Cours de Résistance des Matériaux (RDM) PARTIE 3 : TRACTION / COMPRESSION / TORSION

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1 olides déformables Cours de ésistance des Matériau (DM) PATE 3 : TACTON / COMPEON / TOON Contenu 1 OLLCTATON DE TACTON COMPEON EXEMPLE TOEU DE COHEON EN TACTON ET COMPEON PUE CONTANTE NOMALE AU EN D UNE ECTON DOTE DEFOMATON DE LA POUTE : ALLONEMENT DMENONNEMENT D UNE POUTE EN TACTON COMPEON EXEMPLE MPLE TOON PUE (POUTE CYLNDQUE OU TUBULAE) EXEMPLE TOEU DE COHEON EN TOON PUE DEFOMATON EN TOON CONTANTE EN TOON LO DE COMPOTEMENT EN TOON DMENONNEMENT D UNE POUTE EN TOON CONCENTATON DE CONTANTE CLAQUE EN TOON EXEMPLE MPLE DE CALCUL EN TOON EXTAT DU UJET CENTALE UPELEC 2013 : ACENEU DE LA TOU EFFEL.. 8 JC OLN (crédits B. Havette) 1 Lycée Eiffel Dijon

2 1 OLLCTATON DE TACTON COMPEON 1.1 Eemples Les sollicitations en traction ou compression sont fréquentes dans les poutres, on prendra comme eemple : Mécanique : câble de levage Enrouleur / dérouleur (Etrait Centrale ) Bielle de moteur Centre Pompidou (arch.. Piano et. ogers, ing. P. ice ) «les éléments tendus sont plus élancés que les éléments comprimés» Equilibrage des poussées par tirant (Maison Jaoul Le Corbusier) Pont suspendu : Pylône béton en compression, Câble acier verticau en traction 1.2 Torseur de cohésion en traction ou compression pure Arc en chaînette inversée (compression pure) Une poutre droite est soumise à une sollicitation de traction ou compression si dans un tronçon de cette poutre le torseur de cohésion se résume à : F y F T coh ( ) N BaseLocale N > 0 sollicitation de traction pure N < 0 sollicitation de compression pure 1.3 Contrainte normale au sein d une section droite Pour la traction ou compression pure, la contrainte normale au sein de chaque section a une répartition uniforme. M T, M n. (, ) n 0 : traction avec 0 : compression A La contrainte normale est N ( section de la poutre) JC OLN (crédits B. Havette) 2 Lycée Eiffel Dijon

3 1. Déformation de la poutre : allongement Tout au long de la poutre, et P ( poutre ), cste. D après la loi de Hooke d d N E. d où cste. Or u(), on en déduit : 0 N u( ) u E. i la poutre est encastrée en = 0, u 0 =0. Pour une section constante et une longueur totale L soumise à un effort normal (N) égal à F. Le déplacement à son etrémité (ΔL) donne F. L L E. 1.5 Dimensionnement d une poutre en traction compression L objectif recherché est d avoir une contrainte normale maimale au sein de la poutre ( ma ) inférieure à la résistance pratique à l etension (pe) ma Pe La résistance pratique à l etension (pe) est inférieure à la limite élastique (e) du matériau constituant la poutre. Elle dépend du coefficient de sécurité (s) choisi pour le dimensionnement. Pe e s 1.6 Eemples simples Barre en traction Pour éviter le flambage de poteau, on met en place des tirants constitués de barres d acier de 10 mm de diamètre. L effort de traction est de N. Quelle est la contrainte normale dans la barre? Quelle est l allongement de la barre sur 5 mètres si E = N/mm² (210 Pa)? Poteau béton en compression ection La charge maimale rapportée d un bâtiment sur un poteau en béton est de 5.10 N. Le poteau est de section circulaire. La contrainte maimale admissible en compression du béton est de 7 N/mm², son module de Young vaut E = 1000 N/mm² (1Pa). Déterminer le diamètre D du poteau en mm avec un coefficient de sécurité s = 5. Déterminer sa déformation si le poteau a une longueur L = m. Contrainte 1N/mm² = 1 MPa Allongement e N 7 ma ma 1, N / mm² 1, ma s 5 N ma ,32.10 mm² 0,32m² 1, 1,.D² > 0,32m² donne D > 0,63m N ma. L l 0, mm 6 E ,32.10 JC OLN (crédits B. Havette) 3 Lycée Eiffel Dijon

4 2 TOON PUE (POUTE CYLNDQUE OU TUBULAE) eules les poutres de section circulaire pleine ou creuse sont traitées, car elles respectent les conditions de Navier Bernoulli, à savoir que les sections droites restent planes (pas de gauchissement). 2.1 Eemples errage de vis Barre de torsion (suspension auto) Arbre de transmission, ici de camion 2.2 Torseur de cohésion en torsion pure Une poutre est sollicitée en torsion simple si, en un point quelconque de la ligne moyenne, le torseur de cohésion est représentable par un couple Mt porté par la tangente à la ligne moyenne d ae. Mise en situation : Une poutre de section circulaire est encastrée à son etrémité gauche suivant la section droite ( A ) de centre A. On applique à l'etrémité droite de la poutre, sur toute la section ( B ) de centre B, une action mécanique modélisable par un torseur couple. Torseur de cohésion en torsion pure : y 0 T coh Mt 0 0 BaseLocale A L C. 0 B 0 CONTATATON L application du couple de torsion permet de visualiser une déformation correspondant : - A une rotation entre les 2 sections etrêmes de la poutre d un angle α de torsion, - A la déformation de la génératrice P 0 P 1 d un angle de cisaillement. α angle de torsion, angle de cisaillement A P 0 P P 1 La génératrice P 0 P 1 (droite avant la déformation) se déforme en P 0 P 1 (hélice après la déformation). a P L P P () P 1 ' B C. 0 B atotp1 P 1 - Toute section plane, normale à la ligne moyenne, reste plane et normale à la ligne moyenne (hypothèse de Navier- Bernoulli vérifiée). - La distance entre deu sections droites données reste inchangée, le diamètre et la longueur de la poutre ne varient pas. - Le déplacement d'une section droite () est uniquement une rotation d'angle α autour de l ae (, ), - les sections droites glissent les unes par rapport au autres et la rotation d une section est proportionnelle à la distance A =. L angle de glissement ou cisaillement est lié à la résistance au cisaillement ou glissement du matériau. L angle de torsion α caractérise la déformation de la poutre dans des situations ou le positionnement est important. JC OLN (crédits B. Havette) Lycée Eiffel Dijon

5 2.3 Déformations en torsion Pour une poutre de révolution, on définit l angle de torsion unitaire le rapport entre l angle de torsion total sur la longueur de la poutre : atot (rad.m L -1 ) Avec - a B l angle de rotation de la section terminale en B ( B ) par rapport à la section initiale ( A ) - L la longueur de la poutre. i la poutre est régulière et les déformations petites, cette définition permet d écrire au point : 2. Contraintes en torsion a. La contrainte en un point P quelconque d une section droite () d une poutre de révolution, sollicitée en torsion, est une contrainte tangentielle (P) portée par une perpendiculaire au rayon de la poutre. On montre que :.. r Le module de la contrainte tangentielle est proportionnel au rayon r du point P considéré. Cette contrainte est maimale lorsque r = r ma = d où :.. ma () (P) P Contrainte tangentielle en un point P quelconque d une section () r (P) () ma Contrainte tangentielle tout le long d un diamètre d une section () 2.5 Loi de comportement en torsion Au même titre que pour une poutre en fleion, pour dimensionner un arbre en torsion on introduit un moment quadratique relatif à la rotation angulaire, le moment quadratique polaire. Le moment quadratique polaire ( ) caractérise la répartition de surface () autour du point en m ou mm. Par définition,, en pratique, on retiendra les deu cas suivants : ( ) r² ds. Poutre de section circulaire pleine Poutre de section tubulaire D d D () D 32 () D d 32 On établit la relation suivante valable sur un tronçon où Mt et sont constants: Mt.. Mt On obtient aussi. Mt : le moment de torsion au centre d une section droite () (en Nm) : le module d élasticité transversale ou de Coulomb (en Pa) : l angle de torsion unitaire (en rad.m -1 ) : le moment quadratique polaire de la section () en (en m ) appel : en fleion la déformée y=f() est telle que E.. y'' Mf ( ) (, z) z JC OLN (crédits B. Havette) 5 Lycée Eiffel Dijon

6 2.6 Dimensionnement d une poutre en torsion Un arbre en torsion est généralement dimensionné pour : - résister à la torsion, - éviter les vibrations trop importantes (phénomène de résonance pour une vitesse de rotation > 1000 tr/min). upture fragile en torsion (angle de 5 ) elations pratiques pour calculer la contrainte Calcul de la contrainte en un point P quelconque d une surface () : Mt. r avec r=p. Calcul de la contrainte maimale : ma Mt avec le rayon etérieur de la section droite () Mt Dimensionnement d une poutre en torsion CONDTON DE ETANCE L objectif recherché est d avoir une contrainte tangentielle maimale au sein de la poutre ( ma ) inférieure à la résistance pratique au glissement ou cisaillement (pg) ma Pg La résistance pratique au glissement ou cisaillement (pg) est inférieure à la limite élastique au glissement ( e ) du matériau constituant la poutre. Elle dépend du coefficient de sécurité (s) choisi pour le dimensionnement. CONDTON DE DTE Une limitation de la déformation d un arbre en torsion peut également être imposée pour limiter les vibrations dans le cas où la fréquence de rotation est élevée et éviter des phénomènes de résonance. On limite alors l angle unitaire de torsion limite 2.7 Concentrations de contrainte classiques en torsion Dans la pratique, pour transmettre un couple il est nécessaire de réaliser sur l arbre des accidents de formes tels que : rainures de clavette, épaulements, cannelures, Pg e s Clavette entre arbre et moyeu Arbre avec alésage pour goupille Changement de diamètre, épaulement, congé Cannelure, montage de joint, circlips Ces accidents de forme générent une augmentation significative de contrainte tangentielle. La contrainte tangentielle maimale théorique doit donc être multipliée par un coefficient K t déterminé par des epérimentations. La nouvelle contrainte maimale se calcule ainsi K ma t. théorique - théorique contrainte calculée au rayon maimal de la poutre. - K t le coefficient de concentration de contraintes Eemple : Cas d une rainure de clavette - ma la contrainte maimale. r/c Kt JC OLN (crédits B. Havette) 6 Lycée Eiffel Dijon

7 2.8 Eemples simples de calculs en torsion Arbre plein et arbre creu On veut dimensionner un arbre de transmission soit plein (diamètre d,), soit creu (diamètre etérieur D, diamètre intérieur d = 0,80D). On utilise le même acier de module d élasticité transversal = N.mm -2. Le couple à transmettre est M t = 200 Nm, la résistance pratique au cisaillement adoptée est pg = 100 N.mm- 2. i on compare les masses des 2 arbres à longueurs égales on obtient un rapport de masse égal au rapport des sections soit : m ,51 m Arbre de moteur Un moteur électrique d une puissance de 10 kw tourne à la vitesse de 750 tr/min. on arbre est en acier XC32 de limite élastique e = 320 N/mm 2, sa contrainte au cisaillement est égale à 0,58 e = pg Déterminer son diamètre si on prend un coefficient de sécurité égal à 2,3. echerche de la contrainte admissible echerche du moment de torsion echerche du diamètre Arbre d entraînement d hélice de bateau oit un arbre d hélice de bateau de 15 m de long. L arbre est creu, le rapport entre le diamètre intérieur d et le diamètre etérieur D est d/d = 0,6. L arbre transmet une puissance de,5 MW à la vitesse de 350 tr/min. La contrainte de cisaillement admissible de l acier de l arbre est τ adm = 80 N.mm - ², le module d élasticité transversal = N.mm 2. a) Déterminer les diamètres intérieur et etérieur d et D de cet arbre. b) Calculer l angle de torsion à pleine puissance entre les deu etrémités distantes de 15 m. JC OLN (crédits B. Havette) 7 Lycée Eiffel Dijon

8 3 EXTAT DU UJET CENTALE UPELEC 2013 : ACENEU DE LA TOU EFFEL JC OLN (crédits B. Havette) 8 Lycée Eiffel Dijon