DS TS géométrie dans l espace 06 xercice Dans l espace, on considère un tétraèdre ABCD dont les faces ABC, ACD et ABD sont des triangles rectangles et isocèles en A. On désigne par, F et G les milieux respectifs des côtés [AB], [BC]( et [CA]. On choisit AB pour unité de longueur et on se place dans le repère orthonormé A ; AB, AC, ) AD de l espace.. On désigne par P le plan qui passe par A et qui est orthogonal à la droite (DF). On note H le point d intersection du plan P et de la droite (DF). (a) Donner les coordonnées des points D et F. (b) Donner une représentation paramétrique de la droite (DF). (c) Déterminer une équation cartésienne du plan P. (d) Calculer les coordonnées du point H. (e) Démontrer que l angle ÊHG est un angle droit.. On désigne par M un point de la droite (DF) et par t le réel tel que DM = t DF. On note la mesure en radians de l angle géométrique ÊMG. Le but de cette question est de déterminer la position du point M pour que soit maximale. (a) Démontrer que M = t 5 t+ 5 4. (b) Démontrer que le triangle MG est isocèle en M. n déduire que Msin =. (c) Justifier que est maximale si et seulement si sin est maximal. n déduire que est maximale si et seulement si M est minimal. (d) Conclure. xercice Description de la( figure dans l espace muni du ) repère orthonormé A ; AB ; AD ; A : ABCDFGH désigne un cube de côté. On appelle P le plan (AFH). Le point I est le milieu du segment [A], le point J est le milieu du segment [BC], le point K est le milieu du segment [HF], le pointlest le point d intersection de la droite(c) et du plan P. I A H G L D K F B J C Ceci est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte aucun point.. (a) Les droites (IJ) et (C) sont strictement parallèles. (b) Les droites (IJ) et (C) sont non coplanaires. (c) Les droites (IJ) et (C) sont sécantes. (d) Les droites (IJ) et (C) sont confondues.. (a) Le produit scalaire AF BG est égal à 0. (b) Le produit scalaire AF BG est égal à ( ). (c) Le produit scalaire AF BG est égal à. (d) Le produit scalaire AF BG est égal à.
( ). Dans le repère orthonormé A ; AB ; AD ; A : (a) Le plan P a pour équation cartésienne : x+y +z = 0. (b) Le plan P a pour équation cartésienne : x y +z = 0. (c) Le plan P a pour équation cartésienne : x+y +z = 0. (d) Le plan P a pour équation cartésienne : x+y z = 0. 4. (a) G est un vecteur normal au plan P. (b) L est un vecteur normal au plan P. (c) IJ est un vecteur normal au plan P. (d) DI est un vecteur normal au plan P. 5. (a) AL = AH + AF. (b) AL = AK. (c) ID = IJ. (d) AL = AB + AD + A. xercice On considère un cube ABCDFCH donné en annexe (à rendre avec la copie). On note M le milieu du segment [H], N celui de [FC] et P le point tel que HP = HG. 4 Partie A : Section du cube par le plan (MNP). Justifier que les droites (MP) et (FG) sont sécantes en un point L. Construire le point L. On admet que les droites (LN) et (CG) sont sécantes et on note T leur point d intersection. On admet que les droites (LN) et (BF) sont sécantes et on note Q leur point d intersection. (a) Construire les points T et Q en laissant apparents les traits de construction. (b) Construire l intersection des plans (MNP) et (ABF).. n déduire une construction de la section du cube par le plan (MNP). Partie B ( L espace est rapporté au repère A ; AB, AD, ) A.. Donner les coordonnées des points M, N et P dans ce repère.. Déterminer les coordonnées du point L.. On admet que le point T a pour coordonnées ( ; ; 5 8). Le triangle TPN est-il rectangle en T? NOM : Annexe à rendre avec la copie H P + G M + F + N D C A B
Correction du DS TS géométrie dans l espace 06 xercice Nouvelle Calédonie nov 05 Tout d abord, une figure : D B A G F C. (a) Commençons par des coordonnées «évidentes», puisque liées au repère :A(0; 0; 0); B(; 0; 0); C(0; ; 0) et D(0 ; 0 ; ). Puisque F est le( milieu de [BC], ) on en déduit que ses coordonnées sont la moyenne de celles des points B et C, donc F ; ; 0. ( ) ; ;. Si on appelle M t le point de paramètre t sur la droite (DF), défini tel que (b) Les coordonnées du vecteur DF sont donc : DF DM t = t DF, alors la x = t représentation paramétrique de la droite (DF) est donnée par : y = t t R. z = t (c) Puisque le planp est orthogonal à(df), alors un vecteur normal àp est le vecteur DF, de coordonnées ( ; ;. Une équation cartésienne du plan sera alors de la forme x + y z + d = 0, où d est un nombre réel. Comme ledit plan doit contenir le point A, le réel d doit être choisi de sorte que les coordonnées de A vérifient l équation, donc : 0+0 0+d = 0, ce qui donne d = 0. Une équation cartésienne du plan P est donc : x + y z = 0. (d) Le point H est un point de (DF), mais c est aussi un point de P, donc ses coordonnées sont celles d un point de paramètre t dans la représentation paramétrique, qui vérifie également l équation du plan : M t P t+ t ( t) = 0 t = 0 t = Le point de paramètre t sur la droite (DF) est sur le plan P si et seulement si le paramètre t est (, ce qui nous indique que le point H est le point de coordonnées : ; ; ), c est à dire : ( ) H ; ; (e) Calculons les coordonnées des vecteurs H et ( HG : H = ; 0 ; 0 ) ( ) = 6 ; ; ( HG = 0 ; ; 0 ) ( = ) ; 6 ;. Comme on travaille avec un repère orthonormé, le produit scalaire des deux vecteurs peut être obtenu
avec ces coordonnées, et on a : H HG = 6 + 6 + = 8 + 8 + 9 = 0. Comme le produit scalaire des deux vecteurs est nul, ceux ci sont orthogonaux, et donc l angle ÊHG est bien droit.. On reconnaît dans le point M décrit, le point de paramètre t dans la représentation paramétrique de la droite (DF) donnée à la question. b.. ( ) (a) Le point est le milieu du segment [AB], donc ses coordonnées sont ; 0 ; 0 donc le vecteur M ( a pour coordonnées : t ; 0 ) t ; 0 ( t) On a donc M = M M =, soit ( ) M ( t) ; t ; t. ( ) +( ( t) ) ( ) t + t M = 4 (t t+)+ t 4 +t t+ = t 5 t+ 5 4 On a bien prouvé M = t 5 t+ 5 4 (b) On procède de façon analogue pour calculer( le carré de ) la distance MG : Le point G est le milieu du segment [AC], donc ses coordonnées sont 0 ; ; 0 donc le vecteur MG a pour coordonnées : ( MG 0 t ; ) t ; 0 ( t), soit ( MG ) t ; ( t) ; t. On a donc MG = MG ( = ) ( ) ) t + +( ( t) t MG = t 4 + 4 (t t+)+t t+ = t 5 t+ 5 4 On a bien prouvé MG = t 5 t+ 5 4 = M. Deux nombres ont le même carré quand ils sont égaux ou opposés, or M et MG étant des distances, ils ne peuvent être opposés, donc M = MG et donc le triangle MG est bien isocèle en M. Visualisons la situation dans le plan (MG) : M I G On nomme I le pied de la hauteur issue de M dans ce triangle. Le triangle étant isocèle en M, cette hauteur est aussi une bissectrice de l angle ÊMG, donc on peut dire que dans le triangle MI, rectangle en I, l angle ÊMI a donc une mesure égale à, et donc le sinus de cet angle est égal au quotient de la longueur du côté opposé à l angle par celle de l hypoténuse, soit : sin = I, ce qui donne : ( M Msin = I, or I est la moitié de G, puisque (IM), la hauteur issue du sommet principal d un triangle isocèle est aussi la médiane issue de ce sommet, donc I est le milieu de [G]. La distance G peut être calculée en utilisant les coordonnées de et G, puisque le repère est orthonormé : G = (x G x ) +(y G y ) +(z G z ) = 4 + 4 +0 = =. La distance I étant la moitié de cette distance G, on arrive bien à l égalité attendue : Msin =.
(c) Puisque désigne la mesure en radians d un angle géométrique, on peut en déduire que cette mesure varie dans l intervalle [0 ; π] et donc que le nombre [0 varie dans l intervalle π ] ;, intervalle sur lequel la fonction sinus est strictement croissante, donc comme la fonction linéaire de coefficient ( l est aussi, plus la mesure est élevée, plus le nombre sin l est aussi. La réciproque est vraie également : puisque la fonction est strictement croissante, plus l image est élevée, plus l antécédent l est aussi. On a donc prouvé que la valeur est maximale si et seulement si sin l est aussi. ( Comme le produit de sin par la distance M est constant, et que les deux facteurs sont positifs, pour ( que l un des facteurs soit maximal, il faut et il suffit que l autre soit minimal, donc cela prouve sin est maximal quand la distance M est minimale. nfin, la distance M étant nécessairement positive, et étant donné que la fonction carré est strictement croissante sur l intervalle [0 ; + [, on sait que M est minimal si et seulement si M l est aussi. n conclusion, en utilisant ces différentes équivalences, on en déduit que la mesure est maximale quand M est minimal. (d) Le polynôme de degré qu est t 5 t+ 5 a un coefficient dominant positif, donc son extremum sera 4 5 un minimum, et celui ci sera atteint pour t = = 5 6. La position du point M telle que la mesure de l angle soit maximale est celle atteinte pour le paramètre t = 5, soit pour M de coordonnées : ( 6 ) 5 M ; 5 ;. 6 Ce qui suit est hors-sujet : On a alors M = ( 5 6 On en déduit alors que sin = 4 5 = soit un angle d environ 0,5. xercice Antilles 0 ) 5 5 6 + 5 4 = 5 4., ce qui, à l aide de la calculatrice donne,77 5. La bonne réponse est b. Par l absurde : si (IJ) et (C) étaient coplanaires, alors, le point J appartiendrait au plan (CI) c est-à-dire au plan (CA), ce qui est faux.. La bonne réponse est c. Dans le repère mentionné dans le sujet, on a AF( ; 0 ; ) et BG(0 ; ; ), d où AF BG = 0+0 + =.. La bonne réponse est d. On le vérifie en injectant les coordonnées des points A, F et H dans l équation x+y z = 0. 4. La bonne réponse est b. Un vecteur normal de P est n( ; ; ), or C( ; ; ). Par conséquent C est normal à P, et comme L et C sont colinéaires, L est de ce fait aussi normal à P. 5. La bonne réponse est d. On a C( ; ; ) et (0 ; 0 ; ); une représentation paramétrique de la droite (C) est donc x = t y = t (t R). Le point L a donc pour coordonnées L(t ; t ; t), et comme L P alors : z = t t+t ( t) = 0 d où l on tire t =, c est-à-dire L( ; ; ), d où le résultat. xercice Amerique nord 04
Partie A : Section du cube par le plan (MNP). Dans le plan (FG), les droites (PM) et (FG) ne sont pas parallèles, elles sont donc sécantes.. (a) Les droites (LN), (BF) et (CG) sont coplanaires (dans le plan (BCG))... d où les constructions de T et Q. (b) L intersection des plans (MNP) et (ABF) est une droite. Plusieurs manières de faire cette construction : On peut construire points de la droite intersection : Q est un point de l intersection des plans (MNP) (car appartient à (LN), où L et N sont dans (MNP)) et (ABF) (car appartient à (BF)). Dans le plan (FG), les droites (MP) et (F) ne sont pas parallèles, donc elles sont sécantes en un point R qui est aussi un point de l intersection des plans (MNP) (car sur (MP)) et (ABF) (car sur (F)). L intersection des plans (MNP) et (ABF) est donc la droite (RQ) On peut utiliser un point et la direction On a déjà vu que Q est un point de la droite cherchée. Les deux plans (ABF) et (CDG) sont parallèles, ils sont donc coupés par le plan (MNP) selon deux droites parallèles. Or, les points P et T sont à la fois dans (MNP) et (CDG), donc l intersection de ces deux plans est (PT). L intersection des plans (MNP) et (ABF) est donc la droite parallèle à (PT) passant par Q.. Notons S le point d intersection de (A) et (QR). La section du cube par le plan (MNP) est le polygone MPTQS. Partie B. M (0; ; ), N ( ; ; ) ( ) et P 4 ;;.. L est le point d intersection de (MP) et (FG). On cherche donc une représentation paramétrique de chacune des deux droites (MP) et (FG). (MP) passe par M (0; ) ; et a pour vecteur directeur ( ) u 4 ; ; 0, une représentation paramétrique de cette droite est donc : x = 4 t y = + t où t R z = (FG) passe par F ( ; 0 ; ) et a pour vecteur directeur v (0 ; ; 0), une représentation paramétrique de cette droite est donc : x = y = t où t R z = x = 4 t y = + = t 4 t 4 = t x = y = L (MP) (FG) z = + t y = + 4 y = 5 z = z = z = x = y = t x = x = t = 4 y = t z = y = t t = 5 ( ) 5 Les coordonnées du point L sont ; ;.. ( TP ) 4 ; 0 ; et ( TN 0 ; ) 8 ;. 8 Le repère étant orthonormé, on peut utiliser l expression analytique du produit scalaire : TP TN = 8 8 0 Le triangle TPN n est donc pas rectangle en T.