Colorations identiantes de graphes

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1 Institut Supérieur d'informatique, de Modélisation et de leurs Applications Campus des Cézeaux avenue des Landais BP 05 7 AUBIERE Cedex Laboratoire d'analyse et d'architecture des Systèmes 7 avenue du Colonel Roche BP Toulouse cedex Rapport d'ingénieur Stage de ème année Filière Calcul et Modélisation scientiques Colorations identiantes de graphes Présenté par : Pierre COUPECHOUX Responsable LAAS : Julien MONCEL Responsable ISIMA : Philippe MAHEY septembre 0 Stage de 5 mois

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3 Remerciements Je tiens tout d'abord à remercier Julien Moncel, mon tuteur de stage, pour avoir mis à ma disposition plusieurs livres, et pour les conseils qu'il m'a donnés, tout au long de mon stage. Je remercie aussi Christian Artigues, chef de l'équipe ROC, pour son implication dans la validation de la thèse à venir à la suite du stage. Je remercie plus généralement l'ensemble de l'équipe ROC, pour l'accueil sympathique que j'ai reçu au sein du LAAS, et pour le challenge proposé pendant la journée d'équipe. i

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5 Résumé Les colorations identiantes sont un sujet assez récent en théorie des graphes. Le but de ce stage de recherche était d'obtenir une bibliographie aussi large que possible, et d'explorer ce domaine de la théorie des graphes en étudiant des questions de la littérature. J'ai pu travailler ce sujet avec une session sur le réseau informatique du LAAS, sous une version d'ubuntu. J'ai eu l'occasion de créer plusieurs programmes en C/C++, ainsi que des scripts bash. Mes travaux m'ont permis d'améliorer un résultat et répondre à une question de Parreau. J'ai également commencé à explorer deux nouvealles questions liées aux colorations identiantes. Mots-clés : coloration identiante, théorie des graphes, C/C++, bash Abstract Identifying coloring of graphs is a fairly recent topic in graph theory. The purpose of this internship was to get a wide bibliography and explore this part of graph theory. I worked with a computer session of the LAAS network, using Ubuntu. I created some C/C++ programs, and bash scripts. My work allowed me to improve a result and answer a question of Parreau. I also addressed two new questions on identifying colorations. Keywords : identifying coloring, graph theory, C/C++, bash iii

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7 Table des matières Introduction Contexte et sujet du stage. Présentation du laboratoire Le CNRS Le LAAS L'équipe ROC Origine du sujet de stage Domination Identication Lien vers les colorations identiantes Colorations identiantes de graphes Principaux résultats sur les colorations globalement et localement identiantes Diérents types de coloration Travail réalisé Cycles universels 7. Séquences de de Bruijn Dénition Cas particulier pour les cycles universels d'ordre Résultats Construction des cycles universels Relation d'équivalence Types Graphe associé aux types Cycles universels avec répétition Nouvelles questions ouvertes 5. Suppression d'un sommet Conjecture Arbres innis Treillis des couleurs Nouveaux problèmes Problème de modication des couleurs Problème du sous-graphe identié Heuristique Retour à un cadre général v

8 .. L'identication Continuité du stage Conclusion 7 Bibliographie 8 A Résumé des résultats de la littérature I A. [AGS] I A. [HM] I A. [WW08] II A. [BKT] III A.5 [PW] III A. [TCSW] V B Codes et scripts VII vi

9 Table des gures Les 0 instituts du CNRS Le LAAS Exemple de dominant d'un graphe. Le dominant est constitué des sommets rouges ; tout sommet est soit rouge soit voisin d'au moins un sommet rouge... 5 Exemple de code identiant. Les sommets du code sont coloriés en noir Exemples de graphes tels que χ id (G) = V Exemple de graphe tel que χ id (G) = log ( V + ) Exemple de coloration localement identiante d'une grille avec couleurs Graphe extrémal pour la coloration localement identiante Exemple d'une coloration localement identiante avec couleurs d'un graphe biparti Colorations optimums pour quelques graphes cycliques. Celles-ci respectent le motif donné par l'expression régulière fournie par Parreau Capture d'écran du programme graphique réalisé Graphe de de Bruijn B(, ) Une suite de de Bruijn obtenue par un circuit hamiltonien du graphe de la Figure Un cycle universel d'ordre sur l'alphabet [, 8]. Chaque sous-ensemble à trois éléments distincts de [, 8] apparaît exactement une fois comme suite de sommets successifs Exemple d'amélioration des cycles universels pour les colorations globalement identiantes Exemples d'ensembles équivalents pour L = 8 couleurs Liste des ensembles à éléments de [0, L ] et leur type associé. Pour plus de clarté, les ensembles {i, j, k} (i j k) sont représentés ijk. Les types sont indiqués en gras Graphe orienté des types pour L = Exemple de cycle universel avec répétition qui n'est pas une coloration globalement identiante. Un doublon a été mis en évidence, mais il en existe d'autres.. 0 Graphes obtenus après le choix des types Cycle obtenu pour L = 8 en appliquant 8 fois la somme des sommets du circuit eulérien C Construction d'un cycle contenant tous les ensembles représentés par les types du graphe pour L = Insertion de nouveaux ensembles dans le cas L impair vii

10 Cycle obtenu dans la deuxième partie pour L = 8 couleurs. Si l'on retire l'un des sommets verts, la coloration reste une coloration globalement identiante. Si l'on retire un sommet noir, alors on obtient un doublon Un graphe G muni d'une coloration globalement identiante. Les valeurs inscrites dans les sommets sont celles de la coloration, et les valeurs inscrites à côté sont les noms des sommets Valeurs de la fonction f sur le graphe de la Figure Arbre construit à partir de la fonction f de l'exemple de la Figure 5, en choisissant une racine étiquetée par a Treillis associé à l'exemple de la Figure 5. Les ensembles de couleurs du voisinage de chaque sommet sont indiqués à côté de chaque sommet, sous forme de mot Treillis associé à l'exemple de la Figure 5, coloré. Les ensembles de couleurs du voisinage de chaque sommet sont indiqués à côté de chaque sommet, sous forme de mot. Les sommets blancs sont les sommets que l'on peut retirer dans le graphe d'origine sans créer de collisions. Les sommets rouges sont ceux que l'on ne peut pas retirer sans créer de collision Un graphe G muni d'une coloration quelconque, qui n'est pas globalement identiante. Il y a deux collisions, entre les sommets dont les ensembles de couleurs sont écrits en rouge Modication d'une couleur par rapport au graphe de la Figure 0 pour essayer de faire disparaître une collision Solution optimale du problème de modication des couleurs, par rapport au graphe initial de la Figure Solution optimale du problème du sous-graphe identié, par rapport au graphe initial de la Figure

11 Introduction Le thème de recherche sur lequel j'ai travaillé au LAAS est la coloration identiante de graphes. Le principe est de donner une couleur à chacun des sommets d'un graphe, pour que chaque sommet voie un ensemble de couleurs unique. Le document sur lequel je me suis le plus basé est le mémoire de thèse d'aline Parreau, daté de juillet 0. Le sujet est assez récent, mais on trouve tout de même plusieurs articles sur le sujet. Dans un premier temps, je me suis familiarisé avec les notions en jeu, et j'ai pris connaissance des divers résultats actuels. À l'aide d'un papier et d'un crayon, j'ai pu me rendre compte quelles étaient les dicultés, et où se situaient les problèmes. Dans un second temps, j'ai créé un programme qui me permettait de faire beaucoup plus rapidement ce que je faisais à la main, et de manière plus dynamique. Ceci m'a permis de partiellement répondre à une question ouverte de la thèse d'aline Parreau, en utilisant des cycles universels. J'ai aussi pu, en constatant divers phénomènes, énoncer une conjecture et poser deux nouveaux problèmes. Dans ce rapport, je commencerai par situer les colorations identiantes dans la théorie des graphes. Je présenterai ensuite les améliorations que j'ai apportées aux cycles universels dans le cadre des coloration identiantes, en expliquant d'où viennent ces améliorations. Enn, j'exposerai une conjecture et deux problèmes, ainsi que diérentes pistes que j'ai suivies pour les aborder.

12 Contexte et sujet du stage. Présentation du laboratoire.. Le CNRS Source : Site du CNRS [CNR] Le Centre National de la Recherche Scientique (CNRS) est un organisme public de recherche (Etablissement public à caractère scientique et technologique, placé sous la tutelle du Ministère de l'éducation nationale, de l'enseignement supérieur et de la Recherche). Il produit du savoir et met ce savoir au service de la société. Sa gouvernance est assurée par Alain Fuchs, président du CNRS, assisté de deux directeurs généraux délégués, Philippe Baptiste à la science et Xavier Inglebert aux ressources. Avec près de 000 personnes (dont 955 statutaires - 0 chercheurs et 75 ingénieurs, techniciens et administratifs), un budget pour 0 de, milliards d'euros dont 89 millions d'euros de ressources propres, une implantation sur l'ensemble du territoire national, le CNRS exerce son activité dans tous les champs de la connaissance, en s'appuyant sur plus de 00 unités de recherche et de service. Figure Les 0 instituts du CNRS. Des chercheurs éminents ont travaillé, à un moment ou à un autre de leur carrière, dans des laboratoires du CNRS [LAU]. Avec 9 lauréats du prix Nobel et de la Médaille Fields,

13 Figure Le LAAS. le CNRS a une longue tradition d'excellence. Le CNRS a été créé en 99, en cherchant à regrouper tous les organismes d'état, non spécialisés, de recherche fondamentale ou appliquée, et de coordonner les recherches à l'échelon national. Les premières années sont orientées vers les recherches appliquées (militaires jusqu'à l'armistice, économiques jusqu'en 9). Après 95, l'organisme s'oriente nettement vers la recherche fondamentale. Aujourd'hui, le CNRS mène des recherches dans l'ensemble des domaines scientiques, technologiques et sociétaux, regroupés au sein de 0 instituts (voir Figure )... Le LAAS Le Laboratoire d'analyse et d'architecture des Systèmes (LAAS), situé à Toulouse, est rattaché à l'institut des Sciences de l'ingénierie et des Systèmes (INSIS) et à l'institut des Sciences de l'information et de leurs Interactions (INSI). Le LAAS mène des recherches dans 8 domaines scientiques : Informatique critique ; Réseaux et communications ; Robotique ;

14 Décision et optimisation ; Hyperfréquences et optique : de l'électromagnétisme aux systèmes ; Nano ingénierie et intégration ; Micro nano bio technologies ; Gestion de l'énergie. Ces domaines sont recouverts par équipes de recherche, pour un total de personnes (hors stagiaires). En 0, ces personnes sont à l'origine de 0 publications... L'équipe ROC Les travaux de l'équipe Recherche Opérationnelle, Optimisation Combinatoire et Contraintes (ROC) se situent dans des branches de la recherche opérationnelle et de l'intelligence articielle ; ils correspondent donc parfaitement au master recherche MAD de l'isima. L'équipe ROC est constituée de membres permanents, doctorants (pour l'année 0/0), 7 stagiaires (pendant l'été 0), et une doctorante invitée. Parmi les problèmes qu'elle traite, on trouve : Des problèmes de satisfaction de contraintes (CSP, pour Constraint Satisfaction Problem) [HOO0] [LETH] ; Des problèmes d'ordonnancement (scheduling en anglais) [KALM] [OBB] ; Des problèmes de programmation en nombres entiers (MILP pour Mixed Integer Linear Programming) [JLS] [KALM] ; Des problèmes d'allocation de ressources [HAC] [KAHM] ; Des problèmes de tournée de véhicules [GAFJ0] [NPC] ; Des problèmes d'optimisation combinatoire sur les graphes [BMP] [GKM + ] ;. Origine du sujet de stage.. Domination En théorie des graphes, le problème de domination est très classique, et a été très étudié [AL78][HHS98] (le premier étant l'un des plus anciens articles à ce sujet, et le second une célèbre monographie). Un dominant d'un graphe (ou ensemble dominant, ou code couvrant) est un ensemble de sommets D tel que chaque sommet qui n'est pas dans D possède au moins un voisin qui est dans D. Le problème de domination consiste à trouver un dominant de taille minimum (l'ensemble de tous les sommets du graphe étant un dominant trivial). La Figure montre un exemple de dominant d'un graphe.

15 Le problème suivant a été montré NP-complet [GJ79] : DOMINATION_DEC : Instance : Un graphe G, un entier k Question : Existe-t-il un dominant D de G tel que D k? Figure Exemple de dominant d'un graphe. Le dominant est constitué des sommets rouges ; tout sommet est soit rouge soit voisin d'au moins un sommet rouge. L'ensemble des voisins d'un sommet u, appelé voisinage ouvert, est noté N(u) (il faut cependant bien voir que cette notation dépend du graphe duquel u est issu). Le voisinage fermé d'un sommet u, noté N[u], est le voisinage ouvert du sommet, auquel on ajoute le sommet u. Avec ces termes, on peut redénir un dominant D d'un graphe G = (V, E) comme étant un sous-sensemble des sommets du graphe tel que : u V, N[u] V. Dans les applications, les applications de ce problème sont nombreuses. On peut par exemple imaginer la surveillance d'un musée par des caméras, le but étant de surveiller la totalité du musée, avec un nombre minimal de caméras. On peut modéliser ce problème de façon très simple : les sommets du graphe sont les pièces du musée, et deux sommets sont voisins si une caméra posée dans l'une des deux pièces peut voir la seconde. Trouver une répartition optimale des caméras correspond exactement à trouver un ensemble dominant du graphe, de cardinalité minimum. Puisque DOMINATION_DEC est NP-complet, et donc NP-dicile, les autres problèmes de la classe NP peuvent se réduire à un problème de domination... Identication La domination n'est cependant pas toujours une propriété susante. Par exemple, si on veut surveiller d'éventuelles pannes dans un réseau, modélisé par un graphe, il est intéressant, non seulement d'avoir une vue sur tout le graphe (propriété de domination), mais aussi de pouvoir localiser la panne. C'est de ce constat qu'ont été créé les codes identiants, en 998 [KCL98]. Dans ce contexte, un code désigne un sous-ensemble des sommets du graphe ; d'où l'appellation code couvrant pour parler d'un ensemble dominant. Avant de dénir ce qu'est un code identiant, il faut dénir la notion de séparation : Dénition (Sommet séparant). Un sommet x sépare deux sommets u et v s'il est dans la diérence symétrique de leur voisinage fermé : x N[u] N[v]. Dénition (Code séparant). Un code C est dit séparant si toutes les paires de sommets du graphe sont séparées par au moins un sommet de C. 5

16 Finalement, on peut dénir simplement un code identiant : Dénition (Code identiant). Un code identiant est un code couvrant et un code séparant. Un code identiant correspond au cas concret d'un réseau multiprocesseurs dans lequel on voudrait détecter et identier les processeurs défectueux. Cela reviendrait à choisir des processeurs (le code, en terme graphes), qui renverraient un signal pour dire que tous les processeurs autour d'eux ainsi qu'eux-mêmes sont fonctionnels. Si tous les processeurs du code renvoient bien un signal, cela veut dire qu'il n'y a aucune panne (propriété de domination, tous les processeurs sont surveillés). Si au moins un des processeurs du code indique qu'il y a une panne, alors on peut identier quel est le processeur défectueux (propriété de séparation). La gure donne un exemple de code identiant. Le tableau indique, pour chaque sommet, quels sont les éléments du code dans son voisinage ; on constate bien que toutes les lignes sont diérentes. v v v C v v V v v v - v - v - - v - - v 5 v v v 5 v Figure Exemple de code identiant. Les sommets du code sont coloriés en noir. Depuis leur création, les codes ont été très étudiés (on peut par exemple citer la thèse de Julien Moncel [Mon05]). Des articles présentent diverses applications, comme c'est le cas de [RSTU0] et de [SRP + 0]... Lien vers les colorations identiantes C'est sur cette notion de code identiant qu'est basée celle de coloration identiante. Elle a été proposée en 009 par Eric Duchêne et Julien Moncel lors de la semaine discrète de l'institut Fourier. L'idée est toujours de pouvoir identier les sommets de manière unique, non pas grâce à un sous-ensemble de sommets comme dans le cas des codes, mais avec un ensemble de couleurs, que l'on obtient en coloriant les sommets du graphe. Cette coloration particulière, qui sera dénie plus loin, est nommée coloration globalement identiante.

17 Il existe aussi des notions plus anciennes de colorations identiantes, qui colorient les arêtes et non pas les sommets [RS08]. Dans la partie., je donnerai des exemples de diérentes colorations identiantes possibles. Les résultats obtenus pour ces colorations sont donnés dans l'annexe A.. Colorations identiantes de graphes Dans sa thèse [Par], Aline Parreau a étudié deux types de colorations identiantes. Toutes les deux reposent sur une coloration des sommets. Dénition (Coloration de sommets). Une coloration c des sommets d'un graphe G = (V, E) est une fonction de V dans N. La valeur c(v) pour un sommet v du graphe est alors appelée la couleur de v. Si A est un ensemble de sommets, on note alors c(a) = v Ac(v). En général, par souci de clarté, on choisit c de telle sorte que c(v ) = [, n] ou c(v ) = [0, n ]. Le problème certainement le plus célèbre lié aux colorations de sommets consiste à trouver une coloration propre (le théorème des couleurs [co] dans le cas des graphes planaires). C'est pour cette raison qu'on trouve parfois dans la littérature l'emploi abusif du terme coloration pour désigner une coloration propre. Dénition 5 (Coloration propre). Une coloration propre est une coloration d'un graphe G = (V, E) telle que deux sommets voisins n'aient pas la même couleur. An de faciliter les dénitions à venir, je vais introduire quelques notations. Pour v un sommet d'un graphe, on note N(v) son voisinage ouvert, c'est à dire l'ensemble de tout ses voisins, et N[v] son voisinage fermé, auquel on ajoute le sommet v (N[v] = N(v) {v}). Dénition (Coloration globalement identiante). Une coloration globalement identiante est une coloration c d'un graphe G = (V, E) telle que : u, v V, u v c(n[u]) c(n[v]) Dénition 7 (Coloration localement identiante). Une coloration localement identiante est une coloration propre telle que : (u, v) E, c(n[u]) c(n[v]) 7

18 C'est sur ces deux premières colorations qu'a travaillé Aline Parreau dans sa thèse, et sur lesquelles j'ai moi-même travaillé. Dans les cas, on cherche à utiliser un nombre de couleurs minimum. Le nombre chromatique χ(g) d'un graphe G est le nombre minimum de couleurs d'une coloration propre de G. La déclinaison de ce nombre dans le cas de la coloration globalement identiante (resp. coloration localement identiante) est notée χ id (G) (resp. χ lid (G)). Si on peut obtenir d'un graphe une coloration globalement identiante (resp. localement) avec k couleurs, on dira que le graphe est k-id-coloriable (resp. k-lid-coloriable). La coloration en question sera une k-id-coloration (resp. k-lid-coloration)... Principaux résultats sur les colorations globalement et localement identiantes Avant même de pouvoir parler du nombre minimal de couleurs pour avoir une coloration globalement ou localement identiante, il faut être sûr que celle-ci existe. Or, ce n'est pas toujours le cas. Dénition 8 (Sommets jumeaux). Deux sommets u et v d'un graphe sont dits jumeaux si N[u] = N[v]. Il est clair qu'en présence de tels sommets, on ne pourra pas avoir de coloration globalement ou localement identiante, car quel que soit c, on aura c(n[u]) = c(n[v]). Pour résoudre ce problème, on peut modier la dénition des colorations (il faut seulement séparer les sommets non jumeaux), ou travailler avec des graphes sans jumeaux. On connaît des bornes serrées sur χ id, en fonction du nombre de sommets du graphe. Théorème (Parreau). Soit G un graphe connexe sans jumeaux. Alors log ( V + ) χ id (G) V En eet, avec k couleurs, on peut identier au plus k sommets diérents (un sommet possède au moins une couleur dans son voisinage, la sienne), d'où la première inégalité. En donnant une couleur diérente à chaque sommet, on obtient une coloration globalement identiante, d'où la seconde inégalité. On sait caractériser les graphes qui vérient χ id (G) = V. Il va d'abord falloir dénir plusieurs notations : Dénition 9 (Joint de deux graphes). Soit G = (V, E ) et G = (V, E ) deux graphes. Le joint de G et G, noté G G, est le graphe ayant pour sommets l'ensemble V V et pour arêtes l'ensemble E E {(u, v) : u V, v V }. 8

19 Dénition 0 (Puissance d'un graphe). Soit G = (V, E) un graphe et k un entier. La puissance k-ème du graphe G, notée G k, est le graphe ayant pour sommets l'ensemble V, et tel que deux sommets u et v sont adjacents si et seulement si la distance de u à v dans le graphe G est inférieure ou égale à k. Le chemin consistué de k sommets est noté P k. Le graphe complet (tout sommet est voisin de tous les autres) constitué de k sommets est noté K k. Le complémentaire d'un graphe G, noté G, est le graphe dont les sommets sont ceux de G et où (u, v) est une arête si et seulement si (u, v) n'est pas une arête de G. Un couplage d'un graphe est un ensemble d'arêtes qui n'ont aucun sommet en commun. Un couplage maximum d'un graphe est un couplage contenant le plus grand nombre d'arêtes possible. Théorème (Parreau). Il y a équivalence entre les deux propriétés :. χ id (G) = V. G est un graphe complet privé d'un couplage maximum, ou G est de la forme G = K G... G l, avec G i = K ou G i = P k k i [, l]. La Figure 5 montre deux exemples de tels graphes. On peut en eet montrer que tous les sommets doivent être coloriés avec des couleurs diérentes pour obtenir une coloration globalement identiante. Supposons que l'on ait une k-id-coloration du premier graphe, avec k < 5. Alors il existe au moins deux sommets qui ont la même couleur. Notons les u et v. Au moins l'un des deux n'est pas voisin de tous les sommets du graphe (sinon, le couplage ne serait pas maximum). Considérons par exemple que u n'est pas voisin de tous les autres sommets. Il existe donc un unique u tel que (u, u ) n'est pas une arête du graphe. u et u sont voisins avec tous les autres sommets, et N[u] N[u ]. Si u = v, alors notons V = V \ {u, u }. c(n[u]) = c(v ) {c(u)}, et c(n[u ]) = c(v ) {c(u )} ; donc c(n[u]) = c(n[u ]) (car u et v ont la même couleur), ce qui est absurde. Si u = v, alors appelons v le sommet qui n'est pas relié à v s'il existe, ou posons v = v si v est voisin de tous les autres sommets. Dans les deux cas, c(n[v ]) = c(v ) et N[v ] N[u ]. De plus u est relié à tous les sommets sauf u, qui est de la même couleur que v. Donc c(n[u ]) = c(v ), ce qui est absurde. On peut construire des graphes qui au contraire possèdent une coloration globalement identiante avec très peu de couleurs. C'est le cas du graphe de la Figure. Les couleurs sont notées à l'intérieur des sommets, et pour chaque sommet u gure c(n[u]), sous forme d'un mot pour plus de lisibilité. On trouve beaucoup plus de résultats concernant les colorations localement identiantes que les colorations globalement identiantes. Ceci s'explique par le fait que la version locale permet, lorsque l'on travaille sur un sommet u en particulier, de ne regarder que les sommets 9

20 K 5 privé d'un couplage maximum K K P Figure 5 Exemples de graphes tels que χ id (G) = V. Figure Exemple de graphe tel que χ id (G) = log ( V + ). qui sont susamment proches de u. C'est d'ailleurs sur cette idée qui sont basés le lemme et la propriété suivante : Lemme (Parreau). Si G est un graphe connexe tel que χ lid (G), alors G a au plus sommets. Démonstration. Supposons que G a au moins sommets, et que c est une coloration localement identiante de G. Si G contient un triangle, alors il faut au moins couleurs pour le colorier (coloration propre). Sinon, considérons u et v deux voisins, qui sont de couleurs diérentes. Si la coloration n'était composée que de couleurs, alors on aurait nécessairement c(n[u]) = c(n[v]). Mais, le graphe étant connexe et sans triangle, N[u] N[v]. Il faut donc au moins couleurs pour obtenir une coloration localement identiante de G. Théorème (Parreau). Il existe une innité de graphes G tels que χ lid (G). 0

21 Démonstration. On peut par exemple considérer des grilles de taille quelconque, que l'on peut colorier comme sur la gure 7, avec seulement couleurs. On peut de plus préciser que d'après le Lemme, ces colorations sont optimum. Figure 7 Exemple de coloration localement identiante d'une grille avec couleurs. En revanche, on peut, comme dans le cas des colorations globalement identiantes, trouver des graphes qui nécessitent autant de couleurs qu'ils ont de sommets. Considérons un graphe complet, auquel on rajoute un sommet pendant à chaque sommet, sauf un, qu'on notera u. Tous les sommets de la clique issue du graphe complet ont des couleurs diérentes (coloration propre). De plus, pour séparer u des autres sommets de la clique, il faut que les sommets pendants de ceux-ci aient une couleur diérente des couleurs de la clique. Enn, si on considère v et v deux sommets de la clique, diérents de u, alors leurs sommets pendants ne peuvent pas avoir la même couleur (séparation de v et v ). v u v Figure 8 Graphe extrémal pour la coloration localement identiante Cependant, on ne sait pas caractériser les graphes G tels que χ lid (G) = V (G). Parreau a montré le théorème suivant pour les graphes -lid-coloriables : Théorème. Un graphe -lid-coloriable est soit un triangle, soit un graphe biparti.

22 Parreeau a aussi montré les deux théorèmes suivants pour les graphes bipartis : Théorème 5 (Parreau). Les graphes bipartis sont tous -lid-coloriables. Théorème (Parreau). Si un graphe biparti G = (U V, E) est -lid-coloriable et u U est tel que c(n[u]) = {,, }, alors : c(u) = c(u) c(v ) = {,, } \ {c(u)} u U, c(n[u ]) = {,, } La Figure 9 montre un exemple d'une coloration d'un graphe biparti -lid-coloriable vériant les hypothèses du Théorème. Figure 9 Exemple d'une coloration localement identiante avec couleurs d'un graphe biparti Les cycles présentent un comportement particulier face aux colorations localement identiantes. C 5 et C 7 sont les seuls à ne pas être -coloriables. En eet, on peut vérier la propriété suivante : χ lid (C 5 ) = χ lid (C 7 ) = 5 χ lid (C k ) =, si n 0[], n χ lid (C k ) =, si n 0[], n 5, n 7 Parreau donne de plus des colorations identiantes optimums des graphes C k, pour k. Celles-ci sont créées à partir de l'expression régulière : [][]() Une motif entre crochets, [M], signie que l'on peut prendre le motif M ou ne pas le prendre. (M) signie que le motif M peut-être répété autant de fois que l'on veut, ou ne pas l'utiliser... Diérents types de coloration Comme je l'ai précisé plus tôt, il existe plusieurs sortes de colorations, et a fortiori, plusieurs sortes de colorations identiantes. Pour l'instant, je n'ai parlé que de coloration de sommet. On peut aussi colorier les arêtes, ou les sommets et les arêtes.

23 C 5 5 C C 7 5 C 8 C 9 C 0 Figure 0 Colorations optimums pour quelques graphes cycliques. Celles-ci respectent le motif donné par l'expression régulière fournie par Parreau. Dénition (Coloration d'arêtes). Une coloration d'arêtes d'un graphe G = (V, E) est une fonction de E dans N. Dénition (Coloration totale). Une coloration totale est une union d'une coloration d'arêtes et d'une coloration de sommets d'un même graphe. Il est possible de dénir de nouvelles colorations identiantes à partir de ces dénitions. Dénition (Coloration localement identiante relaxée). c est une coloration localement identiante relaxée d'un graphe G = (V, E) si : c est une coloration de sommets, et (u, v) E, N[u] N[v] c(n[u]) c(n[v]) Le nombre minimum de couleurs d'une coloration localement identiante relaxée d'un graphe G est noté χ rlid (G). Les résultats portant sur cette coloration présents dans l'annexe A proviennent de [AGS].

24 Lorsque l'on rajoute la condition de coloration propre, on retrouve la dénition de la coloration localement identiante. Dénition (Coloration d'arêtes globalement identiante). c est une coloration d'arête globalement identiante si : e, e E, e et e sont adjacentes c(e ) c(e ) et u, v V, F (u) F (v), où F (u) est l'ensemble des couleurs des arêtes incidentes à u. Le nombre minimum de couleurs d'une coloration d'arêtes globalement identiante d'un graphe G est noté χ s(g). De même que pour la version de coloration des sommets, on peut dénir une version locale : Dénition 5 (Coloration d'arêtes localement identiante). c est une coloration d'arêtes localement identiantes si : e, e E, e et e sont adjacentes c(e ) c(e ) et (u, v) E, F (u) F (v), où F (u) est l'ensemble des couleurs des arêtes incidentes à u. Le nombre minimum de couleurs d'une coloration d'arêtes globalement identiante d'un graphe G est noté χ α(g). La version globale est étudiée dans [BKT], et la version locale dans [TCSW], [BKT], [HM] et [WW08]. On retrouve le même genre de coloration identiante pour les coloration totales, étudiée dans [TCSW], [BKT] et [WW08], dont les résultats sont listés dans l'annexe [?]. Enn, la dernière coloration que je présenterai ici est la coloration totale localement identi- ante par somme. On dénit pour cela, étant donné une coloration totale c, la fonction f c qui à un sommet v V associe la somme des couleurs des arêtes incidentes à v et de la couleur de v. Dénition (Coloration totale localement identiante par somme). c est une coloration totale localement identiante par somme si : c est une coloration totale propre et (u, v) E, f c (u) f c (v) Cette coloration a été étudiée dans [PW], dont les résultats sont aussi présentés dans l'annexe A.

25 .. Travail réalisé Pendant mon stage, mon document de référence était la thèse d'aline Parreau [Par], dont le dernier chapitre portait sur les colorations identiantes. J'ai pu me familiariser avec les diérentes notions mises en jeu, à travers les exemples et les preuves exposés. Une fois que cela a été fait, je me suis interessé à des questions qui étaient restées ouvertes. La deuxième partie de ce rapport traitera l'une d'elles, qui porte sur les cycles universels [Jac9], cousins des séquences de de Bruijn [db]. Figure Capture d'écran du programme graphique réalisé. J'ai disposé pendant mon stage d'un compte informatique LAAS, et d'un ordinateur sous Ubuntu.0 LTS. Cela m'a permis, entre autre, de créer diérents programmes/scripts pour m'assister dans mes recherches. J'ai ainsi développé un programme graphique (avec Xlib) me permettant de manipuler des graphes : ajouter ou retirer des sommets, ajouter ou retirer des 5

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