FILTRAGE DU SIGNAL FILTRAGE DU SIGNAL COURS. Edition 1-20/03/2018 CHAÎNE D INFORMATION CHAÎNE D ENERGIE

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1 Edition - 20/03/208 CHAÎNE D INFORMATION ACQUERIR TRAITER COMMUNIQUER ALIMENTER DISTRIBUER CONVERTIR TRANSMETTRE CHAÎNE D ENERGIE ACTION Lycée Jules Ferry Cannes ats.julesferry.cannes@gmail.com /23

2 Problématique Edition - 20/03/208 PROBLEMATIQUE «Les signaux électrique véhiculent des signaux de fréquences très diverses. Afin d exploiter la bonne information parmi toutes ces fréquences, il est nécessaire de privilégier certaines fréquences et de rejeter les autres. Le filtrage, élément de la chaîne de conditionnement du signal, remplit cette fonction.» B : Identifier et caractériser les grandeurs physiques agissant sur un système B - MODELISER Identifier la nature de l information et la nature du signal Lycée Jules Ferry Cannes ats.julesferry.cannes@gmail.com 2/23

3 Sommaire Edition - 20/03/208 Sommaire A. Généralités! 4 A..Problématique et classification du filtrage 4 A.2.Types de filtres 4 A.3.Notion de bande passante / bande atténuée 5 A.4.Notion de gabarit de filtre 5 B. Filtres analogiques passifs! 6 B..Filtre passe-bas du er ordre 6 B... Fonction de transfert B..2. Effets sur un signal électrique B.2.Filtre passe-haut du er ordre 8 B.2.. Fonction de transfert B.2.2. Effets sur un signal électrique B.3.Filtre passe-bas du 2d ordre 0 B.3.. Premier circuit : Double circuit RC B.3.2. Second circuit : Circuit RLC B.3.3. Forme générale B.4.Filtre passe-haut du 2d ordre 3 B.5.Filtre passe-bande 3 B.5.. Fonction de transfert B.5.2. Conséquences sur le signal B.5.3. Diagrammes de Bode et gabarit du filtre B.5.4. Recherche de la bande passante B.5.5. Influence du facteur de qualité B.6.Filtre réjecteur de bande (coupe-bande) 7 B.6.. Fonction de transfert B.6.2. Diagramme de Bode et gabarit du filtre B.7.Détermination rapide de la nature du filtre 9 C. Filtres analogiques actifs! 2 C..Filtre passe-bas 2 C.2.Filtre passe-haut 22 C.3.Filtre passe-bande 23 Lycée Jules Ferry Cannes ats.julesferry.cannes@gmail.com 3/23

4 Généralités Edition - 20/03/208 A. Généralités A.. Problématique et classification du filtrage A l issue de l acquisition d une grandeur physique par un capteur, la chaîne de conditionnement a pour fonction de mettre en forme le signal délivré afin de le rendre exploitable par le bloc de traitement des données. Le signal issu du capteur n est jamais purement constitué du seul signal utile, mais d une superposition de plusieurs signaux de fréquences très différentes La chaîne de conditionnement doit permettre de ne transmettre que les informations utiles, en conservant la bande de fréquences véhiculant l information utile, et en rejetant les autres fréquences : c est le rôle du filtre. Tous les systèmes électroniques comportent au moins un filtre. Les applications de ces filtres sont très variées : Acquisition et traitement des données Communications Alimentations électriques On distingue les filtres analogiques et les filtres numériques, ces derniers n étant pas étudiés en CPGE ATS. Parmi les filtres analogiques, nous étudierons les filtres passifs (composés de composants R, L et C) et les filtres actifs (composés des composants R, L, C et ALI). Les outils utilisés dans l étude des filtres sont les fonctions de transfert complexes, avec leurs diagrammes de Bode associés. A.2. Types de filtres L objectif du filtrage est de conserver une bande de fréquence particulière. Il peut s agit : des fréquences inférieures à un seuil : filtre passe-bas des fréquences supérieures à un seuil : filtre passe-haut des fréquences comprises entre deux seuils : filtre passe-bande de toutes les fréquences à l exception d une bande : filtre réjecteur de bande Lycée Jules Ferry Cannes ats.julesferry.cannes@gmail.com 4/23

5 Généralités Edition - 20/03/208 A.3. Notion de bande passante / bande atténuée L étude du comportement harmonique d un filtre fait apparaître un gain maximal G dbmax Nous appellerons bande passante d un filtre l ensemble des fréquences telles que le gain du filtre pour ces fréquences est supérieure ou égal à G dbmax 3 G dbmax G dbmax 3dB Bande passante Les fréquences rejetées sont regroupées dans la bande atténuée A.4. Notion de gabarit de filtre G c f c f a Un filtre idéal devrait rendre infini le gain dans la bande passante, et nul dans la bande atténuée. Un tel filtre n est toutefois pas réalisable en pratique. Il faut donc définir un gain G MAX et G MIN tels que : les gains du filtre dans la bande passante doivent vérifier G > G c G a les gains du filtre dans la bande atténuée doivent vérifier G < G a On définit ainsi des zones impératives et des zones interdites dans lesquelles doivent obligatoirement se trouver la réponse fréquentielle du filtre. On appelle gabarit d un filtre la représentation schématique de ces zones. Le gabarit ci-dessus est un exemple de gabarit de filtre passe-bas. Lycée Jules Ferry Cannes ats.julesferry.cannes@gmail.com 5/23

6 B. Filtres analogiques passifs B.. Filtre passe-bas du er ordre B... Fonction de transfert On applique sur le circuit ci-contre le principe du pont diviseur de tension : Z C Z C + Z R avec Z C jcω et Z R R R La fonction de transfert s écrit donc : C V + jrcω ou encore s ω + j ω 0 Il s agit d une fonction du er ordre, dont : * le gain vaut G db 20log ( ) 0log + (RCω)2 2 + (RCω) * la pulsation de cassure, qui est également la pulsation de coupure, est ω 0 / RC Pulsation de coupure -3 db Gabarit Gabarit Pente -20 db/decade La fréquence de coupure de ce filtre est donc f c 2π /ω 0 Lycée Jules Ferry Cannes ats.julesferry.cannes@gmail.com 6/23

7 B..2. Effets sur un signal électrique Le filtre passe-bas est particulièrement efficace pour éliminer les bruits d une mesure Considérons le signal ci-dessous : Il est constitué de la superposition de 4 signaux sinusoïdaux différents, tel que le montre le spectre de Fourier ci-contre : Un filtre passe-bas de pulsation propre 20 rad/s délivrera le signal filtré suivant : Lycée Jules Ferry Cannes ats.julesferry.cannes@gmail.com 7/23

8 B.2. Filtre passe-haut du er ordre B.2.. Fonction de transfert On considère à présent le circuit ci-contre, sur lequel on appliquera une nouvelle fois le principe du pont diviseur de tension : C Z R Z C + Z R R La fonction de transfert s écrit alors : jrcω V + jrcω ou encore s j ω ω 0 + j ω ω 0 Il s agit encore d une fonction du er ordre, dont : * le gain vaut G db 20log ω /ω 0 + (ω /ω 0 ) 2 * la pulsation de cassure est ω 0 / RC Pulsation de coupure -3 db Gabarit Gabarit Pente +20 db/decade Lycée Jules Ferry Cannes ats.julesferry.cannes@gmail.com 8/23

9 B.2.2. Effets sur un signal électrique Le filtre passe-haut permet de ne conserver que les fréquences élevées d un signal. Pour le signal brut précédent, l application d un filtre passe-haut de pulsation de coupure 200 rad/s délivre le signal filtré ci-contre. L ensemble des basse et moyenne fréquences ont été rejetées. Ce filtre est utile lorsqu il s agit par exemple de corriger les dérives lentes d un capteur, pour ne fournir que le signal utile. Il permet également de supprimer la compostante continue des signaux, comme le montre la figure cidessous, dans laquelle la composante continue du signal d entrée a été supprimée. Le déphasage de +90 est également visible. Lycée Jules Ferry Cannes ats.julesferry.cannes@gmail.com 9/23

10 B.3. Filtre passe-bas du 2d ordre B.3.. Premier circuit : Double circuit RC Soit le circuit suivant : R R2 C V C C2 Il est constitué de 2 filtres passe-bas du er ordre, dont les pulsations de coupure sont respectivement ω 0 / R C et ω 02 / R 2 C 2 Le comportement de ce filtre peut s étudier en étudiant chacun des filtres successivement. V C + j ω ω 0 avec ω 0 / R C V C + j ω ω 02 avec ω 02 / R 2 C 2 On en déduit alors la fonction de transfert globale : + j ω ω + j ω 0 ω + jω + 02 ω 0 ω ω 2 02 ω 0 ω 02 Il s agit d une fonction du second ordre, dont les pulsations de cassure sont ω 0 et ω 02 Lycée Jules Ferry Cannes ats.julesferry.cannes@gmail.com 0/23

11 Le diagramme de Bode de ce filtre est également déduit des diagrammes de chacun des filtres du er ordre : Le filtrage est plus efficace avec un filtre du second ordre. Les réponses ci-dessous montrent l application d un filtre du er ordre et d un filtre du second ordre dont les pulsations de coupure sont identiques. Lycée Jules Ferry Cannes ats.julesferry.cannes@gmail.com /23

12 B.3.2. Second circuit : Circuit RLC Considérons à présent le circuit RLC suivant : R L C En appliquant le pont diviseur de tension, on obtient : jcω jcω + R + jlω + jrcω LCω 2 Cette fonction de transfert peut se mettre sous la forme suivante : + 2 R 2 C L j ω ω ω 0 ω 0 2 Le comportement de ce second circuit est similaire au premier circuit B.3.3. Forme générale Les fonctions de transfert des filtres passe-bas du second ordre auront toujours la forme suivante : K 2m( jω) + + j ω ω 0 ω 0 ω 0 est la pulsation propre du filtre m est son facteur d amortissement K est son gain statique 2 Lycée Jules Ferry Cannes ats.julesferry.cannes@gmail.com 2/23

13 B.4. Filtre passe-haut du 2d ordre Soit le circuit suivant : R C L Sa fonction de transfert est : jlω jlω + ( ) 2 LC jω jcω + R + jrcω + LC jω ( ) 2 Les fonctions de transfert des filtres passe-haut du second ordre auront toujours la forme suivante : K j ω ω 0 2m( jω) + + j ω ω 0 ω B.5. Filtre passe-bande B.5.. Fonction de transfert Associer en série un filtre passif passe-bas et un filtre passe-haut revient à construire un filtre passe-bande : R C2 C V C R2 (Notons qu il existe d autres structures de filtres passe-bande) Lycée Jules Ferry Cannes ats.julesferry.cannes@gmail.com 3/23

14 La fonction de transfert d un filtre passe-bande est souvent exprimée comme suit : K + jq ω ω 0 ω 0 ω où Q 2m Mais on peut également trouver la forme plus classique en SII : est appelé facteur de qualité jk ω ω 0 + j 2mω + j ω ω 0 ω 0 2 B.5.2. Conséquences sur le signal Ce filtre conserve les composantes des fréquences centrées sur une certaine valeur, avec une bande passante plus ou moins étendue. Par exemple, un filtre passe-bande centré sur la pulsation ω 0 20 rad.s appliqué au signal du B.2.2 délivre le signal ci-contre. Il conserve uniquement la composante de la pulsation concernée, en excluant les autres bandes de fréquence. Lycée Jules Ferry Cannes ats.julesferry.cannes@gmail.com 4/23

15 B.5.3. Diagrammes de Bode et gabarit du filtre G dbmax G dbmax 3dB Gabarit Bande passante Gabarit Gabarit ω cb ω ch B.5.4. Recherche de la bande passante La bande passante est définie par la bande de fréquence pour laquelle le gain est supérieur ou égal à G dbmax 3dB La méthode de détermination de la bande passante d un filtre passe-bande est :. Recherche de la pulsation propre ω 0 telle que G(ω 0 ) est maximal : G MAX 2. Résolution de G(ω) G MAX 2 Lycée Jules Ferry Cannes ats.julesferry.cannes@gmail.com 5/23

16 B.5.5. Influence du facteur de qualité Le facteur de qualité traduit la sélectivité du filtre autour de la fréquence de coupure. Plus le facteur de qualité est élevé, plus le filtre est sélectif, ainsi que le montre les diagrammes de Bode de gain ci-dessous : Q20 Q0 Q5 Q2 Q Lycée Jules Ferry Cannes ats.julesferry.cannes@gmail.com 6/23

17 B.6. Filtre réjecteur de bande (coupe-bande) B.6.. Fonction de transfert Le circuit ci-contre représente un exemple de filtre réjecteur de bande. Appliquons le théorème de Millmann en A : ( V A V R2 jc ω ) + ( jc 2 ω) ( jc ω + jc 2 ω + jr C 2 ω ) + ( jr 2 C 2 ω) + jr 2 ( C + C 2 )ω R 2 C R2 R A V R2 C2 B () Appliquons maintenant le théorème de Millmann en B : V B ( jc 2 ω)v R2 + R ( jr C 2 ω)v R2 + jc 2 ω + + jr C 2 ω R (2) Dans le cas particulier où C C 2 C, R 2R et R 2 R / 2, on tire de l équation () : ( + jrcω)v R2 j R 2 Cω V + j R e 2 Cω j R V R2 2 Cω + jrcω V + s ( ) Expression que l on exploite alors dans (2) : ( + j2rcω) ( j2rcω)v R2 + ( j2rcω) j R 2 Cω ( + jrcω V + s )+ ( + j2rcω) ( + jrcω) ( jrcω) 2 ( + )+ ( + jrcω) ( + 2 jrcω) + jrcω ( ) ( jrcω) 2 V jrcω s ( ) 2 + ( + jrcω) Lycée Jules Ferry Cannes ats.julesferry.cannes@gmail.com 7/23

18 Soit finalement la fonction de transfert du filtre : ( ) 2 ( ) 2 + jrcω + jrcω + 3jRCω + jrcω B.6.2. Diagramme de Bode et gabarit du filtre G dbmax Gabarit G dbmax 3dB Bande passante Bande passante Gabarit Gabarit Lycée Jules Ferry Cannes ats.julesferry.cannes@gmail.com 8/23

19 B.7. Détermination rapide de la nature du filtre Avant de mener une étude détaillée d un filtre, et ainsi connaître sa fonction, il est possible dans la majorité des cas d identifier sa nature par une étude de son modèle équivalent à basse et haute fréquence. Il faut pour cela exploiter les équivalences suivantes : une bobine est assimilable à basse fréquence à un interrupteur fermé, et à haute fréquence à un interrupteur ouvert un condensateur est assimilable à basse fréquence à un interrupteur ouvert, et à haute fréquence à un interrupteur fermé Composant Equivalence BF Equivalence HF Avec cette équivalence, l étude du comportement à basse et haute fréquence d un permet d identifier sa fonction : Composant Equivalence BF Equivalence HF Type de filtre BF : HF : 0 FILTRE PASSE-BAS BF : 0 HF : FILTRE PASSE-HAUT Lycée Jules Ferry Cannes ats.julesferry.cannes@gmail.com 9/23

20 Composant Equivalence BF Equivalence HF Type de filtre BF : HF : 0 FILTRE PASSE-BAS BF : 0 HF : FILTRE PASSE-HAUT BF : 0 HF : 0 FILTRE PASSE-BANDE BF : HF : FILTRE COUPE-BANDE Lycée Jules Ferry Cannes ats.julesferry.cannes@gmail.com 20/23

21 C. Filtres analogiques actifs Filtres analogiques actifs Edition - 20/03/208 Les filtres analogiques peuvent exploiter les propriétés des Amplificateurs Linéaires Intégrés (ALI). Ils permettent de ne plus avoir recours aux bobines, composants encombrants et onéreux. En contrepartie, les filtres actifs nécessitent une alimentation électrique, contrairement aux filtres passifs. Dans les études qui vont suivre, l ALI sera systématiquement supposé parfait. C.. Filtre passe-bas Il existe une boucle de réaction sur l entrée inverseuse, l ALI fonctionne donc en mode linéaire R Le signal est relié à l entrée inverseuse, le montage est donc un montage inverseur V Appliquons le théorème de Millmann sur E- : + + jcω R R jcω R R 2 V R V + R 2 e ( + jr R Cω 2 ) R + R 2 + jr R 2 Cω R V + R 2 e ( + jr R Cω 2 ) R + R 2 + jr R 2 Cω ε R2 C - + L ALI étant supposé parfait, on tire V V + 0 Alors R 2 + ( R + jr R 2 Cω) 0 D où on tire finalement la fonction de transfert : R 2 R + jr R 2 Cω R 2 / R + jr 2 Cω Lycée Jules Ferry Cannes ats.julesferry.cannes@gmail.com 2/23

22 Filtres analogiques actifs Edition - 20/03/208 Il s agit bien ici d un filtre passe-bas du er ordre, de pulsation de cassure ω 0 R 2 C C.2. Filtre passe-haut Il existe une boucle de réaction sur l entrée inverseuse, l ALI fonctionne donc en mode linéaire R C R2 Le signal est relié à l entrée inverseuse, le montage est donc un montage inverseur Appliquons le théorème de Millmann sur E- : ε - + V + R 2 R + jcω + R 2 R + jcω ( + jr Cω ) + jr 2 Cω + j ( R + R 2 )Cω L ALI étant supposé parfait, on tire V V + 0 Alors ( + jr Cω) + jr 2 Cω 0 D où on tire finalement la fonction de transfert : jr 2Cω + jr Cω Il s agit bien ici d un filtre passe-haut du er ordre, de pulsation de cassure ω 0 R C Lycée Jules Ferry Cannes ats.julesferry.cannes@gmail.com 22/23

23 C.3. Filtre passe-bande Filtres analogiques actifs Edition - 20/03/208 C Il existe une boucle de réaction sur l entrée inverseuse, l ALI fonctionne donc en mode linéaire R C R Le signal est relié à l entrée inverseuse, le montage est donc un montage inverseur Appliquons le théorème de Millmann sur E- : ε - + R + V + e R + jcω V s jrcω + ( + jrcω) jcω V + jrcω jrcω + + jrcω R + + R + jcω jrcω + jrcω ++ jrcω jrcω + + jrcω jcω L ALI étant supposé parfait, on tire V V + 0 Alors jrcω + ( + jrcω) 2 0 D où on tire finalement la fonction de transfert : jrcω ( + jrcω) 2 Il s agit bien ici d un filtre passe-bande, de pulsation de cassure ω 0 RC ( ) 2 ( ) 2 Lycée Jules Ferry Cannes ats.julesferry.cannes@gmail.com 23/23