N o d ordre: 3708 THÈSE Présentée devnt devnt l Université de Rennes 1 pour otenir le grde de : Docteur de l Université de Rennes 1 Mention Informtique pr Thoms Gzgnire Équipe d ccueil : DistriCom - IRISA École Doctorle : Mtisse Composnte universitire : IFSIC Titre de l thèse : Lngges de scénrios Utiliser des ordres prtiels pour modéliser, vérifier et superviser des systèmes prllèles et réprtis. soutenue le 27 mrs 2008 devnt l commission d exmen Philippe Drondeu Président Jen-Michel Couvreur Rpporteur Mrc Zeitoun Rpporteur Thierry Mssrt Exminteur Loïc Hélouët Encdrnt de Thèse Clude Jrd Directeur de Thèse
Nomreuses sont les personnes que je tiens à remercier et qui m ont ccompgnées tout u long de mon doctort. Je remercie tout d ord les memres du jury, pour voir ccepté d évluer mon trvil : Jen-Michel Couvreur et Mrc Zeitoun pour voir rpporté mon document et Thierry Mssrt pour voir prticipé à mon jury. Je tiens à remercier Philippe Drondeu pour voir présidé mon jury, pour voir toujours répondu vec gentillesse et précision à mes nomreuses questions tout u long de mon doctort et pour voir relu en détil et commenté ce document. Je remercie ussi Clude Jrd et Loïc Hélouët pour m voir donné l opportunité de construire m thèse : tout en me lissnt une grnde lierté scientifique, ils ont toujours été là pour m épuler et me diriger fin que que mes trvux restent cohérents. Merci vriment pour cel. Je tiens ensuite à remercier des personnes vec qui j i trvillé. Tout d ord Blise Genest, qui eu l ptience de prtger son svoir en répondnt à mes (trop?) nomreuses questions. Nul doute que s culture scientifique eu une une grnde influence sur mes trvux. I m lso very gretful to P.S. Thigrjn nd Shof Yng who welcomed me in Singpore nd mde me discover the wonderful lnd of trces. Cusl HMSC were formlized during this sty, nd s they re the core of my PhD, this period ws very importnt to me. Enfin, je tiens à remercier Rémi Morin qui m invité quelques semines dns l elle ville de Mrseille, ce qui conduit à des discussions enrichissntes sur les HMSC cusux et leurs possiles extensions. Enfin, merci à tous mes mis et à m fmille pour m voir supporté et encourgé pendnt ces trois nnées et demi. Je vous dois eucoup et je ne seris ps grnd chose sns vous tous. Merci!
Tle des mtières Introduction 9 I Modélistion 15 1 Pnorm des modèles prllèles 17 1.1 Modèles séquentiels................................. 21 1.1.1 Monoïde lire................................ 21 1.1.2 Automtes................................. 22 1.1.3 Résultts.................................. 23 1.2 Modèles synchrones................................ 24 1.2.1 Monoïde de trces............................. 24 1.2.2 Reconnissles et cortionnels...................... 25 1.2.3 Réseux d utomtes synchrones.................... 27 1.3 Modèles communicnts............................... 29 1.3.1 Pomsets................................... 30 1.3.2 High-level Messge Sequence Chrts (HMSC).............. 32 1.3.3 HMSC contextuels............................. 37 1.3.4 Réseux d utomtes communicnts................... 40 1.4 Des modèles mixtes?................................ 43 2 Modèles mixtes 45 2.1 HMSC cusux................................... 47 2.2 Mise en œuvre vers des modèles communicnts................. 50 2.2.1 Ett de l rt................................ 51 2.2.2 HMSC cusux réguliers.......................... 56 2.2.3 Preuve du Théorème 2.5 (régulrité et mise en œuvre)......... 58 2.3 Equivlence entre systèmes ornés........................ 64 2.3.1 HMSC cusux filement réguliers et cohérents............ 64 2.3.2 Réseux d utomtes mixtes....................... 65 2.3.3 Preuve du Théorème 2.14 (équivlence de modèles)........... 66 2.4 Conclusions et perspectives............................ 71
6 Tle des mtières II Vérifiction 73 3 Vérifiction de modèles 75 3.1 Ett de l rt..................................... 78 3.2 Model-checking d expressions rtionnelles de pomsets.............. 83 3.2.1 Pomsets premiers.............................. 85 3.2.2 Lngges cortionnels de pomsets.................... 87 3.2.3 Model-checking de cortionnels de pomsets............... 88 3.3 Model-checking de HMSC cusux........................ 91 3.3.1 Différentes sémntiques pour les HMSC cusux............ 91 3.3.2 Model-checking de HMSC cusux glolement coopértifs...... 92 3.3.3 Comprison vec les utres modèles................... 93 3.4 Conclusions et perspectives............................ 93 4 Vérifiction prtielle de modèles 97 4.1 Boxed pomsets................................... 99 4.1.1 Pomsets et projection........................... 99 4.1.2 Définition des oxed pomsets....................... 100 4.2 Propiétés des oxed pomsets........................... 105 4.2.1 Propriétés des modèles finis........................ 105 4.2.2 Propriétés des expressions rtionnelles.................. 108 4.3 Projection et modèles finiment engendrés.................... 112 4.4 Conclusions et perspectives............................ 114 III Supervision 117 5 Supervision vec oservtion complète 119 5.1 Astrction..................................... 121 5.1.1 Ett de l rt................................ 121 5.1.2 Définition formelle de l strction.................... 122 5.1.3 Astrction et horloges vectorielles.................... 125 5.1.4 Algorithmes pour l oservteur...................... 128 5.1.5 Applictions................................ 131 5.2 Heuristique pour le prolème de l pprtennce................. 132 5.2.1 Nottions et définitions.......................... 134 5.2.2 Vecteurs et mtrices d pprtennce................... 135 5.2.3 Résultt d pproximtion......................... 137 5.3 Conclusions et perspectives............................ 139 6 Supervision vec oservtion prtielle 143 6.1 Modèles d oservtion............................... 146 6.1.1 Oservtion et rchitectures........................ 146 6.1.2 Oservtion et explictions........................ 148 6.1.3 Oservtion et inférences......................... 149 6.2 Dignostic...................................... 151 6.2.1 Dignostic centrlisé............................ 151
Tle des mtières 7 6.2.2 Dignostic réprti............................. 155 6.3 Corréltion d événements............................. 157 6.4 Conclusions et perspectives............................ 159 Conclusion 163 Biliogrphie 166 Index 177
8 Tle des mtières
Introduction Cette thèse se plce dns le cdre de l modélistion et de l nlyse de systèmes prllèles et réprtis : systèmes prllèles, cr composés de nomreuses entités indépendntes qui évoluent de fçon utonome, vec des interctions plus ou moins régulières ; systèmes réprtis, cr le type d interction entre les entités v dépendre, pour une topologie donnée, de l distnce qui les sépre. Plus précisément, lorsque l on se plce dns le cdre de systèmes informtiques, cette prolémtique prend l forme suivnte : les entités sont différents progrmmes ou processus, qui s exécutent sur des ordinteurs reliés pr l intermédiire d un réseu de télécommuniction. Dns ce cdre, le prllélisme et l réprtition pprissent pr l intermédiire de modes spécifiques de fonctionnement, ussi ien u niveu locl qu u niveu glol. D une prt, le prllélisme s incrne pr deux modes de fonctionnement distincts. Au niveu locl, les progrmmes disposent, chcun à leur tour, d un court temps d exécution sur le processeur de l mchine, ce qui simule un comportement prllèle. Au niveu glol, les différents processeurs des mchines sont complètement indépendnts et peuvent donc s exécuter en prllèle. D utre prt, l réprtition s incrne pr l utilistion de deux modes d interction distincts. Au niveu locl, chque mchine peut mettre en plce des mécnismes de mémoire prtgée. Ainsi, deux progrmmes cohitnt sur une même mchine peuvent prtger efficcement certines vriles, et les utiliser pour mettre en plce des protocoles complexes de synchronistion. Cependnt, ce type d interction est fortement limité pr l performnce des us permettnt l ccès à l mémoire et il n est ps réliste d envisger une telle utilistion lorsque les distnces de communiction deviennent trop grndes. C est pourquoi, u niveu glol, le mode d interction retenu est celui de l communiction pr échnge synchrone de messges entre mchines. Un progrmme peut insi envoyer un messge et continuer à s exécuter, sns voir à ttendre une réponse qui peut prendre plusieurs secondes à rriver. Ce type d interction utilise les protocoles disponiles sur le réseu de communiction sousjcent. En prticulier, nous ferons l hypothèse que les réseux de communiction sont sns perte et permettent de grntir un minimum d ordre dns l délivrnce des messges 1. Au finl, nous llons nous intéresser, dns ce document, à l étude de systèmes prllèles et réprtis qui vont intergir loclement pr mémoire prtgée et glolement pr échnge de messges. Nous dirons que ces systèmes sont loclement synchrones et glolement communicnts. 1 vi l utilistion de protocoles tels que TCP/IP qui ssure que les messges sont reçus dns l ordre émis.
10 Introduction Prolémtiques Dns le cdre des systèmes loclement synchrones et glolement communicnts, nous nous intéressons à deux prolémtiques : l modélistion et l nlyse de tels systèmes. Mlheureusement, ces systèmes étnt, pr nture, très complexes, il est, en générl, impossile d otenir une modélistion précise en même temps que des outils puissnts d nlyse. Il fut donc fire un choix : soit proposer des outils de modélistion très expressifs dont l nlyse utomtique v se révéler impossile, soit limiter l expressivité des modèles proposés fin de pouvoir nlyser effectivement certines de leurs propriétés. Ce dernier choix est celui que nous vons dopté tout u long de cette thèse. Plus précisément, nous vons décidé de limiter l puissnce d expression des modèles considérés fin de réliser deux types d nlyse utomtique sur les modèles produits. Le premier type d nlyse est l vérifiction. Cette nlyse est effectuée à prtir d un modèle du système à nlyser et d une propriété à vérifier sur toutes les exécutions possiles du système décrit pr le modèle. L intérêt de ce type d nlyse est de pouvoir détecter, vnt même son exécution, des prolèmes éventuels dns l spécifiction d un modèle. Pour que l nlyse puisse être utomtisée, il est souvent nécessire de réduire l précision du modèle considéré. Ainsi, en générl, sont vérifiées sttiquement des propriétés de sûreté qui indiquent qu ucune exécution du système modélisé ne conduir ce système dns un étt non désiré. Le second type d nlyse est l supervision. Comme pour l vérifiction, cette nlyse est, en générl, effectuée à prtir d un modèle du système considéré et d une propriété à vérifier sur ce système. Cependnt, dns le cs de l supervision, une unique exécution est considérée : pr exemple celle qui été oservée pr des cpteurs disposés u sein du système prllèle et réprti considéré. Ce prolème est donc plus fcile que l vérifiction (qui considère toutes les exécutions possiles). Pr conséquent, l supervision devient possile pour des modèles moins strits, ou pour des propriétés plus complexes que celles considérées pour l vérifiction. A ce titre, les deux types d nlyses se complètent prfitement : étnt donné un modèle d un système prllèle et réprti, il est possile de le vérifier sttiquement vis-à-vis de propriétés simples, ce qui donne une certine grntie vnt l exécution du système, puis de le superviser dynmiquement vis-à-vis de propriétés plus complexes, ce qui donne une grntie plus forte en cours d exécution. Solutions proposées Pour répondre ux prolémtiques évoquées précédemment, à svoir l modélistion, l vérifiction et l supervision de systèmes prllèles et réprtis, l solution que nous vons retenue et que nous décrivons dns cette thèse est l suivnte : Plutôt que de modéliser séprément chque entité d un système prllèle et réprti, puis d nlyser les comportements qui peuvent se produire lorsque ces entités intergissent, nous fournissons une théorie permettnt de modéliser et d nlyser glolement le système considéré.
Introduction 11 Nous qulifions cette pproche d pproche glole ou d pproche de hut niveu, en opposition à l description indépendnte de chque composnt du système, que l on pourrit qulifier d pproche locle ou pproche de s niveu. Nous montrons, dns ce document, que l pproche glole permet de résoudre des prolèmes d nlyse réputés difficiles pour les systèmes prllèles et réprtis. En prticulier, l mise u point de ces nlyses ne demnde ps d hypothèses trop fortes sur les medi d interction employés, comme c est le cs pour les modèles de s niveu. Pr exemple, pour les modèles communicnts de s niveu, il est souvent nécessire, pour réliser ces nlyses, d voir une orne sur l tille des cnux de communiction sous-jcents. L figure 1 décrit schémtiquement notre pproche et l orgnistion du document. Tout d ord, dns l prtie inférieure de cette figure, sont représentés les modèles clssiques de s niveu qui permettent de décrire indépendmment le comportement de chque entité. Pour ces modèles, il est difficile de répondre ux questions de vérifiction, représentées sur l droite de cette figure et à celles de supervision, représentées sur s guche. Ensuite, l prtie supérieure de cette figure représente l pproche différente que nous proposons, qui s ppuie sur une modélistion glole des systèmes considérés. Ces modèles gloux sont, dns certins cs, plus simples à vérifier et à superviser. Enfin, cette figure indique que, d une prt, l prtie I de ce document (chpitre 1 et 2), est conscrée à l comprison du pouvoir d expression des modèles de hut niveu pr rpport à ceux de s niveu. Elle indique, d utre prt, que l prtie II (chpitre 3 et 4), est conscrée à l vérifiction des modèles gloux. Finlement, elle indique que l prtie III (chpitre 5 et 6) s intéresse à l supervision de ces modèles. Supervision Modélistion Vérifiction Oservtion Prtie III Chp. 5,6 Prop.? Modèle glol de hut niveu Exécutions Prtie II Chp. 3,4 Prop.? Prtie I Chp. 1,2 mémoire prtgée thred réseu Exécutions Oservtion Prop.?? processus? Prop.? Modèles locux de s niveu Fig. 1 Prolémtiques de l thèse et orgnistion du document.
12 Introduction Utiliser des ordres prtiels? Les modèles de hut niveu que nous considérons dns cette thèse s ppuient sur l théorie des ordres prtiels étiquetés. Ces structures mthémtiques sont ussi ppelées modèles d ordres prtiels, cr elles permettent de modéliser un système sns en décrire explicitement les entrelcements produits pr son exécution séquentielle. Nous pensons que l théorie des ordres prtiels étiquetés est le formlisme idél à employer dns le cdre des systèmes prllèles et réprtis. En effet, d une prt, ce formlisme permet de modéliser grphiquement, et donc de mnière intuitive, des interctions complexes entre différentes entités. D utre prt, cette représenttion est très compcte 2, comprée ux modèles de s niveu qui décrivent des entrelcements d exécution. Ensuite, ce formlisme permet de s strire des modèles clssiques d exécution séquentielle, ce qui permet d identifier de nouvelles clsses de systèmes où des nlyses utomtiques vont être possiles. Enfin, il permet de répondre à des questions (liées à l cuslité) que les modèles séquentiels clssiques peuvent difficilement ou ps du tout triter. Orgnistion du document Ce document est découpé en trois prties. L première prtie concerne l modélistion de hut niveu de systèmes prllèles et réprtis, l seconde l vérifiction de tels modèles, et l troisième leur supervision. Plus précisément, ce document s orgnise comme suit : Première prtie (chpitres 1 et 2) : Modélistion Chpitre 1 : Pnorm des modèles de prllélisme Dns ce chpitre, nous donnons les résultts déjà existnts sur l modélistion de systèmes. Nous prtons des modèles ssociés ux systèmes séquentiels clssiques, pour ensuite présenter les modèles ssociés ux systèmes synchrones, qui intergissent pr mémoire prtgée. Nous présentons finlement les structures d ordre prtiel qui permettent de modéliser les systèmes prllèles qui communiquent pr échnge de messges synchrones. Nous préciserons, pour chcun de ces modèles, les nlyses utomtiques qu il est possile de réliser. Chpitre 2 : Modèles mixtes Dns ce chpitre, nous présentons les premiers résultts de cette thèse. Nous commençons pr introduire une nouvelle fmille de lngges de modélistion, ppelée hmsc cusux, qui étend le formlisme des hmsc (pour High-Level Messge Sequence Chrts, un lngge de spécifiction normlisé pour les systèmes communicnts) et les trces de Mzurkiewicz (un formlisme qui permet de décrire des systèmes synchrones). Ce formlisme permet de décrire une lrge clsse de systèmes prllèles et réprtis. Nous montrons ensuite des résultts de trduction entre des sous-clsses syntxiques des hmsc cusux vers des modèles de s 2 L tille ggnée est de l ordre d un fcteur exponentiel.
Introduction 13 niveu séquentiels, vers des modèles de s niveu communicnts et vers des modèles de s niveu dits mixtes, cr loclement synchrones et glolement communicnts. Les résultts énoncés dns ce chpitre, sont, à notre sens préliminires : ils permettent uniquement de crctériser des systèmes prllèles dont les cnux de communiction ont des cpcités ornées, ce qui n est ps totlement stisfisnt. A long terme, otenir une crctéristion de systèmes non ornés, s ppuynt pr exemple sur le modèle opértionnel mixte proposé dns ce chpitre, est un enjeu mjeur fin de crctériser l expressivité excte des modèles que nous proposons dns ce document. Deuxième prtie (chpitre 3 et 4) : Vérifiction Chpitre 3 : Vérifiction de modèles Ce chpitre présente les principux résultts théoriques que nous vons otenus sur l vérifiction de modèles de hut niveu, décrits à l ide de générteurs de fmilles d ordres prtiels étiquetés. Nous présentons dns ce chpitre deux résultts principux. Tout d ord, le premier résultt s ppuie sur l extension ux ordres prtiels des logiques temporelles clssiques. Nous montrons, d une prt, qu il est possile de crctériser les fmilles de modèles nlysles pr ces logiques, et d utre prt, que l complexité de ce genre d nlyse reste équivlente à celle du model-checking de modèles séquentiels. C est un résultt très stisfisnt, cr il indique que l concision des modèles d ordres prtiels est réelle et peut être conservée tout u long de l nlyse utomtique. Ensuite, le second résultt est que, si nous décrivons les propriétés à nlyser dns une restriction du lngge de modélistion, il est possile d nlyser n importe quel modèle d ordres prtiels, cette fois sns ucune restriction syntxique. Ce résultt montre l intérêt d utiliser ce type de modèles. Enfin, nous utilisons ces résultts pour crctériser les nlyses de vérifiction décidles pour les hmsc cusux. Chpitre 4 : Vérifiction prtielle de modèles Dns ce chpitre, nous définissons un nouveu modèle, ppelé oxed pomsets, qui nous sert, ensuite, à fire de l vérifiction prtielle de modèles (seulement dns le cs de l vérifiction de propriétés positives). D une prt, nous montrons que ce modèle possède de onnes propriétés de projection, puisque l projection de l composition de deux oxed pomsets est l composition de l projection de ces deux oxed pomsets : les rtionnels des oxed pomsets sont donc stles pr projection. D utre prt, nous trduisons le prolème de l vérifiction positive et prtielle de modèles, donnés sous l forme de rtionnels de pomsets, en un nouveu prolème. Celui-ci consiste à décider si le lngge engendré pr une expression rtionnelle de oxed pomsets est équivlent à celui d une expression rtionnelle de pomsets. Nous montrons que ce nouveu prolème est décidle pour les oxed pomsets et donc, que l vérifiction positive et prtielle de modèles utilisnt des pomsets est décidle.
14 Introduction Troisième prtie (chpitre 5 et 6) : Supervision. Chpitre 5 : Supervision vec oservtion complète Ce chpitre se foclise sur le tritement efficce de fichiers, dont l tille peut être très importnte, issus de l oservtion exhustive des événements d un système prllèle et réprti. Pour cel nous vons développé deux techniques. L première technique consiste à compresser une exécution en même temps que celle-ci est oservée. L compression est prmétrée pr une fonction de typge et le résultt de cette compression est une strction de l exécution initile, dns lquelle les événements de même type sont regroupés dns des mcro-événements, de telle sorte que l strction reste un ordre prtiel. Cette technique est un pré-tritement intéressnt et trnsprent pour l pluprt des méthodes que nous développons. L seconde technique consiste à compresser un ordre prtiel étiqueté en oulint l ordre qu il définit et en comptnt le nomre de toutes les étiquettes qu il contient. Ensuite, il est possile de crctériser les clsses de modèles pour lesquels on sit efficcement si une exécution ynt exctement le même décompte existe. Nous résolvons ce prolème en utilisnt un encodge déqut vers des prolèmes mtriciels. Chpitre 6 : Supervision vec oservtion prtielle Finlement, le dernier chpitre de ce document est conscré à l supervision de systèmes que l on n est ps cple d oserver entièrement. Plus précisément, étnt donné un modèle d un système et une oservtion prtielle d une exécution du système qu il spécifie, nous cherchons à inférer les différents éléments qui n ont ps été oservés. Ces éléments sont de deux ntures : des événements et des cuslités. L première technique que nous développons, ppelée dignostic, consiste à inférer de l oservtion prtielle et d un modèle du système oservé, toutes les exécutions complètes dont l projection sur les événements oservles expliquent l oservtion. Comme il existe, priori, un ensemle infini de ces exécutions, nous montrons qu il est possile de construire un générteur fini qui engendre exctement les exécutions du modèle dont l projection explique l oservtion. L seconde technique que nous développons, ppelée corréltion d événements, consiste à inférer de l oservtion prtielle et d un modèle du système oservé, toutes les cuslités dont nous sommes sûrs qu elles se sont produites. Le résultt de cette technique est une extension de l oservtion, extension dns lquelle nous vons rjouté toutes les cuslités inférées pr le modèle. Ceci permet de réduire le nomre d éléments minimux de l oservtion et donc de diminuer le nomre de cuses possiles du phénomène oservé.
Première prtie Modélistion 15
Chpitre 1 Pnorm des modèles prllèles Ce chpitre constitue, vec le chpitre suivnt, l prtie I de cette thèse, conscrée ux modèles de prllélisme. Nous présentons, dns ce chpitre, différents modèles qui permettent de spécifier des systèmes informtiques complexes. Nous nous plçons pour cel dns le cdre mthémtique des monoïdes, structures qui vont nous servir de cdre pour modéliser le comportement de hut niveu de ces systèmes. Dns ce cdre, nous précisons deux types de modélistion pour les systèmes prllèles et réprtis, déjà lrgement étudiés ces dernières nnées. Le premier type de modélistion que nous décrivons s ttche à spécifier des systèmes synchrones, systèmes composés d entités qui intergissent pr mémoire prtgée. Le monoïde correspondnt à ces systèmes est celui du monoïde de trces. Les modèles de hut niveu correspondnts sont, donc, les expressions rtionnelles du monoïde de trces, les modèles de s niveu étnt les réseux d utomtes synchrones. Le second type de modélistion que nous décrivons, s ttche à spécifier des systèmes communicnts, systèmes composés d entités qui intergissent pr échnge de messges. Les monoïdes correspondnts sont les monoïdes des hmsc ou celui des chmsc. Les modèles de hut niveu sont, là ussi, les expressions rtionnelles de ces monoïdes et les modèles de s niveu sont les réseux d utomtes communicnts. Dns le chpitre suivnt, lui ussi conscré ux modèles, nous présenterons les premiers résultts de cette thèse en donnnt des modèles qui générlisent les deux pproches précédentes et permettent de spécifier des interctions mixtes. Enfin, les prties II et III de ce document seront conscrées, respectivement, à l vérifiction et à l supervision de ces systèmes prllèles et réprtis mixtes.
18 Pnorm des modèles prllèles Contexte Dns le cdre des systèmes séquentiels à événements discrets, le lien entre les lngges de spécifiction et les modèles opértionnels est ien compris. En prticulier, [Kleene 56] montré que ces deux formlismes permettient de décrire les mêmes structures. Un concepteur dispose donc, d un côté, d outils simples et expressifs permettnt de décrire le fonctionnement d un système et de l utre, de modèles d exécution formellement définis et pour lesquels de nomreux prolèmes de vérifiction sont décidles sttiquement. Cependnt, dns le cdre des systèmes prllèles et réprtis à événements discrets, le tleu est plus complexe. En effet, l pluprt des modèles qui ont été proposés ne sont ps ssez expressifs cr ils ne permettent ps d exprimer certins spects de l réprtition, ou inutilisles en prtique cr de nomreux prolèmes (de vérifiction) sont indécidles ou très peu efficces, pour ces modèles. Trouver des modèles qui ne toment dns ucun de ces trvers est l enjeu principl de cette thèse. Mis, vnt de présenter nos résultts, nous rppelons, dns ce chpitre, l définition des principux modèles de hut niveu que nous étendons dns cette thèse, et nous donnons les liens qui existent vec certins modèles de s niveu plus clssiques. Dns ce chpitre, nous présentons donc plusieurs modèles de spécifiction et d exécution, en prticulier ceux liés ux systèmes séquentiels et leurs extensions ux systèmes prllèles intergissnt pr mémoire prtgée ou pr échnge de messges synchrones. Nous commençons pr donner le cdre générl de modélistion dns lequel nous nous plçons et pr fixer les définitions qui vont être utilisées tout u long de cette thèse. Un cdre générl Les monoïdes (ou semi-groupes vec un élément neutre) sont des structures lgériques dont les éléments ne sont ps inversiles. Ces structures ont été étudiées pr l communuté nissnte de l informtique théorique de l près-guerre, pr exemple dns [Schützenerger 55] où les premières notions concernnt les semi-groupes sont étudiées, ou encore dns [Clifford 61] qui est le premier ouvrge de synthèse concernnt ces structures. En effet, les monoïdes permettent de modéliser le comportement de systèmes qui évoluent u cours du temps, comme c est le cs pour les systèmes informtiques en générl. Plus précisément, le lien entre les monoïdes et les systèmes informtiques est le suivnt : ces systèmes ne sont ps réversiles et l évolution du temps se trduit pr une perte d informtions. Ceci pour conséquence que les ctions produites pr de tels systèmes ne peuvent ps être nnulées. L sence d inverse dns les monoïdes répond donc prfitement à ce esoin de modélistion. Plus formellement, un monoïde (M,, 1), noté plus simplement M est une structure lgérique composée d un ensemle M qui est muni d une loi de composition interne ssocitive et d un élément neutre 1. En d utres termes :
19 Définition 1.1 (monoïde) Une structure M = (M,, 1) est un monoïde si elle vérifie les trois xiomes suivnts : (loi de composition interne) x, y M, x y M ; (élément neutre) x M, x 1 = 1 x = x ; (ssocitivité) x, y, z M, (x y) z = x (y z). Etnt donné deux monoïdes M et M, une fonction η : M M est un morphisme du monoïde M vers le monoïde M si, pour tous éléments x, y M, η(1) = 1 et η(x y) = η(x) η(y). Un isomorphisme est un morphisme ijectif. Etnt donné un monoïde M, une congruence de M est une reltion d équivlence M M comptile vec l loi de composition interne. Plus précisément, une congruence vérifie les trois xiomes d une reltion d équivlence, insi qu un xiome de comptiilité de l loi de composition. Plus formellement, est une congruence si elle vérifie : (réflexivité) x M, x x ; (symétrie) x, y M, x y y x ; (trnsitivité) x, y, z M, (x y) (y z) x z ; (comptiilité) x, y, x, y M, x x y y x y x y. Etnt donné un monoïde M et une reltion d équivlence de M, l clsse d équivlence d un élément x M, notée [x], est l ensemle des éléments de M équivlents à x pr l reltion, c est-à-dire [x] = {y M x y}. De même, étnt donné L M, le quotient de L pr l reltion d équivlence est notée [L] = {[x] x L}. Une congruence de M induit nturellement un monoïde quotient (M/,, [1] ), vec M/ = {[x] x M} et [x] [y] = [x y]. Pour des risons de lisiilité, un tel monoïde quotient est simplement noté M/. Etnt donné une reltion R, l fermeture trnsitive de R, notée R, est l plus petite reltion qui vérifie : si x, y et z sont tels que x R y et y R z, lors x R z. L réduction trnsitive de R est une reltion minimle S, vérifint S = R. Pour tous les sous-ensemles L et L d un monoïde M, le produit de L et L est L L = {x x x L x L }. Nous notons L 0 = {1}, et pour tout entier positif n, L n+1 = L n L. L itértion de L est notée L = n N Ln, qui est un sous-monoïde de M. Un ensemle L est finiment engendré dns M pr un ensemle fini X M, ce qui est noté L X M, si il existe un sous-ensemle fini X M tel que L X. Un monoïde M est dit finiment engendré si L = {x M} est finiment engendré dns M. Définition 1.2 (rtionnels) Soit M, un monoïde. L ensemle REX(M) des expressions rtionnelles de M est donné pr l syntxe suivnte : α ::= m α 1 α 2 α 1 + α 2 α, où m M. Le lngge d une expression rtionnelle, noté L M : REX(M) 2 M, est défini inductivement de l mnière suivnte : L M ( ) = ; L M (m) = {m} ; L M (α 1 α 1 ) = L M (α 1 ) L M (α 2 ) ;
20 Pnorm des modèles prllèles L M (α 1 + α 1 ) = L M (α 1 ) L M (α 2 ) ; L M (α ) = L M (α). Un sous-ensemle L M est rtionnel si il est le lngge d une expression rtionnelle. De mnière équivlente, L est rtionnel si il peut être otenu à prtir d une suite finie d unions, de produits, et d itértions de sous-ensemles de M. Les rtionnels de M sont notés RAT(M). Pr l suite, nous écrirons α 1 α 2 à l plce de α 1 α 2, et l opérteur est prioritire sur, lui même prioritire sur +. Remrquons que, pour tout morphisme η : M M, si L M est rtionnel, lors η(l) = {η(l) l L} M est rtionnel. L proposition suivnte donne l équivlence de pouvoir expressif entre les différents modèles présentés jusqu à présent. Plus précisément, elle indique que les lngges d expressions rtionnelles, les sous-ensemles rtionnels et les sous-ensemles finiment engendrés d un monoïde quelconque M coïncident. Proposition 1.3 ([Diekert 95]) Soient M, un monoïde et L M. Alors, les trois ffirmtions suivntes sont équivlentes : L est rtionnel, c est-à-dire L RAT(M) ; L est le lngge d une expression rtionnelle de REX(M) ; L est finiment engendré, c est-à-dire il existe X M fini, tel que L X M. Ces différentes formultions nous donnent des outils expressifs et strits pour définir des comportements infinis, à l ide d opérteurs d itértion et de choix, dns le cdre des monoïdes. Ainsi, nous considérons, dns tout ce document, l hypothèse suivnte : Un modèle de hut niveu est une expression rtionnelle d un monoïde ien choisi. Il fut donc définir les monoïdes dptés à l modélistion de hut niveu, insi que les modèles opértionnels (ou de s niveu) induits pr les hypothèses fites sur le système sousjcent. Enfin, il reste à fire le lien entre ces deux types de représenttion et à crctériser les nlyses décidles pour ces modèles. Orgnistion du chpitre Dns l suite de ce chpitre, nous répondons rpidement à ces questions pour le cdre séquentiel dns l prtie 1.1, où nous introduisons le monoïde lire et où les modèles d exécution sont les utomtes. Ensuite, dns l prtie 1.2, nous nous plçons dns le cdre des systèmes prllèles intergissnt pr mémoire prtgée. Dns ce cdre, le monoïde considéré est le monoïde de trces et les modèles de s niveu sont les réseux d utomtes synchrones. Enfin, dns l prtie 1.3, nous étudions les systèmes prllèles intergissnt pr échnge de messges (synchrones). Le monoïde correspondnt est le monoïde des ordres prtiels étiquetés décrivnt l interction entre différents processus s échngent des messges et les modèles opértionnels y sont ppelés des utomtes communicnts.
1.1 Modèles séquentiels 21 1.1 Modèles séquentiels Nous présentons, mintennt, une spécilistion des définitions présentées dns l prtie précédente à des modèles permettnt de décrire l évolution de systèmes à événements discrets où le contrôle de l exécution est glol, ppelés ussi systèmes séquentiels. De tels systèmes produisent des séquences d ctions, et le choix de l future ction à exécuter est effectué pr un unique intervennt qui centrlise le contrôle du flot d exécution du système. De tels systèmes permettent, pr exemple, de décrire le fonctionnement d un ordinteur où toutes les instructions sont effectuées pr une unique entité, le processeur. Le cdre des systèmes séquentiels été lrgement étudié, depuis une cinquntine d nnées, et de nomreux résultts existent. Dns cette prtie, nous donnons, tout d ord, des définitions générles concernnt les lngges de spécifiction, à l ide d expressions rtionnelles du monoïde lire (prtie 1.1.1). Ensuite, dns l prtie 1.1.2, nous définissons les utomtes dns le cdre des monoïdes finiment engendrés, qui correspondent ux modèles opértionnels des lngges séquentiels. Enfin, nous montrons, dns l prtie 1.1.3, que les lngges de spécifiction et les modèles d exécution ont le même pouvoir d expression pour les modèles séquentiels, et nous présentons des résultts de décidilité sur ces modèles. Ces résultts motivent leur utilistion pour modéliser et nlyser des systèmes séquentiels. 1.1.1 Monoïde lire Dns l suite de ce document, nous utilisons une clsse très prticulière de monoïdes. Cette clsse se plce dns le cdre discret, lorsque chque ction effectuée pr le système est décomposle en ctions tomiques. Nous nous intéressons donc à une clsse de monoïdes finiment engendrés. L ensemle des ctions que le système à modéliser peut effectuer est regroupé dns un ensemle Σ, ppelé lphet. Les éléments,,... de Σ sont donc ppelés indifféremment des ctions ou des lettres et les séquences finies de lettres 1... n, des mots. L séquence vide est notée ε. Enfin, l ensemle des mots composés à prtir d un lphet Σ est noté Σ. Pour tout u Σ, nous notons Σ(u) l ensemle des lettres qui pprissent dns u. De plus, l clsse de monoïdes à lquelle nous nous intéressons modélise des systèmes à mémoire, où chque ction effectuée est enregistrée et fit prtie de l production du modèle : l loi de composition doit refléter ce fit. Ainsi, fin d interpréter Σ comme un monoïde, nous lui ssocions l reltion de concténtion, notée, et définie de l mnière suivnte : 1... n 1... m = 1... n 1... m, pour tout mot 1... n et 1... m. Cette reltion est une loi interne, ssocitive et qui dmet ε comme élément neutre : en conséquence (Σ,, ε) est un monoïde, ppelé monoïde lire. Définition 1.4 (monoïde lire) Soient Σ, un ensemle d ctions, ε, le mot vide et, défini tel que u v = uv pour tout mot u, v dns Σ. Alors, Σ = (Σ,, ε) est le monoïde lire. Les sous-ensemles de Σ sont ppelés des lngges. Pour conclure, étnt donné un monoïde M explicitnt toutes les ctions possiles pour un système, une expression rtionnelle de M peut être vue comme l spécifiction d un modèle décrivnt l évolution, u cours du temps, du système que l on cherche à modéliser. Dns l prtie suivnte, nous présentons un modèle d exécution pour ce type de spécifictions.
22 Pnorm des modèles prllèles 1.1.2 Automtes L théorie des utomtes est née quelques nnées vnt celle des monoïdes présentée dns le chpitre précédent, et le lien entre ces deux représenttions été fit pr [Schützenerger 55]. Lorsque Shnon pulie [Shnnon 48], il fonde non seulement l théorie de l informtion, mis s notion de discrete noiseless system utilisée pour décrire les cnux de communiction, cominée vec une chîne de Mrkov, est, en fit, exctement l définition moderne d un utomte. Puis, Von Neumn introduit le terme théorie des utomtes dns une conférence ([vonneumnn 51]) où il expose les perspectives d une future théorie. Enfin, citons les trvux fondteurs de Kleene dns [Kleene 56], qui reprend et étend un rticle de McCulloch et Pitts ([McCulloch 43]) sur les réseux de neurones. Pour un historique plus complet, se reporter, pr exemple, à [Perrin 95]. Formellement, un utomte peut se définir de l mnière suivnte : Définition 1.5 (M-utomte) Etnt donné un monoïde lire M, un M-utomte A est une structure (S,, M, S i, S f ) où : S est un ensemle d étts ; : S M S est une reltion de trnsition ; M M est un ensemle d étiquettes ; S i S est un ensemle d étts initiux ; S f S est un ensemle d étts finux. Dns le cs où S i est un singleton et une fonction de S M dns S, A est ppelé un utomte déterministe. Un chemin ρ de A est une succession de trnsitions de consécutives, c est-à-dire telles l que ρ = n 1 l 0 n1... k nk et (n i, l i+1, n i+1 ) est dns. Est ssocié, à chque chemin ρ, l élément L M (ρ) = l 1... l k de M. Un chemin cceptnt est un chemin déutnt dns un étt initil et terminnt dns un étt finl. Le lngge d un utomte est l ensemle des éléments de M définis pr des chemins cceptnts de A, c est-à-dire L M (A) = {L M (ρ) ρ est un chemin cceptnt de A}. On dir que A reconnît L si L est le lngge de A. Grâce à cette définition, nous pouvons introduire, mintennt, l notion de reconnissilité. Définition 1.6 (reconnissilité) Soient M, un monoïde et L M. L est dit reconnissle dns M si il existe un monoïde fini F et un morphisme η : M F tels que L = η 1 (F ), pour F F. Les reconnissles de M sont notés REC(M). Si M est le monoïde lire, lors L est reconnissle si il existe un M-utomte A tel que, L M (A) = L. Dns ce cs, L est dit régulier. Ainsi, dns le cs du monoïde lire, les lngges réguliers correspondent ux ensemles engendrés pr une mchine séquentielle à mémoire finie, qui fonctionne à ps discrets. En effet, il est fcile de voir que tout Σ -utomte (dont les trnsitions sont étiquetées pr des mots quelconques de Σ ) est équivlent à un Σ -utomte déterministe étiqueté pr des lettres de Σ {ε}. Chque tir de trnsition de ce nouvel utomte correspond à l exécution d une seule
1.1 Modèles séquentiels 23 et unique ction tomique du système, et l étt dns lequel est cet utomte est entièrement déterminé pr l séquence d ctions qu il vient d effectuer. L intérêt de cette pproche est que le point de vue peut être inversé. En effet, nous pouvons voir A, non plus comme un reconnisseur, mis comme un générteur d une clsse de comportements définis pr A. D où l intuition que les utomtes correspondent à un modèle opértionnel d un système : dns un étt donné de A, tirer une trnsition de l mchine génère des modifictions dmissiles de l étt du système cr elles ne font ps sortir le système de l clsse de comportements définis. En résumé, les utomtes correspondent à un modèle d exécution servnt à décrire le comportement d un système séquentiel. Nous montrons, dns l prtie suivnte, le lien qui existe entre lngges rtionnels de spécifiction et modèles d exécution donnés sous l forme d utomtes. 1.1.3 Résultts Nous donnons une série de résultts concernnt le monoïde lire, cr celui-ci possède de onnes propriétés structurelles et lgorithmiques (lors que ce n est ps vriment le cs pour des monoïdes quelconques). Tout d ord, le lien entre les ensemles rtionnels et reconnissles d un monoïde est très fort. En prticulier, ces ensemles sont identiques lorsque l on se limite u monoïde lire : Théorème 1.7 ([Kleene 56]) Soit Σ, un monoïde lire. Alors, L Σ est régulier si, et seulement si, L est rtionnel. Kleene donc montré que, sur ces structures, toute spécifiction rtionnelle est équivlente à un modèle d exécution, exprimé à l ide d un utomte fini (et inversement). De plus, l trduction d un représenttion vers une utre peut se fire en tille linéire pr rpport à l tille des entrées. C est ce qui fit tout l intérêt du monoïde lire et qui rend ce modèle si utilisé et étudié. En prticulier, ceci veut dire que, dns le cdre où le système étudié possède des ctions tomiques (c est-à-dire est à événements discrets ) et où l sortie du système consiste en une trce de l exécution des différentes ctions, tout modèle d exécution correspondnt à un utomte peut être décrit pr une spécifiction rtionnelle. Les Σ -utomtes sont donc des modèles simples et puissnts, qui constituent, vec les expressions rtionnelles, l se de l théorie des systèmes séquentiels et discrets. D un côté, les expressions rtionnelles peuvent se comprendre comme un lngge de spécifiction de comportement, et de l utre les utomtes comme un modèle opértionnel qui permet d exécuter l spécifiction d un système. De plus, les ensemles réguliers possèdent de très onnes propriétés lgorithmiques que nous utilisons tout u long de nos trvux. Plus précisément, nous nous intéressons à trois questions théoriques sur ces modèles, qui ont un impct importnt sur les techniques que nous décrirons pr l suite : Apprtennce : Soient x M et α, un modèle. Est-ce que x L M (α)? Vcuité de l intersection : Soient α et β, deux modèles. Est-ce que L M (α) L M (β) =? Inclusion : Soient α et β, deux modèles. Est-ce que L M (α) L M (β)?
24 Pnorm des modèles prllèles Proposition 1.8 ([Rozenerg 97]) Pour les systèmes séquentiels, nous vons les résultts de complexité suivnts, triés verticlement pr prolème et horizontlement pr générteur des lngges L et L : REX(Σ ) Σ -utomte x L NLOGSPACE-complet NLOGSPACE-complet L L = PSPACE-complet PSPACE-complet L L PSPACE-complet PSPACE-complet Dns cette proposition, NLOGSPACE est l clsse des prolèmes résolules pr des mchines de Turing non déterministes, dont l mémoire est ornée pr une fonction logrithmique de l tille des entrées. PSPACE est l clsse des prolèmes résolules pr des mchines de Turing déterministes, dont l mémoire est ornée pr une fonction polynomile de l tille des entrées. Le lecteur intéressé pr plus de précisions concernnt l théorie de l complexité pourr se rpporter, pr exemple, à [Ppdimitriou 94]. De plus, les preuves liées à ces résultts de complexité sont constructives : il existe donc des lgorithmes effectifs permettnt de svoir si un mot pprtient u lngge d un utomte, de svoir si deux utomtes ont le même lngge, etc. 1.2 Modèles synchrones Dns l prtie précédente, nous vons donné les définitions et principux résultts exprimnt le lien fort qui existe entre spécifictions et modèles d exécution pour les systèmes séquentiels. Dns le cs des systèmes synchrones, c est-à-dire dns le cs où plusieurs systèmes séquentiels à événements discrets fonctionnent de mnière indépendnte et intergissent pr mémoire prtgée et pr primitives de synchronistion, les choses deviennent un peu plus complexes. Nous présentons dns cette prtie les définitions et résultts principux concernnt ces systèmes. Plus précisément, nous présentons, dns l prtie 1.2.1, le monoïde de trces, dont les expressions rtionnelles servent de lngge de spécifiction pour les modèles communiqunt pr mémoire prtgée. Puis nous donnons, dns l prtie 1.2.2, les motivtions nécessires pour introduire un nouveu modèle opértionnel, les utomtes synchrones. Nous rppelons, enfin, dns l prtie 1.2.3, le lien fort qui existe entre une sous-clsse syntxique de spécifictions rtionnelles et ce nouveu modèle opértionnel : ces deux modèles ont un pouvoir d expression identique. 1.2.1 Monoïde de trces L étude d une théorie décrivnt le fonctionnement de systèmes prllèles été motivée pr les trvux fondteurs de Petri. En effet, dns [Petri 62], celui-ci présente un modèle fondé sur l communiction de systèmes séquentiels interconnectés, et il expose de nouveux prolèmes qui pprissent lorsque l on considère le prllélisme intrinsèque de tels systèmes. A l fin des nnées 1960, Crtier et Fot donnent les ses de l théorie des monoïdes prtiellement commuttifs dns [Crtier 69]. Quelques nnées plus trd, motivé pr l résolution d un certin nomre de prolèmes posés pr les pproches fondées sur des modèles entrelcés
1.2 Modèles synchrones 25 de comportements pour décrire des systèmes prllèles, Mzurkiewicz fit l connexion entre les modèles prllèles pportés pr Petri et les structures mthémtiques étudiées pr Crtier et Fot, en développnt, dns [Mzurkiewicz 77], l théorie des trces. Cette théorie est devenue une théorie centrle pour modéliser des systèmes prllèles qui communiquent pr mémoire prtgée. Depuis, cette théorie été lrgement explorée (se reporter à [Diekert 95], le livre qui sert de référence dns ce domine, pour des détils plus précis). Dns cette prtie, nous donnons les définitions et théorèmes essentiels dont nous nous servons pr l suite. Soit Σ, un lphet. Une reltion de dépendnce D Σ 2 est une reltion symétrique et réflexive. L reltion I = Σ 2 D, non réflexive et symétrique, est ppelée reltion d indépendnce. A prtir d un lphet Σ et d une reltion de dépendnce D, nous pouvons définir un couple (Σ, D), ppelé lphet concurrent. L lphet concurrent (Σ, D) induit une reltion d équivlence I sur les éléments de Σ : deux mots u et v sont équivlents, ce qui est noté u I v, si l on peut psser de l un à l utre en commutnt successivement des lettres voisines indépendntes. Plus formellement, I est l plus petite congruence de Σ telle que I pour toute pire (, ) I. Ces définitions nous permettent d introduire l définition du monoïde de trces. Définition 1.9 (monoïde de trces) Soient (Σ, D), un lphet concurrent et I, l congruence induite pr I = Σ 2 D. Alors, Σ / I, le quotient du monoïde lire Σ pr l congruence I, est le monoïde lire, prtiellement commuttif, induit pr l reltion I. Plus simplement, il est ppelé le monoïde de trces et noté M(Σ, D). Les éléments de M(Σ, D), qui sont les clsses d équivlence de Σ pr l reltion I, sont ppelés des trces. Tout sous-ensemle L M(Σ, D) est ppelé lngge de trces. Pr définition d une clsse d équivlence, à chque trce [u] I M(Σ, D) est ssocié un ensemle de mots {v u I v} Σ, clos pr I. De même, à tout ensemle de mots équivlents pr I, correspond une trce. Ainsi, cet isomorphisme nous permet d ssimiler un lngge de trces L à l ensemle {u Σ [u] I L} des mots clos pr I qu il représente, noté L. Il existe donc un isomorphisme permettnt de psser d un lngge d un M(Σ, D)- utomte à un sous-ensemle de Σ clos pr commuttion pour l reltion I. Dns ce cdre, un lngge de trces L M(Σ, D) est reconnissle dns M(Σ, D), si l ensemle L des mots qu il représente est régulier. En respectnt l hypothèse que nous vons posée u déut de ce chpitre, nous définissons mintennt les spécifictions des systèmes prllèles intergissnt pr mémoire prtgée comme étnt des expressions rtionnelles de M(Σ, D) (ce qui est noté REX(M(Σ, D))). De plus, étnt donné une expression rtionnelle α de REX(M(Σ, D)), nous notons L M(Σ,D) (α) M(Σ, D) le lngge de trces de α et L Σ (α) Σ le lngge de mots clos pr I engendré pr L M(Σ,D) (α). 1.2.2 Reconnissles et cortionnels Nous nous intéressons mintennt ux modèles opértionnels que l on peut définir dns le monoïde de trces. L idée première est de trviller sur les ensemles réguliers de mots de Σ, c est-à-dire de choisir comme modèle d exécution le même modèle d exécution que pour les systèmes séquentiels. Cependnt, ce choix n est ps forcément le plus dpté. En effet, nous
26 Pnorm des modèles prllèles donnons, dns l prtie suivnte, un modèle moins expressif mis qui possède de meilleures propriétés, ppelé utomtes synchrones. Tout d ord, il n est ps possile de décider si un lngge de trces est régulier, c est-àdire si une spécifiction rtionnelle possède un modèle opértionnel donné sous forme d utomte. En effet, Skrovitch montré le résultt suivnt dns [Skrovitch 92]. Théorème 1.10 ([Skrovitch 92]) Soient (Σ, D), un lphet concurrent et α, une expression rtionnelle dns REX(M(Σ, D)). Svoir si L M(Σ,D) (α) est régulier est décidle si, et seulement si, l fermeture réflexive de I = Σ 2 D est trnsitive. Ainsi, dns le cs générl, ce prolème est indécidle. Cependnt, Ochmnski montré dns [Ochmnski 85] qu il existe une sous-clsse syntxique des expressions rtionnelles du monoïde de trces, ppelée trces cortionnelles, dont les éléments ont un lngge reconnissle. De plus, Muscholl et Peled ont montré dns [Muscholl 99] que cette sous-clsse étit décidle : plus précisément, svoir si une trce est cortionnelle est conp-complet. Définition 1.11 (cortionnlité) Soient (Σ, D), un lphet concurrent et D = Σ 2 I. Un mot u Σ est D-connexe si le grphe (Σ(u), D), dont les sommets sont les lettres de u, est connexe. Une expression rtionnelle α est dite (D-)cortionnelle ( str-connected en nglis) si, pour chque sous-expression β de α, tout u L Σ (β) est une trce D-connexe. c d Fig. 1.1 Grphe ssocié u mot u = (c) c(c + d), dns le monoïde de trces M(Σ, I), où Σ = {,, c, d} et I = {(c, ), (, c), (c, d), (d, c), (, d), (d, )}). u n est ps cortionnelle cr cd n est ps D-connexe. L figure 1.1 illustre l construction du grphe (Σ(u), Σ(u) Σ(u) D) ssocié u mot u = (c) c(c + d) et à l reltion d indépendnce I = {(c, ), (, c), (c, d), (d, c), (, d), (d, )}. Le grphe restreint à {c, } n étnt ps connexe, (c) n est ps D-connexe, et donc u n est ps une expression cortionnelle. Voici mintennt le résultt d Ochmnski concernnt les trces cortionnelles. Ce théorème indique que celles-ci forment un sous-ensemle strict des trces rtionnelles et correspondent à l ensemle des reconnissles du monoïde de trces. Théorème 1.12 ([Ochmnski 85]) Soient L M(Σ, D), un lngge de trces et I = Σ 2 D. Alors, les propositions suivntes sont équivlentes : L est reconnissle dns M(Σ, D) ; L est régulier dns Σ ; il existe une expression cortionnelle α de REX(M(Σ, D)) telle que L M(Σ,D) (α) = L ;
1.2 Modèles synchrones 27 il existe une expression cortionnelle α de REX(Σ ) telle que [L Σ (α)] I = L. Remrquons qu il existe, en générl, une infinité d expressions rtionnelles qui permettent de décrire le même ensemle rtionnel. Pour voir l régulrité, il suffit qu une seule d entre elles soit cortionnelle, ce qui est un prolème indécidle. Pr exemple, pour l lphet Σ = {, } et l reltion d indépendnce I = {(, ), (, )}, les expressions rtionnelles α 1 = ( + + ) et α 2 = ( + ) décrivent le même lngge {, }. Cependnt, α 1 n est ps cortionnelle, lors que α 2 l est. En résumé, les théorèmes 1.10 et 1.12 semlent indiquer que les Σ -utomtes ne sont ps les ons modèles d exécution qui correspondent ux rtionnels de M(Σ, D) : en effet, étnt donné une spécifiction rtionnelle, il est, d une prt, impossile de svoir s il existe un Σ -utomte qui simule le comportement de cette spécifiction. D utre prt, tous les Σ -utomtes ne correspondent ps à des modèles d exécution : en effet, il fut en plus que le lngge généré soit clos pr I, ce qui n est ps décidle. Pour résoudre ces prolèmes, le pouvoir d expression du lngge de spécifiction doit être limité en considérnt uniquement les trces cortionnelles : dns ce ut nous introduisons dns l suite une sous-clsse des utomtes, les utomtes synchrones. Nous montrons, dns l prtie suivnte, que, comme dns le cs des modèles séquentiels, ces modèles ont un pouvoir d expression équivlent. 1.2.3 Réseux d utomtes synchrones Dns l prtie précédente, nous vons indiqué qu une expression rtionnelle dns le monoïde de trces ne correspondit ps forcément à un modèle opértionnel exprimé à l ide d un utomte. Cependnt, une sous-clsse syntxique été identifiée, composée des cortionnels, dont les comportements que l on peut spécifier correspondent toujours à un modèle d exécution. Nous nous intéressons, mintennt, à l clsse des modèles d exécution qui correspondent à une spécifiction cortionnelle. Cette clsse est donc incluse dns celle des utomtes. Ce modèle d exécution plus dpté été proposé pr Zielonk dns [Zielonk 87] et il correspond à un réseu de systèmes séquentiels à événements discrets qui intergissent pr synchronistion sur certins événements (et donc pr mémoire prtgée). Définition 1.13 (réseu d utomtes synchrones) Soient P, un ensemle fini de processus et Σ = p P Σ p, l union d une fmille d lphets Σ p non nécessirement disjoints. Etnt donné un produit Q 1... Q P d ensemles d étts ssociés à chque processus, un réseu de Σ -utomtes synchrones est une structure R = S i, (A l ) l 2 P, S f où : pour tout l 2 P, A l est un Σ -utomte (S l, l, Σ l, Si l, Sl f ) qui peut lire et modifier les étts des processus contenu dns l, c est-à-dire vec S l = Q k 1... Q k l pour {k 1 <... < k l } = l et Σ l = p l Σ p ; S i est un ensemle d étts initiux gloux, c est-à-dire S i (Si 1... S P i ) ; S f est un ensemle d étts finux gloux, c est-à-dire S f (Sf 1... S P f ). Un étt glol s S est un P -uplet d étts locux, c est-à-dire S = Q 1... Q P. L reltion de trnsition glole, notée S Σ S est définie comme suit : (q p σ ) p P (q p ) p P si (q p σ ) p l l (q p ) p l pour l = {p σ Σ p } et q p = q p sinon. L utomte glol ssocié à R est noté S i, l P A l, S f ( désignnt le produit synchrone des utomtes locux).