Transferts thermiques

Transcription

1 Saint Louis PC*1 année scolaire

2 Problématique Plan Comment isole une fenêtre à doubles vitrage?

3 Problématique Plan 1) lister tous les types de transferts thermiques

4 Problématique Plan 2) faire un bilan thermodynamique et démontrer l'équation de diusion

5 Problématique Plan 3) trouver des solutions et faire une analogie avec l'électricité

6 Généralité sur les ux thermiques Le rayonnement Convection thermique Conduction thermique Notion de chaleur : La chaleur est un transfert d'énergie (en joule, J) qui n'est pas le travail. Elle dépend du chemin suivi (de la transformation). On la note donc δq (c'est une forme diérentielle) pour une transformation innitésimale, et Q pour une transformation nie. Attention : la chaleur n'est pas une fonction d'état : elle n'est pas dénie pour un état d'équilibre.

7 Généralité sur les ux thermiques Le rayonnement Convection thermique Conduction thermique Flux thermique à travers une surface orientée : (dénition) La chaleur qui traverse une surface orientée S pendant dt est : δq = φ th dt avec : φ th = S j th d2 S Le ux thermique (ou puissance thermique) φ th s'exprime en W. j th est le vecteur densité de courant thermique (en W m 2 ).

8 Généralité sur les ux thermiques Le rayonnement Convection thermique Conduction thermique Flux thermique pour un système : (dénition) Soit un système fermé (limité par la surface fermée Σ) qui échange pendant dt la chaleur élémentaire δq. Le ux thermique φ th échangé par ce système fermé est une puissance (en W) : φ th = δq dt = j th d 2 Σ

9 Généralité sur les ux thermiques Le rayonnement Convection thermique Conduction thermique Modes de transferts thermiques : Les trois modes de transferts thermiques sont : la conduction (transferts thermiques de proche en proche) ; la convection (avec transport macroscopique de matière, naturel ou forcé) ; le rayonnement.

10 Généralité sur les ux thermiques Le rayonnement Convection thermique Conduction thermique par rayonnement Le rayonnement est un mode de transfert thermique

11 Généralité sur les ux thermiques Le rayonnement Convection thermique Conduction thermique Corps noir : Le corps noir est un objet idéal qui absorberait toute l'énergie électromagnétique qu'il recevrait, sans en rééchir ni en transmettre. Il n'est fait aucune autre hypothèse sur la nature de l'objet. La lumière étant un rayonnement électromagnétique, elle est absorbée totalement et l'objet devrait donc apparaître noir, d'où son nom. L'objet réel qui se rapproche le plus de ce modèle est l'intérieur d'un four. An de pouvoir étudier le rayonnement dans cette cavité, une de ses faces est percée d'un petit trou laissant s'échapper une minuscule fraction du rayonnement interne.

12 Généralité sur les ux thermiques Le rayonnement Convection thermique Conduction thermique Spectre du corps noir le spectre du rayonnement du corps noir.

13 Généralité sur les ux thermiques Le rayonnement Convection thermique Conduction thermique Loi de Stefan-Boltzmann : (dénition) La puissance émise par rayonnement d'un corps noir de surface S et de température T est : P th = σ S T 4 où σ = 5, W m 2 K 4.

14 Généralité sur les ux thermiques Le rayonnement Convection thermique Conduction thermique Loi de Wien : (dénition) La longueur d'onde λ max, correspondant au pic d'émission lumineuse du corps noir, et la température T sont liées par la relation : λ max T = 2, K m

15 Généralité sur les ux thermiques Le rayonnement Convection thermique Conduction thermique Lois du corps noir Le rayonnement du corps noir dépend de sa température.

16 Généralité sur les ux thermiques Le rayonnement Convection thermique Conduction thermique Conséquences de la loi de Wien La température de surface du Soleil est 5780 K, ce qui correspond à un maximum d'émission vers 500 nm, au milieu du spectre visible Les étoiles plus chaudes émettent à des longueurs d'onde plus courtes et apparaissent bleutées ; les étoiles plus froides nous semblent rougeâtres. Notre environnement a une température d'environ 300 K et émet ainsi dans l'infrarouge moyen, aux alentours 10 µm. La plupart des caméras à vision nocturne fonctionnent sur le principe de la détection de ce rayonnement thermique ;

17 Généralité sur les ux thermiques Le rayonnement Convection thermique Conduction thermique Transparence de l'atmosphère la transparence de l'atmosphère aux rayonnements du Soleil et de la Terre.

18 Généralité sur les ux thermiques Le rayonnement Convection thermique Conduction thermique Le mécanisme de l'eet de serre : La présence de l'atmosphère, tout comme celle du verre dans une serre, revient à absorber le rayonnement infrarouge émis par le sol, et le lui restituer en partie. Sans atmosphère, la température sur Terre serait plus basse.

19 Généralité sur les ux thermiques Le rayonnement Convection thermique Conduction thermique Notion de convection : le principe de la convection. C'est est un mode de transfert d'énergie qui implique un déplacement de matière dans le milieu. La matière est transportée par un uide.

20 Généralité sur les ux thermiques Le rayonnement Convection thermique Conduction thermique Exemple de convection libre L'eau se met en mouvement spontanément dans une casserole.

21 Généralité sur les ux thermiques Le rayonnement Convection thermique Conduction thermique Notion de convection forcée : Dans le cas de la convection forcée, un dispositif mécanique (souerie, ventilateur) fait circuler le uide aux abords du solide. Le mouvement favorise le transfert thermique. Exemples de transfert thermique par convection forcée : radiateurs à circulation d'eau ou d'air (comme dans un ordinateur ou le moteur d'une voiture), tasse de liquide chaud lorsqu'on soue dessus.

22 Généralité sur les ux thermiques Le rayonnement Convection thermique Conduction thermique Loi de Newton : (dénition) Pour un corps (dans l'espace x < x 0 ) en contact avec un écoulement uide à une température T 0, l'expression de la densité de ux thermique est la suivante : j th = h (T (x 0, t) T 0 ) u x où h est le coecient de transfert thermique par convection (exprimé en W K 1 m 2 ).

23 Généralité sur les ux thermiques Le rayonnement Convection thermique Conduction thermique Notion de conduction thermique : Le transfert par conduction est un échange d'énergie avec contact quand il existe une inhomogénéité (gradient) de température au sein d'un système. Elle peut s'interpréter comme la transmission de proche en proche de l'agitation thermique.

24 Généralité sur les ux thermiques Le rayonnement Convection thermique Conduction thermique Loi de Fourier : (dénition) On admet que le vecteur densité de ux thermique dans le cas de la conduction thermique suit la loi de Fourier j th = κ grad(t ) κ, qui s'exprime en W m 1 K 1, est la conductivité thermique du corps (κ > 0).

25 Généralité sur les ux thermiques Le rayonnement Convection thermique Conduction thermique Conductivité thermique Les métaux sont d'excellents conducteurs et les gaz de mauvais conducteurs thermiques : la conduction n'est sensible que dans le cas des milieux denses (solides et liquides).

26 Généralité sur les ux thermiques Le rayonnement Convection thermique Conduction thermique Exemples de conductivités thermiques. Matériau κ (W m 1 K 1 ) air 0,026 laine de verre 0,04 bois de chêne 0,16 eau 0,6 brique 0,66 béton 1,3 pierre calcaire 2,2 acier inox 26 aluminium 237 or 317 Table Conductivités thermiques de quelques matériaux

27 Généralité sur les ux thermiques Le rayonnement Convection thermique Conduction thermique Interprétation de la loi de Fourier : dans le cas d'un système à une dimension (x), la loi de Fourier devient j th = κ. T x. u x La chaleur va du chaud vers le froid. Ce qui est conforme à l'énoncé du second principe de Clausius selon lequel la chaleur ne passe pas spontanément d'un corps froid à un corps chaud. Aussi, la loi de Fourier prend en compte le second principe, elle porte donc en elle l'irréversibilité.

28 Etablissement dans le cas général Cas unidimensionnel Symétrie cylindrique Symétrie sphérique Diusion thermique sans travail Considérons un système dense (de masse volumique µ et de capacité thermique massique c), déni par le volume V délimité par la surface fermée Σ. Faisons un bilan d'énergie pendant dt : du dt = V µ c T t d3 τ Or, si l'on suppose qu'il n'y a aucun travail, le premier principe donne du dt = δq dt = Σ jth d 2 Σ = V µ div ( jth ) d 3 τ Comme cela est vrai quel que soit le volume V, µ c T t ( ) = div jth = κ T

29 Etablissement dans le cas général Cas unidimensionnel Symétrie cylindrique Symétrie sphérique Diusion thermique sans travail L'équation de diusion thermique à trois dimensions dans un milieu homogène sans travail est T t = D th T avec D th = κ µ c V où D th est la diusivité thermique, κ est la conductivité thermique, µ est la masse volumique et c V est la capacité thermique massique à volume constant.

30 Etablissement dans le cas général Cas unidimensionnel Symétrie cylindrique Symétrie sphérique Diusion thermique à une dimension sans travail On retrouve bien sûr l'équation à une dimension. T (x, t) t = κ 2 T (x, t) µ.c V x 2

31 Etablissement dans le cas général Cas unidimensionnel Symétrie cylindrique Symétrie sphérique Système à choisir dans le cas cylindrique un cylindre creux de rayon compris entre r et r + dr.

32 Etablissement dans le cas général Cas unidimensionnel Symétrie cylindrique Symétrie sphérique Système à choisir dans le cas sphérique une sphère creuse de rayon compris entre r et r + dr.

33 Solutions en régime quelconque Solutions en régime permanent Analogie avec l'électricité Solution numérique : Il se peut que l'on ne trouve pas de solution analytique à l'équation de diusion. On fait alors appel à une solution numérique, trouvée par ordinateur.

34 Solutions en régime quelconque Solutions en régime permanent Analogie avec l'électricité Ordre de grandeur : L'équation de diusion fait apparaître un temps caractéristique τ pour un système de taille caractéristique L : 1 τ D L 2 On voit donc que L varie comme τ : la diusion est un phénomène lent, dans la mesure où, pour des tailles macroscopiques, les temps de diusion sont souvent très grands.

35 Solutions en régime quelconque Solutions en régime permanent Analogie avec l'électricité Solution gaussienne de l'équation de diusion La distribution thermique après chauage en x = 0 et t = 0 d'une barre.

36 Solutions en régime quelconque Solutions en régime permanent Analogie avec l'électricité Solution intégrale d'une gaussienne de l'équation de diusion La distribution de température d'une barre dont les deux extrémités

37 Solutions en régime quelconque Solutions en régime permanent Analogie avec l'électricité Position du problème à une dimension une tige homogène, de section constante S, de longueur L AB, isolée sur ses surfaces latérales, mise en contact avec deux milieux en x A et en x B, en régime permanent ( t = 0).

38 Solutions en régime quelconque Solutions en régime permanent Analogie avec l'électricité Solution de l'équation de diusion thermique en régime permanent à une dimension En régime permanent, l'équation de diusion devient : d 2 T dx 2 = 0 soit T (x) = a x + b et j x = D T = D a, x où a et b sont des constantes xées par les conditions aux limites.

39 Solutions en régime quelconque Solutions en régime permanent Analogie avec l'électricité Solution de l'équation de diusion thermique en régime permanent à une dimension En régime permanent, dans un milieu homogène : la température T (x) suit une loi ane, le ux thermique φ th est constant.

40 Solutions en régime quelconque Solutions en régime permanent Analogie avec l'électricité Résistance thermique grad(t ) = dt dx ux = T B T A u x x B x A et φ th = jth.d 2 S. u x = κ T A T B S S L AB

41 Solutions en régime quelconque Solutions en régime permanent Analogie avec l'électricité Résistance thermique La diérence de température aux bornes d'un cylindre de coecient de conductivité thermique κ, de section S et de longueur L AB est (en convention récepteur) : T A T B = R th φ th avec R th = L AB κ S R th s'exprime en K W 1.

42 Solutions en régime quelconque Solutions en régime permanent Analogie avec l'électricité Conducteur ohmique en régime permanent : (exercice) On s'intéresse à un l électrique de section constante S, de conductivité électrique γ, de longueur L AB = x B x A, parcouru par un courant électrique I = S j.d 2 S. u x dans le sens de u x, subissant une diérence de potentiel U = V A V B en régime permanent ( t = 0). La loi d'ohm au niveau local donne la densité volumique de courant : j = γ. grad(v ). En déduire la loi d'ohm au niveau global U = V A V B = R I.

43 Solutions en régime quelconque Solutions en régime permanent Analogie avec l'électricité Conducteur ohmique en régime permanent : (exercice) grad(v ) = dv dx ux = V B V A u x B x x = U u A L x et I = AB S j.d 2 S. u x = γ L U S. Ainsi, AB on a bien U = R I, avec la résistance électrique R = L AB γ S.

44 Solutions en régime quelconque Solutions en régime permanent Analogie avec l'électricité Analogie entre électricité, diusion thermique et des particules électricité thermique particules V T n γ κ D loi d'ohm loi de Fourier loi de Fick j = γ grad(v ) j th = κ grad(t ) j N = D grad(n) I = S j.d 2 S. u x φ th = S j th d 2 S. u x φ N = S j n.d 2 S. u x R = L AB γ S. R th = L AB κ S R N = L AB D S V A V B = R I T A T B = R th φ th n A n B = R N φ N Table Présentation synthétique de l'analogie.

45 Modélisation électrique d'une paroi On s'intéresse à une pièce à la température T int, l'extérieur étant à T ext < T int. Pour modéliser les échanges par convection, pour l'air calme à la température T a, on utilisera la loi de Newton : j th = h T (x, t) T a On prendra h = 10 W m 2 K 1.

46 Modélisation électrique d'une paroi 1) La paroi qui sépare la pièce de l'extérieur est formée d'un mur de section S = 5 m 2, de conductivité thermique κ m = 2, 2 W m 1 K 1 et d'épaisseur e m = 25 cm, percé d'une fenêtre en verre de section S = 5 m 2, de conductivité thermique κ v = 1, 2 W m 1 K 1 et d'épaisseur e v = 2, 0 mm. 1.a) Modéliser la résistance thermique R th de la paroi par une association de résistances. 1.b) Calculer les valeurs de chacune de ces résistances. 1.c) Calculer alors R th.

47 Modélisation électrique d'une paroi 2) On installe des doubles vitrage composés de deux verres de section S v, de conductivité thermique κ v et d'épaisseur e a = 2, 0 mm, entre lesquels se trouve de l'air de conductivité thermique κ a = 2, W m 1 K 1. 2.a) Modéliser la résistance thermique R th de la nouvelle paroi par une association de résistances. 2.b) Calculer les valeurs de chacune de ces résistances. 2.c) Pourquoi fait-on des économies d'énergie grâce au double vitrage?

48 Modélisation électrique d'une paroi 1) 1.a) R h R m Rh R h R v R h 1.b) Comme R = φ T soit pour la convection R = T et pour la conduction th j th S R = κ e S. Pour la convection : R h = 1 h S = 2, K W 1. Pour le mur par conduction : R m = em Pour le verre par conduction : R v = κm S = 2, K W 1. ev κv S = 3, K W 1. 1.c) Comme R v est négligeable, et R h R m, 1 Rth 1 2 R h R h = 5 6 R h donc R th 6 R h 5 2) 2.a) = 2, K W 1. R h R m Rh