Cours de Mathématiques - ECS 1 - Lycée Pasteur

Cours de Mathématiques - ECS 1 - Lycée Pasteur May 16, 2011 Contents 1 Logique élémentaire. Démonstrations et rédaction. 6 1.1 Logique élémentaire......................... 6 1.1.1 Propositions, quantificateurs................ 6 1.1.2 Connecteurs logiques et négation, implication, équivalence 7 1.1.3 Négations de propositions.................. 7 1.2 Démonstrations : les principales méthodes utilisées, exemples.. 8 1.2.1 Démonstration directe.................... 8 1.2.2 Démonstration par contraposée............... 8 1.2.3 Démonstration par l absurde................ 8 1.2.4 Démonstration par disjonction de cas........... 8 1.2.5 Démonstration par analyse et synthèse........... 9 1.2.6 Démonstrations par récurrence............... 9 1.3 Conseils pour la rédaction et pour les épreuves écrites...... 10 2 Ensembles, applications 11 2.1 Ensembles............................... 11 2.1.1 Définitions.......................... 11 2.1.2 Propriétés........................... 12 2.2 Applications.............................. 13 2.2.1 Définitions.......................... 13 2.2.2 Images directes, images réciproques d ensembles par une application.......................... 14 2.2.3 Injections, surjections, bijections.............. 15 2.2.4 Indicatrices.......................... 16 3 Calculs et ordre dans R 17 3.1 Ordre dans R............................. 17 3.1.1 Ordre et opérations..................... 17 3.1.2 Majorant ; maximum ; borne supérieure.......... 17 3.2 Équations, inéquations dans R................... 18 3.3 Opérations dans R.......................... 18 3.4 Factorisations et développements classiques............ 19 3.5 Manipulation de.......................... 19 3.5.1 Sommes simples....................... 19 3.5.2 Sommes doubles....................... 21 3.6 Manipulation de.......................... 21 3.6.1 Produits simples....................... 21 3.6.2 Produits doubles....................... 22 1

4 Complexes 23 4.1 Définitions, propriétés élémentaires................. 23 4.2 Complexes et trigonométrie..................... 25 4.3 Équations dans C........................... 25 5 Polynômes 27 5.1 Définitions, propriétés élémentaires................. 27 5.2 Division euclidienne, divisibilité................... 28 5.3 Polynômes dérivés, formules de Taylor............... 28 5.4 Racines et multiplicités, factorisation................ 29 5.5 Polynômes irréductibles, Théorème de D Alembert-Gauss.... 30 5.6 Remarques classiques sur les relations entre racines et coefficients 31 6 Analyse combinatoire, dénombrement 32 6.1 Cardinal................................ 32 6.2 Dénombrement............................ 32 6.3 Combinatoire : parties, p-listes, p-arrangements d un ensemble fini 33 6.4 Cardinal et inclusion, cardinal et application........... 35 7 Suites réelles I 36 7.1 Définitions, propriétés élémentaires................. 36 7.1.1 Rappels............................ 36 7.1.2 Limites de suites réelles................... 36 7.1.3 Propriétés élémentaires des suites convergentes...... 37 7.1.4 Limites et opérations..................... 38 7.1.5 Limites et ordre....................... 38 7.2 Suites classiques........................... 38 7.2.1 Suites arithmétiques..................... 39 7.2.2 Suites géométriques..................... 39 7.2.3 Suites arithmético-géométrique............... 39 7.2.4 Suites vérifiant une relation de récurrence linéaire d ordre 2 39 7.3 Sous-suites.............................. 40 7.4 Théorèmes de convergence...................... 40 7.4.1 Théorème d existence d une limite par encadrement ( Théorème des gendarmes )....................... 40 7.4.2 Théorème de convergence monotone............ 41 7.4.3 Théorème des suites adjacentes............... 41 7.5 Équivalence et négligeabilité..................... 41 7.5.1 Définitions et caractérisations................ 41 7.5.2 Équivalence, négligeabilité et opérations.......... 42 7.5.3 Équivalences et négligeabilités classiques.......... 43 8 Fonctions réelles d une variable réelle I 44 8.1 Rappels................................ 44 8.2 Définitions des limites, propriétés élémentaires.......... 45 8.2.1 Définitions.......................... 45 8.2.2 Continuité en dérivabilité.................. 45 8.2.3 Propriétés élémentaires liées aux limites de fonctions... 47 8.2.4 Caractérisation séquentielle de la limite.......... 47 8.2.5 Limites et opérations, limite et composition........ 47 8.2.6 Limites et ordre....................... 48 8.3 Théorèmes prouvant l existence d une limite............ 48 8.3.1 Théorème d existence d une limite par encadrement ( Théoréme des gendarmes )....................... 48 8.3.2 Théorème sur les fonctions monotones........... 49 page : 2

8.4 Équivalence et négligeabilité de fonctions en a R {+, } 49 8.4.1 Définitions.......................... 49 8.4.2 Équivalence, négligeabilité et opérations.......... 50 8.4.3 Équivalences et négligeabilités classiques.......... 51 9 Suites réelles II 52 9.1 Étude d une suite définie par une relation de récurrence simple. 52 9.2 Suites définies implicitement..................... 53 10 Espaces probabilisables 55 10.1 Définitions............................... 55 10.2 Évènements.............................. 56 11 Espaces probabilisés finis 57 11.1 Définitions et premières propriétés................. 57 11.2 Probabilités conditionnelles et formules classiques......... 58 11.2.1 Formule des probabilités composées............ 58 11.2.2 Formule des probabilités totales............... 59 11.2.3 Formule de Bayes....................... 59 11.3 Indépendances d évènements, indépendance de tribus....... 59 11.3.1 Indépendances d évènements................ 60 11.3.2 Indépendance de tribus................... 60 12 Séries 61 12.1 Définitions, propriétés élémentaires................. 61 12.1.1 Définitions.......................... 61 12.1.2 Propriétés élémentaires................... 61 12.2 Séries à termes positifs........................ 62 12.3 Séries alternées............................ 64 12.4 Convergence absolue, semi-convergence............... 64 12.5 Sommes classiques.......................... 65 12.5.1 Séries géométriques et dérivées de séries géomètriques.. 65 12.5.2 Série de l exponentielle.................... 65 12.5.3 Simplifications des sommes partielles............ 65 13 Espaces probabilisés discrets 66 13.1 Généralisations des définitions.................... 66 13.2 Système complet et formule des probabilités totales dans le cas discret................................. 67 13.3 Théorème de la limite monotone.................. 67 14 Variables aléatoires réelles discrètes 68 14.1 Définitions, propriétés élémentaires................. 68 14.1.1 Variables aléatoires réelles.................. 68 14.1.2 Loi et fonction de répartition d une v.a.r.......... 69 14.1.3 Propriétés élémentaires................... 69 14.2 Indépendances de variables aléatoires................ 70 14.3 Espérance, variance, moments.................... 70 14.3.1 Cas d une variable aléatoire finie.............. 71 14.3.2 Cas d une v.a.r.d. infinie................... 71 14.3.3 Variance, écart-type, moments. Définitions et propriétés. 72 page : 3

15 Lois usuelles 74 15.1 Loi de Bernoulli de paramètre p................... 74 15.2 Loi binômiale de paramètre (n, p).................. 74 15.3 Loi uniforme sur un ensemble fini E................ 75 15.4 Loi hypergéométrique de paramètre (N, n, p)........... 75 15.5 Loi géométrique de paramètre p................... 76 15.6 Loi de Poisson de paramètre λ................... 76 16 Systèmes linéaires à coefficients constants 77 16.1 Définitions............................... 77 16.2 Résolution des systèmes échelonnés................. 78 16.3 Méthode du pivôt........................... 79 17 Calcul matriciel 81 17.1 Définitions, opérations........................ 81 17.2 Systèmes linéaires et matrices.................... 81 17.3 Méthode de Gauss-Jordan...................... 81 17.4 Spectre et espaces-propres d une matrice carrée.......... 81 18 Espaces vectoriels, applications linéaires 82 18.1 Espaces vectoriels........................... 82 18.1.1 Définition, espaces vectoriels classiques........... 82 18.1.2 caractérisation des sous-espaces vectoriels......... 82 18.1.3 Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs 82 18.1.4 Produit cartésien, somme, somme directe, supplémentaires 82 18.2 Applications linéaires......................... 82 18.2.1 Définitions, propriétés élémentaires............. 82 18.2.2 Polynômes d endomorphismes................ 82 18.2.3 Image et noyau, surjectivité et injectivité......... 82 18.2.4 Projecteurs et symétries................... 82 19 Espaces vectoriels de dimension finie 83 19.1 Familles libres, génératrices, bases................. 83 19.2 Théorème de la base incomplète, dimension............ 83 19.3 Applications du théorème de la base incomplète.......... 83 19.4 Matrice représentative d une application linéaire......... 83 19.4.1 Définition........................... 83 19.4.2 Opérations, compositions et matrices............ 83 19.4.3 Changements de bases.................... 83 20 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées 84 20.1 Pour les endomorphismes...................... 84 20.2 Pour les matrices........................... 84 21 Continuité 85 21.1 Définitions............................... 85 21.2 Opérations, composition et continuité............... 85 21.3 Continuité sur un intervalle, sur un segment............ 86 21.4 Théorème de la bijection monotone................. 86 22 Calcul différentiel 87 22.1 Définitions, caractérisation de la dérivabilité, classes de fonctions 87 22.2 Opérations, composition et dérivabilité............... 88 22.3 Extremum et dérivée, théorème de Rolle.............. 90 22.4 Accroissements finis......................... 90 page : 4

22.5 Convexité............................... 91 22.5.1 Définition, propriétés élémentaires............. 91 22.5.2 Convexité et dérivabilité................... 91 23 Calcul intégral 93 23.1 Intégrales des fonctions en escalier................. 93 23.2 Intégrales des fonctions continues.................. 94 23.3 Intégrales de fonctions continue par morceaux........... 95 23.4 Théorème fondamental du calcul intégral............. 96 23.5 Calculs d intégrales.......................... 96 23.6 Somme de Riemman......................... 97 24 Formules de Taylor 98 24.1 Formule de Taylor avec reste intégral................ 98 24.2 Formule et inégalité de Taylor-Lagrange.............. 98 24.3 Formule de Taylor-Young...................... 98 25 Développements limités 100 25.1 Définition, propriétés élémentaires................. 100 25.2 Opérations, composition, intégration................ 100 25.3 Développements limités classiques................. 101 26 Couples de v.a.r.d. 102 26.1 Définitions, loi conjointe et lois marginales, lois conditionnelles. 102 26.2 Indépendances de variables aléatoires................ 102 26.3 Loi d une fonction de n variables aléatoires............ 102 26.4 Espérance d une fonction de deux variables aléatoires....... 102 26.5 Covariance et corrélation....................... 102 26.6 Convergences de suites de variables aléatoires........... 102 26.6.1 Inégalités de Markov et de Tchebichev........... 102 26.6.2 Convergence en probabilité et approximation....... 102 26.6.3 Convergence en loi et approximation............ 102 27 Topologie dans le plan cartésien 103 28 Fonctions de deux variables réelles 104 29 Statistique 105 page : 5

1 Logique élémentaire. Démonstrations et rédaction. 1.1 Logique élémentaire 1.1.1 Propositions, quantificateurs Définition 1.1 On appelle proposition (ou phrase mathématique ou énoncé mathématique) toute phrase univoque, dont les mots sont définis mathématiquement, et qui est soit vraie, soit fausse. Exercice 1.2 Dire si les phrases suivantes sont des propositions, préciser la valeur de vérité de chaque proposition. 1. 5 est impair. 2. Le nombre π est rationnel. 3. x x + 1 4. Pour tout x dans C, x x + 1. 5. Il existe x appartenant à R tel que x soit positif ou entier. 6. f est croissante. 7. Pour tout x dans R, il existe un unique y dans Z tel que x appartienne à [y, y + 1[. Remarque 1.3 La phrase 3 dépent d un paramètre (x) : elle n est ni vraie ni fausse, ce n est donc pas une proposition. On dit que c est une forme propositionnelle : elle peut être vraie ou fausse si son paramètre (ici x) est fixé dans un ensemble convenable. La phrase 6 est-elle une forme propositionnelle? Définition 1.4 Soit E un ensemble et P(e) une forme propositionnelle dépendant d un paramètre e de E. (Par exemple E = Z et P(e) est la phrase e est impair.) e E, P(e) signifie Pour tout x dans E, P(e) est vrai. e E : P(e) signifie Il existe (au moins) un x dans E tel que P(e) soit vrai.!e E : P(e) signifie Il existe un unique x dans E tel que P(e) soit vrai. Remarque 1.5 Noter que tel que ( : ) s écrit aussi /, et qu en mathématiques, un sans précision supplémentaire signifie au moins un. Les notations précédentes (, ) s appellent les quantificateurs. Exercice 1.6 1.2. Écrire à l aide des quantificateurs les phrases 4, 5 et 7 de l exercice Exercice 1.7 Attention à l ordre des blocs dans les phrases avec des quantificateurs! Expliquer la différence entre les deux phrases suivantes : 1. x R, y N : x y 2. y N : x R, x y Exercice 1.8 Rappeler la définition de la limite d une suite réelle (dans le cas d une limite finie). L exprimer à l aide des quantificateurs. page : 6

1.1.2 Connecteurs logiques et négation, implication, équivalence Définition 1.9 Soit A et B deux propositions. On définit A ET B, A OU B, et Non(A), par les colonnes de la table de vérité suivante : A B Non(A) A ET B A OU B V V F V V F V V F V V F F V F F F F Remarque 1.10 Le OU mathématique est inclusif, i.e. A OU B est vraie signifie que soit A est vraie et pas B, soit B est vraie et pas A, soit les deux sont vraies. Définition 1.11 Soit A et B deux propositions. On dit que A implique B (et on le note A = B) si (NonA)OUB est vraie. On dit que A et B sont équivalentes (et on le note A B) si A implique B et B implique A. Remarque 1.12 d après la table de vérité de l équivalence, deux propositions sont équivalentes si et seulement si elles ont même table de vérité. Proposition 1.13 Soit A, B et C trois propositions. 1. (Non(NonA)) A (involutivité de Non) ; 2. ((A OU B) (B OU A)), ((A ET B) (B ET A)) (commutativité de OU et de ET) ; 3. (A OU (B OU C)) ((A OU B) OU C) (associativité de OU) ; 4. (A ET (B ET C)) ((A ET B) ET C) (associativité de ET) ; 5. (A OU (B ET C)) ((A OU B) ET (A OU C)) (distributivité de OU sur ET) ; 6. (A ET (B OU C)) ((A ET B) OU (A ET C)) (distributivité de ET sur OU). Exercice 1.14 Prouver ces propriétés à l aide de tables de vérité. Remarquer la nécéssité des parenthèses. 1.1.3 Négations de propositions Théorème 1.15 (Lois de Morgan de la logique) Soit A et B deux propositions. (Non(A OU B)) (Non(A) ET Non(B)) ; (Non(A ET B)) (Non(A) OU Non(B)) ; Exercice 1.16 Prouver les lois de Morgan à l aide de tables de vérité. Proposition 1.17 Soit E un ensemble et P(e) une forme propositionnelle dépendant d un paramètre e de E. (Non( e E, P(e))) ( e E : Non(P(e))) ; (Non( e E : P(e))) ( e E : Non(P(e))). Exercice 1.18 À l aide de la propriété précédente, déterminer la négation des phrases 4, 5 et 7 de l exercice 1.2. page : 7

1.2 Démonstrations : les principales méthodes utilisées, exemples 1.2.1 Démonstration directe On veut démontrer qu une proposition P implique une proposition Q directement : on traduit les hypothèses (P) et la conclusion (Q) et on passe des premières à la dernière par une suite d implications vraies. Exercice 1.19 Montrer que tout entier pair a un carré pair. Exercice 1.20 Montrer que la limite de la suite ( 1 (n+1) 2 ) n N est 0. 1.2.2 Démonstration par contraposée Définition 1.21 Soit A et B deux propositions. On appelle contraposée de l implication A = B, l implication (NonB)= (NonA). Remarque 1.22 Attention à ne pas confondre la contraposée de A = B et la réciproque de A = B. (La réciproque de A = B est B = A.) En géneral une implication et sa réciproque ne sont pas équivalentes. On a en revanche le résultat suivant : Théorème 1.23 Une implication et sa contraposée sont équivalentes. On peut donc démontrer une implication en énonçant puis en démontrant sa contraposée. Exercice 1.24 Démontrer par contraposée que si un entier n a son carré qui est pair, alors n est pair. (Que déduire de ce résultat et de l exercice 1.19?) Exercice 1.25 Démontrer le théorème 1.23 à l aide d une table de vérité. 1.2.3 Démonstration par l absurde Pour démontrer qu une proposition A est vraie, il suffit de montrer que sa négation est fausse. On suppose donc que Non(A) est vraie et on montre que cela est impossible. On en déduit, par l absurde, que A est vraie. Exercice 1.26 Montrer que 2 est irrationnel. 1.2.4 Démonstration par disjonction de cas On montre qu une proposition est vraie en la démontrant dans un inventaire de cas possibles. Cet inventaire doit être tel que tous les cas possibles sont traités. Les cas peuvent être choisis deux à deux incompatibles. Exercice 1.27 Montrer qu un entier et son carré ont même parité. page : 8

1.2.5 Démonstration par analyse et synthèse Ce type de démonstration peut être utile quand on cherche à montrer, par exemple, que chaque élément d un ensemble E peut s écrire sous une certaine forme F de façon unique. Lors de l analyse, on considère un élément e de E quelconque et on déduit de ses propriétés la seule façon possible de l écrire sous la forme F. (Cela prouve alors l unicité de l écriture de e sous une telle forme, si une telle écriture existe.) Lors de la synthèse, on considère un élement e de E et les composantes, trouvées lors de l analyse, de sa seule écriture possible sous la forme F, et on vérifie que cette décomposition est bien de la forme voulue et qu elle donne bien e. Exercice 1.28 Montrer que toute fonction de R dans R se décompose de façon unique comme la somme d une fonction paire et d une fonction impaire. Ce type de démonstration peut aussi être utile si on veut déterminer la forme des éléments d un ensemble donné. Exercice 1.29 Déterminer l ensemble des fonctions f : R R telles que pour tout (x, y) R 2, f(x).f(y) f(x.y) = x + y. 1.2.6 Démonstrations par récurrence Soit n 0 un naturel. Soit H(n) une forme propositionnelle dépendant d un paramètre naturel n. On veut montrer que pour tout naturel n n 0, H(n) est vraie. On peut essayer de le montrer par récurrence, en utilisant le principe de la récurrence : Théorème 1.30 Si H(n 0 ) est vraie, et si pour tout n n 0, H(n) implique H(n + 1), alors pour tout n n 0, H(n). 1 Exercice 1.31 Démontrer par l absurde le principe de la récurrence en utilisant le fait que tout sous-ensemble A non-vide de N admet un plus petit élément. 2 Remarque 1.32 Pour bien rédiger une récurrence il faut d abord énoncer clairement l hypothèse de récurrence, c est-à-dire la forme propositionnelle H(n), puis l initialiser, puis prouver qu elle est héréditaire à partir du rang d initialisation, et enfin conclure. Remarque 1.33 Si l hypothèse de récurrence H(n) est insuffisante pour prouver l hérédité, il peut être utile de prendre une hypothèse de récurrence forte : on pose P(n) : k {n 0,..., n}, H(k). (On montre alors par récurrence que P(n) -donc a fortiori H(n)- est vraie pour tout entier n n 0. Une hypothèse de récurrence double, i.e. de la forme P(n) : H(n) ET H(n + 1), peut suffir. 1 Autrement dit si H(n) est initialisée au rang n 0 et si elle est héréditaire à partir du rang n 0, alors elle est vraie pour tout naturel n n 0. 2 Prendre pour A l ensemble des naturels n n 0 tel que H(n) soit fausse. page : 9

Attention à la faute logique suivante : poser une hypothèse de récurrence de la forme n N, H(n) est absurde, car cette proposition ne dépend pas de n! Exercice 1.34 Deux questions indépendantes : 1. Soit u la suite définie par u 0 = u 1 = 1 et pour tout naturel n, u n+2 2u n+1 + u n = 0. Montrer que u est une suite constante. 2. Soit u telle que u 0 = 1 et pour tout naturel n, u n = u 0 + u 1 + + u n 1. Montrer que la suite u est positive. 1.3 Conseils pour la rédaction et pour les épreuves écrites Quand vous abordez une épreuve écrite, commencez par lire intégralement l énoncé en repèrant : les parties indépendantes et les parties liées ; les questions que vous savez faire (en notant en marge le nom des théorèmes utilisés) ; celles qui se déduisent d une ou plusieurs autres questions. N hésitez pas à traiter les parties indépendantes dans l ordre que vous voulez et à admettre des résultats intermédiaires donnés par l énoncé pour faire une question, quitte à revenir après sur ce que vous avez admis provisoirement. Changez de copie pour chaque exercice pour pouvoir plus facilement les complèter. Encadrez vos résultats et veillez au soin. Ne vous laissez pas envahir par la panique. Il faut aller vite mais les épreuves sont longues! Vous avez le temps de respirer et de prendre du recul, voire de passer à une autre partie du problème. À la fin de l épreuve, gardez quelques minutes pour numéroter vos copies doubles. Pour la rédaction proprement dite, veillez à : faire des phrases courtes, précises, avec un seul sens mathématiques ; ne pas hésiter à répéter or et donc... bannir les phrases qui n ont pas de sens, ou qui sont ambigües, ou que vous ne comprenez pas vous même ; citer les noms des théorèmes utilisés (énoncer-les s ils n ont pas de noms), et vérifier qu on est bien dans leurs conditions d applications (quitte à admettre certains points) ; préciser le type de démonstration utilisé (si ce n est pas une démonstration directe) ; bien rédiger les récurrences ; éviter les fautes logiques et être honnêtes (mieux vaut admettre partiellement qu éluder une difficulté) ; suivre les notations de l énoncé ; éviter de mélanger notations mathématiques et français dans une même phrase et respecter les règles de présentation des calculs... page : 10

2 Ensembles, applications 2.1 Ensembles 2.1.1 Définitions Définition 2.1 On appelle ensemble une collection d objets mathématiques. Ces objets sont appelés les élèments de l ensemble et sont dit lui appartenir. On note x E pour x appartient à l ensemble E. Exemples : 1. On connaît les ensembles de nombres notés N, Z, Q, R, C, [a, b] pour a, b réels, [[a, b] pour a, b entiers etc... 2. On appelle ensemble vide, et on note l ensemble qui ne contient aucun élément. 3. On peut définir des ensembles géométriques : cercles, droites, courbes du plan, ensembles des cercles du plan etc... Remarque 2.2 On dit qu un ensemble est défini en extension si on en donne exhaustivement tous les éléments, comme par exemple l ensemble dont les éléments sont les naturels 1, 2 et 4. Cet ensemble se note {1, 2, 4}. On dit qu un ensemble est défini en compréhension si on caractérise ses éléments comme ceux d un ensemble qui vérifie une forme propositionnelle. Par exemple l ensemble des entiers impairs est défini en compréhension : on peut le noter {n Z / Q(n)}, i.e. comme l ensemble des entiers n vérifiant Q(n), où Q(n) est k Z / n = 2k + 1. Définition 2.3 On appelle sous-ensemble ou partie d un ensemble de E tout ensemble F tel que : x F, x E. On le note F E et on dit que F est inclus dans E. On note P(E) l ensemble des parties de E. Ainsi F E signifie F P(E). Remarque 2.4 Pour tout ensemble E, et E sont éléments de P(E). Exercice 2.5 Déterminer P([1, 3])). Définition 2.6 Soit E un ensemble et A P(E). On appelle complémentaire de A dans E l ensemble des x E tel que x / A. On le note E A, ou Ā s il n y a pas d ambiguïté sur E. Remarque 2.7 Soit P(x) une forme propositionnelle dépendant d un paramètre x de E, on notera ici A P la partie associée à cette forme propositionnelle, i.e. A P = {x E/P(x)}. Alors A P = {x E / NON(P(x))}. Définition 2.8 Soit E un ensemble et A et B deux parties de E. On appelle union de A et de B, et on note A B, l ensemble des x E appartenant à A ou à B. On appelle intersection de A et de B, et on note A B l ensemble des x E appartenant à A et à B. page : 11

Définition 2.9 Soit E et I deux ensembles. Pour tout i I, soit A i P(E). On appelle union des A i pour i I l ensemble des x de E qui appartiennent à (au moins) un des A i. On le note i I A i. Ainsi : A i = {x E / ( i I / x A i )}. i I On appelle intersection des A i pour i I l ensemble des x de E qui appartiennent à tous les A i. On le note i I A i. Ainsi : A i = {x E / ( i I, x A i )}. i I Remarque 2.10 Pour tout x de E : x i I A i i I/x A i. x i I A i i I, x A i. Exercice 2.11 Pour tout n N, soit A n = [3 1 n, 3 + 1 n ]. Déterminer leur union et leur intersection pour n N. Définition 2.12 Soit E un ensemble et A et B deux parties de E. On appelle différence de A par B,ou A privé de B, l ensemble des éléments de A qui n appartiennent pas à B. On le note A B ou A\B. Remarque 2.13 On a A B = A B. Remarque 2.14 On appelle différence symétrique de A et de B, et on note A B, l ensemble (A B) (B A), i.e. l ensemble des x E tels que x appartienne à A ou B mais pas au deux. Définition 2.15 Soit E et F deux ensembles. On appelle produit cartésien de E et de F l ensemble des couples dont la première coordonnée est un élément de E et la seconde est un élément de F. On le note E F. Ainsi : E F = {(e, f)/e E, f F }. Exercice 2.16 Déterminer E = {a, b} {1, 2}, puis P(E). Définition 2.17 Soit n N, soit A 1,..., A n n ensembles. On appelle produit cartésien de ces ensembles, et on note A 1 A 2 A n, l ensemble des n-listes donc la i ieme coordonnée est un élément de A i, pour chaque i [1, n]. On note en particulier E n l ensemble des n-listes de E, i.e. le produity cartésien de E avec lui-même n fois. 2.1.2 Propriétés Théorème 2.18 (Lois de Morgan) Soit E un ensemble. Soit (A, B) P(E) 2, A B = A B et A B = A B. page : 12

Soit I un ensemble et pour tout i I soit A i P(E). Exercice 2.19 Les redémontrer. i I A i = i I A i et i I A i = i I Théorème 2.20 (Propriétés élémentaires de l union et de l intersection) Soit E un ensemble. A i. 1. A P(E), A = A, A E = E, A =, A E = A. 2. (A, B) P(E) 2, A B = B A et A B = B A (commutativité de l union et de l intersection). 3. (A, B, C) P(E) 3, A (B C) = (A B) C et A (B C) = (A B) C (associativité de l union et de l intersection). 4. (A, B, C) P(E) 3, A (B C) = (A B) (A C) et A (B C) = (A B) (A C) (distributivité de l union sur l intersection, et de l intersection sur l union). 5. Soit I un ensemble, et pour tout i I, soit A i P(E). Soit B P(E). Alors : B ( i I A i ) = (B A i ) et B ( i I i I A i ) = i I(B A i ) (ditributivité de l union (resp. de l intersection) sur une intersection (resp. une union) quelconque). Exercice 2.21 Les redémontrer. 2.2 Applications 2.2.1 Définitions Définition 2.22 On appelle application f d un ensemble E dans un ensemble F, la donnée pour chaque élément x de E d un élément de F, noté f(x). Exemples : 1. Soit E un ensemble. On appelle application identique de E (ou identité de E) l application notée Id E, de E dans E, telle que Id E (x) = x, pour tout x E. 2. Soit f : x x 2 + sin(ln x) de R + dans R. 3. Soit f l application du plan cartésien dans R qui à un point du plan cartésien associe la somme de ces coordonnées cartésiennes... Définition 2.23 Soit E et F deux ensembles. Soit f : E F (une application de E dans F ). Alors E s appelle l ensemble de départ de f, et F son ensemble d arrivée. Soit y F, on appelle antécédent de y par f dans E tout élément x de E tel que f(x) = y. Soit t E, on appelle image de t par f l élément f(t) de F. page : 13

Remarque 2.24 Tout élément de E admet une et une seule image par f. En revanche, un élément de F peut ne pas avoir d antécédent par f dans E, ou en avoir un, ou en avoir plusieurs. Par exemple, 3 n a aucun antécédent par sinus, et 0 en a une infinité. Remarque 2.25 Deux applications f et g sont égales si et seulement si elles ont même ensemble de départ, même ensemble d arrivée et pour tout x de leur ensemble de départ, f(x) = g(x). Remarque 2.26 Soit E et F deux ensembles. L ensemble des applications de E dans F se note F E. Définition 2.27 Soit E, F, G trois ensembles. Soit f F E et g G F. Alors on peut définir la composée de f par g, notée g f, comme l application de E dans G qui à tout x E associe g(f(x)). Remarque 2.28 La composition est associative, i.e. : soit E, F, G, H quatre ensembles et soit f F E, g G F et h H G, alors (h g) f = h (g f). Remarque 2.29 Soit f F E alors Id F f = f Id E = f. Définition 2.30 Soit E, F deux ensembles, soit f F E, soit A P(E) et B calp (F ). On appelle restriction de f à A au départ, et on note f A, l application de A dans F telle que f A (a) = f(a) pour tout a A. Si pour tout x E, f(x) B, alors on peut définir la restriction de f à B à l arrivée, notée f B, comme l application de E dans B telle que f B (x) = f(x) pour tout x E. Si pour tout x A, fx) B, alors on peut définir la restriction de f à A au départ et à B à l arrivée, notée f B B A, par f A (x) = f(x) pour tout x A. Définition 2.31 Soit E, F deux ensembles et A P(E). Soit f F A et g F E. On dit que g : E F est un prolongement de f : A F si g A = f. Remarque : c est surtout la notion de prolongement par continuité qui sera utilisée cette année. 2.2.2 Images directes, images réciproques d ensembles par une application Définition 2.32 Soit f : E F, A P(E) et B P(F ). L image directe de A par f, noté f(a), est l ensemble des images d éléments de A par f, i.e. c est le sous-ensemble de F suivant : f(a) = {f(x) / x A}. L image réciproque de B par f, noté f [ 1] (B), est l ensemble des antécédents par f des éléments de B. C est donc l ensemble des éléments de E dont l image par f est dans B, i.e. c est le sous-ensemble de E suivant : page : 14

f [ 1] (B) = {x E / f(x) B}. Exercice 2.33 Déterminer f([0, π]) et f [ 1] ([0, 1]) pour f = sin. On pourra utiliser le théorème des valeurs intermédiaires (l image d un intervalle par une fonction continue est un intervalle) et les variations et la périodicité de f. Proposition 2.34 Soit E, F deux ensembles et f F E. Soit (A, B) P(E) 2 et (C, D) P(F ) 2 : f(a B) = f(a) f(b), f(a B) f(a) f(b), f [ 1] (A B) = f 1 (A) f [ 1] (B), f [ 1] (A B) = f [ 1] (A) f [ 1] (B). Exercice 2.35 Le démontrer et généraliser à des unions et des intersections quelconques. 2.2.3 Injections, surjections, bijections Définition 2.36 Soit E, F deux ensembles, soit f F E. On dit que f est injective si tout élément de F admet au plus un antécédent par f dans E. Autrement dit f est injective si pour tout y F, l équation f(x) = y admet au plus une solution x dans E. On dit que f est surjective si tout élément de F admet au moins un antécédent par f dans E. Autrement dit f est surjective si pour tout y F, l équation f(x) = y admet au moins une solution x dans E. On dit que f est bijective si f est injective et surjective, i.e. si tout élément de F admet un et un seul antécédent par f dans E. Autrement dit f est bijective si pour tout y F, l équation f(x) = y admet exactement une solution x dans E. Remarque 2.37 L application f : E F est donc surjective si et seulement si f(e) = F. Théorème 2.38 (Caractérisation de l injectivité) Soit E, F deux ensembles et f : E F. Alors l application f est injective si et seulement si : (x 1, x 2 ) E 2, (f(x 1 ) = f(x 2 ) = x 1 = x 2 ). Exercice 2.39 Si E, F et G sont trois ensembles et si f : E F et g : F G vérifient que f g est injective, alors montrer que g est injective ; si elles vérifient que f g est surjective alors montrer que f est surjective. Montrer par des contre-exemples qu aucune des réciproques n est vraies. Définition 2.40 Soit E, F deux ensembles et soit f F E et g E F. On dit que f admet g comme bijection réciproque si f g = Id F et g f = Id E. Une telle application g est unique si elle existe, elle est alors notée f 1. Exercice 2.41 Redémontrer l unicité sous réserve d existence de f 1. Théorème 2.42 (Caractérisation de la bijectivité par l existence d une bijection réciproque) Soit E, F deux ensembles. Soit f F E. L application f est bijective si et seulement si f admet une bijection réciproque. page : 15

Remarque 2.43 L application f 1 : F E est alors l application qui à y de F associe l unique antécédent de y par f dans E, i.e. l unique solution dans E de l équation f(x) = y. Par suite, pour savoir si f F E est bijective, on résout, pour chaque y F, l équation f(x) = y sur E. Si cette équation admet une unique solution, pour chaque y F, alors f est bijective et l expression de cette solution x en fonction de y est alors f 1 (y)). Remarque 2.44 Attention : la définition de l image réciproque d une partie B de F par f : E F, notée f [ 1] (B) ou f 1 (B), est valable que f soit bijective ou non. Il s agit juste d une notation d un ensemble ; l application f 1 n existe pas nécessairement. Remarque 2.45 Pour tout ensemble E, Id E bijection réciproque). est bijective (elle est sa propre Exercice 2.46 Montrer que x x+2 est bijective de R dans R, et déterminer sa bijection réciproque. Remarque 2.47 Dans le cas de fonctions de variables réelles, on rappelle le théorème de la bijection monotone : Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I alors f réalise une bijection de I sur f(i) (autrement dit la restriction de f au départ à I et à l arrivée à f(i), est bijective). On rappelle également que pour déterminer f(i) on peut utiliser le tableau de variation de f, et le théoréme des valeurs intermédiaires (l image d un intervalle I par une fonction continue sur I est un intervalle). 2.2.4 Indicatrices Définition 2.48 Soit E un ensemble. Soit A P(E). On appelle indicatrice de A sur E, et on note ici 1 A, l application de E dans {0, 1} qui à tout x de E associe 1 si x A et 0 sinon. Par exemple l indicatrice de est la fonction constante égale à 0, celle de E est la fonction constante égale à 1. Théorème 2.49 Deux parties de E sont égales si et seulement si elles ont même indicatrice sur E. Remarque 2.50 Pour montrer que deux parties A et B de E sont égales on peut donc montrer directement l égalité ou une double inclusion, à partir des définitions de A et de B, ou montrer que pour tout x dans E : x A x B (éventuellement en montrant le sens direct puis le sens réciproque), ou montrer que 1 A = 1 B. Proposition 2.51 Soit E un ensemble et (A, B) P(E) 2. Alors 1 A = 1 1 A, 1 A B = 1 A. 1 B et 1 A B = 1 A + 1 B 1 A. 1 B. Exercice 2.52 Redémontrer les propriétés élémentaires de l union et de l intersection (sauf la dernière) à l aide des indicatrices. page : 16

3 Calculs et ordre dans R 3.1 Ordre dans R 3.1.1 Ordre et opérations Rappel : Soit a, b deux réels. On dit que a est supérieur ou égal à b, et on le note a b, si b a est positif. On dit que a est supérieur strictement à b, et on le note a > b, si a b et a b. La négation de a b est ainsi a < b. Enfin a = b équivaut à a b et b a. Théorème 3.1 (transitivité de l inégalité) Soit a, b, c trois réels. Si a b et b c alors a c. Si de plus a < b ou b < c alors a < c. Théorème 3.2 (ordre et opérations) Soit a, b, c, d quatre réels. 1. Si a b et c d alors a + c b + b. Si de plus a < b ou c < d alors a + c < b + d. 2. Si a b et c 0 alors ac bc (si a < b et c > 0 alors ac < bc). Si a b et c 0 alors ac bc. 3. Si a et b sont strictement positifs ou strictement négatifs, alors a b équivaut à 1 b 1 a, et a < b équivaut à 1 b < 1 a. 4. Si a et b sont positifs alors a b équivaut à a 2 b 2 (et a < b équivaut à a 2 < b 2 ) ; et a b équivaut à a b (de même avec des inégalités strictes). 5. Plus généralement si f réalise une bijection (strictement) croissante de I sur f(i), et si (a, b) I 2, alors a b équivaut à f(a) f(b) (et a < b équivaut à f(a) < f(b)). Théorème 3.3 (ordre et valeur absolue) Soit a, b deux réels et r R +. 1. Le réel a b est la distance de a à b. Ainsi a b r signifie que b est à une distance d au plus r de a, i.e. que b [a r, a + r]. Et a b r équivaut à b ], a r] [a + r, + [. 2. a b équivaut à b a b. 3.1.2 Majorant ; maximum ; borne supérieure Définition 3.4 Soit E P(R). Soit M R. On dit que le réel M est un majorant (resp. minorant) de E si pour tout x de E : x M (resp. x M). On dit que M est maximum (resp. minimum) de E si M est un majorant (resp. minorant) de E et si M appartient à E. Remarque 3.5 : Si E admet un majorant (resp. minorant) alors il en admet une infinité. En revanche, il y a unicité du maximum (resp. minimum) de E s il existe, on le note alors max(e) (resp. min(e)). Exercice 3.6 Prouver l unicité du maximum (resp. existe. du minimum) de E s il page : 17

Définition 3.7 Soit E P(R) et M R. On dit que M est borne supérieure (resp. inférieure) de E si M est le minimum (resp. maximum) de l ensemble des majorants (resp. minorants) de E. Théorème 3.8 (admis) Une partie E de R admet une borne supérieure (resp. inférieure) si et seulement si elle est non vide et majorée (resp. non vide et minorée). Remarque 3.9 Si elle existe, il y a unicité de la borne supérieure (resp. inférieure) de E, on la note alors sup(e) (resp. inf(e)). C est la conséquence de l unicité du minimum (resp. maximum) de l ensemble des majorants (resp. minorants) de E. Exercice 3.10 Déterminer d abord le maximum (resp. minimum), puis la borne supérieure (resp. inférieure) de l union de deux parties A et B de R en supposant d abord qu elles admettent un maximum (resp. minimum), puis seulement une borne supérieure (resp. inférieure). Que dire pour A B? Exercice 3.11 Soit f : x x 2 +x+1. Déterminer l ensemble de définition D de f puis déterminer s ils existent un majorant, minorant, le maximum, le minimum, la borne supérieure, inférieure de f sur D, i.e. de l ensemble E = {f(x) / x D}. x2 3 3.2 Équations, inéquations dans R Pour résoudre une inéquation, ou une équation, on commence par en déterminer l ensemble de définition D (i.e. le sous-ensemble de R sur lequel le membre de gauche et le membre de droite sont définis), puis on raisonne par équivalence, pour tout élément de D. Si D = D 1 D 2 et qu il est plus facile de résoudre l équation ou l inéquation sur D 1 et sur D 2, on traite les deux cas et l ensemble final de solution est l union des solutions dans D 1 et des solutions dans D 2. Savoir traiter éventuellement plus de deux cas. À savoir : 1. Résolution d une équation polynômiale du second degré ; signe d un trinôme sur R ; 2. Résolution d équations trigonométriques (cos(x) = a ou sin(x) = a pour a une constante) et d inéquations trigonométriques (s aider du cercle trigonométrique, utiliser la 2π-périodicité). Exercice 3.12 Résoudre sin(x) 2 2 sur R. Exercice 3.13 Résoudre x 2 3x + 4 x 1 sur R. 3.3 Opérations dans R Rappels : L addition et le produit sur R sont commutatifs (i.e. pour tous réels a, b, a+b = b+a et a.b = b.a), associatifs (i.e. pour tous réels a, b, c, (a+b)+c = a+(b+c) et a.(b.c) = (a.b).c). Le produit est distributif sur la somme (i.e. pour tous réels a, b, c, a.(b + c) = a.b + a.c). page : 18

3.4 Factorisations et développements classiques Pour a, b des réels (ou complexes, ou des polynômes, ou des fonctions etc...) et n N : a 2 b 2 = (a b)(a + b) ; a 2 + b 2 = (a ib)(a + ib) ; a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ; a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) ; a n b n = (a b)(a n 1 + a n b + a n 1 b 2 + + b n ; a 2n+1 + b 2n+1 = (a + b)(a 2n a 2n1 b + a 2n 2 b 2 + + b 2n. 3.5 Manipulation de 3.5.1 Sommes simples Définition 3.14 On définit la notation suivante : soit I un ensemble fini et pour chaque i I, soit u i un réel, alors i I est la somme des réels u i pour i parcourant I. Remarque 3.15 Pour a b deux entiers et I = [a, b], on note aussi cette somme b u i. C est une somme de b a + 1 termes. i=a Remarque 3.16 Les u i peuvent aussi être des complexes, ou des fonctions, ou des polynômes, ou des vecteurs (ou tous autres objets mathématiques appartenant à un ensemble muni d une addition commutative et associative). Remarque 3.17 Par convention, si I =, une somme sur I vaut 0. Théorème 3.18 Soit I et J deux ensembles finis et disjoints (i.e. d intersection vide), et soit, pour tout i I J, u i un réel. Alors : u i = u i + u i. i I J i I i J Remarque 3.19 Ce théorème est la conséquence de l associativité et de la commutativité de l addition sur R. Théorème 3.20 (Linéarité de la sommation) Soit I un ensemble fini, et pour tout i i, soit (u i, v i ) R 2. Soit a, b deux réels. Alors : (a.u i + b.v i ) = a. u i + b. v i. i I i I i I Remarque 3.21 Ce théorème est une conséquence de l associativité, de la commutativité de l addition et de la distributivité du produit sur l addition dans R. Théorème 3.22 (Formule de changement de variables) Soit I et J deux ensembles finis. On suppose que φ : I J est une bijection. Pour tout j J, soit u j un réel. Alors : u i page : 19

u φ(i) = u j. j J i I Remarque 3.23 Il s agit juste d une indexation différente du même ensemble de réels, donc c est la même somme des deux côté de l égalité. Dans la pratique on dit qu on effectue le changement de variable j = φ(i), on dit que j = φ(i) parcourt l ensemble J = φ(i) quand i parcourt I et on en déduit l égalité. Exercice 3.24 Effectuer le changement de variable j = i + 3 sur on terminera le calcul à l aide des sommes classiques. 7 (i + 3) 2, i=2 Théorème 3.25 (Sommes classiques) Soit n N : 1. 2. 3. n k = k=1 n k 2 = k=1 n k=1 n(n + 1) 2 ; n(n + 1)(2n + 1) 6 k 3 = n2 (n + 1) 2. 4 ; Exercice 3.26 Les démontrer par récurrence. Théorème 3.27 (Formule du binôme de Newton) Soit n N, pour tous réels a et b : n (a + b) n = ( n k)a k b n k. k=0 Exercice 3.28 Le démontrer par récurrence, à l aide de la formule de Pascal : ( n k ) + (n k+1 ) = (n+1 k+1 ), pour tout n N et tout k [0, n]. Remarque 3.29 Cette formule est encore valable pour a et b complexes, ou fonctions, ou polynômes (où tous autres objets mathématiques dans un ensemble muni d une addition commutative et d un produit, associatifs, où le produit est distributif sur l addition, pourvu que a.b = b.a). Exercice 3.30 Calculer n ( n k)( 1) k, pour n N. k=1 Proposition 3.31 Pour tout (n, k) N 2 tels que 0 k n, et pour tout x R {1}, n i=k x i = xk x n+1. 1 x Exercice 3.32 Démontrer directement cette formule, aussi valable pour x C {1}. page : 20

3.5.2 Sommes doubles Il s agit de sommes simples sur un ensemble C de couples. Soit {u i,j /(i, j) C} un ensemble de valeurs réelles (ou complexes). Dans certains cas d ensembles C de couples, la somme double sur C est une somme simple de sommes simples. Les formules suivantes sont des conséquences de l associativité et de la commutativité de la somme (on peut visualiser dans un tableau à double entrée l ensemble des termes à additionner, et choisir d additionner ligne par ligne ou colonne par colonne par exemple). Théorème 3.33 Avec les notations précedentes, on a les formules suivantes : 1. Cas où C est un produit cartésien I J : u i,j = u i,j = (i,j) I J i I j J j J u i,j. 2. Cas où C est du type {(i, j) N 2 /a i j b} pour deux naturels a b : (i,j) C u i,j = a i j b u i,j = b i=a j=i i I b u i,j = b j=a i=a j u i,j. 3. Cas où C est du type {(i, j) N 2 /a i < j b} pour deux naturels a b : a i<j b u i,j = b 1 b i=a j=i+1 Exercice 3.34 Soit n N. Calculer (i,j) C u i,j = b j=a+1 i=a j 1 u i,j. i.j pour C = [1, n] 2, puis C = {(i, j) [1, n] 2 / i j}, puis C = {(i, j) [1, n] 2 / i j}. Donner une relation entre les trois sommes calculées. 3.6 Manipulation de 3.6.1 Produits simples Définition 3.35 Soit I un ensemble fini, et pour tout i I, soit u i R. On note le produit dont les facteurs sont les u i pour i dnas I de la façon suivante : u i. Si I = [a, b], où a b sont deux entiers, alors on le note aussi : i I b u i. i=a C est un produit de b a + 1 facteurs. Remarque 3.36 Si I =, par convention le produit vide vaut 1. page : 21

Remarque 3.37 Par associativité et commutativité du produit, le théorème [?] reste valable en rempaçant le symbole de sommation par celui du produit. Le théorème [?] de changement de variable aussi. Remarque 3.38 En revanche, il n y a pas de linéarité du produit. On peut retenir le résultat suivant : Proposition 3.39 Soit I un ensemble fini et pour tout i I, soit u i R. Soit a R. Alors : u i. i I a.u i = a card(i). i I Retenons également, pour tout r R et tout (k, n) N 2, si 1 k n : n r = r n k+1, i=k 3.6.2 Produits doubles n i = n!, et i=1 n n! i = (k 1)!. De même, si l ensemble de variable sur lequel on effectue le produit est un ensemble de couples, on dit qu il s agit d un produit double. Les formules du théorème 3.33 restent vraies en remplaçant partout le symbole de sommation par un symbole de produit, par associativité et commutativité du produit. Toutes les propriétés du produit restent vraies avec des complexes, ou des fonctions, ou des polynômes, à la place des facteurs réels. i=k page : 22

4 Complexes 4.1 Définitions, propriétés élémentaires L ensemble des complexes, noté C, est {a + ib/(a, b) R 2 }, où i est tel que i 2 = 1. Il contient R et est muni d un addition + et d un produit ayant les mêmes propriétés que l addition et le produit dans R et caractérisés par le fait que i 2 = 1. Ainsi pour tout (a, b, c, d) R 4 : (a + ib) + (c + id) = (a + b) + i(c + d) et (a + ib).(c + id) = (ac bd) + i(ad + cb). Le seul complexe dont le produit avec tout autre complexe donne 0 est le complexe 0 = 0 + i0, appelé complexe nul. Théorème 4.1 Soit a, b, c, d quatre réels. On a a + ib = c + id si et seulement si a = c et b = d. On peut donc définir la partie réelle et la partie imaginaire d un complexe z C. Définition 4.2 Soit z C. Il existe un unique couple (a, b) de réels tel que z = a + ib ; le réel a s appelle la partie réelle de z, notée R(z), et le réel b s appelle la partie imaginaire de z, notée I(z). L écriture z = a + ib où (a, b) R 2 s appelle l écriture algèbrique de z. Définition 4.3 On appelle module d un complexe z le réel positif R(z) 2 + I(z) 2, on le note z. Remarque 4.4 Un complexe est nul si et seulement si son module est nul. Le module d un réel est exactement sa valeur absolue. Représentation graphique de C : L ensemble C peut être représenté graphiquement par le plan cartésien, i.e. le plan muni d un repère orthonormé direct (O, i, j ). Un complexe z est alors représenté par un point M dont l abscisse est R(z) et l ordonnée I(z), ce point M est dit d affixe z. Le module de z est alors la distance de l origine O du repère à M. On remarque qu un point M du plan complexe, différent de l origine, est caractérisé par la distance OM et l angle ( i, OM) modulo 2π, le plan complexe étant orienté. On note par la suite C = C {0}. Définition 4.5 Soit z C. On appelle argument de z, et on note arg(z), une mesure en radiant de l angle ( i, OM) modulo 2π, où M est le point d affixe z du plan complexe. Théorème 4.6 Deux complexes non-nuls sont égaux si et seulement si ils ont même module et même argument modulo 2π. Définition 4.7 Soit z C. On appelle écriture exponentielle (ou trigonométrique) de z la notation z = ρ.e iθ où ρ = z et θ arg(z) (mod 2π). Des relations trigonométriques dans le triangle rectangle, on déduit le théorème suivant. Théorème 4.8 (Formules d Euler) Pour tout θ R, page : 23

En particulier : e iθ = cos(θ) + i sin(θ). cos(θ) = eiθ + e iθ et sin(θ) = eiθ e iθ. 2 2i On a les propriétés suivantes du module et de l argument. Théorème 4.9 Pour tout (z, z ) C 2, 1. z.z = z. z et si z 0, 1 z = 1 z ; 2. z + z z + z (inégalité triangulaire), et il n y a égalité que si z ou z est nul, ou z et z ont même module modulo 2π. Pour tout (z, z ) (C ) 2, 1. arg(z.z ) arg(z) + arg(z ) (mod 2π) et arg 1 z arg(z) (mod 2π) ; 2. z R arg(z) 0 (mod π) ; 3. z ir arg(z) π 2 (mod π). On en déduit en particulier les résultats suivants. Théorème 4.10 Pour tout (ρ, ρ ) R 2 et tout (θ, θ ) R 2, (ρ.e iθ ).(ρ.e iθ ) = ρρ.e i(θ+θ ). Théorème 4.11 (Formule de Moivre) Pour tout θ R et tout n Z, (e iθ ) n = e inθ, soit (cos(θ) + i sin(θ)) n = cos(nθ) + i sin(nθ). Définition 4.12 Soit z C. On appelle conjugué de z, et on note z, le complexe R(z) ii(z). Remarque 4.13 Dans le plan complexe, le point d affixe z est le symétrique par rapport à l axe des abscisses du point d affixe z. Remarque 4.14 Soit ρ R + et θ R, alors ρ.e iθ = ρ.e iθ. Théorème 4.15 La conjugaison a les propriétés suivantes. pour tout (z, z ) C 2, 1. z.z = z 2 ; 2. z = z ; 3. R(z) = z+z 2 et I(z) = z z 2i ; 4. z R z = z ; z ir z = z ; 5. z + z = z + z ; z.z = z.z et si z 0, 1 z = 1 z. page : 24

4.2 Complexes et trigonométrie À savoir faire : 1) Utilisation des formules d Euler pour mettre sous forme trigonométrique e iθ ± e iθ : mettre d abord e i θ+θ 2 en facteur, l autre facteur est 2 cos( θ θ 2 ) ou 2i sin( θ θ 2 ). Exercice 4.16 Mettre sous forme trigonométrique e i π 3 1. Exercice 4.17 Retrouver les formules trigonométriques cos(a)±cos(b), sin(a)± sin(b). 2) Linéariser cos n (x) ou sin n (x) ((x, n) R N), i.e. l écrire comme une somme de cos(kx) ou de sin(kx) pour des entiers k : on utilise les formules d Euler pour remplacer cos(x) ou sin(x), puis la formule du binôme de Newton, puis, après regroupement adéquat des termes, à nouveau les formules d Euler. Exercice 4.18 Linéariser sin 3 (x), où x R. 3) Antilinéariser cos(nx) ou sin(nx) ((x, n) R N), i.e. l exprimer en fonction de puissance de cos(x) et sin(x) : on utilise les formules de Moivre (par exemple cos(nx) = R((cos(x) + i sin(x)) n )), puis la formule du binôme de Newton, puis on prend la partie réelle ou imaginaire du développement obtenu. Exercice 4.19 Antilinéariser sin(3x), où x R. Exercice 4.20 Montrer que pour tout n N, cos(nx) est un polynôme en cos(x). 4) Utiliser simplement le fait que cos(x) = R(e ix ) ou sin(x) = I(e ix ). Exercice 4.21 Retrouver les formules de trigonométrie pour cos(a ± b) et pour sin(a ± b). Exercice 4.22 Calculer n cos(kx), où (n, x) N R. k=0 5) Utiliser le cercle trigonométrique pour se souvenir de relations usuelles (cos(x+ π 2 ) = sin(x) par exemple), se souvenir des cosinus et sinus des angles usuels (0, π 6, π 6, π π 4 3, π 2 et leurs symétriques par rapport aux axes). Exercice 4.23 Exprimer à l aide de cos(x) ou sin(x) : cos(x ± π 2 ), sin(x ± π 2 ), tan(x ± π 2 ), cos(x ± π). Exercice 4.24 Mettre 1 + i, 1 + 3i sous forme trigonométrique. 4.3 Équations dans C Pour résoudre un équation dans C, on peut utiliser les deux théorémes fondamentaux [?] et [?]. Le premier sera utile si on cherche les solutions sous forme algèbrique, le second si on les cherche sous forme trignométriques. On peut être amené alors à utiliser également les résultats suivants. page : 25