TD R3 : Thermodynamique

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1 1 TD R3 : Questions de cours Définir les échelles microscopique, mésoscopique et macroscopique Comment s écrit la force de pression Définir une grandeur intensive, une grandeur extensive Donner l équation d état d un gaz parfait, d un gaz de Van der Waals Qu est ce que l énergie interne? Comment est définie la capacité thermique à volume constant, quelles sont ses valeurs pour un GP en monoatomique et diatomique? Dessiner le diagramme (P,T) d équilibre des phases de l eau Dessiner le diagramme de Clapeyron de l eau, le décrire Donner le théorème des moments Donner la définition de quasistatique, réversible, monotherme, isotherme, monobare, isobare, isochore, adiabatique Donner l expression du travail des forces de pression Qu est ce qu un thermostat Citer le 1er principe Donner la définition de l enthalpie Comment est définie la capacité thermique à pression constante Démontrer la relation de Mayer Décrire les sources possibles d irreversibilité Citer le 2eme principe Donner la loi de Laplace Comparer les pentes d une adiabatique et d un isotherme dans le diagramme de Clapeyron Décrire la détente de Joule Gay-lussac, quelles sont ses caractéristiques, calculer la variation d entropie Comment s écrivent le 1er et le 2eme principe pour une machine ditherme cyclique? Dessiner et décrire le diagramme de Raveau Décrire et schématiser un moteur, une PAC, un climatiseur. Déterminer l expression de leur rendement dans le cas réversible Qu est ce que le cycle de Carnot? Qu a-t-il de particulier? Applications directes du cours 1. Théorème des moments (**) Dans le tableau suivant sont regroupés les volumes massiques de l eau liquide (indice L) et de l eau vapeur (indice G) pour différentes températures. θ( C) P sat (bar) v G (m 3.kg 1 ) v L (m 3.kg 1 ) 25 0,03 45,7 1, ,2 7,65 1, ,0 1,55 1, (a) Que peut-on dire de l évolution du volume massique du liquide saturant en fonction de la température? Ce résultat était-il attendu? Qu en est-il pour la vapeur saturante? Quelles sont les conséquences sur la forme des courbes de saturation? (b) Comparer v G et v L pour une température donnée. Quelle hypothèse est-il raisonnable de faire aux faibles températures? Cette hypothèse est-elle toujours valable aux plus hautes températures? Pourquoi?

2 2 (c) On considère une masse m 0 = 100 g d eau sous forme d un mélange diphasé à l équilibre (liquide-vapeur) à la température θ 1 = 25 C, de volume massique v M = 5, 0 m 3.kg 1. Exprimer puis calculer le titre massique en vapeur x 1 vap de ce mélange. Calculer les masses respectives de la phase liquide et de la phase vapeur. (d) On porte ce mélange à une température θ 2 = 60 C sans modifier son volume massique. Déterminer le nouveau titre massique en vapeur x 2 vap. (e) On le porte désormais à une température θ 2 = 100 C, en maintenant son volume massique constant. Sous quelle forme se trouve l eau dans l état final? 2. Enceinte horizontale à deux compartiments (*) On place dans les deux compartiments d une enceinte la même quantité n de deux gaz parfaits monoatomiques identiques. Ces deux compartiments sont séparés par un piston mobile sans frottements de section S = 200 cm 2. Initialement, les deux gaz ont même température T 0 = 300 K, même volume V 0 = 10, 0 L et même pression P 0 = 10, 0 bar, et le piston est au centre de l enceinte, à l abscisse x = 0. (a) Calculer la quantité de matière n de gaz dans chacun des compartiments. (b) On élève la température du gaz du compartiment de gauche jusqu à T F = 350 K, tout en maintenant la température du compartiment de droite à T 0. Calculer l abscisse x du piston une fois le nouvel état d équilibre atteint. 3. Canette autoréfrigérante (*) À l occasion de la Coupe du Monde de Football 2002, une canette autoréfrigérante a été mise au point. Elle comprend un réservoir en acier contenant un liquide réfrigérant. Lorsqu on ouvre la canette, ce liquide est libéré, il se détend brusquement et se vaporise en traversant une spirale en aluminium qui serpente à travers la boisson à refroidir. Le volume de la boisson à refroidir est L, et l on considèrera pour simplifier qu il s agit d eau de capacité thermique massique c = 4, 18 kj.kg 1.K 1. On considère que le corps réfrigérant est constitué d une masse m r = 60 g de N 2 dont l enthalpie massique de vaporisation est L v = 200 kj.kg 1. Calculer la variation de température de la boisson. 4. Chauffage d une enceinte (**) On considère le système suivant : On suppose que les enceintes contiennent des gaz parfaits et que l enceinte A est parfaitement calorifugée. Les deux enceintes sont séparées par une paroi calorifugée mobile. On note γ = C P C V. On chauffe l enceinte A jusqu à la température T 1 par la résistance chauffante. Les transformations seront considérées comme quasistatiques.

3 3 (a) Déterminer les volumes finaux des deux enceintes ainsi que la pression finale. (b) Calculer la variation d énergie interne de chacune des enceintes A et B ainsi que celle de l ensemble A + B. (c) Quelle est la nature de la transformation de l enceinte B? En déduire le travail échangé entre les enceintes A et B et le transfert thermique Q 1 échangé entre B et le thermostat. (d) Déterminer le transfert thermique Q 2 fourni par la résistance. 5. Mise à l équilibre (**) Une enceinte indéformable aux parois calorifugées est séparée en deux compartiments par une cloison étanche de surface S, mobile et diatherme. Les deux compartiments contiennent chacun un gaz parfait. Dans l état initial, le gaz du compartiment 1 est dans l état (T = 300 K, P 1 = 1 bar, V = 1 L), le gaz du compartiment 2 dans l état (T, 2P 1, V ). Une cale bloque la cloison mobile. On enlève la cale et on laisse le système atteindre un état d équilibre. (a) Déterminer l état final. (b) Calculer l entropie créée. 6. Fonte de glace dans l eau (*) Dans un récipient parfaitement calorifugé, on met un morceau de glace à la température de 0 C dans un kilogramme d eau liquide initialement à la température de 20 C. On donne la capacité thermique massique de l eau liquide c = 4, J.K 1.kg 1 et l enthalpie massique de fusion de la glace fus h = J.kg 1. (a) Déterminer la masse minimale de glace nécessaire pour que l eau soit à la température de 0 C dans l état final. (b) Calculer dans ce cas la variation d entropie S 1 de l eau initialement à l état liquide. (c) Calculer également la variation d entropie S 2 de l eau initialement sous forme de glace. (d) En déduire le bilan d entropie de la transformation et conclure sur son caractère irréversible. 7. Moteur de Stirling (**) Un moteur fonctionne entre une source chaude de température T C = 450 K et une source froide de température T F = 300 K. L agent thermique, constitué de n moles de gaz parfait de coefficient γ = C P C V = 1, 40, décrit de manière quasi-statique le cycle suivant : AB : compression à la température T F de la source froide CD : détente à la température T C de la source chaude BC et DA : isochores respectivement aux volumes V 1 et V 2 On donne R = 8, 31 J.K 1.mol 1 et α = V 2 V 1 = 2, 00 (taux de compression). (a) Représenter le cycle de ce moteur en diagramme de Clapeyron. (b) Identifier les étapes non réversibles. (c) Calculer les différents transferts thermiques reçus par le gaz au cours du cycle. (d) Définir puis exprimer le rendement η du moteur. (e) Afin d améliorer le rendement du moteur, on utilise un dispositif qui permet d éviter les échanges thermiques avec l extérieur en dehors des deux phases isothermes. Calculer le nouveau rendement du moteur η. Commenter le résultat obtenu

4 4 Approfondissement 1. Turbine d un réacteur à eau pressurisée (REP) Le parc de production nucléaire français est constitué de centrales de la filière REP : On étudie l eau circulant en circuit fermé dans le circuit secondaire. On propose de modéliser son évolution, au prix de quelques approximations, par le cycle suivant, où le fluide est en écoulement supposé stationnaire : État A : l eau qui sort du condenseur est liquide sous la pression P 1 et à la température T 1. Évolution AB : elle subit dans la pompe une compression pendant laquelle sa température ne varie presque pas. On négligera les échanges thermiques lors de cette compression qui l amène à l état B, de température T 1 et de pression P 2. Évolution BD : elle passe ensuite dans un échangeur qui permet les transferts thermiques entre le circuit primaire et le circuit secondaire. On peut décomposer en deux transformations ce qui se passe alors : l eau liquide s échauffe de manière isobare (sous la pression P 2 ) jusqu à l état C (pression P 2, température T 2 ; l eau liquide se vaporise entièrement, jusqu à l état D, à la pression P 2 et température T 2. Évolution DE : la vapeur d eau se détend de manière réversible dans une turbine calorifugée jusqu à la pression P 1 et la température T 1 (état E). Durant cette détente, une fraction (1 x) de l eau redevient liquide, et x reste gazeuse : x est donc le titre en vapeur dans l état E. Évolution EA : la vapeur restant se condense à la température T 2. Dans le tableau suivant, on donne pour l eau à 293 K et 573 K, la pression de vapeur saturante P sat en bar, les volumes massiques v L du liquide et v G de la vapeur en m 3.kg 1, les enthalpies massiques h L du liquide et h G de la vapeur en kj.kg 1 et enfin les enthalpies massiques s L du liquide et s G de la vapeur en kj.k 1.kg 1. T (K) P sat v L v G h L h G s L s G 293 0,023 (P 1 ) ,3 8, (P 2 ) 1, , ,0 La masse molaire de l eau est M eau = 18 g.mol 1. On rappelle la valeur de la constante des gaz parfaits R = 8, 314 J.K 1.mol 1. (a) i. Quelle sont les variations d enthalpie et d entropie d un corps pur lors de sa vaporisation totale? ii. Calculer l entropie massique de l eau liquide, s L (573), à la température de 573 K sous P 2 = 80bar.

5 5 iii. Sachant que la vapeur d eau sous une pression P 1 = 0, 023 bar et à la température de 293 K peut être considérée comme un gaz parfait, calculer son volume massique v G. (b) Tracer le cycle de l eau sur un diagramme de Clapeyron (P, v) en plaçant les points correspondant aux états A, B, C, D et E. (c) i. Démontrer que la transformation DE est isentropique. ii. Calculer le titre en vapeur dans l état E. (d) On notera w a le travail massique utile reçu par l alternateur de la part d un masse unité de fluide passant dans la turbine (on négligera tout frottement). Calculer la valeur numérique de w a. (e) i. Pour l eau liquide, la capacité thermique massique est c = 4, 2 kj.k 1.kg 1. Calculer le transfert thermique massique reçu par le fluide dans l échangeur du circuit primaire q BD. ii. On définit l efficacité e = w a q BD. La calculer. Que néglige-t-on dans cette définition? iii. Calculer l efficacité maximale qu on aurait pu avoir avec les mêmes sources. Quelle conclusion peut-on en tirer? Élements de réponse 1. (a) v L ne varie presque pas (liquide indilatable, courbe d ébullition très verticale en diagramme de Clapeyron) (b) v L v G, on peut négliger v L devant v G tant qu on est loin du point triple. (c) x 1 vap = 0, 11 ; m L = 89 g ; m V = 11 g (d) x 2 vap = 0, 65 ; (e) vapeur sèche. 2. (a) n = P 0V 0 ; AN : n = 4, 01 mol RT 0 (b) x = V 0 T F T 0 S T F + T 0 3. T f T i = m rl v m eau c = 8, 7 C 4. P f = R(T 0 + T 1 ) ; U A+B = R 2V 0 γ 1 (T 1 T 0 ) ; W B (isot ) = RT 0 ln T 1 + T 0 ; Q 1 = W ; 2T 0 Q 2 = R γ 1 (T 1 T 0 ) + RT 0 ln T 1 + T 0. 2T 0 5. T = T ; V 1 = V 3 ; V 2 = 2V 3 ; P = P 1 + P 2 ; 2 S c = n 1 R ln 2V 1 V + n 2 R ln 2V 2 V = 2, J.K 1 (transformation irréversible) 6. m = 250 g ; S 1 = M e c ln T f = 297 J.K 1 ; S 2 = m fush = 308 J.K 1 ; T i T 0 S 1 + S 2 = S c = 11 J.K 1 > 0, la transformation est irréversible. 7. AB et CD sont réversibles, BC et DA irréversibles ; Q AB = nrt F ln α < 0 et Q CD = nrt C ln α > 0 ; η = W cycle = (γ 1)(T C T F ) ln α Q BC + Q CD T C T F + (γ 1)T C ln α = 0, 15 ; η = 1 T F T C = 0, H = m vap h, S = m vap s = m vaph ; s L = 3, 2 kj.k 1.kg 1 ; v G (293) = 58, 8 m 3.kg 1 T S D = S E ; x = 0, 68 ; w a = h D h E = 1, J.kg 1 ; q BD = h D h B = 2, J.kg 1

6 6 e = 0, 40 ; e C = 1 T 1 T 2 = 0, 49