Chapitre 2 : Dynamique du point en référentiel galiléen

Transcription

1 ATS Jules Ferry Chapitre 2 : Dynamique du point en référentiel galiléen 2 La dynamique est la partie de la physique qui étudie le mouvement des corps en le reliant aux causes du mouvement (les «forces»). I. asse et quantité de mouvement 1. asse d'inertie m La masse d'un corps est un scalaire positif qui caractérise les propriétés d'inertie de la matière i.e. la difficulté à le mettre en mouvement ou à modifier sa trajectoire. Unité S.I. : kilogramme kg. Propriétés : la masse est une grandeur intrinsèque au point matériel : elle est indépendante du référentiel dans lequel on se place. Conséquence : la vitesse d'un point matériel est continue par inertie. Remarque : la position d'un point matériel est continue car la matière est une grandeur conservative. 2. Quantité de mouvement (introduite par Newton) Pour un point matériel, de masse m et de vitesse v / r (t), on définit la quantité de mouvement de ce point dans le référentiel r à l'instant t par : p / r (t )=m v / r (t ). II. Les forces 1. Définitions et propriétés n appelle force toute action capable de modifier le vecteur vitesse d'un point matériel. Elle peut être modélisée par un vecteur F : norme F : correspond à l'intensité de la force. Unité S.I. : newton N direction de F : celle de l'action sens de F : celui de l'action. Propriétés : les forces ne dépendent pas du référentiel considéré les forces sont additives (addition vectorielle) : F 1 et F 2 s'exercent sur F = F 1 + F 2 s'exerce sur. F est alors appelée résultante des forces on distingue deux types de forces : à distance (le poids par exemple) de contact (les frottements par exemple) on dit qu'un point matériel est isolé s'il n'est soumis à aucune force on dit qu'un point matériel est pseudo-isolé si la résultante des forces qui lui sont appliquées est nulle. 1/6

2 2. Force gravitationnelle (force à distance) a) Loi de la gravitation universelle de Newton Tout point matériel 1 de masse m 1 exerce sur un point matériel 2 de masse m 2 situé à une distance r= 1 2 une force 2 m 2 attractive F 1/ 2 telle que F 1 / 2 = G m 1 m 2 r 2 e 1 2 où e 1 2 représente le vecteur unitaire dirigé de 1 vers 2 et où G est la constante de la gravitation universelle : G=6, N.kg 2.m 2. 1 m 1 e 1 2 r F 1/ 2 b) Lien avec le poids d'un corps m Le Poids P d'un point matériel de masse m sur un astre est la force d'attraction gravitationnelle qu'exerce l'astre sur. n le note P =m g où le vecteur g dépend de l'astre considéré et est appelé accélération de la pesanteur de l'astre (ou champ de pesanteur de l'astre). g Terre P=mg Exemple : le champ de pesanteur terrestre g T (la Terre possède une masse T =6, kg ). m z P=m g T =G m T zr T u 2 x d'où g T =G T zr T u 2 x. surface de la Terre Si le point matériel est proche de la surface de la Terre, z R T =6, km donc g T =G T R T 2 u x et ne dépend que de la Terre i.e de l'astre considéré. À deux chiffres significatifs, on obtient g T = g T =9,8 N.kg 1. centre de la Terre Au troisième chiffre significatif pour g, il faut tenir compte du fait que la Terre n'est pas totalement sphérique (g est plus grand aux pôles qu'à l'équateur ou qu'aux sommets des montagnes). Sur la Lune, g L =G L =1,6 N.kg 1 2 donc R L 3. Force électrostatique de Coulomb (force à distance) le poids d'un corps est plus faible sur la Lune que sur Terre. Tout point matériel 1 de charge électrique q 1 (> 0 ou < 0) exerce sur un point matériel 2 de charge électrique q 2 situé à une distance r= 1 2 une force F 1/ 2 telle que F 1/2 = 1 q 1 q 2 e 4 π ϵ 1 2 où 0 est la 0 permittivité du vide (s'exprime en C 2 m 2 N 1 ). R T r 2 2 q 2 2 q 2 F 1/ 2 r F 1/ 2 r 1 q 1 e 12 Cas où q 1 et q 2 sont de signes opposés 1 q 1 e 12 Cas où q 1 et q 2 sont de mêmes signes 2/6

3 4. Force de rappel élastique d'un ressort (force de contact) Un ressort est caractérisé par sa constante de raideur notée k (en N.m 1 ) et par sa longueur à vide l 0. Si le ressort a, à un instant t, une longueur l, il exerce une force de rappel (dite «élastique») sur le point matériel accroché à son extrémité : e ressort à vide l l 0 l F F cas où l l 0 0 : ressort étiré cas où l l 0 0 : ressort comprimé F = k (l l 0 ) e ressort l l 0 est l'allongement du ressort. 5. Tension d'un fil (force de contact) Un point matériel accroché à un fil subit une force de tension T dont la direction est celle du fil, le sens va de vers le fil et dont la norme est, a priori, inconnue. Remarque : Si le fil n'est pas tendu alors T =0. 6. Force de contact entre deux solides Exemple du pendule T Un point matériel en contact avec un support subit, de la part de celui-ci, une force R appelée réaction du support qui se compose, en général, de deux termes : R=R N R T avec R N la réaction normale du support et R T la réaction tangentielle du support. R R R=R N R N R T R N R T Sens du mouvement m g Lorsque se déplace sans frottement sur le support alors R T =0 et R=R N qu'il y ait mouvement ou non. Lorsque des frottements solides existent, R T a un sens opposé à celui du vecteur vitesse de par rapport au support. S'il y a frottements avec à l'équilibre, la somme des forces est nulle. Par exemple, dans le cas du schéma : m gr=m gr N R T =0 7. Force de frottement fluide (force de contact) Un point matériel en mouvement dans un fluide (i.e gaz ou liquide) subit de la part de ce fluide une force de frottement fluide f de sens opposé à celui du vecteur vitesse de par rapport au fluide. D'un point de vue purement phénoménologique, on observe que : pour une vitesse «faible», la norme de f est proportionnelle à la vitesse de : f = v / fluide où α est appelé coefficient de frottement fluide (s'exprime en N.s.m 1 ). pour une vitesse «grande», la norme de f est proportionnelle au carré de la vitesse de. 3/6

4 8. Théorème d'archimède (de Syracuse) Tout corps au repos immergé dans un fluide subit de la part de ce fluide une force, appelée poussée d'archimède, égale (en norme) et opposée au poids du fluide déplacé par le corps. La poussée d'archimède est appliquée au centre de masse du volume de fluide déplacé. Ce point est appelé centre de poussée. si le corps est en mouvement lent par rapport au fluide, on continue d'appliquer le théorème d'archimède (sinon il faut faire de la mécanique des fluides). En général, on néglige la poussée d'archimède dans l'air (sauf dans le cas d'une ontgolfière par exemple). 4/6

5 III.Lois de Newton (1687) En 1687, Isaac Newton publie (en latin) la première œuvre majeure de la physique : «Principes mathématiques de la philosophie naturelle» appelée familièrement «Principia». Cette publication marque le début de la mathématisation de la physique et de la «prédiction» en physique! C'est en écrivant cet ouvrage que Newton comprendra l'intérêt de développer le calcul différentiel : l'analyse mathématique vient de naître Première loi de Newton : le principe d'inertie Il existe des référentiels privilégiés, appelés référentiels galiléens, par rapport auxquels un point matériel isolé est animé d'un mouvement rectiligne uniforme ou reste au repos (i.e. v / r g (t)= cte ). C'est un postulat initialement formulé par Galilée qui permet de «définir» les référentiels galiléens. valable pour un point matériel pseudo-isolé la Terre peut être considérée comme un référentiel galiléen sur une courte distance (faible devant le rayon de la Terre) et une courte durée (faible devant un jour). Propriété : un référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen est aussi galiléen. 2. Deuxième loi de Newton : le principe fondamental de la dynamique Dans un référentiel galiléen r g, le mouvement d'un point matériel, de masse m, sous l'action de forces extérieures de résultante F ext est tel que ( d p / r g dt )r g = F ext (t). La masse m étant constante dans nos problèmes, il vient m a / r g = F ext (t) mouvement de dans le référentiel r g! ce qui conduit à l'équation du c'est la loi fondamentale de la dynamique : elle relie les causes ( F ext ) aux conséquences (accélération donc variation de vitesse donc mouvement et trajectoire ) on retrouve la première loi de Newton : si F ext = 0 dans un r g alors ( d v / r g = 0 donc dt )r g v / r g = cte : la première loi de Newton sert à définir r g! 3. Troisième loi de Newton : principe des actions réciproques Si un point matériel A exerce sur un point matériel B une force F A /B alors B exerce sur A une force F B/ A telle que : F B/ A = F A/ B les 2 forces possèdent la même direction portée par AB. 5/6

6 IV.Applications 1. éthode générale pour résoudre un exercice de mécanique i. Faire un (ou des) schéma(s). ii. Définir le système étudié (le point matériel). iii. Définir le référentiel d'étude et sa nature (galiléen). iv. Faire le bilan des forces qui s'appliquent au système étudié. v. Choisir la méthode de résolution (pour l'instant on n'a pas le choix : 2ème loi de Newton) 2. TD-cours Exercice 1 : Tir d'un projectile dans le vide Un point matériel de masse m est lancé depuis un point du sol avec une vitesse initiale v 0 dans le plan xy et faisant un angle avec l'axe horizontal x. y est verticale ascendante. n suppose que les frottements sont nuls (on lance dans le vide par exemple). 1. Déterminer l'évolution de xt et de yt. 2. En déduire l'équation de la trajectoire de. 3. En déduire les coordonnées du sommet S de la trajectoire ainsi que la portée du tir (distance horizontale atteinte par ). Exercice 2 : Point matériel accroché à un ressort dont l'autre extrémité est fixe Un point matériel de masse m est accroché à l'extrémité d'un ressort de raideur k et de longueur à vide l 0 dont l'autre extrémité est fixée au point. Les forces de frottement fluide et solide seront négligées. I. La position de est repérée grâce à un axe x horizontal. 1. Établir l'équation différentielle du mouvement vérifiée par xt (la position de ) si l'origine est prise à l'extrémité fixe du ressort. 2. En déduire l'équation différentielle vérifiée par la variable X t=xt x eq. Quel est l'intérêt de considérer cette nouvelle variable? Que représente ce changement de variable? 3. Retrouver le résultat précédent en appliquant le PFD avec l'origine souhaitée. II. La position de est repérée grâce à un axe z vertical descendant. 1. Établir l'expression de la position z eq du ressort à l'équilibre. 2. Établir l'équation différentielle du mouvement vérifiée par zt (la position de ) si l'origine est prise à l'extrémité fixe du ressort. 3. En déduire l'équation différentielle vérifiée par la variable Z t=z t z eq. Quel est l'intérêt de considérer cette nouvelle variable? Que représente ce changement de variable? 4. Retrouver le résultat précédent en appliquant le PFD avec l'origine souhaitée. 6/6