Simulation du transport de polluant dans les nappes par un modèle à faible diffusion numérique

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1 Relation of Groundwater Quantity and Quality (Proceedings of the Hamburg Symposium, August 1983). IAHS Publ. no INTRODUCTION Simulation du transport de polluant dans les nappes par un modèle à faible diffusion numérique J. P. BOUCHARD & P, LENCIONI EDF, Laboratoire National d'hydraulique, 6 Quai Watier, F Chatou, France RESUME Une description est donnée des difficultés qui subsistent encore pour modéliser les différents phénomènes physiques mis en jeu dans le transport de soluté en milieu poreux. Le modèle présenté ici résout les équations de l'écoulement et du transport de concentration exprimées en différences finies. Il utilise pour la convection un algorithme basé sur la méthode des caractéristiques bidimensionnnelles qui assure une faible diffusion numérique. L'intérêt de cette méthode a été démontré par l'application de ce modèle à l'estimation des évolutions de concentration en cas de rejet de polluant dans une nappe. La diffusion numérique réduite du programme a permis de simuler des transports avec une faible dispersivité. Simulation of solute transport in aquifers by means of a mathematical model with little numerical diffusion ABSTRACT A description is given of the difficulties which appear in modelling the physical phenomena involved in solute transport in porous media. The model solves the flow and transport equations by means of a finite difference method. The advection step is solved by an algorithm based on the so-called two-dimensional method of characteristics which allows calculation with little numerical dispersion. The computer code has been applied to estimate the concentration evolution in the case of aquifer pollution. Il est classique de constater que de nombreuses activités humaines sont susceptibles de porter atteinte à la qualité des eaux souterraines et que la pollution des nappes est en général très durable. Un modèle mathématique, simulant les écoulements et le transport de soluté dans les nappes, constitue un outil précieux pour appréhender ces problèmes puisqu'il permet, lorsqu'un risque particulier de pollution existe, de prévoir l'étendue de la zone concernée, les concentrations atteintes et d'aider à définir les moyens d'en limiter les conséquences néfastes. Malgré l'intérêt évident d'un tel outil et la multiplicité des causes potentielles de pollution, son utilisation apparaît encore entravée par certaines difficultés subsistant à plusieurs étapes de la modélisation. 123

2 124 J.P.Bouchard S P.Lencioni LES DIFFICULTES DE LA MODELISATION Après avoir calculé la champ des vitesses de filtration aux noeuds du maillage, le modèle doit simuler les différents phénomènes physiques qui déterminent le transfert de soluté: la convection par le champ de vitesses moyen, la dispersion par les hétérogénéités des vitesses et enfin les échanges entre le fluide et les grains solides. Chacune de ces étapes de la modélisation présente des difficultés propres. Les échanges entre phases Le problème réside, ici, dans la multiplicité et la complexité des lois d'échanges possibles: Lallemand-Barres et al. (1981) ont dressé la liste des principales lois utilisables dans un modèle et des paramètres qui leur sont associés; de plus, des coefficients différents pour la sorption et la désorption pourront être nécessaire pour traduire l'hystérésis de la loi d'échange. Les paramètres d'échange ne peuvent être connus que par traçage sur le site ou en laboratoire. La difficulté provient alors de ce que des lois d'échange complexes impliquent de nombreux paramètres qui sont difficilement identifiables sur une courbe de restitution du traceur. On doit donc souvent se limiter aux lois d'échange les plus simples. La dispersion Une formulation classique de ce phénomène a été donnée par Fried & Combarnous (1971): le résultat de la dispersion du polluant par les fluctuations spatiales de la vitesse autour de sa valeur moyenne est assimilé à une diffusion gouvernée par une tenseur anisotrope: D = v D tenseur de dispersion; v vitesse moyenne du fluide; et a 1( a t diffusivité longitudinale et transversale relativement à la direction de la vitesse. La prise en compte dans le modèle d'une anisotropie dont les directions principales ne sont pas celles du maillage constitue une première difficulté. De plus, la mesure de dispersivités sur le terrain a fait apparaître que ce paramète n'était pas une caractéristique du milieu mais dépendait également selon Dieulin (1980) du temps de parcours. La modélisation de la dispersion par une diffusion se trouve ainsi remise en cause par De Marsily & Matheron (1980) pour la plupart des cas pratiques. Une autre expression de la dispersion est recherchée notamment par Gelhar et al. (1979) au moyen de modèles stochastiques, mais ces recherches n'ont pas livré jusqu'à présent, de formulation

3 utilisable dans un modèle de transport. La convection L'expression du phénomène en cause est simple: 9c -y -v 7j = v grad c Simulation du transport de polluant 125 où c est la concentration. Par contre, la résolution de cette équation pose des problèmes numériques. Les interpolations entre les grandeurs calculées aux noeuds du maillage et l'éclatement de cet opérateur suivant les deux composantes de la vitesse engendrent une diffusion numérique parasite, indiscernable dans le résultat final de celle provenant de la simulation de la dispersion. Cette diffusion incontrôlable peut ainsi, masquer totalement l'effet des phénomènes d'échange entre phases et de dispersion évoqués précédemment. PRESENTATION DU MODELE Face à ces difficulutês, et d'autre part, au besoin réel d'un outil pour appréhender les problèmes de pollution de nappe, un modèle mathématique a été développé en s'appuyant sur les réflexions suivantes: (a) Il paraît illusoire de chercher à préciser la formulation de la dispersion et des échanges de soluté avec le milieu solide tant que l'effet de ces phénomènes est masqué par la diffusion numérique produite lors de la simulation de la convection. (b) D'un point de vue pratique, face à l'incertitude sur les coefficients de dispersivité à employer résultant de l'inadéquation du modèle diffusif, il convient, au moins, de pouvoir encadrer l'effet dispersif réel par des simulations utilisant différentes valeurs du coefficient de diffusivité. Ceci suppose que l'on puisse simuler aussi bien une faible dispersion qu'une forte dispersion, ce qui n'est possible qu'avec un code de calcul ne produisant que peu de diffusion numérique. Ces réflexions nous ont donc amené à faire porter l'effort de précision sur la résolution de l'étape de convection en recherchant des algorithmes les moins diffusifs possibles. Caractéristiques du modèle Le modèle résout l'équation classique du transport en deux dimensions : 9c 1 - n 9co 9c 9c 9 _ 9c 9 _ 9c v ^r + v -r qc= ^ D^- + ^ DT 9t n g x t 9x y 9y 9x dx 9y 9y Echange avec convection Sortie dispersion de ma- tière du domaine la phase solide

4 126 J.P.Bouchard S P.Lencioni avec: c la concentration volumique dans phase liquide; es la concentration volumique dans la phase solide; n la porosité; v x, v composantes de la vitesse de filtration; q le flux sortant; D coefficient de dispersion = Ct v, où a est la dispersivlté. Pour la loi d'échange la plus simple: c = K_,c s d où Kd est le coefficient de distribution, avec équilibre instantané entre les deux phases, l'équation devient: _ 3c 3c 3c 3 _ 3c 3 _ 3c R ^ 7 + v V~+v -r qc = r- D ^ + - D - dt x dx y dy dx dx dy dy avec R = 1 + [(l-n)/n] K. Cette équation est discrétisée en différences finies sur un maillage rectangulaire. La résolution est effectuée en ajoutant successivement la contribution de chaque opérateur à la variation de selon la méthode des pas fractionnaires, l'opérateur de dispersion est intégré par surrelaxation et enfin la convection est traitée par la méthode des caractéristiques bidimensionnelles, ce point sera précisé ci-après. La méthode des caractéristiques bidimensionnelles Rappelons que cette méthode (cf.esposito, 1981), consiste à résoudre l'équation: 3c/3t = v' gfad c en se plaçant le long d'une ligne de courant (ou ligne caractéristique) où elle devient simplement dc/dt = 0. Pour connaître la concentration à l'instant (t + ût) en un uoeuu du maillage on devra établir la forme de la ligne caractéristique menant a ce point, puis calculer la concentration sur cette ligne à partir des valeurs connues sur le maillage à l'instant t. Par cette méthode l'opérateur est intégré globalement, on évite ainsi sa séparation selon les deux directions de l'espace, processus qui engendre toujours une diffusion numérique notable. Elle présente de plus l'avantage sur d'autres méthodes numériques (notamment celles dites de décentrement) de permettre un grand pas de temps. Le nombre d'interpolations se trouve donc réduit et la diffusion numérique aussi. Enfin, le mode d'interpolation linéaire ou cubique est ajusté automatiquement de façon à minimiser encore la diffusion parasite. Par contre, pour certaines configurations du champ de vitesse la méthode des caractéristiques peut ne pas assurer une conservation parfaite de la masse. L'intérêt de ces différents choix a pu être apprécié lors d'une application de ce code de calcul à un cas concret. APPLICATION DU MODELE MATHEMATIQUE Le problème posé était de prévoir les conséquences d'une éventuelle

5 Simulation du transport de polluant 127 pollution de nappe à proximité d'une rivière canalisée. Présentation du site L'aquifère étudié est une nappe alluviale en relation avec différents cours d'eau. Le champ des vitesses de filtration obtenu grâce au modèle est présenté sur la Fig.l. On y remarque qu'un barrage sur le fleuve induit une forte alimentation de la nappe par la rivière. Le drainage de l'aquifère est ensuite assuré par plusieurs cours d'eau rejoignant le fleuve plus en aval. 0 ^ -Um FIG.l Plan de présentation et champs des vitesses de filtration. Il s'agissait donc d'apprécier les temps d'apparition du polluant dans le réseau superficiel et les concentrations atteintes pour le rejet d'une quantité arbitraire de soluté. Hypothèses de simulation La dispersivité du milieu n'était connue que par un traçage sur une courte distance difficilement extrapolable à de grandes longueurs de parcours. Il a donc été convenu de traiter ce coefficient comme un paramètre compris entre 2 et 10 m, de telle sorte que la simulation avec la plus forte valeur du coefficient donne les temps d'apparition du polluant les plus courts et la zone contaminée la plus étendue tandis que la simulation avec la plus faible valeur fournit un majorant de la concentration atteinte.

6 128 J.P.Bouchard S P.Lencioni Résultats Sur la Fig.l sont indiques le point d'injection présumé et les quatre points de calcul de la concentration dans le réseau superficiel, qui est obtenue en intégrant les apports de soluté par la nappe tout au long du lit des cours d'eau. L'évolution des concentrations est tracée sur la Fig.2 pour des dispersivités de 2 et 10 m et pour un calcul en convection pure (disperslvité nulle). mg m J a) Dispersivité = 0 c) Dispersivité = 10 m m j FIG.2 Evolution des concentrations dans les cours d'eau drainant la nappe pour un rejet initial de 1 kg. La forme très allongée du pic de concentration dans ce dernier cas (Fig.2(a)) après une convection sur une vingtaine de mailles du modèle, manifeste bien la faible diffusion numérique de 1'algorithme. Cette constatation permet d'affirmer que l'étalement du pic de concentration pour le calcul avec une dispersivité de 2 m est bien uniquement dû à la dispersivité introduite malgré sa faible valeur et que l'évolution des concentrations correspondante est bien significative. Les courbes de la Fig.2(c) montrent l'étalement du nuage de concentration pour une dispersibvité de 10 m et permettent d'apprécier le temps minimum d'apparition de soluté dans les cours d'eau drainant la nappe. Pour tous ces calculs, les tests effectués ont montré que le schéma numérique assurait de façon satisfaisante la conservation de la masse de soluté introduite. Ainsi, pour la simulation en convection pure, qui correspond aux conditions de calcul les plus sévères en raison des gradients élevés de concentration, la conservation de la masse a été assurée avec une précision de 10%.

7 Simulation du transport de polluant 129 CONCLUSION L'étude présentée ici démontre, que malgré les incertitudes et les difficultés subsistant dans la formulation mathématique des phénomènes d'échange et de dispersion, un modèle mathématique de transport de soluté dans les nappes apporte des renseignements précieux sur les effets d'une pollution éventuelle d'un aquifère. L'intérêt d'un code de calcul à faible diffusion numérique est ainsi apparu pour prendre en compte l'incertitude sur les coefficients de dispersivité représentatifs de la distance de parcourt concernée. Cette caractéristique autorise en outre, l'introduction ultérieure dans le modèle d'une description plus précise de la dispersion et des échanges entre fluide et grains solides. REFERENCES Dieulin, A. (1980) Propagation de pollution dans un aquifère alluvial; l'effet de parcours. Thèse, Université Paris VI et Ecole des Mines de Paris. Esposlto, P. (1981) Résolution bidimensionnelle des équations de transport par la méthode des caractéristiques. Rapport HE 41/81.16, EDF - Laboratoire National d'hydraulique, Chatou. Fried, J.J. & Combarnous, M.A. (1971) Dispersion in porous media. In: Advances in Hydrosciences (ed. by V.T.Chow). Academic Press, New York. Gelhar, L.W., Gutjahr, A.L. & Naff, R.L. (1979) Stochastic analysis of macrodispersion in a stratified aquifer. Wat. Res our. Res. 15 (6). Lallemand-Barres, A., Rochon, J. & Thiery, D. (1981) Echanges physicochimiques et transferts de polluant dans les aauifères. Rapport 81 SGN 283 EAU, Bureau de Recherches Géologiques et Minières, Orléans. De Marsily, G. & Matheron, G. (1980) Is transport in porous media always diffusive? A counter example. Wat. Resour. Res. 16 (4).

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