Application de la méthode de Boltzmann sur gaz réseau à l aéraulique externe des bâtiments

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1 Application de la méthode de Boltzmann sur gaz réseau à l aéraulique externe des bâtiments Christian Obrecht 1,2,3,*, Frédéric Kuznik 2,3, Bernard Tourancheau 4, Jean-Jacques Roux 2,3 1 EDF R&D, Département EnerBAT, Moret-sur-Loing Cedex 2 Université de Lyon, Lyon Cedex 07 3 INSA-Lyon, CETHIL, UMR5008, Villeurbanne Cedex 4 UJF-Grenoble, INRIA, LIG UMR5217, Grenoble Cedex 9 * Courriel : christian.obrecht@insa-lyon.fr RÉSUMÉ. La présente contribution entend illustrer la pertinence de l utilisation de la méthode de Boltzmann sur gaz réseau dans le cadre de l aéraulique externe des bâtiments. Nous présentons des résultats issus de la simulation à haut nombre de Reynolds des écoulements autour de deux obstacles dissemblables montés sur une paroi. Les calculs ont été effectués sur processeurs graphiques par un solveur développé par nos soins. Ce programme réalise la simulation des écoulements par l utilisation d un modèle de Boltzmann sur gaz réseau à temps de relaxation multiples auquel est adjoint un modèle de sous-maille de type Smagorinsky. ABSTRACT. The present contribution aims at illustrating the relevance of the use of the lattice Boltzmann method in the field of external building aeraulics. We present results from the simulation at high Reynolds number of the flow around two wall-mounted dissimilar obstacles. Computations were carried out on graphics processing units using a solver we developed for that purpose. This program implements flow simulation using a multiple relaxation time lattice Boltzmann model in conjunction with a Smagorinsky sub-grid scale model. MOTS-CLÉS : aéraulique externe des bâtiments, méthode de Boltzmann sur gaz réseau, calculs scientifiques sur processeurs graphiques. KEY WORDS: buildings external aeraulics, lattice Boltzmann method, scientific computing on graphics processing units.

2 XXX e Rencontres AUGC-IBPSA Chambéry, Savoie, 6 au 8 juin Introduction Nous sommes passés en peu de temps de la nécessité de l évaluation des consommations énergétiques des bâtiments à la nécessité de l évaluation, voire de la garantie, de leurs performances en termes de confort, d efficacité énergétique, d optimisation des systèmes producteurs d énergie. Le développement des bâtiments à basse consommation (BBC) ou encore de bâtiments à énergie positive (BEPOS), nécessairement en réseau, nécessitent de pouvoir mieux comprendre et donc modéliser des phénomènes qui jusqu alors étaient plutôt négligés. Dans le domaine de l aéraulique externe des bâtiments en particulier, l évaluation du microclimat urbain permettrait d obtenir des conditions aux limites plus réalistes pour les modèles. Néanmoins la détermination effective des transferts de masse et de chaleur dans ce cadre se heurte au coût calculatoire prohibitif des simulations [BLO 11]. Développée depuis la fin des années 1980, la méthode de Boltzmann sur gaz réseau (LBM pour lattice Boltzmann method) permet de reproduire avec précision et efficacité le comportement des fluides newtoniens. La LBM repose sur la résolution de l équation de Boltzmann discrétisée en temps et sur l espace des phases [MAR 08]. Dans le maillage correspondant, les nœuds sont liés à un ensemble de nœuds voisins relativement à l ensemble des vitesses particulaires retenu. Cette méthode possède des propriétés remarquables : explicite, robuste, parallélisable, adaptée aux géométries complexes. Elle constitue donc une alternative intéressante à la résolution numérique des équations de Navier-Stokes. Il demeure que, comme toute méthode de simulation directe des écoulements, la LBM requiert l utilisation de moyens de calcul conséquents, mais néanmoins accessibles désormais à des coûts raisonnables, grâce à l utilisation du calcul sur processeur graphique (GPU pour graphics processing unit). Dans la présente contribution, nous décrivons des résultats issus de la simulation à haut nombre de Reynolds des écoulements autour de deux obstacles dissemblables montés sur une paroi (bâtiment en masquant un autre). Les deux obstacles sont d une part un parallélépipède de dimensions c 2c 2c et d autre part un cube de côté c. Le profil de vitesse imposé au fluide à l entrée du domaine de calcul est logarithmique. Des simulations pour plusieurs dispositions différentes des bâtiments ont été menées à bien. Les champs moyens de vitesse et de pression dans le plan de symétrie du dispositif sont détaillés et commentés dans chacun des cas. Les résultats présentés témoignent de la pertinence et de l intérêt d une utilisation de la LBM appliquée à l aéraulique externe des bâtiments, permettant en l occurrence d accéder aux champs de pression et donc aux valeurs des coefficients de pression à l échelle d un quartier. 2. Méthode de Boltzmann sur gaz réseau Bien qu issue à l origine de la théorie des automates sur gaz réseau [FRI 86], la méthode de Boltzmann sur gaz réseau est de nos jours généralement considérée comme dérivant de l équation de Boltzmann :

3 Application de la méthode de Boltzmann sur gaz réseau à l aéraulique externe des bâtiments 3 où f désigne la fonction de distribution du fluide dans l espace des phases, x étant la position, ξ la vitesse particulaire et t le temps ; F désigne une force extérieure ; Ω désigne l opérateur de collision. La LBM repose sur une version discrétisée de l équation [1] dans laquelle il est fait usage d un maillage orthogonal régulier de taille de maille δx pour l espace et d un pas constant δt pour le temps. L espace des vitesses particulaires est quant à lui représenté par un ensemble fini de vitesses { ξ α α = 0,... N } choisies de sorte que les vecteurs δt ξ α relient des nœuds contigus. L analogue de la fonction de distribution f est un ensemble { f α α = 0,... N } de densités particulaires associées aux ξ α. L équation [1] devient : en l absence de force extérieure. La densité ρ et la quantité de mouvement j du fluide obéissent aux relations : Dans le cadre de cette étude, nous avons utilisé l ensemble de vitesses particulaires nommé D3Q19 représenté en fig. 1. Cet ensemble comporte en tout 19 vitesses (en comptant la vitesse nulle). Figure 1. L ensemble de vitesses particulaires D3Q19 L opérateur de collision peut s exprimer de diverses manières, la plus répandue étant l approche dite BGK [QIA 92] reposant sur l approximation de Bhatnagar- Gross-Krook [BHA 54]. Cette approche possède l avantage de présenter un coût calculatoire faible, mais souffre d instabilités numériques. Il lui a été préféré le recours à un opérateur de collision à temps de relaxation multiples (MRT pour multiple relaxation time) [HUM 94] dont la supériorité en termes de précision et de stabilité a été établie dans de nombreux travaux [HUM 02].

4 XXX e Rencontres AUGC-IBPSA Chambéry, Savoie, 6 au 8 juin Dans l approche MRT, les densités particulaires sont associées à un ensemble de moments { m α α = 0,... N } par l intermédiaire d une matrice orthogonale M. L équation [2] s écrit alors : où Λ est une matrice diagonale contenant les taux de relaxation et les m α (eq) sont les moments à l équilibre. Les matrices M et Λ ainsi que l expression des m α (eq) pour le schéma D3Q19 se trouvent entre autres dans l appendice A de [HUM 02]. Dans le domaine de l aéraulique externe des bâtiments, la nature des écoulements impose l utilisation d un modèle de sous-maille, la simulation numérique directe à ces niveaux de turbulence étant pour l instant hors de portée en pratique. Dans la présente étude, nous avons recours à un modèle de type Smagorinsky [SMA 63] introduisant un terme de viscosité turbulente ν t : où S désigne le tenseur des taux de déformation et C S est la constante de Smagorinsky que nous avons prise égale à 0,1. L un des avantages de l approche MRT à cet égard réside dans le fait qu il est possible de déterminer les composantes du tenseur S à partir des seuls moments m α calculés dans la résolution de l équation [5], ce qui n est pas le cas de l approche BGK [KRA 03]. 3. Méthodologie de l étude 3.1 Aspects logiciels Le calcul sur processeur graphique connaît actuellement un fort développement, en particulier depuis l introduction de la technologie CUDA par le fabricant Nvidia [NVI 11]. Au départ, ce type d utilisation était un usage détourné des dispositifs d affichage présents sur les ordinateurs personnels. Les évolutions récentes de ces circuits les rendent à présent capables d effectuer des opérations en virgule flottante en se conformant aux spécifications du standard IEEE 754. De par sa nature intrinsèquement parallèle, la LBM est particulièrement bien adaptée au calcul sur GPU. Durant ces dernières années, plusieurs implantations efficaces basées sur diverses techniques d optimisation ont été décrites dans la littérature [OBR 11a, TOE 08]. Le présent travail s appuie sur le framework TheLMA [THE 09, OBR 11b] qui fournit un cadre de développement pour la programmation de solveurs LBM sur GPU. Il est à noter que le facteur limitant les performances de ces solveurs n est en général pas la quantité de calculs à effectuer mais le coût des communications entre le processeur et la mémoire qui lui est associée. Dans le cas présent, l utilisation d un modèle de type MRT avec modèle de sous-maille, n introduit en pratique aucun surcoût par rapport à un simple modèle de type BGK, bien que nécessitant sensiblement plus de calculs par nœud. Le noyau de calcul a fait l objet d une étude de validation publiée récemment [OBR 11c]. Le framework TheLMA proposant une gestion multi-gpu native, il

5 Application de la méthode de Boltzmann sur gaz réseau à l aéraulique externe des bâtiments 5 nous a été possible d utiliser jusqu à huit GPU en parallèle sur un maillage pouvant comporter jusqu à 220 millions de nœuds. Les performances obtenues affichent une accélération de facteur 30 par rapport aux meilleures implantations mono-cpu actuelles. TheLMA comporte également un système efficace de gestion des conditions aux limites, permettant de spécifier la nature de chaque nœud pris individuellement sans surcoût notable. 3.2 Cas d étude Pour nos simulations, nous avons considéré une cavité tridimensionnelle comportant deux obstacles montés sur un socle et représentant deux bâtiments. Trois configurations différentes ont été étudiées. Les cas 1 et 2 correspondent à la situation représentée en fig. 2. Les dimensions mentionnées vérifient c 1 = c, c 2 = 2c, h = 6c, x 0 = 4c et y 0 = 4,5c. La dimension a vaut respectivement a = c et a = 2c. Le cas 3 correspond au cas 1 pour lequel la position du cube et celle du parallélépipède ont été interverties. La longueur de la partie du domaine située après le second obstacle est strictement supérieure à 13c. Figure 2. Configuration du domaine de simulation correspondant aux cas 1 et 2 Le flux entrant possède un profil de vitesse logarithmique. L interface entre fluide et solide est traitée en utilisant une condition aux limites du type simple bounce back [GIN 94]. Pour les autres faces du domaine de simulation, c est-à-dire les faces

6 XXX e Rencontres AUGC-IBPSA Chambéry, Savoie, 6 au 8 juin latérales, supérieure et la face de sortie du flux, on impose un gradient nul sur les distributions particulaires dans la direction normale à la face. Cette condition contribue à minimiser l influence des parois latérales et supérieures sur l écoulement. Nous définissons le nombre de Reynolds Re correspondant à nos configurations comme étant Re = u c 2 /ν, u étant la vitesse imposée à la hauteur c 2 et ν la viscosité cinématique. La valeur retenue pour nos simulations est Re = Procédure de calcul Nous avons considéré un domaine de calcul de dimensions (soit plus de 141 millions de nœuds). Par mesure de commodité, nous avons fixé δx = 1 et δt = 1. La vitesse maximale imposée est, relativement à ces unités, fixée à 0,04. La valeur du nombre de Reynolds recherchée est obtenue en faisant varier la viscosité ν qui intervient dans le calcul de certains des taux de relaxation de la matrice diagonale Λ. Pour chacun des trois cas étudiés, nous avons effectué une simulation sur 10 6 pas de temps et calculé la densité et la vitesse moyenne en chaque point du maillage entre t = 2, et t = Les calculs ont été réalisés sur un serveur Tyan B7015 équipé de huit cartes Nvidia Tesla C1060. Chaque simulation a nécessité un temps de calcul de l ordre de 16 h 10 min. 4. Résultats La fig. 3 illustre les résultats obtenus en termes de lignes de courant et de taux de variation de pression moyen, défini comme étant égal à : où p désigne la pression moyenne et p la pression de référence à l entrée. Il est à noter que, au niveau des parois des obstacles, r correspond au coefficient de pression. Sur la base de mesures sur maquette, [COS 09] expose le cas particulier d un bâtiment de grande hauteur situé à l intérieur d un quartier. Les auteurs montrent que les variations du coefficient de pression (C P ) en fonction de la position sur la même façade du bâtiment sont très importantes. C est également un des résultats de ce travail, illustré par la fig. 4. Quelle est l incidence de ces résultats sur le comportement thermo-aéraulique des bâtiments? Le bâtiment se comporte-t-il du point de vue de l aéraulique de la même manière avec un coefficient de pression moyen par face, comme cela est fait dans la plupart des simulations actuellement, sur la base des codes de calcul dédiés à cette thématique? Quelle est l incidence de l hypothèse d un coefficient moyen par face non évolutif dans le temps sur l évaluation de critères de qualification énergétique? Comment sont modifiés les transferts de masse (air et humidité) et de chaleur lorsque l on prend en compte l hétérogénéité des champs de pression et de vitesse sur les différentes faces du bâtiment? Autant de questions induites, dont la liste donnée ici est loin d être exhaustive et pour lesquelles nous pensons avoir désormais un outil, relativement

7 Application de la méthode de Boltzmann sur gaz réseau à l aéraulique externe des bâtiments 7 facile d accès à l échelle du laboratoire, permettant d amener des éléments de réponse. Figure 3. Lignes de courant et taux de variation de pression moyens Figure 4. Taux de variation de pression moyen à la hauteur des faces sous le vent des deux obstacles pour le cas 1

8 XXX e Rencontres AUGC-IBPSA Chambéry, Savoie, 6 au 8 juin Conclusion Dans le travail présenté dans cet article, nous commentons des résultats de simulation obtenus sur la base de l implémentation multi-gpu de la LBM. Nous montrons en particulier que les temps de calcul demeurent dans des limites raisonnables sur des configurations de plusieurs centaines de millions de nœuds de maillage, sur du matériel informatique désormais accessible (en coût et en utilisabilité) à l échelle du laboratoire. Ainsi, nous croyons que cette contribution est une étape importante démontrant que des simulations efficaces de CFD (computational fluid dynamics) dans le domaine de la thermo-hygro-aéraulique externe des bâtiments sont possibles, ouvrant sur un large spectre d investigations jusqu à présent difficiles à mener. Les résultats présentés témoignent de la pertinence et de l intérêt d une utilisation de la LBM appliquée à l aéraulique externe des bâtiments permettant, comme nous le montrons sur l exemple choisi, d accéder aux champs de pression et de vitesse et par conséquent aux valeurs des coefficients de pression sur l ensemble des faces du bâtiments, voire aux coefficients d échanges convectifs, le couplage thermique ayant été implanté par ailleurs [OBR 11d]. 6. Bibliographie [BHA 54] BHATNAGAR P. L., GROSS E. P., KROOK M. «Amplitude Processes in Charged and Neutral One-Component Systems». Physical Review, 94(3): , [BLO 11] BLOCKEN B., STATHOPOULOS T., CARMELIET J., HENSEN J. L. M. «Application of computational fluid dynamics in building performance simulation for the outdoor environment : an overview». Journal of Building Performance Simulation, 4(2): , [COS 09] CÓSTOLA D., BLOCKEN B., HENSEN J. L. M. «Overview of pressure coefficient data in building energy simulation and airflow network programs». Building and Environment, 44 (10): , [FRI 86] FRISCH U., HASSLACHER B., POMEAU Y. «Lattice-Gas Automata for the Navier- Stokes Equation». Physical Review Letters, 56(14): , [GIN 94] GINZBOURG I., ADLER P. M. «Boundary flow condition analysis for the threedimensional lattice Boltzmann model». Journal de Physique II, 4(2): , [KRA 03] KRAFCZYK M., TÖLKE J., LUO L.-S. «Large-eddy simulations with a multiplerelaxation-time LBE model». International Journal of Modern Physics B, 17(1):33 40, [HUM 94] D HUMIÈRES D. «Generalized lattice-boltzmann equations». Rarefied gas dynamics Theory and simulations, pages , [HUM 02] D HUMIÈRES D., GINZBURG I., KRAFCZYK M., LALLEMAND P., LUO L.-S. «Multiplerelaxation-time lattice Boltzmann models in three dimensions». Philosophical Transactions: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, pages , 2002.

9 Application de la méthode de Boltzmann sur gaz réseau à l aéraulique externe des bâtiments 9 [MAR 08] MARIÉ S. «Étude de la méthode Boltzmann sur Réseau pour les simulations en aéroacoustique», Thèse de Doctorat de l'université Pierre et Marie Curie, [NVI 11] Compute Unified Device Architecture Programming Guide version 4.0. nvidia, June [OBR 11a] OBRECHT C., KUZNIK F., TOURANCHEAU B., ROUX J.-J. «A New Approach to the Lattice Boltzmann Method for Graphics Processing Units». Computers and Mathematics with Applications, 12(61) : , June [OBR 11b] OBRECHT C., KUZNIK F., TOURANCHEAU B., ROUX J.-J. «The TheLMA project : Multi-GPU Implementation of the Lattice Boltzmann Method». International Journal of High Performance Computing Applications, 25(3) : , August [OBR 11c] OBRECHT C., KUZNIK F., TOURANCHEAU B., ROUX J.-J. «Towards Urban-Scale Flow Simulations Using the Lattice Boltzmann Method». Building Simulation, [OBR 11d] OBRECHT C., KUZNIK F., TOURANCHEAU B., ROUX J.-J. «The TheLMA project : a thermal lattice Boltzmann solver for the GPU». Computers and Fluids, 54: , [QIA 92] QIAN Y. H., D HUMIÈRES D., LALLEMAND P. «Lattice BGK models for Navier- Stokes equation». Europhysics Letters, 17(6): , [THE 09] Thermal LBM on Many-core Architectures. [TOE 08] TÖLKE J., KRAFCZYK M. «TeraFLOP computing on a desktop PC with GPUs for 3D CFD». International Journal of Computational Fluid Dynamics, 22(7) : , [SMA 63] SMAGORINSKY, J. «General circulation experiments with the primitive equations». Monthly weather review, 91(3):99 164, 1963.