.~.",_. 20 COLLEGE LYCEE RAPONDA WALKER SfCCf.t2J.'U'R;Ef«Sf'.7I.NC SERIE C DEPARTE.MENT DE MATHEMATIQUES EPREUVE DE MA THEMA TIQUES Durée: 4h EXERCICE On rappelle que 2003 est un nombre premier.. a. Détenniner deux entiers relatifs u et v tels que: 23u +\2003v = b. En déduire un entier relatif k o tel que: 23k o :; [2003] c. Montrer que,' pour tout entier relatif x, 23x :; 456 [2003] si seulement si x :; 456 k0 [ 2003]. d. Détenniner l'ensemble des entiers relatifs x tels que: 23x :; 456 [2003] e. Montrer qu'il existe un unique entier n tel que: s n S 2002 et 23n :; 456 [2003] 2. Soit a un entier tel que: sas 2002. a. Déterminer: PGCD (a ; 2003 ) En déduire qu'il existe un entier m tel que: am :; [2003]. b. Montrer que, pour tout entier b, il existe un \.mique entier x tel que: Os X s 2002 et ax :; b [2003]. Caef: 4 EXERCICE 2 ~ On considère dans le plan (P) un cercle de diamètre [OB]. Soit A un point du segment [OB], distinct de 0 et de B, I le milieu de [AB]. Cf6 M6) La médiatrice du segment [AB] coupe le cercle en M et M' tels qu'une mesure de l'angle (~, MS) soit + ;. Soit N le projeté orthogonal de A sur (am). ( t-t f). Donner la nature du quadrilatère AMBM'. En dédujre que la droite (fv ') est orthogonale à (am) et que N, A, et M' sont alignés. 2. On appelle S la similitude plane directe de centre N, telle que S(M) = A. Préciser l'angle de cette similitude. Détenniner les images par S des droites (MI) et (NA). En déduire l'image par S du point M'. 3. Montrer que l'image par S de est le point l', milieu de [OA].. En déduire que la droite (NI) est tangente en N au cercle de diamètre [OA]. -A. Oi"'--------~--+.------l
P RO BLE M E Le but du problème est d'étudier dans sa première partie la fonction f définie par f(x) = puis, x - xedans sa seconde partie, d'établir un encadrement de l'intégrale =f;f(x)dx PARTIE A. On considère la fonction 9 définie sur IR par: g(x) = X~ e x.- l. a. Etablir les variations de 9 (on ne demande pas dans cette question de calculer les limites de 9 ). Calculer g() et montrer que, pour tout X réel, g(x) :::; O. b. En déduire que pour tout X réel xe-x :::; ~, puis - xe-x > O. e 2. On désigne par f la fonction définie sur IR par: f(x) = _. - xe x Soit ( C) sa courbe représentative dans le plan rapporté à lm repère orthonormal (0; T,T) (unité graphique: 3 cm). a. Vérifier qll"~ f est définie sur IR. Déterminer les limites de f en - 00 et + 00. b. Etudier le variations de f et dresser le tableau de variation. c. Ecrire une équation une équation de la tangente (T) à (C) au point d'abscisse O. d. Tracer (T), puis (C) (on admettra que (C) est au-dessus de (T) pour x < 0, et au-dessous pour X > 0 ). 3. a. Déterminer les images par f des intervalles [0 ; ] et [; +00 [. b. En déduire que pour tout X positif ou nul: :::; f(x) :::; _e_. e -;:- PARTIE B. Donner une interprétation géométrique du nombre =f l f (X)dX. 0 2. Soit n un entier naturel non nul, et soit J = f>n e-nx dx. n a. A l'aide d'une intégration par parties montrer que J = -3 e b. On se propose de calculer J 2 sans utiliser des intégrations par parties: déterminer les coefficients a, b, 2 et c tels que la fonction H définie par H(x) = (ax 2 +bx+ c) e-2x soit une primitive de h(x) = X e-2x. En déduire J2 =±( - ~ ) 3. Pour tout entier naturel non nul n, on pose un = + J + J 2 +... + J n. _(xe- x )n+l a. Montrer que, pour tout réel x : + xe-x + x 2 e-2x +... + xoe -nx = -xe- x f; x n b. En déduire que: \- un = + e-(n+l)x f(x)dx. l c. En utilisant PARTIE A..b., montrer que pour tout X positif ou nul: a :::; x n + e-(n+l)x -<- en+. En déduire que pour tout x positif ou nul: 0 :::; x n + l e- (n+l)x f(x) :::; en (e -) d. En déduire un encadrement de - un ; étudier la convergence de la suite de terme général un' 4. Montrer que U 2 :::; :::; U 2 + --;;'"2-- e (e -) Sachant que u 2 =+ J + J 2, trouver deux nombres décimaux d et d 2 tels que o< d 2 -dl < 0- et dl < < d 2 2
c.. ~..; '' 2',-V'~ ~..., (.'~ ~""-,-,,,-\ -'..--...l/":, \:.-'--':. 0-O.-\..N:'::~._~.J..L LI::",'v~ / :4:).).,'-'. ~ ll"t,;'~,~...,'- -:::...:. A -\. ~ :w0,\",-, "-,~l ) 8u... ;:.\.'::cb.'.! D.lI.' "',,;.... <.,V( ~ v.. cl:;.. \::'-'- ; '~- l'". ~.:..G"G :::, ::. Ft t ~ f,"_(, -+ ~ 5.A ~ -.A. t- x ~ -:, -\ A jj s.:: ~ s-.<:;, '-r). $ A ~ - C~5'- -\'2\'";x"J.= '" 2, J::,- -=-.A"~;, \ -t).t- (À <." ~ - ~S)C ~ ) X '0 -.,..r -=. '. ;\ ~:=. ). - )u\ ~...-i A 2.i ':: x: t. -3, 5' x - -=. "l. \. <--.v"'\) ~ l'\..), ~ ~ -::. -i ')..A Ù, \ ~ - l.v-..u~,,- /\ '2.; -::, "- \ ~ ) X r -;: - -.-i -'\ 4 X i <, 3-- - x.u.r-o.~ :: -.. dl ~ ~:: /- 4 ~ v- -= ~ + 0. ~tt ':';, ). /\F4 ::...\ + -:r-,:. z..vo 2> -ej.o,\~.u"~ ',eh 4::::',,\ ~.CbÜ ~*.J;.,--'l =-...( 4 () \ l'i.;:;''û::.l <; >.A.tJ?J">'.. )( A' '+ '= 4-~.G<'4 L.t<:r.;:.] _l ~ G;-'-/~ (À tt '-\ ~W~ )) =. r\ )..f.j ( :) --\4- d.t:c =.4-S(,Yr<..~ ï;5=i LiNv~J ~')J.:l7,X )u;)~~ +A)== 4-~"""t{~ -(~.. - ---:- ~- (2) IL.':::: 4-5""ko -f~..'o lvjo~\ 'Id,./\~.2,'>t.,::: 4':b l~~~:,j é. ~ r-.. ~- 4:''""l~ -~-~~~~~j \ (2:) 'Y-....::. $"-.. ~ 8+ -----. CL0\) 3J (-J '/I-:=' ~3~.~. ~4\)3..J, i os,=. \.?-(,9.'3> ~. -t.:--l_~ g~ - i..-h.. S 7.._ j e.. ~.'3 "" - 4"" \.Y''':;]...c é ).)C _ i,...--;,) 2> -\:\.,. -';..-l q c3 ~. rj..:. ~ ev'.! C<\iV~', Â '::. C\- -::. 'JJJ c "-.J...t '2..<..,-03 'Y\ c...k. "-!I. ~,-il.-... f.' l..'v ~~ -t~ - ü.; 0'\ 0 ".. L- V.~.. L n l Ct.~.~ C?I ) :: -. tj \ b. ~J,.Jf""'-,--. ~A.0--, r-.~~ ~ ~J,} ~uj,:;:q. '-' ~ ') 3 ~ ~ B \"0 c ~ )\.- ~ 2.v-u '<..Q..V ct ~= bt2r '*.\:).Q.. :t:\. "vv". /j '[in;;. :::<) -.0 'v..,c>_ ~ v,-,~) == \0 l.,h--c"j ; ~ e>\ -n.::. kj l ~ '>" J c,,-. c \'Y~>:- ~\..\/ ~\.';j.'a ct \.-...-c - 'M la}::: 0 ~ "\.<"I.Qçt.v.i.o u.:.-o~{ S"- 0... f\ 2fi'o?::,:::. -... ~IO--\,L"..G; JU.. I~ \-\---o..'<:,...c v--~ 0\.:::. ~ o.:.v~. ~ - w, le.'::. G '[ 'l.n--g 3,J.-X.-t' r-.u-'w t îc ::'v'v, ~ ~.v-.;-ç : J... ~ ;u~...",./'> ~'--- ~ ~ (\j/\...\)... cl, 0\ ~a. 0\." ~Me'V"..Q..'--'- J-~d~ V--Q...d~.,..,..~ }'<:V"-.- i.n,:,;' ~ Ci ~ h... ':: ~c~). / e:,,'"..,..â- C S '<-- '= 2.,;,.,-0...,, y,.,., ~. Q.;./.JV \',~v.. J. --.a. OC-:::. J'4... -* V...:, tj:, t../ 0\;<" ~.<;\ );<.;-'0..;);; c... -, ",,:...;;,-JJ ')\...\.Jl.,t' -,c2.., ch...,.,.,a<:, Jjj..J./."rt:Y~ " C q -:L-. == S lj;'\) ~].Q..t; (; ~ ')fi.s.u...-:u,-: ca ::> """ c... di l "l\.-,u-/\"4 )-==. C t~~ 'l etc.'.x-l.- ~ le, 0 ~ ~ ~ 2.,(j c -<.
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