MAT901 - Notions fondamentales de calcul intégral

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1 Département de mathématiques MAT901 - Notions fondamentales de calcul intégral Plan de cours Automne 2011 Enseignant : Olivier Godin Courriel : olivier.godin2@usherbrooke.ca Local : D Téléphone : (819) , poste Site Web : http :// Description officielle de l activité pédagogique Objectifs : Appliquer les méthodes du calcul intégral à l étude de fonctions et à la résolution de problèmes. Contenu : Limite : formes indéterminées, règle de l Hospital. Règles et techniques d intégration usuelles. Propriétés de l intégrale indéfinie et de l intégrale définie. Calcul de longueurs, d aires et de volumes. Théorème fondamental du calcul différentiel et intégral. Équations différentielles à variables séparables. Séries de Taylor et de MacLaurin. Démonstration de propositions se rattachant au calcul intégral. Crédits : 3 Organisation : Cours : 0 heure par semaine Exercices : 2 heures par semaine Travail personnel : 7 heures par semaine Préalable : Avoir réussi un cours de calcul différentiel de niveau collégial (MAT900, , 201-NYA). Horaire : Le cours est offert de façon autodidacte en formation à distance. Les étudiantes et les étudiants sont les principaux responsables de leurs apprentissages. Le professeur est disponible quelques heures par semaine en vidéoconférence pour reprendre l explication de certaines notions, pour répondre aux questions ou pour compléter des exercices en collaboration avec les étudiantes et étudiants. Durée : L étudiant dispose d un maximum de six mois pour compléter le cours et s inscrire à la passation d un examen final. Échéances : Le délai pendant lequel il est possible d annuler (sans frais) son inscription au cours MAT901 est fixé à deux semaines suivant l obtention de l accès au site Web du cours. Le délai maximum pour abandonner le cours est fixé à trois mois suivant l obtention de l accès au site Web du cours. 1

2 Présentation du cours Tout comme le cours de calcul différentiel (MAT900, 201-NYA-05), dont il constitue la suite naturelle, le cours de calcul intégral (MAT901, 201-NYB-05) relève de la formation spécifique du programme des sciences de la nature, et il constitue un préalable au cours de calcul avancé. Au même titre que les autres cours de mathématiques, le cours de calcul intégral en sciences de la nature vise à développer la capacité d utiliser adéquatement le vocabulaire et le symbolisme mathématiques ainsi qu à accroître les habiletés connexes : manipulation d expressions symboliques ; réflexion ; formalisation ; conceptualisation ; modélisation mathématique ; élaboration de stratégies de résolution de problèmes (formels ou concrets) ; interprétation de résultats. À cause de sa grande polyvalence, le calcul différentiel et intégral constitue l un des plus puissants outils dont se servent les scientifiques pour décrire et expliquer des phénomènes. Le calcul différentiel est la partie des mathématiques supérieures qui étudie l effet des variations infiniment petites d une variable indépendante (ou de plusieurs variables indépendantes) sur une variable dépendante ou, en d autres termes, la mesure de la sensibilité d une fonction à de faibles fluctuations de son argument. Le calcul différentiel permet donc d exprimer mathématiquement non seulement des états, mais également des processus. Il est indispensable à l étude du mouvement et du changement. Ainsi, fondée sur le concept de limite (l idée maîtresse du calcul différentiel), la dérivée permet d accéder à des notions aussi diverses que le taux de variation instantané, la vitesse, l accélération, l analyse marginale, la pente de la tangente à une courbe, la croissance d une fonction, la concavité d une courbe, les points d inflexion d une courbe et les extremums d une fonction. Aussi riche d applications que le calcul différentiel, le calcul intégral repose essentiellement sur l idée de limite d une somme comportant un nombre infini de quantités infinitésimales. On peut y recourir notamment pour effectuer des mesures géométriques (aires de surfaces délimitées par des figures curvilignes, volumes de solides, longueurs d arcs curvilignes, etc.), pour déterminer des caractéristiques (masse, centre de masse, etc.) de surfaces planes et de solides de l espace, pour effectuer des mesures physiques (comme le travail), pour calculer un indice de Gini, pour évaluer le surplus des consommateurs et le surplus des producteurs, pour résoudre des équations différentielles décrivant des phénomènes dynamiques, etc. Le présent cours de calcul intégral abordera les notions d intégrale définie, de primitive, d intégrale indéfinie, ainsi que les équations différentielles à variables séparables et les séries. Au terme de ce cours, les étudiantes et les étudiants auront développé leur capacité de résoudre, notamment à l aide du logiciel de calcul symbolique Maple, des problèmes à l aide des différents concepts de l analyse mathématique. 2

3 Texte ministériel Activité d apprentissage Champ d étude : Sciences de la nature Discipline : Mathématiques Pondération : Nombre d heures-contact : Ce cours représente une charge de travail de 135 h. Compétences Énoncé de la compétence à atteindre Appliquer les méthodes du calcul intégral à l étude de fonctions et à la résolution de problèmes. Énoncé des éléments de compétence à atteindre À la fin du cours, les étudiantes et les étudiants devront avoir acquis des connaissances déclaratives (décrire un contexte historique, utiliser un vocabulaire approprié, définir correctement des termes ou des expressions, énoncer des théorèmes, énoncer des formules, etc.), des connaissances procédurales (manipuler des expressions symboliques, effectuer des calculs, appliquer une technique, etc.) et des connaissances conditionnelles (formuler un problème en langage mathématique, choisir une stratégie de résolution de problèmes, etc.). Plus précisément, avec ou sans l aide d outils technologiques, les étudiantes et les étudiants devront être capables de décrire sommairement l évolution du calcul intégral ; de déterminer l intégrale indéfinie d une fonction à l aide de la technique d intégration appropriée ; de trouver la valeur exacte d une intégrale définie d une fonction sur un intervalle de manière analytique, ou d en trouver un approximation à l aide de méthodes relevant de l analyse numérique ; d interpréter correctement la valeur d une intégrale définie ; d effectuer des mesures géométriques (volume, aire, longueur) de figures du plan ou de l espace ; d utiliser les techniques du calcul intégral dans des contextes variés ; d évaluer la limite d une fonction présentant une forme indéterminée en appliquant la règle de L Hospital ; d évaluer l intégrale impropre d une fonction sur un intervalle et d en donner, s il y a lieu, une interprétation juste ; de formuler l équation différentielle décrivant un phénomène dynamique ; de résoudre une équation différentielle ; d analyser un phénomène à l aide de l étude de la convergence d une série. 3

4 Contenu détaillé Chapitre 1 - L intégrale définie Problèmes à l origine du calcul différentiel et intégral Notation sigma et ses propriétés Approximation à l aide de sommes Somme de Riemann et intégrale définie Propriétés des intégrales définies Théorèmes d analyse (théorème des valeurs extrêmes, théorème de Rolle, théorème de Lagrange) Théorème fondamental du calcul intégral Primitives élémentaires Objectif terminal 1 L étudiant devra être capable d expliquer le concept d intégrale définie et son origine, ainsi que d évaluer des intégrales définies simples. Chapitre 2 - Techniques d intégration Primitive et intégrale indéfinie Formules d intégration de base Stratégies de transformation de l intégrande (effectuer un changement de variable, compléter un carré, utiliser une identité trigonométrique, multiplier par un conjugué, diviser une expression fractionnaire, séparer une fraction en plusieurs termes, effectuer une substitution trigonométrique, etc.) Intégration par parties Intégration de fonctions trigonométriques Intégration consécutive à une décomposition en fractions partielles Intégration numérique (méthode des trapèzes) Objectif terminal 2 L étudiant devra être capable d utiliser les différentes techniques d intégration pour évaluer une intégrale indéfinie ou définie. Chapitre 3 - Applications de l intégrale définie Calcul d aire Valeur moyenne d une fonction Surplus des consommateurs et surplus des producteurs Courbe de Lorenz et indice de Gini Évaluation du volume d un solide par les méthodes des tranches, des disques, des disques troués et des tubes Évaluation de la longueur d un arc Évaluation de l aire d une surface de révolution Objectif terminal 3 L étudiant devra être capable d utiliser des intégrales définies dans des applications concrètes, notamment pour calculer des mesures géométriques (longueur, aire, volume). 4

5 Chapitre 4 - Équations différentielles Typologie des équations différentielles Équation différentielle à variables séparables Équation différentielle d ordre n de la forme yn = f(x) Applications Objectif terminal 4 L étudiant devra être capable de formuler et de résoudre des équations différentielles. Chapitre 5 - Règle de l Hospital et intégrales impropres Détermination des différentes formes indéterminées Règle de L Hospital Cas d intégrales impropres Convergence et divergence des intégrales impropres Évaluation d intégrales impropres Fonction de densité Évaluation de l espérance et de la variance d une variable aléatoire continue à partir de sa fonction de densité Évaluation d une probabilité à partir d une fonction de densité Objectif terminal 5 L étudiant devra être capable de lever une indétermination en appliquant la règle de L Hospital et d évaluer une intégrale impropre. Chapitre 6 - Suites et séries Suites (typologie, convergence, limite) Sommes partielles Séries Typologie des séries (arithmétiques, harmoniques, géométriques, de Riemann, à termes positifs, alternées, entières) Convergence des séries (propriétés, convergence conditionnelle et absolue, rayon de convergence, intervalle de convergence) Dérivation et intégration terme à terme d une série entière Séries de Taylor et de Maclaurin Objectif terminal 6 L étudiant devra être capable d analyser la convergence des séries. Méthodes pédagogiques Le cours est entièrement en ligne. Les étudiants pourront interagir avec le professeur au moyen de vidéoconférences. En plus du matériel de cours habituel, des captures vidéos d écran (screencasts) viennent reprendre l explication de matière ou d exercices plus difficiles. Les étudiants peuvent utiliser les tableaux blancs interactifs sur le Web pour résoudre en direct des problèmes de mathématique et ainsi obtenir une rétroaction immédiate sur leurs erreurs et sur la façon d écrire leurs solutions. Il sera aussi possible pour les étudiants du cours d échanger entre eux dans un forum de discussion sur la page Web du cours afin de s entraider et comparer leurs démarches et réponses. De plus, les solutions détaillées à plusieurs exercices seront fournies. Les étudiants cheminent à leur rythme. Toutes les leçons sont disponibles dans l environnement d apprentissage virtuel Moodle et, lorsqu il en ressent le besoin, l étudiant peut contacter le professeur par vidéoconférence. 5

6 Modalités d évaluation L évaluation du cours prendra trois formes : 1. Questionnaires récapitulatifs (15 %) : À la fin de chaque leçon, l étudiant doit répondre à un bref questionnaire en ligne. À la fin du cours, les résultats aux questionnaires sont additionnés et ramenés sur Devoirs (45 %) : L étudiant aura à réaliser trois devoirs (15 % chacun). Ceux-ci devront être remis à l enseignant en utilisant la fonction de dépôt de fichiers sur la page Web du cours. 3. Examen (40 %) : L étudiant devra réussir un examen final récapitulatif d une durée de 3 h. L examen aura lieu à des dates fixées à l avance, au moins deux fois par trimestre. Trois semaines avant la date choisie pour l examen, l étudiant recevra par la poste une tablette graphique (à temps pour faire le troisième devoir, afin de sa familiariser avec l outil). L examen se fera en ligne, à l aide de celle-ci. Pour la passation de l examen, l étudiant devra se procurer une webcaméra. Pour toute la durée de l examen, l étudiant sera surveillé par vidéoconférence. L étudiant aura accès à l énoncé de l examen à l heure et à la date convenue, sous la forme d un fichier informatique. À l aide de la tablette graphique, l étudiant inscrira ses réponses et devra soumettre électroniquement ledit fichier, aussitôt l examen terminé. L étudiant n aura ni à se présenter à l Université de Sherbrooke, ni à envoyer des documents par la poste. Après l examen, l étudiant devra nous retourner la tablette graphique au moyen d une enveloppe affranchie inclue dans l envoi de la tablette. Le cours de calcul différentiel porte sur un contenu qui se construit et s élabore de plus en plus tout au long de la session. Les notions apprises précédemment seront reprises dans des travaux ultérieurs et, en particulier, à l examen final. Dans les devoirs et examens, les étudiantes et les étudiants auront à appliquer les connaissances acquises précédemment, à expliquer les concepts importants et à mettre en oeuvre les méthodes vues au cours. Les critères de correction seront la pertinence et la cohérence de la démarche, la rigueur des raisonnements, la clarté, l exactitude et la précision des solutions aux problèmes et la justesse des calculs. De plus, tout texte devra être rédigé proprement et dans un français de qualité. En effet, il est possible de pénaliser jusqu à un maximum de 5 % tout travail rédigé dans un français incorrect. La note alphabétique est déterminée en fonction du résultat numérique. Si la note numérique est x/100, la note alphabétique est : Particularités A+ si 100 x 90 A si 90 > x 85 A si 85 > x 80 B+ si 80 x 77 B si 77 > x 73 B si 73 > x 70 C+ si 70 x 67 C si 67 > x 63 C si 63 > x 60 D+ si 60 x 55 D si 55 > x 50 E si 50 > x 1. Si, après avoir dépassé la limite de 6 mois pour compléter le cours, vous omettez de vous inscrire à l examen final que vous deviez passer, vous obtiendrez la cote W. 2. Si vous vous inscrivez à un examen final et que vous oubliez de vous y présenter, vous obtiendrez la cote W. 3. Si vous vous inscrivez à un examen final et que la somme pondérée (selon les proportions définies dans le plan de cours) de vos notes ne permet pas de réussir le cours (résultat final inférieur à 50 %), vous obtiendrez la cote E. 6

7 4. Si vous obtenez la cote W et que vous souhaitez reprendre le cours, vous devrez vous réinscrire auprès de la Faculté des sciences. Vos progrès dans le cours (devoirs, tests) seront conservés et vous continuerez au point où vous étiez rendu. 5. Si vous obtenez la cote E et que vous souhaitez reprendre le cours, vous devrez vous réinscrire auprès de la Faculté des sciences. Vous devrez toutefois reprendre la matière du début. Bibliographie Manuel obligatoire (inclus avec l inscription) : AMYOTTE, Luc. Calcul intégral, Saint-Laurent, ERPI, Manuels de référence : AYRES, Frank Jr. Théorie et applications du calcul différentiel et intégral, Paris, McGraw-Hill, série Schaum, 1977, 346 p. BRADLEY, Gerald L., et Karl J. SMITH. Calcul intégral, Saint-Laurent, ERPI, 2002, 301 p. CHARRON, Gilles, et Pierre PARENT. Calcul intégral, 3e édition, Laval, Groupe Beauchemin, 2004, 436 p. HUGHES-HALLET, D., et coll. Calcul intégral, Montréal, Chenelière/McGraw-Hill, 2001, 371 p. OUELLET, Gilles. Calcul 2 : Introduction au calcul intégral, 3e édition, Sainte-Foy, Le Griffon d argile, 2002, 419 p. STEWART, James. Analyse : Concepts et contextes, Paris, De Boeck Université, 2001, 643 p. THOMAS, George B., Ross L. FINNEY, Maurice D. WEIR et Frank R. GIORDANO. Calcul intégral, Laval, Groupe Beauchemin, 2002, 392 p. SWOKOWSKI, Earl K., Analyse, 5e édition, Bruxelles, De Boeck Université, 1993, p. 7