Inter'Action 2014 : Jeux de Nim sur les graphes.
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- Corinne Normand
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1 Qu'est-ce qu'un jeu combinatoire 9 mai 204
2 Qu'est-ce qu'un jeu combinatoire 2
3 Le jeu de Nim : un exemple de partie. Le jeu de Nim : Deux joueurs : Plusieurs piles de jetons. On retire alternativement autant de jetons que l'on veut, d'une seule pile. Celui qui n'a plus de jetons à retirer perd.
4 Le jeu de Nim : un exemple de partie. Le jeu de Nim : Deux joueurs : Plusieurs piles de jetons. On retire alternativement autant de jetons que l'on veut, d'une seule pile. Celui qui n'a plus de jetons à retirer perd.
5 Le jeu de Nim : un exemple de partie. Le jeu de Nim : Deux joueurs : Plusieurs piles de jetons. On retire alternativement autant de jetons que l'on veut, d'une seule pile. Celui qui n'a plus de jetons à retirer perd.
6 Le jeu de Nim : un exemple de partie. Le jeu de Nim : Deux joueurs : Plusieurs piles de jetons. On retire alternativement autant de jetons que l'on veut, d'une seule pile. Celui qui n'a plus de jetons à retirer perd.
7 Le jeu de Nim : un exemple de partie. Le jeu de Nim : Deux joueurs : Plusieurs piles de jetons. On retire alternativement autant de jetons que l'on veut, d'une seule pile. Celui qui n'a plus de jetons à retirer perd.
8 Le jeu de Nim : un exemple de partie. Le jeu de Nim : Deux joueurs : Plusieurs piles de jetons. On retire alternativement autant de jetons que l'on veut, d'une seule pile. Celui qui n'a plus de jetons à retirer perd.
9 Le jeu de Nim : un exemple de partie. Le jeu de Nim : Deux joueurs : Plusieurs piles de jetons. On retire alternativement autant de jetons que l'on veut, d'une seule pile. Celui qui n'a plus de jetons à retirer perd.
10 Le jeu de Nim : un exemple de partie. Le jeu de Nim : Deux joueurs : Plusieurs piles de jetons. On retire alternativement autant de jetons que l'on veut, d'une seule pile. Celui qui n'a plus de jetons à retirer perd.
11 Le jeu de Nim : un exemple de partie. Le jeu de Nim : Deux joueurs : Plusieurs piles de jetons. On retire alternativement autant de jetons que l'on veut, d'une seule pile. Celui qui n'a plus de jetons à retirer perd.
12 Le jeu de Nim : un exemple de partie. Le jeu de Nim : Deux joueurs : Plusieurs piles de jetons. On retire alternativement autant de jetons que l'on veut, d'une seule pile. Celui qui n'a plus de jetons à retirer perd. Le premier joueur gagne en retirant le dernier jeton.
13 Caractérisation des jeux combinatoires impartiaux I Jeux combinatoires impartiaux. Deux joueurs jouant chacun leur tour. Des règles qui expliquent comment passer d'une position à une autre. Le hasard n'intervient pas. La partie est assurée de se terminer en un nombre ni de coups. En version normale, le joueur incapable de jouer a perdu. Les joueurs ont les mêmes options.
14 Dénition inductive On peut dénir rigoureusement les jeux combinatoires impartiaux inductivement : L'ensemble vide est un jeu. Si G,...,G n sont des jeux alors G = {G,..., G n } est un jeu.
15 Dénition inductive On peut dénir rigoureusement les jeux combinatoires impartiaux inductivement : L'ensemble vide est un jeu. Si G,...,G n sont des jeux alors G = {G,..., G n } est un jeu. Les G i sont les options/positions de G.
16 Dénition inductive exemples ={ Ø} ={ } ={ Ø, } ={,, }
17 Résultat d'un jeu Un jeu est gagnant si le premier joueur peut gagner dans tous les cas. Un jeu est perdant si c'est le deuxième joueur qui est dans cette situation. o + (G) = N le jeu est gagnant o + (G) = P le jeu est perdant
18 Résultat d'un jeu Version normale En version normale. On dénit inductivement : o + ( ) = P, celui qui ne peut plus jouer a perdu G = {G,..., G n }, o + (G) = N si G i G = {G,..., G n }, o + (G) = P si G i tel que o + (G i ) = P on a o + (G i ) = N
19 Résultat d'un jeu Version normale En version normale. On dénit inductivement : o + ( ) = P, celui qui ne peut plus jouer a perdu G = {G,..., G n }, o + (G) = N si G i tel que o + (G i ) = P G = {G,..., G n }, o + (G) = P si G i on a o + (G i ) = N ={ Ø} ={ } ={ Ø, } Perdant Gagnant ={,, }
20 Résultat d'un jeu Version normale En version normale. On dénit inductivement : o + ( ) = P, celui qui ne peut plus jouer a perdu G = {G,..., G n }, o + (G) = N si G i G = {G,..., G n }, o + (G) = P si G i tel que o + (G i ) = P on a o + (G i ) = N Résultat fondamental Tout jeu est soit gagnant soit perdant.
21 Résultat d'un jeu Version misère En version misère. On dénit inductivement : o ( ) = N, celui qui ne peut plus jouer a gagné G = {G,..., G n }, o (G) = N si G i G = {G,..., G n }, o (G) = P si G i tel que o (G i ) = P on a o (G i ) = N
22 Résultat d'un jeu Version misère En version misère. On dénit inductivement : o ( ) = N, celui qui ne peut plus jouer a gagné G = {G,..., G n }, o (G) = N si G i tel que o (G i ) = P G = {G,..., G n }, o (G) = P si G i on a o (G i ) = N ={ Ø} ={ } ={ Ø, } Perdant Gagnant ={,, }
23 Résultat d'un jeu Version misère En version misère. On dénit inductivement : o ( ) = N, celui qui ne peut plus jouer a gagné G = {G,..., G n }, o (G) = N si G i G = {G,..., G n }, o (G) = P si G i tel que o (G i ) = P on a o (G i ) = N Résultat fondamental Tout jeu est soit gagnant soit perdant.
24 Les questions que l'on se pose Algorithmique/Complexité : Déterminer si un jeu/une position est gagnant ou perdant : Problème de décision : o +/ (G) = N ou P? Trouver les coups gagnants à eectuer. Ce n'est pas toujours la même chose! Plus détails : Fraenkel Complexity, appeal and challenges of combinatorial games. Proposer/développer une théorie générale structurante : existe en version normale : fonction de Grundy. se développe en version misère : quotient misère, jeu misérable, ect..., mais situation beaucoup plus complexe!
25 Complexité du jeu de Nim. Le jeu de Nim avec k tas de hauteur n,...,n k : N(n,..., n k ). Taille de l'entrée : k log(n i ). i=
26 Complexité du jeu de Nim. Le jeu de Nim avec k tas de hauteur n,...,n k : N(n,..., n k ). Taille de l'entrée : k log(n i ). i= o + (N(n,..., n k )) se détermine en temps linéaire grâce au théorème de Bouton.
27 Complexité du jeu de Nim. Le jeu de Nim avec k tas de hauteur n,...,n k : N(n,..., n k ). Taille de l'entrée : k log(n i ). i= o + (N(n,..., n k )) se détermine en temps linéaire grâce au théorème de Bouton. Théorème [Bouton 90] o + (N(n,..., n k )) = N ssi n n 2... n k 0. Où est la somme binéaire sans retenue.
28 Complexité du jeu de Nim. Le jeu de Nim avec k tas de hauteur n,...,n k : N(n,..., n k ). Taille de l'entrée : k log(n i ). i= o + (N(n,..., n k )) se détermine en temps linéaire grâce au théorème de Bouton. Le jeu de Nim est polynomial en version normale.
29 Le jeu NimG Le jeu NimG : (Stockman 2004) Un graphe non orienté, connexe et qui peut avoir des boucles. On note +B, si il y a des boucles partout et +NB si on les interdit. Des jetons sur chaque sommet. Il peut y en avoir aucun. Les joueurs retirent des jetons et se déplacent le long des arêtes.
30 Le jeu NimG NimG-RD NimG-RD : Si les joueurs retirent les jetons puis se déplacent. 3 2
31 Le jeu NimG NimG-RD NimG-RD : Si les joueurs retirent les jetons puis se déplacent. 2
32 Le jeu NimG NimG-RD NimG-RD : Si les joueurs retirent les jetons puis se déplacent. 2
33 Le jeu NimG NimG-RD NimG-RD : Si les joueurs retirent les jetons puis se déplacent. 2
34 Le jeu NimG NimG-RD NimG-RD : Si les joueurs retirent les jetons puis se déplacent. 0
35 Le jeu NimG NimG-RD NimG-RD : Si les joueurs retirent les jetons puis se déplacent. 0
36 Le jeu NimG NimG-RD NimG-RD : Si les joueurs retirent les jetons puis se déplacent. 0
37 Le jeu NimG NimG-RD NimG-RD : Si les joueurs retirent les jetons puis se déplacent. 0 0
38 Le jeu NimG NimG-RD NimG-RD : Si les joueurs retirent les jetons puis se déplacent. 0 0
39 Le jeu NimG NimG-RD NimG-RD : Si les joueurs retirent les jetons puis se déplacent. 0 En normale : bleu a perdu car il ne peut plus jouer. En misère : bleu a gagné. 0
40 Le jeu NimG NimG-DR NimG-DR : Si les joueurs se déplacent avant de retirer les jetons. 3 2
41 Le jeu NimG NimG-DR NimG-DR : Si les joueurs se déplacent avant de retirer les jetons. 3 2
42 Le jeu NimG NimG-DR NimG-DR : Si les joueurs se déplacent avant de retirer les jetons. 3 0
43 Le jeu NimG NimG-DR NimG-DR : Si les joueurs se déplacent avant de retirer les jetons. 3 0
44 Le jeu NimG NimG-DR NimG-DR : Si les joueurs se déplacent avant de retirer les jetons
45 Le jeu NimG NimG-DR NimG-DR : Si les joueurs se déplacent avant de retirer les jetons. Attention à la victoire en misère! Interdit pour rouge de se déplacer vers un 0 pour obtenir la victoire en misère!
46 Le jeu NimG NimG-DR NimG-DR : Si les joueurs se déplacent avant de retirer les jetons. Attention à la victoire en misère! 3 0 0
47 Le jeu NimG NimG-DR NimG-DR : Si les joueurs se déplacent avant de retirer les jetons. Attention à la victoire en misère!
48 Le jeu NimG NimG-DR NimG-DR : Si les joueurs se déplacent avant de retirer les jetons. Attention à la victoire en misère! Bleu a gagné en misère car il est obligé de se déplacer vers un sommet où il ne peut rien retirer.
49 Complexité du jeu NimG Complexité des diérentes variantes de NimG. NimG-RD+B NimG-RD+NB Normal Polynomial Polynomial [Duchêne E. et Renault G.] Misère Polynomial PSPACE-Dur NimG-DR+B NimG-DR+NB Normal PSPACE-Dur PSPACE-Dur [Burke et George] Misère PSPACE-Dur PSPACE-Dur
50 Complexité de NimG-RD+NB en misère Théorème Le jeu NimG-RD+NB est PSPACE-dur en version misère. Démonstration. On va essayer de réduire un problème PSPACE-complet connu à notre jeu NimG-RD+NB en misère.
51 Complexité de NimG-RD+NB en misère Théorème Le jeu NimG-RD+NB est PSPACE-dur en version misère. Démonstration. On va essayer de réduire un problème PSPACE-complet connu à notre jeu NimG-RD+NB en misère. Ce problème est le jeu de Geography en version normale.
52 Le jeu de Geography Le jeu Geography : G un digraphe connexe. On se déplace le long des arêtes et on supprime les sommets visités.
53 Le jeu de Geography Le jeu Geography : G un digraphe connexe. On se déplace le long des arêtes et on supprime les sommets visités.
54 Le jeu de Geography Le jeu Geography : G un digraphe connexe. On se déplace le long des arêtes et on supprime les sommets visités.
55 Le jeu de Geography Le jeu Geography : G un digraphe connexe. On se déplace le long des arêtes et on supprime les sommets visités.
56 Le jeu de Geography Le jeu Geography : G un digraphe connexe. On se déplace le long des arêtes et on supprime les sommets visités.
57 Le jeu de Geography Le jeu Geography : G un digraphe connexe. On se déplace le long des arêtes et on supprime les sommets visités.
58 Le jeu de Geography Le jeu Geography : G un digraphe connexe. On se déplace le long des arêtes et on supprime les sommets visités. Bleu a perdu en normal car il ne peut plus se déplacer.
59 Complexité de Geography Théorème Le jeu Geography est : PSPACE-Complet en normale. Polynomial sur graphes non orientés. PSPACE-Complet en misère sur les graphes orientés ou non orientés (G. Renault).
60 Réduction de Geography à NimG-RD+NB Si on sait qu'un coup est perdant, on peut supposer qu'aucun joueur ne le jouera.
61 Réduction de Geography à NimG-RD+NB Dans NimG-RD+NB en misère, un sommet avec 0 jeton est un sommet vers lequel se déplacer est un coup perdant. La seule manière de perdre dans NimG-RD+NB en misère est d'être obligé de se déplacer vers un tel sommet. Lorsque l'on est sur un sommet avec un jeton, on est obligé de le mettre à 0.
62 Réduction de Geography à NimG-RD+NB Dans NimG-RD+NB en misère, un sommet avec 0 jeton est un sommet vers lequel se déplacer est un coup perdant. La seule manière de perdre dans NimG-RD+NB en misère est d'être obligé de se déplacer vers un tel sommet. Lorsque l'on est sur un sommet avec un jeton, on est obligé de le mettre à 0. Dans NimG-RD en misère, un sommet avec jeton simule correctement un sommet de Geography.
63 Réduction de Geography à NimG-RD+NB Soit G le digraphe sur lequel on joue à Geography. On construit G un graphe non orienté pondéré sur les sommet Pour tout sommet u de G, on a X u un sommet avec jeton. Toute arête orientée (u, v) de G est remplacée par le gadget suivant : X u c X v 2 a b d
64 Le gadget simule une arête orienté On veut avoir o + (G) = o (G ). On doit montrer que le gadget se comporte comme une arête orientée : Le coup (X v, 0, d) est perdant (orientation). Si un joueur joue (X u, 0, a) alors c'est son adversaire qui jouera de X v vers un sommet extèrieur au gadget. X u c X v 2 a b d
65 Preuve de l'orientation Ce qui est joué à l'intérieur du gadget n'inuence pas ce qui sera joué ailleurs dans le graphe. on peut supposer que le coup (a, 0, X u ) est soit perdant soit gagnant. X u c X v 2 a b d
66 Preuve de l'orientation Le coup (a, 0, X u ) est gagnant : X u c X v 2 0 a b d
67 Preuve de l'orientation Le coup (a, 0, X u ) est gagnant : X u c X v 0 a b d
68 Preuve de l'orientation Le coup (a, 0, X u ) est gagnant : X u er cas : c X v 0 0 a b d
69 Preuve de l'orientation Le coup (a, 0, X u ) est gagnant : X u er cas : 0 c X v 0 0 a b d
70 Preuve de l'orientation Le coup (a, 0, X u ) est gagnant : X u er cas : Rouge perd. 0 c X v a b d
71 Preuve de l'orientation Le coup (a, 0, X u ) est gagnant : X u 2ème cas : idem c X v 0 0 a b d
72 Preuve de l'orientation Le coup (a, 0, X u ) est gagnant : X u 3ème cas : c X v 0 0 a b d
73 Preuve de l'orientation Le coup (a, 0, X u ) est gagnant : X u 3ème cas : bleu joue le coup gagnant donc rouge perd. c X v a b d
74 Preuve de l'orientation Le coup (a, 0, X u ) est perdant : X u c X v 2 0 a b d
75 Preuve de l'orientation Le coup (a, 0, X u ) est perdant : X u c X v 0 0 a b d
76 Preuve de l'orientation Le coup (a, 0, X u ) est perdant : X u 0 c X v 0 0 a b d
77 Preuve de l'orientation Le coup (a, 0, X u ) est perdant : X u 0 c X v a b d
78 Preuve de l'orientation Le coup (a, 0, X u ) est perdant : X u Rouge joue le coup perdant. c 0 X v a b d
79 Le cas des graphes bipartis Notre réduction marche avec n'importe quel cycle impair à la place du 3-cycle. Qu'en est-il des graphes bipartis? NimG-RD+NB est-il encore PSPACE-dur.
80 Le cas des graphes bipartis Notre réduction marche avec n'importe quel cycle impair à la place du 3-cycle. Qu'en est-il des graphes bipartis? NimG-RD+NB est-il encore PSPACE-dur. Théorème G un graphe biparti avec des jetons sur tous les sommets et u le sommet de départ. o (G) = N ssi tous les couplages maxima couvrent u. Corollaire NimG-RD+NB est polynomial en misère sur les graphes bipartis.
81 Idée de la preuve : Les sommets du graphe se séparent en droits et gauches. Les jetons placés à droite ne sont retirés que par un joueur et ceux à gauche par l'autre. Un joueur gagne (misère) lorsqu'il n'a plus de jeton à retirer : il a intérêt à retirer le maximun de jetons à chaque fois. La stratégie gagnante est de retirer tous les jetons du sommet sur lequel on se trouve, puis de se déplacer le long de l'arête du couplage maximun.
82 Détails de la preuve : I le premier joueur, II son adversaire. Soit M un des couplages maximum saturant u. I joue en mettant les sommets qu'il visite à 0 et en suivant les arêtes de M. Si II ramène I sur un sommet déjà visité, comme ce graphe est biparti il s'agit d'un sommet visité par I donc avec 0 jeton.
83 Détails de la preuve : I le premier joueur, II son adversaire. Soit M un des couplages maximum saturant u. I joue en mettant les sommets qu'il visite à 0 et en suivant les arêtes de M. Si II ramène I sur un sommet déjà visité, comme ce graphe est biparti il s'agit d'un sommet visité par I donc avec 0 jeton. II a perdu. On suppose donc qu'il ne ramène jamais I sur un sommet déjà visité.
84 Détails de la preuve : I le premier joueur, II son adversaire. Au cours d'une partie, les sommets sur lesquels se trouve I sont toujours couverts par M. Sinon on aurait : e, f,...e n, f n une succession d'arêtes jouées par les joueurs, avec e i M et f i / M distincts. En les échangeant, on obtiendrait un couplage max qui ne couvrirait pas u. I peut toujours se déplacer le long des arêtes du couplage. u f f2 e e2 e3 f3
85 Détails de la preuve : I le premier joueur, II son adversaire. Au cours d'une partie, les sommets sur lesquels se trouve I sont toujours couverts par M. Sinon on aurait : e, f,...e n, f n une succession d'arêtes jouées par les joueurs, avec e i M et f i / M distincts. En les échangeant, on obtiendrait un couplage max qui ne couvrirait pas u. I peut toujours se déplacer le long des arêtes du couplage. u f f2 e e2 e3 f3
86 Détails de la preuve : I le premier joueur, II son adversaire. Comme la partie ne dure pas éternellement, II va devoir déplacer I vers un sommet déja visité. C'est forcément un sommet visité par I car le graphe est biparti. Comme I a déjà mis le poid de ce sommet à 0, il a gagné. Réciproquement, s'il existe M maximum qui ne couvre pas u, alors M couvre tous les voisins de u. Donc en se déplaçant vers un des sommets voisins, I donne un couplage max à II qui l'utilise pour gagner (chaine augmentante).
87 Complexité de NimG-DR Complexité de NimG-DR : NimG-DR +B/+NB est PSPACE-dur en normale (K.Burke O.George 20) : utilise aussi des cycles impaires. Complexité inconnue sur les bipartis. NimG-DR +B/+NB est PSPACE-dur en misère : G G
88 Merci de votre attention.
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QUI VEUT JOUER AVEC MOI? Michel Rigo (Université de Liège) http://www.discmath.ulg.ac.be/ JOUER SÉRIEUSEMENT, POURQUOI? Jeux coopératifs : marché boursier, économie, émergence de réseaux sociaux,... Mise
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