Statistiques : indicateurs de dispersion

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1 33 Statistiques : indicateurs de dispersion Capacités Comparer deux séries statistiques à l aide d indicateurs de tendance centrale et de dispersion Connaissances Indicateurs de dispersion : étendue, s Activité 1 Étendue Fiche 7 p 18 Fiche 8 p 18 Le crédit bancaire a-t-il évolué? Méthodes Fiche 9 p Les besoins des emprunteurs ont changé durant ces dernières années Le crédit bancaire a suivi cette évolution Le tableau suivant donne le montant moyen des prêts réalisés par l agence régionale d une banque, en fonction de leur durée pour les années 2 et 28 Durée des prêts Montant moyen des prêts (en ) de à ans de à ans de à 2 ans 8 62 de 21 à 2 ans de 26 à 3 ans 8 93 de 31 à ans de 1 à ans a Quelle est la différence entre le montant moyen des prêts le plus élevé et le montant moyen des prêts le moins élevé en 2? b Même question pour 28 2 a Quelle est la différence de durée entre le prêt le plus court et le prêt le plus long en 2? b Même question pour 28 3 À l aide des réponses aux questions précédentes, décrivez la façon dont a évolué le crédit bancaire entre 2 et 28 3 Statistiques : indicateurs de dispersion 33

2 Activité 2 Quartiles Combien de cigarettes par jour? L infirmière d un lycée professionnel réalise une étude anonyme pour connaître la quantité de cigarettes fumées la veille par les élèves d une classe de 2 de professionnelle, afin de construire une campagne de prévention Elle veut trouver les nombres de cigarettes qui lui permettraient de constituer quatre groupes d élèves de même effectif Les résultats de l étude sont les suivants : Quel est l effectif total N? 2 Rangez par ordre croissant les valeurs obtenues et reportez-les dans le tableau Rang 1 Nombre de cigarettes a À combien d élèves correspond au moins un quart de la classe? c Fiche 8 p 18 b Quel est le nombre maximum n 1 de cigarettes consommées par le quart des élèves qui fument le moins ou pas du tout? 3 a À combien d élèves correspond au moins la moitié de la classe? b Quel est le nombre médian n 2 de cigarettes fumées par les élèves? a À combien d élèves correspond au moins les trois quarts de la classe? b Quel est le nombre minimum n 3 de cigarettes fumées part le quart des élèves qui fument le plus? L infirmière décide de constituer les quatre groupes en prenant respectivement pour limites supérieures n 1 (appelé en mathématiques premier ), n 2 (deuxième ), n 3 (troisième ) et 2 a Placez sur le graphique suivant n 1, n 2 et n b Quelle est l étendue entre le nombre de cigarettes fumées par le plus petit et le plus gros fumeur de chacun des quatre groupes? 3 3 Statistiques : indicateurs de dispersion

3 Travaux pratiques L effet placebo A Le placebo est une substance inactive substituée à un médicament pour étudier l efficacité réelle de celui-ci Vous allez analyser les résultats d un essai clinique l utilisant Calcul d indicateurs Cinquante malades ayant tous des problèmes d hypertension artérielle sont répartis dans deux groupes : le premier groupe est traité avec un nouveau médicament sensé abaisser la tension artérielle ; le deuxième groupe est traité avec un produit placebo À la fin du traitement, la tension artérielle des malades est mesurée (en unité de pression) Les résultats obtenus sont les suivants : 1 12, Groupe 1 : Traité avec le médicament 12, , 12, 1 13, 1 13, ,, Groupe 2 : Traité avec le placebo, 12 13,, 13, , 1, 1 Quel est le caractère étudié? 2 Vous allez présenter ces tableaux avec un tableur et obtenir la moyenne, la médiane et les s de chaque série a Groupe 1 Saisissez verticalement toutes les valeurs de la cellule A1 à la cellule A2 ; en A27 saisissez «Moyenne» ; en B27 saisissez «=moyenne(a1:a2)», validez ; en A28 saisissez «Médiane» ; en B28 saisissez «=mediane(a1:a2)», validez ; en A29 saisissez «Étendue» ; en B29 saisissez «= max(a1:a2;1)-min(a1:a2;1)», validez ; en A3 saisissez «Quartile 1» ; en B3 saisissez «= (A1:A2;1)», validez ; en A31 saisissez «Quartile 2» ; en B31 saisissez «=(A1:A2;2)», validez ; en A32 saisissez «Quartile 3» ; en B32 saisissez «=(A1:A2;3)», validez ; b Groupe 2 Saisissez verticalement toutes les valeurs de la cellule D1 à la cellule D2 En procédant de la même façon que pour le groupe 1, déterminez à l aide du tableur les mêmes indicateurs 3 Statistiques : indicateurs de dispersion 3

4 Travaux pratiques c Bilan Reportez dans le tableau suivant les valeurs affichées à l écran pour les deux groupes Moyenne x Médiane Me Étendue e Premier Q 1 Deuxième Q 2 Troisième Q 3 Groupe 1 / Médicament Groupe 2 / Placebo B Analyse des indicateurs 1 Les indicateurs statistiques, avant le traitement, des personnes faisant de l hypertension sont les suivants : Moyenne x Médiane Me Étendue e Premier Q 1 Deuxième Q 2 Troisième Q 3 Échantillon de personnes avant traitement,8 2,, a Le médicament administré au Groupe 1 a-t-il eu un effet? Justifiez votre réponse b Le médicament administré au Groupe 2 a-t-il eu un effet? Justifiez votre réponse 2 La population en bonne santé a une tension inférieure ou égale à 1 a Quelle est la proportion des malades du Groupe 1 (en %) dont vous êtes sûr que leur tension est inférieure ou égale à 1? b Quelle est la proportion des malades du Groupe 2 (en %) dont vous êtes sûr que leur tension est inférieure ou égale à 1? 3 Le médicament testé est-il efficace? Justifiez votre réponse 36 3 Statistiques : indicateurs de dispersion

5 Exercices 1 Étendue c Fiche 7 p 18 Calculez l étendue des séries suivantes a 6 ; 8 ; 12 ; b ; 3 ; 6 ; 7 ; c ; ; ; ; 7 c Fiche 7 p 18 Calculez l étendue de chacune des séries suivantes a b Caractère [ ; 2[ Effectif 7 Caractère [ ; 2[ Effectif 2 [2 ; [ 13 [2 ; 3[ 3 [ ; 6[ [3 ; [ [6 ; 8[ [ ; [ 2 c Fiche 7 p 18 Calculez l étendue des séries suivantes a 3 ; 2 ; ; ; b ; ; 13 ; ; 78 ; c,3 ;,2 ;, ;,1 3 c Fiche 7 p 18 Calculez l étendue des séries suivantes a ; 1 ; 2 ; ; b 2 ; 3 ; 1 ; ; 2 c 1 ;, ;, 9 ; 3 c Fiche 7 p 18 Recherchez, pour chaque série, la (ou les) valeur(s) de x pour que l étendue soit égale à 9 a ; 2 ; 3 ; x ; ; 31 b 2 ; 9 ; x ; ; 6 ; 1 c 8 ; x ; ; 2 ; 1 ; 27 ; c Fiche 7 p 18 Voici la série indiquant la masse de 6 voitures : 8 c Fiche 7 p 18 Quelle est l étendue de chacune des séries représentées graphiquement? Série 1 : Effectif Caractère Série 2 : Effectif Caractère Quartiles 1 89 kg, 2 13 kg, 86 kg, 1 6 kg, 98 kg et 1 3 kg Quelle est l étendue de cette série? 6 c Fiche 7 p 18 Calculez l étendue de chacune des séries suivantes a Caractère 3 Effectif 21 b Caractère,1 Effectif 32, ,3 9 12, 9 c Fiche 8 p 18 Déterminez pour chacune des séries l effectif total N et les trois s Q 1 a 1 ; 3 ; ; 7 ; 8 ; ; 12 ; b 2 ; 31 ; 13 ; ; 9 ; 2 ; ; 2 c ; ; 8 ; ; 2 ; 31 ; ; ; 7 ; 62 ; 63 ; 68 c Fiche 8 p 18 Déterminez pour chacune des séries l effectif total N et les trois s Q 1 a ; 8 ; 9 ; 17 ; 28 ; 3 ; 2 ; 6 ; 8 b 21 ; 3 ; ; 9 ; 12 ; 1 ; 18 ; 19 ; 22 ; 2 ; 26 3 Statistiques : indicateurs de dispersion 37

6 Exercices c Fiches 8 et 9 p 18 et Déterminez, pour chacune des séries : l effectif total N ; les ECC ; les s Q 1 Remarque : ces valeurs peuvent également être obtenues à l aide d une calculatrice graphique a b Caractère Effectif 2 Caractère 1 Effectif Remarque : ces valeurs peuvent également être obtenues à l aide d une calculatrice graphique Effectif Caractère 12 c Fiches 8 et 9 p 18 et Déterminez, pour chacune des séries, l effectif total N, les ECC et les s Q 1 Remarque : ces valeurs peuvent également être obtenues à l aide d une calculatrice graphique a b Caractère [ ; 2[ Effectif 19 Caractère [ ; 2[ Effectif [2 ; [ 2 [2 ; 3[ 13 c Fiches 8 et 9 p 18 et Déterminez, pour chacune des séries, l effectif total N, les ECC et les s Q 1 de la série représentée graphiquement [ ; 6[ 22 [3 ; [ [6 ; 8[ 39 [ ; [ 1 1 c Fiches 8 et 9 p 18 et a Déterminez l effectif total N de la série représentée graphiquement ci-dessous b Quelles sont les classes auxquelles appartiennent les trois s Q 1? c Déterminez les trois s Q 1 Remarque : ces valeurs peuvent également être obtenues à l aide d une calculatrice graphique 8 6 Effectif 2 Caractère Testez-vous! Parmi les trois réponses proposées, vous devez en choisir une seule 1 L étendue d une série statistique est 2 L étendue de la série ; ; 1 ; est A la différence entre les valeurs extrêmes B la somme des valeurs extrêmes A B 9 99 C 1 3 L étendue e, A n ont pas d unité B ont des unités et les s Q 1 différentes Le premier de la série 1 ; 2 ; 3 ; ; ; 6 ; 7 ; 8 est Si le caractère est quantitatif discret, la médiane et le deuxième Q 2 sont 6 Le troisième représente A 1 B C 2 C le quotient des valeurs extrêmes C ont la même unité que le caractère A toujours différents B toujours identiques C identiques si N est impair A 7 % de la population B au moins 7 % de la population C moins de 7 % de la population 38 3 Statistiques : indicateurs de dispersion

7 Problèmes Évolution des revenus en ans Le tableau suivant indique le niveau de vie moyen annuel des individus en France selon leur âge en 1996 et 26 Les montants sont en euros Âge à 2 ans à 3 ans à ans à ans à 6 ans à 7 ans à 8 ans Revenu moyen 2 63 Revenu médian a Quelle est la différence de revenus entre le plus faible et le plus important en 1996? b Même question pour l année 26 c En ans, comment cette différence de revenus a-t-elle variée? 2 Représentez, sur deux graphiques ayant la même échelle, les revenus de 1996 et de 26 3 À partir des indicateurs et des représentations graphiques, comparez les revenus de 1996 avec ceux de 26 Les plus «forts» aux jeux olympiques Zone Géographique Le tableau suivant donne la distribution des médailles d or, d argent et de bronze des Jeux Olympiques de 2 et de 28 Population (en millions) Japon 127 États-Unis 3 Chine 1 36 Russie 12 Australie 2 UE 91 Or Athène 2 Argent Bronze Total Sous-total Total pour tous les pays Autres pays Étendue e Or Pékin 28 Argent Bronze Total Différence de médailles Total pour les deux JO Moyenne aux JO 1 a Combien d études statistiques sont présentées dans ce tableau? b Quel est le caractère étudié? c Quelles sont les populations étudiées? 17 2 Complétez le tableau en calculant : le nombre de médailles obtenues par les «autres pays» ; pour chaque colonne, l étendue e du nombre de médailles distribuées ; la différence de médailles obtenues en 2 et 28 ; le nombre de médailles obtenues au total durant les deux JO ; la moyenne du nombre de médailles aux deux JO 3 a Représentez graphiquement le total des médailles obtenues aux deux JO par les différentes zones géographiques, les «autres pays» compris b En principe, il n existe pas de classement officiel aux Jeux Olympiques Cependant, des classements différents pourraient être faits en fonction des critères retenus Selon que vous êtes dirigeant du Japon, des USA, de la Chine, de la Russie, de l Australie, ou de l Union européenne, quels critères choisiriezvous : le nombre de médailles d or? le nombre total de médailles? le nombre de médailles par million d habitants? le nombre de médailles en plus en 28? la moyenne du nombre de médailles aux deux JO? Les voitures de luxe Dans un salon de l automobile, des voitures de plus de 12 sont proposées à la vente Le tableau suivant donne les différents modèles et la quantité de véhicules vendus lors du salon Modèle de voiture Porsche GT Mercedes SLR Koenigsegg CC8S Ferrari Enzo Bugatti Veyron Puissance (en chevaux) Rapport masse / puissance (en kg/ch) 2,2 2,8 1,7 2, 1, Prix (en euros) Nombre de véhicules vendus Statistiques : indicateurs de dispersion 39

8 Problèmes 18 1 Quelle est la population étudiée? 2 Quel est le caractère étudié? 3 Quelles sont les étendues des caractéristiques présentées dans le tableau? Quelle est la masse de chaque modèle de voiture? Représentez graphiquement le nombre de véhicules vendus en fonction du modèle Comparaison de populations 2 Étude de la population indienne Âge en années Pyramide des âges 28 : Inde Effectif (en millions) 1 Étude de la population allemande Âge en années 6,8 6,2,2,,,8 3,8 3,,8,2 a Quel est la forme de cette pyramide des âges : parasol, feuille de chêne ou pagode? b Pourquoi la pyramide diminue-t-elle vers le haut? c Quelle est la classe d âge la plus nombreuse, hommes et femmes confondus? d Combien de personnes y a-t-il dans cette classe d âge? e La base de la pyramide permet-elle de conclure qu il y a de plus en plus de naissances ou que la natalité ralentit? Justifiez f Calcul d indicateurs statistiques : construisez le tableau statistique donnant l effectif des hommes et des femmes de la population allemande par décennie ; calculez l effectif total de la population allemande ; calculez la moyenne de la série ; quelle est l étendue de la série? calculez les s Q 1,8 2,2,6 3,7,6,,, Effectif (en millions) Pyramide des âges 28 : Allemagne,7 6,6 19 Réalisez cette étude en répondant aux mêmes questions que celles posées pour la population allemande 3 À partir des pyramides des âges et des indicateurs statiques que vous avez trouvés, comparez les populations allemande et indienne Le temps du petit déjeuner Une étude est réalisée dans un lycée afin de comparer la durée du petit déjeuner chez les élèves des classes de Seconde et chez les élèves des classes de Première Les résultats obtenus sont les suivants : Durée t du petit déjeuner (en min) t < 3 Nombre d élèves de Seconde 2 Nombre d élèves de Première 97 3 t < t < t < t < 6 6 t < Quel est le caractère étudié? 2 Pour les élèves des classes de Seconde : a Quelle est l étendue de la série statistique? b Représentez graphiquement la série statistique c On suppose que les effectifs des classes sont affectés au centre de ces intervalles de temps Calculez une estimation de la durée moyenne du petit déjeuner, en minutes, arrondie à 1 d Calculez les s Q 1 3 Faites le même travail qu à la question précédente pour les élèves des classes de première À partir des indicateurs trouvés, comparez les deux séries statistiques sur la durée du petit déjeuner des élèves des deux niveaux scolaires Remarque : certains indicateurs peuvent également être obtenus à l aide d une calculatrice graphique 3 Statistiques : indicateurs de dispersion

9 Problèmes 2 Plongée sous-marine Un plongeur sous-marin avec bouteille décide d analyser les 3 plongées qu il a effectuées dans l année Les profondeurs maximales, en mètres, enregistrées sur son ordinateur de plongée sont données dans le tableau Pour ces 3 plongées : a calculez la profondeur moyenne ; b déterminez la profondeur médiane ; c déterminez l étendue ; d déterminez les trois s 2 Les indicateurs statistiques relevés par le même plongeur l année précédente pour une cinquantaine de plongées sont les suivants : Indicateurs x Valeurs (en m) 23 Me 23 Comparez les deux séries de plongées de ces deux années, en recherchant celle où les plongées ont étés plus profondes et plus proches de la moyenne Justifiez votre réponse e 32 Q 1 2 Q Q Le Tour de France Le Tour de France cycliste est un événement sportif de portée internationale dont le trajet varie tous les ans Le choix des étapes est l objet de négociations financières avec les villes-étapes, mais aussi de choix sportifs comme la distance parcourue En 28 et 29, les longueurs (en km) des 21 étapes ont été les suivantes : Tour 28 : 19 ; ; ; 29 ; 23 ; 19 ; 8 ; 17 ; 222 ; ; 6 ; 8 ; 182 ; 182 ; 7 ; 7 ; 2 ; 197 ; 183 ; 3 et 13 ; Tour 29 : ; 182 ; 196 ; 38 ; 197 ; 17 ; 22 ; 176 ; ; 193 ; 192 ; 2 ; 2 ; 199 ; 27 ; ; 9 ; ; 19 ; 7 et Ces deux séries de nombres ont été traitées à l aide d un tableur-grapheur afin d obtenir l écran ci-dessous 1 Quelles sont les populations étudiées? 2 Quel est le caractère étudié? 3 Quel est l effectif total en 28? En 29? Comparez les longueurs totales des deux Tours Comparez les moyennes parcourues par étape dans chacun des deux Tours 6 Quelle est l étendue de chaque série? Comparez ces deux étendues 7 a À quelles longueurs (en km) correspondent au moins 2 % des étapes? % des étapes? 7 % des étapes? 3 Statistiques : indicateurs de dispersion 1

10 Problèmes 22 b Lisez sur le graphique la médiane, le premier, le deuxième et le troisième de chacune des deux séries 8 Quels sont les critères qui peuvent rendre un Tour de France difficile pour les coureurs? 9 La représentation graphique permet-t-elle d affirmer qu un des deux tours est plus «difficile» que l autre? Les indicateurs numériques trouvés précédemment confirment-ils votre analyse? Justifiez toutes vos réponses Les joueurs de jeux vidéo Violents, sources d inactivité physique et de renfermement sur soi les jeux vidéo ont mauvaise réputation La France compte environ millions de «mordus» Cependant, des recherches ont montré qu une pratique modérée des jeux virtuels pouvait développer un certain nombre de compétences, comme une acuité visuelle aiguë ou une bonne représentation de l espace Les jeux vidéo peuvent donc avoir du bon, à condition de savoir en limiter le temps d utilisation Le tableau donne, en fonction de l âge, la répartition des joueurs en France ramenée à joueurs et le temps moyen qu ils passent à jouer par semaine Âge Temps passé à jouer (en heures) [ ; [ 1, [ ; [ 2, [ ; 2[ 8,2 [2 ; 2[ 9,7 [2 ; 3[ 8,3 [3 ; 3[ 6,8 [3 ; [ 3, [ ; [ 3, [ ; [ 3,2 [ ; [ 2,7 [ ; 6[ 1, [6 ; 6[ 1,2 Effectif a Combien d études statistiques sont reportées dans ce tableau? b Quels sont les caractères étudiés? c Quelle est la population étudiée? 2 a Quelle est l étendue des âges? b Quelle est la tranche d âge où se trouvent les joueurs les plus nombreux? c Calculez l âge moyen du joueur d Quelle est la tranche d âge médiane du joueur? e Représentez graphiquement la répartition des effectifs en fonction de l âge 3 a Quelle est l étendue du temps passé à jouer? b Quelle est la tranche d âge où se trouvent ceux qui jouent le plus longtemps? c Quelle est le temps passé à jouer qui correspond au plus grand effectif? d Calculez, pour chaque tranche d âge, le temps total passé à jouer par les joueurs de la tranche e Quel est le temps moyen passé à jouer? f Représentez graphiquement le temps moyen passé à jouer en fonction de l âge Comparez cette représentation avec celle réalisée à la question 2 Utilisation de l informatique : a Dans un tableur grapheur : saisissez horizontalement à partir de la cellule A1 les valeurs du «temps passé à jouer» ; sélectionnez la cellule A1, et par un cliquer-glisser recopiez en colonne 12 fois la valeur ; faites de même pour les autres valeurs de temps en les recopiant en colonnes le nombre de fois indiqué par l effectif correspondant b Déterminez la moyenne, la médiane, l étendue et les s de cette série en sélectionnant chaque fois les cellules de A1 à L Voir TP de ce chapitre pour les instructions de calcul du tableur c Quel est le temps minimum passé à jouer par au moins 2 % des joueurs? Au moins % des joueurs? Au moins 7 % des joueurs? 2 3 Statistiques : indicateurs de dispersion