-espace vectoriel engendré par ces matrices. Nous ne montrerons ici que la première méthode. Voir plus loin la seconde. Par définition, l ensemble E est composé de matrices carrées d ordre 3, il est donc un sous ensemble 0 0 0 de 3( ). En prenant 0, on voit que 0 0 0 E. E n est pas vide. 0 0 0 Considérons et deux matrices de E et λ et μ deux nombres réels quelconques. Montrons qu alors la matrice est un élément de E. Dire que est une matrice de E, c est dire qu il existe deux nombres réels et tels que De la même façon on pourra écrire ura donc en posant et La matrice est bien une matrice de E. E est donc stable par combinaison linéaire. C est bien un sous-espace vectoriel de 3( ).

1 0 0 0 1 1 2) Justifier que les matrices 0 1 0 et 1 0 1 forment une famille génératrice de. 0 0 1 1 1 0 : Les matrices de E se «décomposent» assez naturellement en utilisant les propriétés de l addition des matrices et de la multiplication d une matrice par un nombre réel. Soit une matrice quelconque de E. : 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 Toute matrice de E s écrit comme combinaison linéaire des matrices et, donc les matrices et forment une famille génératrice de E. 3) La matrice 1,1 est-elle inversible? Justifier la réponse. Il y a deux grandes façons de répondre à la question de l inversibilité d une matrice (surtout si elle n est pas inversible) : bien entendu on peut passer par le calcul, c est-à-dire par le pivot de Gauss, mais bien souvent (encore une fois surtout si elle n est pas inversible), on peut également chercher à voir si les colonnes de la matrice forment une famille libre (dans ce cas elle est inversible) ou une famille liée (et dans ce cas elle n est pas inversible). Pour ce second cas, rappelons qu il suffit que l un des vecteurs de la famille soit nul, que deux vecteurs soient colinéaires (ou encore mieux égaux) ou que l on puisse montrer facilement que l un des vecteurs est combinaison linéaire des autres pour conclure. 1 1 1 1,1 1 1 1. Cette matrice contient deux vecteurs colonnes égaux. La famille des vecteurs 1 1 1 colonnes est liée et donc la matrice 1,1 n est pas inversible. 4) a) Vérifier que ² 2, en déduire que l'ensemble est stable pour la multiplication des matrices (autrement dit que le produit de deux matrices de est une matrice de ). La première vérification demandée 2 se fait directement par le calcul. Pour démontrer la stabilité, il faut éviter d écrire les matrices de E sous la forme de «tableaux», mais plutôt comme combinaison linéaire des matrices et, ce qui permettra d utiliser la formule précédente (c est le sens de l expression «en déduire»). Qu attend-on alors comme résultat? La «marque» des matrices de E est de s écrire comme combinaison linéaire de et de. Nous attendons donc que le produit de deux matrices qui s écrivent comme combinaison linéaire de et de soit une matrice qui s écrive comme combinaison linéaire de et de. 0 1 1 0 1 1 2 1 1 1 0 1 1 0 1 1 2 1 1 1 0 1 1 0 1 1 2

1 0 0 0 1 1 2 1 1 2 2 0 1 0 1 0 1 1 2 1 0 0 1 1 1 0 1 1 2 bien 2 Soit et deux matrices de E. On peut écrire : donc 2 2 Le produit s écrit bien comme combinaison linéaire de et de. E est stable par la multiplication des matrices. b) En déduire que la matrice 2,1 est inversible et que son inverse est un élément de. L expression clef est encore «en déduire». L énoncé n attend pas que l on calcule la matrice inverse ou que l on utilise le pivot de Gauss. Il s agit plutôt de trouver une matrice, de E telle que 2,1,. Ainsi, sera l inverse de 2,1. Cherchons, telle que 2,1, 2,1, 2 2 2 (en remplaçant par 2, par 1, par et par dans la formule obtenue au a)). On devra donc avoir 2 2 1 3 0 Ce qui donne simplement : 3 4 et 1 4 2,1 3 4, 1 4 La matrice 2,1 est inversible et sa matrice inverse est donnée par : 2,1 3 4, 1 4 Pour aller plus loin Si nous suivons la définition exacte de la matrice inverse, il aurait fallu montrer également que 3 4, 1 4 2,1 Pourtant de façon très générale, un seul côté suffit. Rappelons pourquoi. Si et sont des matrices carrées de même ordre et que l on a, montrons que. Posons.

par associativité 5) a) On considère l'endomorphisme de ³ associé à la matrice 1,1. Déterminer l'image d'un vecteur,, ) de ³ par cet endomorphisme. Pour déterminer l image d un vecteur par une application linéaire dont on connaît la matrice, on effectue le produit de cette matrice par le vecteur écrit en colonne, le vecteur colonne obtenu correspond à l image. donc 1 1 1 1,1 1 1 1 1 1 1,,,, b) On note l'ensemble des vecteurs de ³ tels que 0. Montrer que est un sous-espace vectoriel de ³. Déterminer une famille génératrice de F. Il s agit bien sûr de déterminer le noyau de. 0,, 0,0,0 0 donc,, 0,,,,,,, 1,0, 1 0,1, 1,, Ce qui donne enfin 1,0, 1, 0,1, 1

Exercice 2 On considère l'application de ³ dans ² définie par :,, 2, 1) Démontrer que est une application linéaire. On considère deux vecteurs et de 3 et un nombre réel λ, montrons que On peut écrire,, et,,,,,,,, donc,, 2, 2 2, 2, 2,,,,, L application est donc une application linéaire. 2) ppelle le sous-ensemble de ³ constitué par les éléments de ³ dont l'image est égale à 0,0 par. Montrer que est un sous-espace vectoriel de ³. Il s agit bien sûr du noyau de. Nous savons comme résultat du cours qu il s agit d un sous espace vectoriel de l ensemble de départ. Il s agit ici de le redémontrer. Cette démonstration étant tout à fait générale, cela complique beaucoup la démonstration si l on utilise la définition de l application donnée par l énoncé. On préfèrera une forme plus générale sauf pour l existence d un élément dans. est un sous ensemble de 3 d après sa définition. n est pas vide : en effet 0,0,0 2 0 0,0 0 0 0,0 0,0,0. Considérons et deux éléments de et et β deux nombres réels. On sait par définition que : 0,0 Il s agit de montrer qu alors, c est-à-dire que 0,0. puisque l application est une application linéaire : 0,0 0,0 0,0,,,, on a est un sev de 3. 3) Déterminer une famille génératrice de.,, 0,0 2, 0,0. On est amené à la résolution d un système de deux équations à trois inconnus : 2 0 0 En faisant 2, on obtient :

2 0 0 2 0 3 2 0 On utilise comme inconnue secondaire. 2 0 3 2 0 2 3 2,, et donc 2,, 3 2, 1 2, 1, 3 2, 1 2, 1, 3 1,2, 3 2 Pour aller plus loin Rappelons le résultat suivant (très utile dans de nombreux cas) : Si,, est une famille génératrice d un espace vectoriel, et si,, sont réels non nuls, alors la famille,, est une famille génératrice de. 4) ppelle B la base canonique de et B la base canonique de. Déterminer la matrice de l application linéaire relativement aux bases B et B. En déduire la dimension de. Conclure. Pour cette question, plusieurs démarches sont possibles. Rappelons que la matrice cherchée s obtient en prenant les images des vecteurs de la base canonique de par l application et en les exprimant dans la base canonique de 2. Les vecteurs obtenus sont alors les colonnes de la matrice. B 1,0,0, 0,10, 0,0,1 et B 1,0, 0,1. 1,0,0 2 1 0,1 0 0 2,1 21,0 10,1 0,1,0 2 0 1,0 1 0 1,1 11,0 10,1 0,0,1 2 0 0,0 0 1 0, 1 01,0 10,1 2 1 0 1 1 1 (suite) Une autre démarche dans le cas particulier d une application de dans est d écrire directement la matrice à partir de la définition de l application. Nous avons ici une application de dans il s agit donc d une matrice à deux lignes et trois colonnes. On l obtient à partir de chacun des coefficients des variables. Ce qui donne,, 2, 2 1 0, 1 1 1 2 1 0 1 1 1

Remarque : Cette méthode n est efficace que si l on demande la matrice de l application relativement aux bases canoniques de et de. Nous savons que la famille des vecteurs colonnes est une famille génératrice de l image. Pour connaître la dimension de l image il suffit de déterminer la taille de la plus grande famille libre que l on peut extraire de cette famille génératrice. Nous allons procéder à un raisonnement sur les dimensions. Nous savons que est un sous espace vectoriel de l espace d arrivée qui est ici 2. Or dim 2 dim 2 Or les deux premiers vecteurs de la famille des vecteurs colonnes 2 et 1 ne sont pas colinéaires 1 1 (coordonnées non proportionnelles), ils forment une famille libre de l image. contient au moins une famille libre de deux vecteurs. On peut en conclure que dim 2 En conclusion dim 2 est un sous-espace vectoriel de 2 de même dimension que 2, donc Pour aller plus loin urait pu arriver à la même conclusion sans passer par la matrice. En effet l application est une application linéaire de 3 dans 2, donc d après le théorème du rang : Or dim dimker dim dim 3 Et comme ker a une famille génératrice d un seul vecteur, on a dimker 1 Et l on aboutit à la même conclusion que précédemment. dim 2 Remarquons enfin que puisque est égal à l espace d arrivée, on peut en conclure que l application est surjective. On sait qu elle ne peut pas être injective, sinon elle serait bijective et les espaces vectoriels de départ et d arrivée auraient la même dimension. Exercice 3 On note l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à. ppelle l'application de l'espace vectoriel ₂[X] dans l'espace vectoriel ₁[X] qui a tout polynôme P de degré inférieur ou égal à 2 fait correspondre son polynôme dérivé. 1) Montrer que est une application linéaire.

La démonstration est ici très générale puisque l opération de dérivation est linéaire. On ne s attachera pas aux particularités des «objets» que l on dérive (à savoir, ici, que ce sont des polynômes du second degré). Soit et. Soit. Pour aller plus loin Si l on considère l espace vectoriel () des fonctions dérivables sur, l application de () dans (espace vectoriel des fonctions définies sur ) qui à toute fonction de () fait correspondre sa fonction dérivée est linéaire (d après les propriétés évidentes de la dérivation). L application ϕ apparaît comme la restriction de cette application au sous-espace vectoriel de () des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 :. A ce titre c est une application linéaire. 2) Soit le sous-ensemble de ₂[X] constitué par les polynômes de degré inférieur ou égal à 2 tels que, où est l'application nulle (c est-à-dire le noyau de ). Montrer que est un sous-espace vectoriel de. Indiquer quels sont les polynômes qui appartiennent à cet ensemble. Comme dans un des exercices précédents, la démonstration de comme sous espace vectoriel de est une démonstration générale sauf pour l existence d un élément dans cet ensemble. Il faut donc rédiger dans le sens d une démonstration générale. par définition sous-ensemble de. Dire que 0 c est dire que la dérivée de est le polynôme nul. Il suffit donc que soit lui-même le polynôme nul pour que ceci soit réalisé. n est pas vide. On considère deux polynômes et de et deux nombres réels quelconques α et β. Il s agit de montrer que appartient à. Autrement dit, sachant que 0, on doit montrer que 0. On utilise simplement la linéarité de l application. 0 0 0 L ensemble est bien un sous-espace vectoriel de. Les polynômes que contient sont les polynômes dont la dérivée est le polynôme nul : ce sont donc les polynômes constants. L application est-elle injective? Comme ker, l application est injective si et seulement si son noyau ne contient que le vecteur nul (c est-à-dire ici le polynôme nul). Or nous venons de voir que ker contient tous les polynômes constants. l application n est pas injective Justifier par un raisonnement sur les dimensions que cette application est surjective (Penser au théorème du rang).

Cette question correspond à la dernière question de l exercice précédent. Elle est traitée ici par le théorème du rang et non matriciellement. ϕ est une application linéaire de dans. On sait que la base canonique de est égale à,, avec 1 donc (résultat connu) dim 3 Le théorème du rang permet alors d affirmer que dim dimker dim Le noyau de l application ϕ est composé des polynômes constants : il est engendré par la fonction que nous avons notée. En effet tout polynôme constant est tel que,. On peut écrire : 1 et donc donc dimker 1 Et donc dim 3 1 2 Or est un sous-espace vectoriel de et l on a dim 2. est un sousespace vectoriel de de même dimension que. Et donc l application ϕ est surjective. Pour aller plus loin Comme dans l exercice précédent nous aurions pu proposer un raisonnement matriciel. La base canonique de est,. 0 0 0 1 0 2 0 2 La matrice de relativement aux bases canonique de et est donc 0 1 0 0 0 2 Nous savons que la famille de vecteurs colonnes constituent une famille génératrice de. Le premier vecteur de cette famille est nul, donc les deux autres vecteurs forment encore une famille génératrice de. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc cette famille est également libre. C est donc une base de et donc dim 2. Exercice 4 0 0 1 Soit la matrice 0 1 0 1 0 0 On note l'ensemble des matrices de vérifiant :

1) a) Montrer que est un espace vectoriel.. Comme est par définition un sous-ensemble de qui est lui-même un espace vectoriel, il suffit de montrer que est un sous-espace vectoriel de. Il faut remarquer que les éléments de remplissent une double égalité : il faudra donc démontrer les deux égalités. Par construction est inclus dans. 0 0 0 n est pas vide : en effet la matrice nulle 0 0 0 est un élément de, puisque 0 0 0 Considérons deux éléments de : et et deux nombres réels α et β. Nous devons montrer que est un élément de. C est-à-dire sachant que et, montrons que. également donc bien est donc un sous-espace vectoriel de. b) Montrer par l'absurde qu'aucune matrice de n'est inversible. Dire qu une matrice est inversible, c est dire qu il existe une matrice inverse telle que : Supposons qu il existe une matrice de inversible. Soit sa matrice inverse. Comme appartient à, on a Et donc 0 0 1 1 0 0 Or 0 1 0 et 0 1 0 donc. 1 0 0 0 0 1 boutit à une contradiction. aucune matrice de n est inversible. 2) Soit une matrice de. a) Montrer que, et, puis en déduire la forme des matrices de.

Dire que la matrice est une matrice de c est dire que : 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 Ce qui donne On trouve neuf doubles égalités : On en tire, et. Une matrice de est donc de la forme. b) Déterminer une famille génératrice de. Si est une matrice de, on aura 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 La famille 0 0 0, 0 0 0, 1 0 1, 0 1 0 est donc une famille génératrice de 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0. 3) On considère l'ensemble F des matrices de la forme où, et sont des réels. Vérifier que est un sous-espace vectoriel de et donner une famille génératrice de. Nous connaissons la forme des matrices de F. Il est sans doute intéressant de montrer que toute matrice de F s écrit comme combinaison linéaire de matrices de E. F apparaîtra alors comme le sous-espace vectoriel de E engendré par ces matrices particulières. Soit une matrice de F.. On peut écrire 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0

(en utilisant les notations de la question précédente). Toute matrice de F s écrit donc comme combinaison linéaire de trois matrices de E, donc F est un sous-espace vectoriel de E.,, 4) On note ϕ l'application de dans R qui à toute matrice de associe le nombre : 1, où, désigne l'élément de la matrice situé à l'intersection de la ième ligne et de la ième colonne. a) On pose Déterminer en fonction de, et. La notation, ou parfois sans virgule est à connaître. Prenons par exemple la matrice suivante : 1 2 3 4 5 6. ura, 1,, 2,, 4,, 8 par exemple. 7 8 9 donc ici 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 b) Montrer que est une application linéaire de dans. ϕ est bien une application de F dans. Il faut démontrer qu elle est linéaire. Soit et deux matrices de F et λ un nombre réel. On sait que l on peut écrire et sous la forme : et Où,,, sont des nombres réels. On en tire : 4 4 4 4 4 4 L application est une application linéaire de F dans. Pour aller plus loin Comme toute application linéaire d un espace vectoriel dans, ϕ est appelée forme linéaire.

c) Soit une matrice de ker(ϕ). Exprimer en fonction et et en déduire une famille génératrice de Ker(ϕ). ker 0 4 4 0 4 4 appartient à si et seulement si s écrit sous la forme suivante : 4 4 donc 1 0 1 0 1 0 0 4 0 1 4 1 1 0 1 0 1 0 4 4 donc ker 4, 4 Pour aller plus loin Cette famille est libre comme le montre le résultat suivant : 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 1 4 1 0 0 0 4 4 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Il s agit donc d une base de kerϕ. Et donc dimkerϕ 2. Nous pouvions trouver ce résultat d une autre façon : en utilisant le théorème du rang. L application ϕ n étant pas l application nulle, Im(ϕ) a une dimension strictement supérieure à 0. Or c est un sous-espace vectoriel de l ensemble d arrivée qui est. La dimension de étant égale à 1, on a donc 0 dim 1 dim 1 (ce qui montre en particulier que Im(ϕ)= et que l application ϕ est surjective). Le théorème du rang permet d affirmer que dim dimker dim Il est facile de voir à partir de la famille génératrice trouvée pour F, famille qui libre de façon évidente, que dim 3 On retrouve donc que dimker 2 La famille génératrice de deux vecteurs proposée par l énoncé est donc une base de ker(ϕ), elle est donc libre. Exercice 5 E désigne un espace vectoriel sur, rapporté à une base B ₁, ₂, ₃. 1) Soit un endomorphisme de E. Démontrer que la famille ₁, ₂, ₃ est une famille génératrice de. : C est encore une démonstration du cours Soit un élément de. Alors il existe un élément de E dont est l image c est-à-dire tel que

Comme est un élément de E, on peut l écrire dans la base B. Il existe trois réels,, tels que donc Et par linéarité de, on en déduit que Tout vecteur de s écrit bien comme combinaison linéaire des vecteurs,,, donc la famille,, est une famille génératrice de. 2) Pour tout réel, on considére l'endomorphisme de E défini par : ₂ 0 et ₁ ₃ ₁ ₂ ₃ a) Déterminer une base de. Nous avons avec la question précédente une famille génératrice de. Il faut en «extraire» la plus grande famille libre possible. On sait que la famille,, forme une famille génératrice de. Le vecteur étant nul, on peut le retirer de la famille sans lui enlever son caractère de famille génératrice. La famille, est donc une famille génératrice de. Ces deux vecteurs étant liés (en fait ici ils sont égaux), on peut en enlever un des deux. La famille qui reste, composée d un seul vecteur, est encore une famille génératrice de. On conserve donc. Ce vecteur n est pas nul quelle que soit la valeur de il forme une famille libre. C est donc une base de. b) Montrer qu'une base de est ₂, ₁ ₃. Le théorème du rang nous donne la dimension du noyau. L énoncé nous propose deux vecteurs. Si nous montrons qu ils appartiennent bien au noyau et qu ils forment une famille libre, nous allons pouvoir conclure qu il s agit bien d une base du noyau. Nous avons d après la question précédente : dim 1 D après le théorème du rang, nous avons dim dimker Or par hypothèse, dim 3. dim ker 2 0 par hypothèse 0 Les vecteurs et sont bien deux vecteurs de ker. Montrons qu ils forment une famille libre. Soit et μ deux réels tels que 0

Montrons que nécessairement ces deux nombres réels sont nuls. 0 0 La famille,, étant une base, c est une famille libre. Cette dernière égalité implique donc : 0 La famille, est donc une famille libre de deux vecteurs d un espace vectoriel de dimension 2, c est donc une base de cet espace vectoriel. donc, base de ker 2) Ecrire la matrice A de dans B. Les colonnes de la matrice de dans la base B sont les vecteurs,, écrits en colonne. 0 1 0 1. 0 3) On pose. a) Montrer que si 0, B ₁, ₂, ₃ est une base de E Pour montrer que B est une base de E, il y a deux grandes méthodes : Puisque nous avons une famille de trois vecteurs dans un espace de dimension 3, il suffit de montrer que cette famille est libre. On peut écrire la matrice de cette famille (chaque colonne de la matrice correspondant aux composantes des vecteurs de la famille dans la base B) et montrer que cette matrice est inversible. Première méthode : On considère les trois vecteurs,, et trois réels,, tels que 0. 0 Or la famille,, est une base, donc cette dernière égalité implique : 0, 0, 0 Comme 0, on a donc 0, puis 0 et enfin 0. La famille,, est une famille libre d un espace vectoriel de dimension 3 : c est donc une base de cet espace vectoriel. Deuxième méthode On considère la matrice de la famille,, dans la base B. 0 0 1 1 0 0 1 Comme 0, cette matrice est une matrice triangulaire sans élément nul sur la diagonale : elle est donc inversible et la famille,, est donc une base de E.

b) Déterminer la matrice de relativement à la base B : Il faut connaître, et en fonction de, et. aussi enfin donc 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 4) On pose,, ₃ ₃ a) Montrer que ₁, ₂, ₃ est une base de E. Nous avons à nouveau deux façons de procéder, nous n en donnerons qu une ici : la méthode matricielle. La matrice de la famille,, dans la base B est 1 0 1 0 1 1 1 1 0 ~ 1 1 0 1 1 Puis 1 0 1 0 0 1 1 0 ~ 1 1 0 1 1 1 1 On en déduit que est équivalente à une matrice triangulaire sans «zéro» sur la diagonale, donc inversible. est une matrice inversible et la famille,, est une base. b) Donner la matrice de dans cette base. Comme dans les deux autres questions du même type, il s agit de connaître les vecteurs,, en fonction des vecteurs,,.

donc pour : 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Pour aller plus loin Nous remarquons qu une application linéaire peut avoir des matrices différentes quand on l exprime dans des bases différentes (par exemple et ) ou la même matrice dans des bases différentes comme pour et. Remarquons que pour ce dernier cas, nous pouvions prévoir ce résultat. En effet on a et. entre les familles,, et,,, seul les vecteurs et diffèrent, mais ce sont deux vecteurs du noyau puisque, et qui ont donc la même image : 0. Le fait de pouvoir de disposer de plusieurs matrices pour une application linéaire suivant le choix de la base permet de prendre celle qui est le plus adaptée à une tâche déterminée (elle peut différer suivant les tâches). 5) Pour tout réel x non nul, on pose, désignant la matrice identité de. a) Montrer que est inversible. Une stratégie s impose a priori : écrire explicitement et utiliser éventuellement le pivot de Gauss. Mais il faut alors se souvenir qu un pivot ne peut pas être nul. Il faudra donc chaque fois que le problème se pose inverser les lignes. 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 Nous ne pouvons pas utiliser comme pivot. On commence par permuter les lignes et. 1 1 ~ 0 0 On peut alors appliquer le pivot de Gauss. 1 1 1 1 0 ~ 0 0 0 Nous nous retrouvons à nouveau avec un pivot : qui pourrait être égal à 0 pour. Par contre ni ni ne sont nuls, donc ferait un «bon pivot»: on va donc permuter les lignes et. 1 1 1 1 0 ~ 0 0 0 On fait alors

1 1 1 1 0 ~ 0 0 0 0 Comme 0, cette matrice triangulaire ne contient que des éléments non nuls sur la diagonale. Elle est inversible et donc la matrice est inversible pour toute valeur de 0. Pour aller plus loin : La démonstration précédente n est pas difficile dans l esprit, mais très calculatoire et peut conduire facilement à des erreurs. Une autre démonstration nettement plus subtile est la suivante : Appelons l endomorphisme de E qui à tout vecteur de E associe le même vecteur :, Quelle que soit la base,, de que l on prend, on aura Et donc dans n importe quelle base de E, la matrice de est. Considérons l endomorphisme de E défini par (On sait que est un endomorphisme comme combinaison linéaire d endomorphismes puisque l ensemble des endomorphismes est un espace vectoriel.) Supposons que dans une base,, de E la matrice de soit. ura 1 0 0 0 1 0 0 0 1 d autre part 1 0 0 0 1 0 apparaît donc comme la matrice de dans la base,,. 0 0 1 Dans la base,,, la matrice de est. est la matrice de dans cette base. est la matrice de dans la base B. (Nous aurons bientôt un théorème permettant d affirmer ce résultat directement). sera la matrice de la même application dans la base,,. 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 Cette matrice est inversible comme matrice triangulaire sans zéro sur la diagonale. est une application bijective et donc toutes les matrices associées à quelles que soient les bases sont inversibles (sinon serait bijective ou pas suivant la base, alors que la bijectivité est une propriété globale de l application qui ne dépend pas de la base). est inversible.

b) Calculer puis écrire ¹ en fonction de, et. Le produit proposé nous invite à appliquer une identité remarquable, mais il ne faut pas oublier que dans un produit matriciel, les identités remarquables ne sont possibles que si les matrices commutent. Le produit nous conduit à faire apparaître qu il faudra donc calculer. On doit s attendre à ce que le produit ne s exprime qu en fonction de. donc Or donc 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 On en déduit par définition de la matrice inverse que : 1 c) Pour tout de N, déterminer en fonction de,, et. La commutativité du produit et le fait que nous conduisent à utiliser la formule du binôme de Newton. Il faut d abord démontrer que 2,. Comme et commutent pour le produit des matrices, on peut appliquer la formule du binôme de Newton. Or 2, 0 1 Exercice 6 E est l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à 3. On désigne par l'application qui à un polynôme de E associe le polynôme défini par: 1 1. Montrer que est un endomorphisme de E.

(à lire avant de commencer l exercice) La définition de l application donnée par l énoncé comporte dans le cadre du programme ECE plusieurs ambigüités. Il y a d abord ces qui apparaissent comme s il s agissait d une variable réelle (notée plus habituellement dans cette question et comme des polynômes dans la question suivante. Nous avons déjà parlé (en cours et plus haut) de ces applications polynômes : Ce que l on peut aussi écrire : : L application est souvent simplement notée 1 ou,ou tout simplement 1 (en gardant la même taille que le chiffre 1) En pratique on confond souvent ces applications avec leurs images. Prenons un exemple : le polynôme défini par 2 3 5 6. On peut écrire ce polynôme sous la forme : 2 3 5 6 1 En termes d application, ce polynôme apparaît comme la combinaison linéaire suivante : 2 3 5 6 1 Pour comprendre l écriture, il faut comprendre l écriture 1. est une application qui à tout réel fait correspondre 2 3 5 6. 1 est aussi une application et l on a 1 1 1 Il faut donc comprendre 1 comme 1 1 1 1 1 2 1 3 1 5 1 6 En interprétant l application 1 comme On voit que l on a : 1 1 1 2 1 3 1 5 1 6 1 Ce qui donne en termes d application : 1 2 1 3 1 5 1 6 1 Avec le même principe on peut évidemment écrire On confond donc et. 2 3 5 6 1 Si nous reprenons l énoncé, on comprend mieux (normalement) ce que fait l application. Reprenons notre exemple : 2 3 5 6 1 ura 1 Comme ce n est pas très «manipulable, on écrira : 1 Ce qui donne 2 3 5 6 1 2 1 3 1 5 1 6 1 Ce que l on peut écrire en utilisant la même remarque que pour 2 3 5 6 1 2 1 3 1 5 1 6 1

En pratique est un polynôme qui se définirait de la façon suivante : 2 3 5 6 2 1 3 1 5 1 6 Si est un polynôme de degré inférieur ou égal à 3, 1 apparaît comme la composée de ce polynôme et d un polynôme de degré inférieur ou égal à 1 : c est donc un polynôme de degré inférieur ou égal à 3. Comme est également un polynôme de degré inférieur ou égal à 3, apparaît comme la somme de deux polynômes de degré inférieur ou égal à 3 : c est donc un polynôme de degré inférieur ou égal à 3. Remarque Nous utilisons ici un résultat «non conventionnel» du cours : la composée d un polynôme de degré inférieur ou égal à et d un polynôme de degré inférieur ou égal à est un polynôme de degré inférieur ou égal à. Si Ce qui donne et, on a Le terme de plus haut degré est : Avec ce résultat, nous pouvons affirmer que 1 est un polynôme de degré inférieur ou égal à 3. L application linéaire n est pas très facile à montrer si on prend la question sur un plan rigoureux. Or en pratique on fait comme si et étaient identiques. Du coup cela devient plus simple. Soit et deux polynômes de et λ un nombre réel. 1 1 1 1 1 L application est une application linéaire de dans : c est un endomorphisme de. Pour aller plus loin En quoi notre démonstration manque t elle de rigueur? Ce n est pas exactement de rigueur, mais de justifications. En fait on écrit 1 1 1 Une telle égalité ne pose pas de problème si est une variable réelle : ce n est que l application de la définition de la somme de deux fonctions et du produit d une fonction par un réel : Mais ici il s agit de composé de fonctions. En réalité il faudrait écrire 1 1 1

1 1 1 1 Ce qui justifie : 1 1 1 2. On note B la base usuelle de E constituée, dans cet ordre des quatre polynômes 1,,,. 2 1 1 1 0 2 2 3 Montrer que la matrice de dans la base B est 0 0 2 3 0 0 0 2 On doit calculer 1,,, et exprimer les résultats trouvés en fonction de 1,, et. 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 0 2 2 3 La matrice de dans la base B est donc bien : 0 0 2 3 0 0 0 2 3 3 1 1 1 3 3 2 3. Montrer que est bijectif. 2 1 1 1 0 2 2 3 La matrice est une matrice triangulaire sans zéro sur la diagonale : elle est inversible 0 0 2 3 0 0 0 2 et donc l endomorphisme est bijectif. 4. Calculer la matrice de ¹ dans la base B. La matrice de dans la même base est la matrice inverse de la matrice de. La matrice de dans la même base est la matrice inverse de la matrice de. Par la méthode du pivot de Gauss, on trouve 1 2 1 1 0 4 8 2 1 1 1 1 0 1 0 0 2 2 3 2 2 0 0 2 3 1 0 0 0 2 0 0 3 2 4 1 0 0 0 2 5. Soit un élément de E défini par : ₀ ₁ ₂² ₃³. a. Expliciter en fonction des réels ₀, ₁, ₂, ₃ le polynôme ¹.

Pour trouver l image d un vecteur par un endomorphisme, il suffit d effectuer le produit de la matrice de cet endomorphisme par le vecteur colonne associé canoniquement au vecteur dont on veut l image. On en déduit que 1 2 1 4 1 0 2 0 0 0 1 2 1 2 0 0 0 2 4 1 8 0 3 4 1 2 8 1 2 2 4 8 2 Remarque On remarquera que l énoncé accentue encore la confusion en écrivant Au lieu de 1 2 3 4 2 2 3 4 2 b. On considère pour tout entier strictement positif la somme 1 Exprimer simplement en fonction de 1, 1 et 1. : L utilisation de minuscules montre que l on passe effectivement aux nombres réels. La question est énigmatique au premier abord car il ne s agit pas de se servir de la question précédente. Visiblement le résultat 1 est utilisé à la question suivante. Il ne s agit pas non plus d utiliser la forme explicite qui ne permettrait pas de faire apparaître 1 et 1. En parlant de 1 et de 1, l énoncé nous fait penser à un calcul en cascades (principe des dominos). Il s agit donc de remplacer par dans la somme de façon à pouvoir utiliser le principe des dominos., donc et donc 1 1 Et 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 donc 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 c. Expliciter alors la valeur de en fonction de, ₀, ₁, ₂, ₃ pplique le résultat précédent en utilisant la formule du a). 2 4 8 2 2 3 4 2 1 2 4 8 2 2 4 8 1 2 4 1 2 3 4 1 2 1 8 2 1 2 3 4 1 2 1 Exercice 7 L'espace vectoriel E= 3 est rapporté à sa base canonique B,, avec 1,0,0, 0,1,0 0,0,1. ppelle l'endomorphisme de E dont la matrice relativement à B est la matrice suivante: 2 1 2 15 6 11 14 6 11 1. Déterminer l'image du vecteur 2 par l'application. Pour calculer l image du vecteur on utilise le produit matriciel. 1 1 1 1 2 2 On en déduit que est un vecteur non nul dont l image est proportionnelle à (ici elle est même égale) : on dit que c est un vecteur propre. 2. On pose 3 2 et B,, a. Démontrer que Best une base de E. Puisque cette famille contient trois vecteurs dans un espace de dimension 3, il suffit de démontrer que c est une famille libre. Soit,, trois nombres réels tels que 0 2 3 2 0 Ce qui donne 3 2 2 0 La famille,, étant une base de E, on déduit de cette dernière égalité :

0 3 0 2 3 0 Ce qui donne immédiatement 0 La famille,, est bien une famille libre, c est donc une base de E. b. Soit la matrice de passage de la base B à la base B. Calculer la matrice inverse de. Les colonnes de la matrice de passage de la base B à la base B sont les composantes des vecteurs de B dans B. 1 0 0 1 3 0 2 2 1 Remarque Cette matrice est évidemment inversible, ce qui confirme que B est bien une base. On calcule la matrice inverse par le pivot de Gauss. On trouve : 1 0 0 1 1 0 3 3 4 3 2 3 1 c. Déterminer la matrice de relativement à la base B. On doit exprimer, et en fonction de,,. : 3 2 3 2 3 18 18 4 22 22 4 4 Le problème que nous rencontrons ici est que est exprimé en fonction de et de alors que nous le voudrions en fonction de et de. Il convient donc d exprimer et en fonction de et de. 2 3 2 La deuxième égalité donne immédiatement : 1 3 2 1 3 2 3 En remplaçant dans la deuxième égalité, on obtient :

Ce qui donne 1 3 2 3 2 1 3 4 3 Remarque Si nous récapitulons nous avons 1 3 4 3 1 3 2 3 La matrice de la famille,, dans la base,, est donc 1 0 0 1 1 0 3 3 4 3 2 3 1 Nous reconnaissons. C est un résultat très général : Si est la matrice des éléments de la base B exprimés dans la base B, alors est la matrice des éléments de la base B exprimés dans la base B. donc 4 4 1 3 4 3 4 1 3 2 4 3 ura de même : 2 11 11 2 1 3 4 3 11 1 3 2 11 3 donc 2 3 1 1 2 0 1 3 0 0 1 Remarque : Les formules de changement de bases permettront d aller plus vite pour déterminer cette matrice. 1 0 0 1 1 0 2 1 2 1 0 0 3 3 4 3 2 15 6 11 1 3 0 3 1 14 6 11 2 2 1 2 1 2 13 5 3 3 3 1 0 0 1 1 2 4 2 1 3 0 0 1 3 3 3 1 2 2 1 0 0 1 Ici encore, le résultat est tout à fait général.

Si A est la matrice de l application linéaire dans la base B et si est la matrice de passage de la base B à la base B, alors la matrice de l application linéaire dans la base B est donnée par. 3. On considère la matrice suivante : 0 1 2 0 0 3 0 0 0 a. Calculer ². En déduire si est un entier supérieur ou égal à 3. Une matrice triangulaire avec uniquement des zéros sur la diagonale est nécessairement «nilpotente» ce qui signifie qu à partir d une certaine valeur, toutes ses puissances donnent la matrice nulle. Calculons. donc pour tout 3, 0 1 2 0 1 2 0 0 3 0 0 3 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 3 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b. Calculer. Déterminer en fonction de et de, puis de uniquement. de façon évidente : Les matrices et commutent pour le produit matriciel, on peut donc appliquer la formule du binôme de Newton. le plus souvent intérêt à placer la puissance sur la matrice nilpotente. Or pour 3, on a donc 0 1 2 1 2 1 0 0 0 1 2 0 1 0 0 0 3 0 0 1 0 0 0 1 3 2 0 1 3 0 0 1 1 2 0 0 3 0 0 0 0 0 0

c. Montrer que.. ¹ et que. ². ¹ ² 2 On peut bien sûr vérifier ce résultat en faisant les calculs matriciels, mais on peut faire beaucoup mieux en se rappelant que Et que D où Comme les matrices et commutent pour le produit, on a : 2 2 2 d. Donner l'expression de en fonction de,,. On sait que On démontre par une récurrence immédiate que 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2